2016-2017学年高中数学人教版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
―→ ―→ ―→ ―→ 法一：∵ MN ＝ MA ＋ AP ＋ PN 1―→ ―→ 1―→ ＝－ AB ＋ AP ＋ PC 2 2 1―→ ―→ 1 ―→ ―→ ＝－ AB ＋ AP ＋ ( PA ＋ AC ) 2 2 1―→ ―→ 1 ―→ ―→ ―→ ＝－ AB ＋ AP ＋ ( PA ＋ AB ＋ AD ) 2 2 1―→ 1―→ 1 1 ＝ AD ＋ AP ＝ e2＋ e3， 2 2 2 2 ―→ 1 1 ∴ MN ＝0，2，2.
―→ 提示： AB1 ＝4e1＋4e2＋4e3.
―→ 问题 3：若 M 为 A1B1 的中点，能否用 e1，e1，e3 表示 AM ？
―→ 提示：能， AM ＝4e1＋2e2＋4e3.
[导入新知] 空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面 ，那么对空间任一向量 p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc .
法二：如图所示，连接 AC，BD 交于点 O.则 O 为 AC，BD 的中点，连接 MO，ON， ―→ 1―→ 1―→ ∴ MO ＝ BC ＝ AD ， 2 2 ―→ 1―→ ON ＝ AP ， 2 ―→ ―→ ―→ ∴ MN ＝ MO ＋ ON 1―→ 1―→ 1 1 ＝ AD ＋ AP ＝ e2＋ e3. 2 2 2 2 ―→ 1 1 ∴ MN ＝0，2，2.
其中，{a，b，c}叫做空间的一个 基底 ，a，b，c 都叫做
基向量 ．
[化解疑难] 1． 空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 基 底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2．由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量 共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是 0. 3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都 可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理
[提出问题] 如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 4，在 AB， AD，AD1 上分别取单位向量 e1，e2，e3.
问题 1：e1，e2，e3 共面吗？
提示：不共面．
―→ 问题 2：试用 e1，e2，e3 表示 AB1 .
空间向量的正交分解及其坐标表示
[提出问题] {a，b，c}是空间的一个基底， {e1，e2，e3}是空间的单位正交 基底． 问题 1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？
提示：一定．
问题 2：任一向量 p＝xa＋yb＋zc，则数组(x，y，z)是唯一的 吗？
提示：是．
问题 3：单位正交基底之间的数量积 e1· e2，e1· e3，e2· e3， e1· e1，e2· e2，e3· e3 分别为多少？
8.建立空间直角坐标系的常见失误
[典例] 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中， 已知△ABC 的边长为 1， ―→ ―→ 三棱柱的高为 2， 建立适当的空间直角坐标系， 并写出 AA1 ， AB1 ， ―→ AC1 的坐标．
[解]
分别取 BC，B1C1 的中点 D，D1，以 D 为
―→ ―→ ―→ 原点，分别以 DC ， DA ，DD1 的方向为 x 轴、y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则
A 0， 3 3 ，0，A10， ，2， 2 2
1 1 B1－2，0，2，C12，0，2， ―→ ―→ 3 1 所以 AA1 ＝(0,0,2)， AB1 ＝－ ，－ ，2 ， 2 2
[成功破障] 已知正三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面边长 AB＝2，侧棱 BB1＝2，点 O，O1 分别是 AC，A1C1 的中点．若 M 为 BC1 的中点，试建立适当 ―→ 的空间直角坐标系并写出 AM 的坐标．
解： 建系方法不唯一．如：连接 OB，OO1，则由已 ―→ ―→ ―→ 知易得 OB ， OC ，OO1 两两垂直，故可以 O 为坐标 ―→ ―→ ―→ 原点，以 OB ， OC ， OO1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 故 A(0，－1,0)，B( 3，0,0)，C1(0,1,2)， ―→ ―→ 则 AB ＝( 3，1,0)， AC1 ＝(0,2,2)，
此方程组无解，
―→ ―→ ―→ 即不存在实数 x，y，使 OA ＝x OB ＋y OC 成立． ―→ ―→ ―→ ∴ OA ， OB ， OC 不共面． ―→ ―→ ―→ 故{ OA ， OB ， OC }能作为空间的一个基底．
[类题通法] 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判 断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次 判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是 否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程 组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量 不共面．
[解 ]
―→ ―→ ―→ 假设 OA ， OB ， OC 共面，由向量共面的充要条
