解题之道在于悟法
教之道在于悟——从问题思考解题教学
说明：数学概念的深刻“悟”是困难的，因为这势必需 要对概念的方方面面有全面的理解.以函数概念为例，教 会 学 生 要 从 概 念 最 本 质 的 特 征 入 手 思 考———“ 一 对 一 ” “多对一”是函数对应关系“，一对多”一定不是函数关系.
二尧数学性质的悟
数学性质是教学中教师最为关注的.但是随着大量 模 拟 试 题 的 训 练 ，师 生 往 往 都 忽 视 了 这 些 教 材 基 本 性 质 ，还 一 味 地 埋 头 寻 找 技 巧 和 技 能 ，这 种 教 学 是 得 不 偿 失的.教材中的数学性质有哪些？比如等差数列所拥有 的函数本质，通项是一次函数的本质，求和公式是二次 函 数 的 本 质 ；椭 圆 、双 曲 线 拥 有 的 基 本 性 质 ，如 对 称 性 、 离心率、渐近线等，围绕这些基本性质结合试题的思考 是解题教学的重要感悟.
例1 （2015年浙江卷改编）存在对应关系f，对任意 x沂R，下列对应关系不是函数法则的是_____.
（1）（f x2+4x）=|x+2|； （2）（f x2-1）=|x+1|； （3）（f x2-4x）=|x+2|； （4）（f x2+1）=|x-1|. 分析院笔者将原题稍加改编，本质未做改变.对于学 生 而 言 ，初 识 本 题 ，似 乎 并 无 头 绪 .静 下 心 来 思 考 ，本 题 到底考查什么？题意中说对应关系和对应法则，应该不 难想到这是一道与函数概念相关的问题.比较简单的函 数概念判别试题，往往是对函数概念进行简单的一对 一、多对一的思考辨别，而本题显然不属于简单问题.我 们知道，函数关系是一种特殊的映射关系，而映射关系 又是特殊的一种对应关系，因此找准非空数集和函数概 念就可以解决问题.比如，对于（2），不妨取x=依1，则x2-1= 0，也就是说（f 0）=2或（f 0）=0，从函数关系的角度来说，同 一个自变量对应不唯一的y值，从而并非是函数关系，而 是 一 种 一 般 的 对 应 关 系 .其 余 选 项 可 同 样 排 除 ，所 以 答 案是（2）（3）（4）.
破题之策 解题之法 答题之道
破题之策解题之法答题之道
“破题之策”、“解题之法”和“答题之道”是指解决问题的三个不同阶段和方法。
下面分别介绍一下：
1. 破题之策：指在面对问题时，首先要有一个清晰的思路和方法，即“破题之策”。
这个阶段需要通过对问题的分析和理解，确定问题的本质和关键点，然后选择合适的方法和策略来解决问题。
例如，在解决一道数学题目时，需要先理解题目的意思，确定需要哪些知识点和方法，然后选择合适的解题思路。
2. 解题之法：指在确定了破题之策后，需要采用具体的方法和技巧来解决问题，即“解题之法”。
这个阶段需要运用已有的知识和技能，结合具体的问题情境，选择合适的方法和技巧，逐步解决问题。
例如，在解决一道数学题目时，需要运用代数、几何等知识点，结合具体的问题情境，采用适当的计算方法和技巧，逐步推导出答案。
3. 答题之道：指在解决问题后，需要将解题过程和答案清晰地表达出来，即“答题之道”。
这个阶段需要将解题过程和答案清晰、简洁地表达出来，使读者能够理解和接受。
例如，在解一道数学题目时，需要将解题过程和答案清晰地列出来，并解释每一步的思路和依据，以便读者理解和学习。
总之，“破题之策”、“解题之法”和“答题之道”是解决
问题的三个不同阶段和方法，只有掌握了这三个方面的技能，才能真正解决问题并取得好成绩。
解题之道五个解题思路指导
解题之道五个解题思路指导解题是我们在学习和工作中常常面临的任务，无论是数学题、物理题，还是思维难题，都需要我们运用合适的方法去解决。
在解题过程中，我们可以借鉴一些有效的解题思路，帮助我们更轻松地解决问题。
本文将介绍五个解题思路，旨在帮助读者提高解题水平。
一、全面了解问题在解题之前，我们首先要对问题进行全面的了解。
这包括阅读并理解问题的题目和条件，确定问题的关键要素和限制条件。
只有全面了解问题，才能更好地找到解题的方向。
二、寻找模式和规律很多问题都存在一定的模式和规律，通过寻找并利用这些模式和规律，我们可以更快地解决问题。
有时候，我们可以通过观察数据或者列举特例来找到问题的模式和规律。
在解题过程中，我们可以利用这些模式和规律来简化问题，减少计算量，提高解题效率。
三、创造性思维创造性思维是解题过程中非常重要的一个环节。
有时候，问题本身并没有直接的解法，需要我们通过创造性思维去寻找新的解题思路。
创造性思维可以通过联想、类比、逆向思维等方式进行。
通过运用不同的思维方式，我们可以打破常规思维，找到问题的新解。
四、分解与归纳在解决复杂的问题时，我们可以将问题分解成多个简单的小问题进行解决，然后再将小问题的解答组合在一起得到原问题的解答。
这种分解与归纳的思维方式可以帮助我们更好地理清问题的思路，减少解题的难度。
同时，分解问题也可以帮助我们更好地理解问题，从而找到解题的关键点。
五、试错与反思在解题过程中，我们难免会遇到困难和错误。
这时，我们可以采用试错的方法，不断尝试不同的解题思路，直到找到正确的解答。
同时，在解题过程中，我们要及时反思自己的解题思路和方法，发现问题并进行改进。
通过试错与反思，我们可以不断提高自己的解题能力。
总结：解题是一项需要思考和耐心的任务，通过运用合适的解题思路，我们可以更加高效地解决问题。
本文介绍了五个解题思路，包括全面了解问题、寻找模式和规律、创造性思维、分解与归纳以及试错与反思。
希望读者在解题中能够灵活运用这些思路，提升自己的解题能力，取得更好的成绩。
小学生解题悟性的培养策略
小学生解题悟性的培养策略作者：朱毓飞来源：《教育研究与实践》2008年第11期下课时与学生聊天，常听到学生这样说：“我上课听起来全懂，可一做作业就不知如何下手。
”究其原因，是这些学生在课堂上没能用自己的思考建立起自己的理解力，缺乏解题的“悟性”。
一般来说，学生解题能力的提高，探究能力的增强，都离不开思维的主体——悟性。
因此，我们在教学中应正视“悟性”的重要地位，要有目的、有意识地培养学生的解题悟性。
一、巧妙设疑，为学生的“悟”留下空间孔子曰：“疑点，思之始，学之知。
”可见，疑是悟性的起点和动因，因此教师讲课时不宜将知识和盘托出，要留有余地。
教师在组织教学时应创设悬念，让学生有自己的思考的空间，教师的启发为学生自我启发留有回味领悟的过程。
如在学习《圆的周长》一课时，我没有将教材知识“奉献”给学生，而是在新课伊始，让学生看多媒体：小兔子和小狗正沿着圆形的跑道进行长跑比赛。
学生很快就发现它们所跑的路程实际就是圆的周长。
教师问道：“长方形、正方形的周长会算了，圆的周长能创造出来吗？”学生从长方形、正方形的周长与边长的关系开始猜想圆的周长可能和谁有关系？有什么关系？教师让学生大胆猜想“圆的周长可能和直径有关系”“周长可能是直径的2倍多”“周长可能是直径的3倍多”……在学生充分发言的基础上，教师说：“那么，圆的周长究竟是直径的多少倍呢？请同学们想办法验证你的猜想。
”在此，教师巧妙地创意和构思，把学生引入问题的“疑”境中，继而让学生大胆地猜测，激活了学生的思维，引发了一定要找出这个规律的强烈探究欲望。