―→ ―→ ―→ 件知存在实数 x，y，使 OA ＝x OB ＋y OC 成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)．
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面， －3x＋y＝1， ∴x＋y＝2， 2x－y＝－1，
―→ 1―→ 1 ―→ ―→ 则 BF ＝ BP ＝ ( BO ＋ OP ) 2 2 1 1 1 1 ＝ (c－b－a)＝－ a－ b＋ c， 2 2 2 2
―→ ―→ ―→ 1―→ BE ＝ BC ＋ CE ＝－a＋ CP 2 1 ―→ ―→ ＝－a＋ ( CO ＋ OP )＝ 2 1 1 －a－ b＋ c， 2 2 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 1 ―→ ―→ AE ＝ AP ＋ PE ＝ AO ＋ OP ＋ ( PO ＋ OC ) 2 1 ＝－a＋c＋ (－c＋b) 2 1 1 ＝－a＋ b＋ c， 2 2 ―→ 1―→ 1―→ 1 EF ＝ CB ＝ OA ＝ a. 2 2 2
―→ 1 3 AC1 ＝ ，－ ，ห้องสมุดไป่ตู้. 2 2
[易错防范] ―→ ―→ 1．建系时，误认为 AB 与 AC 垂直，从而以 A 为原点， ―→ ―→ ―→ 以 AB ， AC ， AA1 方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向 建立坐标系导致错误． 2．在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根 据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境．
提示：e1，e2，e3 是两两垂直的单位向量，故有 e1· e2＝e2· e3 ＝e1· e3＝0，e1· e1＝e2· e2＝e3· e3＝1.
[导入新知] 空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底： 三个有公共起点 O 的 两两垂直 的单位向量 e1，e2，e3 称为
单位正交基底 ．
[活学活用] 设 x＝a＋b， y＝b＋c， z＝c＋a， 且{a， b， c}是空间的一个基底． 给 出下列向量组： ①{a，b，x}， ②{x，y，z}， ③{b，c，z}， ④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间的基底的向量组有______个．
―→ ―→ ―→ 解析： 如图， 所设 a＝ AB ， b＝ AA1 ， c＝ AD ， ―→ ―→ ―→ ―→ 则 x＝ AB1 ， y＝ AD1 ， z＝ AC ， a＋b＋c＝ AC1 . 由 A，B1，D，C 四点不共面可知向量 x，y，z 也不共面．同 理可知 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 也不共面，可以作为空间 的基底．因 x＝a＋b，故 a，b，x 共面，故不能作为基底． 答案：3
(2)空间直角坐标系： 以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为原点，分别以 e1，e2，e3 的方向 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.
(3)空间向量的坐标表示： 对于空间任意一个向量 p，一定可以把它 平移 ，使它 ―→ 的起点与原点 O 重合，得到向量 OP ＝p，由空间向量基本 定理可知， 存在有序实数组{x， y， z}， 使得 p＝ xe1＋ye2＋ze3 . 把 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标， 记作 p＝(x，y，z) ，即点 P 的坐标为 (x，y，z) ．
―→ ―→ ―→ ―→ (1) BD′＝x AD ＋y AB ＋zAA′； ―→ ―→ ―→ ―→ (2) AE ＝x AD ＋y AB ＋zAA′.
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 解：(1)∵BD′＝ BD ＋DD′＝ BA ＋ BC ＋DD′ ―→ ―→ ―→ ＝－ AB ＋ AD ＋AA′， ―→ ―→ ―→ ―→ 又BD′＝x AD ＋y AB ＋zAA′，∴x＝1，y＝－1，z＝1. ―→ ―→ ――→ ―→ 1 ――→ (2)∵ AE ＝AA′＋ A′E ＝AA′＋ A′C′ 2 ―→ 1 ――→ ――→ ―→ 1 ――→ 1 ――→ ＝AA′＋ (A′B′＋A′D′)＝AA′＋ A′B′＋ A′D′ 2 2 2 1―→ 1―→ ―→ ＝ AD ＋ AB ＋AA′， 2 2 ―→ ―→ ―→ ―→ 1 1 又 AE ＝x AD ＋y AB ＋zAA′，∴x＝ ，y＝ ，z＝1. 2 2
[类题通法] 用基底表示向量时： (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则 和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行； (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所 选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其 夹角已知或易求．
[活学活用] 如 图 ， 已 知 正 方 体 ABCDA′B′C′D′ ， 点 E 是 上 底 面 A′B′C′D′的中心，求下列各式中 x，y，z 的值．
[化解疑难] 空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基 底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则 b 的坐标为(λ，μ，k).