也就促发了学生主动学习，质疑探究的劲头。
二、运用联想，为学生的“悟”插上翅膀根据已知条件，联想已经掌握的新旧知识及解题经验，从多角度、多方位构思解题途径，对问题进行纵向挖掘，即通过开拓题型、题设和结论，挖掘问题的内在联系，并把它们有机结合起来，最终获得有效地解题途径和方法。
可以说，联想过程就是悟性的产生，运用的过程，也是思想的逐步深化过程。
学之道在于悟
学之道在于悟作者：许飞达来源：《中学教学参考·理科版》2012年第04期有道是“学之道在于‘悟’”, ‘悟’就是反思，是数学学习的精髓.尤其在高中数学学习中，学生要真正学好数学，要靠自己的领悟,而领悟又要靠对思维过程的反思才能获取.如果学生在解题之后能对自己的解题思路自我作出评价与反思,对整个解题过程的各个方面进行深入的研究与思考,那么学生的解题思维就能得到极大的提升，学生解题能力得到真正的提高.因此,在平时的高中数学教学活动中,引领学生进行解题反思是一个非常有必要，也是很重要的环节.一、引领学生对解题思路及过程进行反思，提升学生解题能力在解题结束后, 教师应让学生回忆自己从解题开始到解题结束的每一步思维活动,开始是怎么思考的,走过哪些弯路,碰到哪些障碍如：求函数＜a≤2)的最值学生的思路:由已知可得＝,接着就无法进行下去反思:用倍角公式和辅助角公式作出这样的变形属于正常的解题行为,这是因为我们经常做这方面的训练(这一点要给予肯定).观察与它们之间是否有联系?能否将二者联系起来?利用（）便可发现令立即可以转化为二次函数的最值问题.顺着学生的思路看与的区别在于角不统一,能否化异为同呢?事实上--1,于是通过换元也可转化为二次函数的最值问题二、引领学生反思题意的理解过程，开发学生解题智慧,拓宽学生解题思路在解题过程中，很多学生找不到正确解题途径的根本原因,往往是“理解题意”这一环节存在很大问题.因此在学生的解题活动中,理解题意无疑是首先要学习的.理解题意就是指学生读题后，要用自己的数学语言对问题重新进行描述,也就是对问题用学生熟悉的方法重新编码,使得许多问题成分变为学生熟悉的信息，然后组织信息和转化信息如：将函数-的图象向左平移m个单位,所得图象关于直线对称(1)求m的最小值(m＞(2)证明:当取最小值时,若x∈(--时,则经过平移后的图象上任意两点的直线的斜率恒为负数学生的思路:当取最小值时,平移后的图象所对应的解析式为设是f(x)的图象上任意两点(不同),则--不妨设∈(--且＜则只要证明＜再作差-＝反思:我们可以看出学生对题意的理解仅仅是浅层次的,对题目的信息没有深加工.从学生的解答来看,要证明＜0,实际上只要证明函数f(x)在(--范围内为减函数.于是,我们只要求出f(x)的递减区间(--说明区间是其某个递减区间的子集即可.如果能通过证明导数f′(x)在区间(--范围内恒小于零,则解题价值更大，实现了斜率与单调性及导数之间的有效沟通三、引领学生对解题过程中涉及的数学思想方法进行反思，提高学生运用数学思想方法的能力数学学习的精髓就是数学思想方法的理解、掌握和运用如：若-3x+1对于∈［-1,1］,总有f(x)≥0成立,则本题是不等式恒成立问题,从能力立意看,考查了等价转化思想,函数思想,分类讨论思想等,是一道难得的好题解法1：(分类讨论,转化为函数最值当a≤0时,f(1)=a-2＜0(舍);当a＞0时,令-3=0,得x=±1a,(1)当1a≥1,即0＜a≤1时,f(x)在［-1,1］上递减,则f(1a)≥0,解得舍);(2)当1a＜1,即a＞1时,f(x)在［-1,1］上先增后减再增,于是由f(-1)≥0且f(1a)≥0,得解法2：(分类讨论,分离参数(1)当x=0时,a∈R;(2)当1≤x＜0时-当0＜x≤1时-反思：通过对本题的解题分析，学生对重要的数学思想方法有了进一步的领悟，并对解决不等式恒成立问题能形成一定的解题规律，积累了解题经验，提高了解题能力(责任编辑黄桂坚）。