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人教A版高中数学选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
[解题过程] ∵O→G＝O→A＋A→G，而A→G＝23A→D，A→D＝O→D －O→A，
又D为BC中点． ∴O→D＝12(O→B＋O→C)， ∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C) ＝13(a＋b＋c)．
1．对基底的理解 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基 底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底惟一表示． (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共 面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0. (3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空 间向量构成；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关 联的不同概念．
∴m＝17，n＝－5，z＝－30.
∴O→P ＝17O→A －5O→B －30O→C .
[题后感悟] 判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为 基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常 用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一 个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}； ⑤{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间基底的向量组有( )
A．1个
B．2个
C．3个D．4个
解析： 如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，
c＝A→D ，则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C，
a＋b＋c＝A→C1，由 A、B1、C、D1 四点 不共面，
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的 一组向量是( )
A．2a，a－b，a＋2b
2016-2017学年高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.4
A．a,2b,3c B．a＋b，b＋c，c＋a C．a＋2b,2b＋3c,3a－9c D．a＋b＋c，b，c 解析： －3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0. 答案： C
第十一页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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第三章 空间向量与立体几何
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解析： A→B＋D→D1＋D→1C1＝A→B＋D→C1＝A→B＋A→B1≠A→C1， ②不正确；
1→ 2(AB1
＋C→D1
)
＋A→1C1
＝12(A→B1
＋B→A1
)
＋A→1C1
＝A→A1
＋A→1C1
＝A→C1，④正确；①③明显正确． 答案： 3
第十三页，编辑于星期五：十七点 十一分。
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第三章 空间向量与立体几何
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4．如图所示，四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO
⊥平面 OABC，设 O→A ＝a，O→C ＝b，O→P ＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a，b，c 表示：B→F ，B→E ，A→E ，E→F .
第二十三页，编辑于星期五：十七点 十一分。
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解析： 如图所示，
设 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D ，
则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C，
第十一页，编辑于星期五：十七点 十一分。
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
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解析： A→B＋D→D1＋D→1C1＝A→B＋D→C1＝A→B＋A→B1≠A→C1， ②不正确；
1→ 2(AB1
＋C→D1
)
＋A→1C1
＝12(A→B1
＋B→A1
)
＋A→1C1
＝A→A1
＋A→1C1
＝A→C1，④正确；①③明显正确． 答案： 3
第十三页，编辑于星期五：十七点 十一分。
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4．如图所示，四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO
⊥平面 OABC，设 O→A ＝a，O→C ＝b，O→P ＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a，b，c 表示：B→F ，B→E ，A→E ，E→F .
第二十三页，编辑于星期五：十七点 十一分。
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第三章 空间向量与立体几何
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解析： 如图所示，
设 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D ，
则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C，
人教A版高中数学选修2-1课件：3-1-4 3-1-5 空间向量的坐标运算 精品
1.空间直角坐标系与原点: O-xyz 2.坐标向量: i, j, k 3.坐标平面 通过每两个坐标轴的平面，分别称
为xOy平面, yOz平面, zOx平面.
4.右手直角坐标系
空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,已知任一向量a, 根据空间向量分解定理,存在唯一数组 (a1,a2,a3),使
OM=
1 2
(OA+OB)
M
AM=MB
o
y
A(3,3,1)
x
dA,B 1 32 0 32 5 12 29
例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求
到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)
的坐标x,y,z满足的条件.
解：设点P到A，B的距离相等，则
(x 3)2 y 32 z 12 x 12 y 02 z 52
=(1,1,0)-(0,1,1) =(1,0,-1)，
q=a+2b-c =(1,1,0)+2(0,1,1)- (1,0,1) =(0,3,1)，
p•q=(1,0,-1)•(0,3,1) =10+03+(-1)1 =-1.
例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2), 求向 量n使n⊥a,且n⊥b. 解:设n=(x, y, z,)则
化简，得 4x+6y-8z+7=0.
即到A, B距离相等的点的坐标（x,y,z)满足 的条件是4x+6y-8z+7=0.
思考题：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M ,
N分别为A1B1,AA1的中点.
(1)求BN的长； (2)求 cos BA1, CB1 的值； A1 (3)求证：A1B C1M .
为xOy平面, yOz平面, zOx平面.
4.右手直角坐标系
空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,已知任一向量a, 根据空间向量分解定理,存在唯一数组 (a1,a2,a3),使
OM=
1 2
(OA+OB)
M
AM=MB
o
y
A(3,3,1)
x
dA,B 1 32 0 32 5 12 29
例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求
到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)
的坐标x,y,z满足的条件.
解：设点P到A，B的距离相等，则
(x 3)2 y 32 z 12 x 12 y 02 z 52
=(1,1,0)-(0,1,1) =(1,0,-1)，
q=a+2b-c =(1,1,0)+2(0,1,1)- (1,0,1) =(0,3,1)，
p•q=(1,0,-1)•(0,3,1) =10+03+(-1)1 =-1.
例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2), 求向 量n使n⊥a,且n⊥b. 解:设n=(x, y, z,)则
化简，得 4x+6y-8z+7=0.
即到A, B距离相等的点的坐标（x,y,z)满足 的条件是4x+6y-8z+7=0.
思考题：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M ,
N分别为A1B1,AA1的中点.
(1)求BN的长； (2)求 cos BA1, CB1 的值； A1 (3)求证：A1B C1M .
2016-2017学年人教版高中数学选修2-1课件：复习课 空间向量与立体几何
第十七页，编辑于星期五：十五点 三十九分。
设 m＝(x，y，z)是平面 BCF 的法向量．
m·BC ＝0，
由 m·BF
＝0，
－2 3x－2 3y＝0， 可得－ 3y＋3z＝0.
可得平面 BCF 的一个法向量 m＝－1，1， 33． 因为平面 ABC 的一个法向量 n＝(0,0,1)，
所以 cos〈m，n〉＝|mm|··|nn|＝ 77， 所以二面角 F-BC-A 的余弦值为 77．
复习课(三) 空间向量与立体几何
利用空间向量证明平行、垂直问题 1．空间向量是高考的重点内容之一，尤其是在立体几何的解 答题中，主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运 算解决直线、平面位置关系的判断问题，特别是平行与垂直问题 常作为一道解答题的某一小问，属于中档题． 2．利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向 向量和平面的法向量，借助立体几何中关于平行和垂直的定理， 再通过向量运算来解决．
第一页，编辑于星期五：十五点 三十九分。
[考点精要]
空间向量的结论与线面位置关系的对应关系 (1)设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法 向量 v＝(a2，b2，c2)， 则 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0， l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔a1＝ ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)．
(2)连接 OO′，则 OO′⊥平面 ABC． 又 AB＝BC，且 AC 是圆 O 的直径， 所以 BO⊥AC． 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz． 由题意得 B(0,2 3，0)，C(－2 3，0,0)． 过点 F 作 FM⊥OB 于点 M， 所以 FM＝ FB2－BM2＝3，可得 F(0， 3，3)． 故 BC ＝(－2 3，－2 3，0)，BF ＝(0，－ 3，3)．
设 m＝(x，y，z)是平面 BCF 的法向量．
m·BC ＝0，
由 m·BF
＝0，
－2 3x－2 3y＝0， 可得－ 3y＋3z＝0.