数学学习之道在于“悟”
数学学习之道在于“悟”作者：于传金来源：《新课程·教师》2012年第12期摘要：数学的学习，不能仅仅是接受、记忆、模仿和练习，对问题的变化往往束手无策，甚至一些简单的问题都无从下手。
学习者要认真阅读教材，把握课堂，把握练习，把握自己，对知识构建、知识应用给予思考、探究。
关键词：教材；课堂；练习在日常教学活动中，时常发现有些学生学习数学，仅仅是接受、记忆、模仿和练习，对问题的变化往往束手无策，甚至一些简单的问题都无从下手。
一方面基础比较差，有些学生初中知识都弄不懂更何况高中知识呢，当然这主要指的是学习比较落后的学生；另一方面学习方法不恰当，缺乏悟性，缺乏探究的精神。
“佛之理在于悟”，学习也是如此。
悟什么？悟教材、悟课堂、悟练习、悟自己。
一、悟教材教材是学习之本，题型的变化离不开教材，高考与教材息息相关，因此，要参透教材，领悟教材。
1.学习者要认真阅读教材，对教材中知识构建、知识应用、案例的分析加以思考、探究，领悟教材讲什么、做什么，把握目标，从教学目标来领悟教材。
2.教学者也要认真阅读教材，作为学习指导者，不仅要把教学知识教给学生，更重要从高角度审视教材，引导学生独立思考，自主探索，归纳解题策略和思想方法。
学完本章后就应该引导学生对知识和思想方法进行系统归纳：（1）知识的构建。
解三角形主要探究三角形中六个元素（三边和三角），已知其中三个元素（两角和一边、两边和一角、三边）求其他三个元素问题。
了解这一点，就轻而易举理解正、余弦定理，对于定理应从文字语言和符号语言两方面进行表述。
正弦定理主要研究三角形中两角一边、两边和一边的对角的问题。
余弦定理主要研究两边一角（两边和夹角、两边和一边的对角）和三边的问题。
（2）知识的应用。
①解三角形，可以按下面的思维方式去分析和解决问题，首先画出几何图形（构建三角形），标出已知量，根据正余弦定理判断先求边和先求角的问题，然后解三角形。
同时要注意三角形内角和定理的应用，有些问题在一个三角形中不能解决，应考虑在两个三角形中进行研究（注意两个三角形边角关系）。
学之道在于“悟”，
学之道在于“悟”，“悟”是学习品质，是感课堂教学是教与学的双边活动，学的真谛在于“悟”，教的秘诀在于“度”。
“悟”是学习方法，是独立思考；“受体验；“悟”是解惑疑难，是开拓创新。
学生知识差异量不大，只是对知识领悟程度差异较大。
因此，“学生要想牢固地掌握知识，就必须用内心的创造和体验来学习”。
课堂教学是一门艺术，艺术是要讲究“度”的，“度”就是恰到好处，就是有利于教学目标的实现、教学任务的完成，有利于学生掌握知识、形成能力。
“度”说起来容易，具体把握起来有一些困难。
但一个素质较高的教师在这方面一定会有自己的追求，且愈来愈适度。
所以，要想课堂提高效率，首先要注重一个“度”。
在教学中总能发现这样一些学生，不论教师如何充分揭示概念和方法，对他们总是产生不了认同，即这些学生的悟性差。
反之，悟性强的学生，在他们看来都是那么顺理成章，定义、定理、都能达到“印在脑海里，融化在血液中，落实在应用上”的境界。
概念和方法在悟性的作用下以“浓缩、提炼”的形式贮存于人脑之中，并做到排列有序、结构完美，这不仅仅可以大大增加人脑的“库容”，而且十分有利于内化旧知识、发现新知识，提取运用也非常方便，甚至还可以做到面临什么样的问题，相应的知识块根本不需要检查就“自告奋勇”地挺身而出。
即使遇到情境陌生的问题，也能产生顿悟，想出巧妙点子。
解题时，在思路探索的过程中大量运用的是类比、联想、猜测、预见、领悟、顿悟等非逻辑或不完全逻辑的思维方式，常为人们找到解决问题的突破口提出一条快捷、顺畅的通道。
可见，“悟”是学习的重要环节，是深刻领会知识的主要途径。
“悟”是学习的重要阶段。
“悟”一般是在感觉和知觉的基础上产生的一种领悟或感悟，是人的智慧和品质发展的一种最重要的形式。
如果“玩”是动手、动眼外在的动，则“悟”是动脑动心内在的动。
玩可以为“悟”提供外部信息，而“悟”则可以使“玩”得以升华。
如果只是“玩”，则只是停留在感知的层面上。
“玩”和“悟”互动的过程才是“做”学问的最佳途径。
提解题之能力于解题中无忧
提解题之能力于解题中无忧在学习过程中，提解题之能力是非常重要的，它可以帮助我们更加深入地理解知识，提高学习效率。
拥有良好的解题能力也是在考试和实际生活中取得成功的关键之一。
本文将从三个方面，即解题意识的培养、解题技巧的掌握和解题方法的灵活运用，对如何提高解题能力进行探讨。
解题意识的培养是提高解题能力的基础。
我们应该时刻保持解题的意识，把解题当作一种习惯，而不是单纯的应试行为。
解题意识的培养需要从基础做起，我们可以尝试将解题列为学习任务的一部分，而不是把它当做噩梦。
当我们遇到问题时，不要急于放弃，而是应该去思考问题背后的原因和解决方法。
通过不断的思考和分析，我们能够提高发现问题和解决问题的能力。
解题技巧的掌握是提高解题能力的关键。
掌握一些解题的基本技巧，能够加快解题的速度，提高解题的准确性。
解题技巧包括但不限于：合理运用公式和定理，灵活使用图表和图像进行分析，善于利用逻辑推理等等。
也需要学会归纳总结，将已学的知识进行整合和梳理，这样在解题过程中就能更快地找到解决问题的方法。
我们还应该养成练习的习惯，通过不断地解题训练，不断地积累经验，从而提高解题的能力。
解题方法的灵活运用是提高解题能力的关键。
在解题过程中，我们应该善于灵活运用多种解题方法。
不同的问题适用不同的解题方法，我们需要根据问题的特点，选择最适合的解题方法。
有时候，可能需要联想一些相关的知识点，有时候，则需要进行逻辑推理。
我们可以通过多角度思考，从不同的角度去解决问题，这样就能够有更多的思路和方法。
我们还可以参考他人的解题方法，从他人的经验中获取灵感，找到解决问题的新方法。
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四、数形结合思想
数形结合思想就是将抽象的数字、符号用直观的图形体现，或者通过精确的数量计算研究图形的形状大小，即代数问题几何化或几何问题代数化，
一、整体思想
整体思想是将注意力放在问题的整体结构上，着眼于宏观上的整体分析.运用整体思想，往往能事半功倍，出奇制胜.
点评：将x+l和x-l分别看作一个整体，通过整体移动，整体合并，解答就很简捷，同时省略了去分母的步骤，简化了去括号的过程.
应用整体思想，要从结构上对问题的条件进行分析，把握问题的整体特征，对问题进行整体处理.
①两车相遇前相距30 km：50x+40x+30=120.解得x=l;
②两车相遇后相距30 km：50x+40x-30=120，解得x=5/3.
答：经过l小时或5/3小时两车相距30 km
点评：对于“两车相距30 km”这个条件，要分类讨论.分别是“两车相遇前相距30 km”和“两车相遇后相距30 km”.