可得平面 BCF 的一个法向量 m＝－1，1， 33． 因为平面 ABC 的一个法向量 n＝(0,0,1)，
所以 cos〈m，n〉＝|mm|··|nn|＝ 77， 所以二面角 F-BC-A 的余弦值为 77．
复习课(三) 空间向量与立体几何
利用空间向量证明平行、垂直问题 1．空间向量是高考的重点内容之一，尤其是在立体几何的解 答题中，主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运 算解决直线、平面位置关系的判断问题，特别是平行与垂直问题 常作为一道解答题的某一小问，属于中档题． 2．利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向 向量和平面的法向量，借助立体几何中关于平行和垂直的定理， 再通过向量运算来解决．
第一页，编辑于星期五：十五点 三十九分。
[考点精要]
空间向量的结论与线面位置关系的对应关系 (1)设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法 向量 v＝(a2，b2，c2)， 则 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0， l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔a1＝ ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)．
(2)连接 OO′，则 OO′⊥平面 ABC． 又 AB＝BC，且 AC 是圆 O 的直径， 所以 BO⊥AC． 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz． 由题意得 B(0,2 3，0)，C(－2 3，0,0)． 过点 F 作 FM⊥OB 于点 M， 所以 FM＝ FB2－BM2＝3，可得 F(0， 3，3)． 故 BC ＝(－2 3，－2 3，0)，BF ＝(0，－ 3，3)．
2016-2017学年高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.1
→
→
是 B，可记作 a，也可记作 A B ，其模记为|a|或|AB|
第七页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
特殊向量
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第八页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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答案： B
第十二页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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2．如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1所有的棱中，可作 为直线A1B1的方向向量的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析： 共四个：AB，A1B1，CD，C1D1. 答案： D
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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(3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. 9 分 (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G. 12 分
第二页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
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第三页，编辑于星期五：十七点 十一分。
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.4空间向量的坐标表示(2))
说明:
z
☆我们一般建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o
y
x
空间直角坐标系的画法:
z 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350 o
x轴上的单位长度为y轴（或z
1350
y
轴）的单位长度的一半． x
1、空间向量的坐标表示：
给定一个空间直角坐标系和向量 p，且设 i、j、k
样就建立了空间直角坐
o
标系０－xyz．
y
x 点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和Zox 平面．
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
例3.证明：向量a (8,3,13)b (2,3,5), c (1,3,1)共面
例4.在直三棱柱ABC A1B1C1中,
ACB是直角，M , N分别是AC,
A1B1的中点，ห้องสมุดไป่ตู้证：MN // 平面BCC1B1
练习：
已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1，底面 边长是 2，棱长为1，A1C1与B1D1的交 点为M，求证：DM // 平面ACB1.
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)
则:
a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )
a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )
a (a1, a2 , a3 )
a // b a1 b1, a2 b2, a3 b3( R)
高中数学选修2-1精品课件14：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
考点一 基底的判断 例1 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b ＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面， 则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．
问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？ 提示：能． 问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由 向量p表示出来？ 提示：p＝500e1＋400e2＋15e3.
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量a，b，c 不共面 ，那么对空间 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使 得 p＝xa＋yb＋zc ，其中 {a，b，c} 叫做空间的一 个基底， a，b，c 都叫做基向量．
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令， 由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火 灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终 于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南 500米”、“东400米”“5楼”三个量确定. 设e1是向南的单 位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
－3x＋y＝1，
∴x＋y＝2， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OuuAr＝xOuuBr＋yOuuCur.
∴OuuAr ，OuuBr ，OuuCur 不共面．
故{OuuAr ，OuuBr ，OuuCur }能作为空间的一个基底.
高中数学选修2-1精品课件1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
典例讲练
[例 1] 若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b ＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①{a，b，c}是空间的一个基底； ②判断{a＋b，b＋c，c＋a}是否也可作为该空间的一个基 底．解答本题可先用反证法，判断 a＋b，b＋c，c＋a 是否共 面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基 底．
[解析] 由 G 为△BCD 的重心易知 E 为 BC 的中点， ∴B→E＝12(B→A＋B→C)＝ 12[(O→A－O→B)＋(O→C－O→B)] ＝21[(a－b)＋(c－b)]＝12(a＋c－2b)， O→G＝O→B＋B→G＝b＋23B→E＝b＋13(a＋c－2b)＝13(a＋b＋c)．
[例 3] 棱长为 1 的正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G 分别为棱 DD′、D′C′、BC 的中点，以{A→B，A→D，A→A′}为基底， 求下列向量的坐标．
起点 与原点 O 重合，得到向量O→P＝p，由空间向量基本定理 可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xe1＋ye2＋ze3 . 我们把 x、y、z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的 坐标，记作 p＝ (x，y，z)．
要点点拨
1．用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以线性表示出空间任 意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 2．空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基 底． 3．由于 0 可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是 0. 要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个 向量，二者是相关联的不同概念．
第三章 空间向量与立体几何 §3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 课件(人教A选修2-1)
【名师点评】 用基底表示向量时 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法 的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘 向量的运算律进行． (2)若没给定基底，要先选择基底，选择时， 要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向 量,再就是基向量的模及其夹角已知或易求．
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第三章 空间向量与立体几何
空间向量的坐标表示
例1 若{a，b，c}是空间一个基底，试判 断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个 基底． 【解】 假设a＋b，b＋c，c＋a共面， 则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a),
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第三章 空间向量与立体几何
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c 不共面．
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第三章 空间向量与立体几何
想一想 1.空间向量的基底是惟一的吗？ 提示：不惟一． 2.0能是基向量吗？ 提示：不能．
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第三章 空间向量与立体几何
2.空间向量的正交分解及其坐标表示
单位正 交基底ຫໍສະໝຸດ 三个有公共起点O的_两__两__垂__直___的 单位向量e1，e2，e3称为单位正交 基底．
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第三章 空间向量与立体几何
又∵|O→O1|＝2，|O→A|＝4， |O→B|＝2，(5 分) ∴D→O＝－2e1－e2－2e3， ∴D→O＝(－2，－1，－2)．(6 分) ∵A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1)
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第三章 空间向量与立体几何
名师微博 D→O用O→O1、O→A、O→B表示是本题关键， 应注意O→O1、O→A、O→B不是单位向量.