分类思想往往用于解决开放性问题，如解含字母参数的方程、含绝对值符号的方程，以及解决有关方案设计的实际问题.解题时需要考虑可能出现的所有情况，然后总结分析，
三、转化思想
数学学习中，转化思想无处不在，它是分析问题、解决问题的基本思想.转化的纽带是新旧知识之间的联系，
点评：本题分母不为整数，要运用“分数的基本性质”将分母化为整数，但要注意与去分母的区别.解一元一次方程的过程，实质上就是利用等式基本性質，通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为l等步骤同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式，体现了化未知为已知的转化思想.
例5小明从家里骑摩托车到火车站，若每小时行30千米，则比火车开车时间早到15分钟;若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在小明打算在火车开车前10分钟到达火车站，求小明骑摩托车的速度.
点评：火车开出的时间和小明从家到火车站的路程不变，直接设未知数较难，应该转变角度，合理地间接设未知数以寻求新的解决途径.
例7某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%标价出售.春节期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装各一件，共付款182元，两种服装标价之和为210元.这两种服装的进价和标价各是多少元？
答：甲种服装的进价是50元，标价是70元;乙种服装的进价是100元，标价是140元.
例6甲、乙两站相距480 km.一列慢车以每小时90 km的速度从甲站开出，一列快车以每小时140 km的速度从乙站开出，慢车与快车同时出发，同向而行，经过多少小时两车相距600 km？
解析：设经过x小时两车相距600 km，则可将此题情境用线段图表示，如图1.
根据题意得90x+600=480+140x.
参考答案：
1.x=5或x=-l.2.143
解得x=2.4.
答：经过2.4小时两车相距600 km.
点评：用一元一次方程解决行程问题，画线段图是常用的方法.
著名数学家华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事非，以形辅数，以数助形，能更快找到解题途径，
五、方程思想
方程思想就是利用方程来解决问题，是学习方程的目的和意义，方程思想是从问题的等量关系人手，运用代数式将条件转化为数学模型，然后通过解方程使问题获得解决，
二、分类思想
分类的原则是“不重复、不遗漏”.先确定分类的标准，然后将问题分成几个部分或者几种情况，逐一解决，各个击破，最后得出结论，
点评：当方程含有字母参数时，方法步骤与一般方程一样.把方程化为ax=b的形式后，在进行“系数化为1”时，要根据等式的基本性质进行分类讨论.注意：最后的解不能合并，只能分情况进行说明，
点评：初中数学中的方程思想无处不在，最常见的就是列方程解应用题，其一般步骤如下.
（1）审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系，寻找等量关系.
（2）根据数量关系与解题需要设出未知数，根据等量关系建立方程.
（3）解方程.
（4）检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意，并作答，
其中“寻找等量关系”最为关键.
解题之道在于悟法
作者：过小明
来源：《中学生数理化·七年级数学人教版》2020年第02期
方程的出现源于解决实际问题的需要，方程是刻画现实世界中等量关系，的有效的数学模型.
一元一次方程是其他类型方程的基础，在数学知识体系中起着至关重要的作用.一元一次方程的知识点包括：基本概念、等式性质、解方程等，要想高效掌握解题方法，灵活运用知识，必须掌握几种数学思想.
方程法实现了由算术方法向代数方法的转化，是最基本的数量关系分析方法，有等式就可以有方程，有公式就可以有方程.方程思想是初中数学的核心内容，是打好数学基础的关键，是培养数学建模能力的重要手段.
练一练
1.解方程|x-2|=3.
2.如图2.矩形ABCD由六个颜色不同的正方形组成，若设中间最小的一个正方形边长为1.则矩形ABCD的面积为____ .
例3已知A.B两地相距120 km，一辆汽车以每小时50 km的速度从A地出发，另一辆货车以每小时40 km的速度从B地同时出发，两车相向而行.经过多长时间两车相距30 km？
解析：两车相遇前相距30 km：行程之和+30 km=两地距离;两车相遇后相距30 km：行程之，得：