【解】 连接 AC、AD1， (1)A→P＝12(A→C＋A→A1) ＝12(A→B＋A→D＋A→A1) ＝12(a＋b＋c)；
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第三章 空间向量与立体几何
空间向量的坐标表示
例1 若{a，b，c}是空间一个基底，试判 断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个 基底． 【解】 假设a＋b，b＋c，c＋a共面， 则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a),
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第三章 空间向量与立体几何
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c 不共面．
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第三章 空间向量与立体几何
想一想 1.空间向量的基底是惟一的吗？ 提示：不惟一． 2.0能是基向量吗？ 提示：不能．
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第三章 空间向量与立体几何
2.空间向量的正交分解及其坐标表示
单位正 交基底ຫໍສະໝຸດ 三个有公共起点O的_两__两__垂__直___的 单位向量e1，e2，e3称为单位正交 基底．
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第三章 空间向量与立体几何
又∵|O→O1|＝2，|O→A|＝4， |O→B|＝2，(5 分) ∴D→O＝－2e1－e2－2e3， ∴D→O＝(－2，－1，－2)．(6 分) ∵A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1)
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第三章 空间向量与立体几何
名师微博 D→O用O→O1、O→A、O→B表示是本题关键， 应注意O→O1、O→A、O→B不是单位向量.
【解】 连接 AC、AD1， (1)A→P＝12(A→C＋A→A1) ＝12(A→B＋A→D＋A→A1) ＝12(a＋b＋c)；
选修2-1 3.1.4《空间向量的正交分解及其坐标表示》教案
选修2-1 3.1.4《空间向量的正交分解及其坐标表示》教案3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计镇海中学陈科钧一、教材分析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2-1）中第三章空间向量与几何体：第一节“空间向量及其运算”的第四课时；空间向量是平面向量的推广，是近代数学的一个重要工具，是联系代数、几何、三角的重要桥梁，为用空间向量解决立体几何问题做好铺垫，同时通过不断与平面向量的正交分解及基本定理进行类比学习，不断将三维空间问题向二维平面问题转化，充分体现了类比与转化思想在研究问题过程中的作用。
二、教学目标1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，并会选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
2.通过类比，转化，归纳，推广等思想，提高观察、分析、抽象概括的能力,进一步培养学生的空间观念。
3.通过本节课学习，培养学生的积极探究，合作学习，不断创新的思维品质。
2.学法分析让学生通过观察、分析、类比，合作、总结、归纳，培养学生发现问题，分析问题、解决问题的能力，培养不断创新、追求精益求精的“工匠精神”。
六、教学过程（一）复习引入（开门见山）微课复习：微课展示共线向量、共面向量的表示方法，提出探究的问题“空间任一向量如何来表示”师生活动：假设某一时刻我们对空中的一架飞机进行定点监测，如图，提出向量d 此时能否被向量,a b 表示出来？ 生：学生会说不可以. 师：追问要想把此时飞机P 定位，既向量d 表示出来，那我们需要如何改进呢？生：再添加一个向量c .师：怎样添加？在地平面上任意取一个可以吗？ 生：不可以，向量c 必需与向量,a b 不在同一平面. 师：换句话说，向量,,a b c 有什么约束条件? 生：既不共面的三个．设计意图：通过复习共线向量、平面向量的表示，引导学生类比到空间向量的表示；达成两点共a b 飞机P d O识：①可以表示；②需要三个不共线的向量。