2013分式的加减乘除综合应用
分式的运算及应用
分式的运算及应用分式是代数学中非常重要的概念，它们常常出现在各种数学问题中，并且在现实生活中也有很多应用。
我们将从分式的定义、运算和应用三个方面来进行讨论。
首先，我们来看一下分式的定义。
分式可以表示为一个数的比例，它由分子和分母组成，分子位于分式的上方，分母位于分式的下方，通常表示为a/b，其中a 为分子，b为分母。
分式可以用来表示某个数量与另一个数量的比例关系，例如1/2表示的是1和2的比值。
分式也可以表示为小数形式，即分子除以分母所得的值。
接下来我们来讨论一下分式的运算。
分式的运算包括加减乘除四则运算，我们分别来进行讨论。
首先是分式的加法和减法。
两个分式进行加法或减法运算时，需要找到它们的公分母，然后将分子进行相加或相减，分母保持不变。
如果分式的分母不同，需要先化为相同分母再进行运算。
例如，1/2 + 1/3，首先找到它们的公分母为6，然后进行相加得到3/6 + 2/6 = 5/6。
对于减法运算也是类似的过程。
其次是分式的乘法。
两个分式进行乘法运算时，将分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
例如，1/2 * 2/3 = 2/6 = 1/3。
最后是分式的除法。
两个分式进行除法运算时，将第一个分式乘以第二个分式的倒数，即将除号变为乘号，然后进行乘法运算。
例如，1/2 ÷2/3 = 1/2 * 3/2 = 3/4。
分式的运算是非常重要的，可以用来解决各种数学问题，例如比例、百分数、速度等问题。
分式的运算也在解方程、化简表达式等问题中起到了重要作用。
在应用中，分式用来解决各种实际问题，例如在物理学中，速度可以用分式表示，而在商业中，成本、利润等也可以用分式表示。
分式在日常生活中也有很多应用。
例如，在购物时，打折商品的价格可以用分式表示，比如7折即表示价格为原价的7/10。
在烹饪中，配料的比例可以用分式表示，比如蛋糕的配方为1/2杯面粉加1/4杯糖。
在旅行中，速度和距离的关系也可以用分式表示，比如汽车以60公里/小时的速度行驶了2小时，那么汽车行驶的距离可以用分式表示为60 * 2 = 120公里。
分式的加减及混合运算
2 x −1 （ 2） 1 − ÷ x +1 x +1
2
要求：先独立完成， 要求：先独立完成，然后小组内 讨论交流， 讨论交流，最后选一个代表给大 家展示计算过程。 家展示计算过程。
x x −4 3x − • （3） ） x x −2 x + 2
2
（要求：用两种方法解答） 要求：用两种方法解答）
课堂小结： 课堂小结：
对于分式的混合运算，要注意运算顺 序，要注意运算的结果要化成最简。 在计算过程中能使用运算律的会使运算 简便。
作业：课本 页第 页第13题 作业：课本21页第 题
分式的混合运算
许永梅
占城镇中心学校
回忆： 回忆：我们学习了分式的哪 些运算？ 些运算？
分式的乘除运算，分式的乘方运算，分式 的加减运算。 分式的乘除运算主要是通过约分进行的； 分式的加减运算主要是通过通分进行的。
分数的混合运算的法则是什么？ 分数的混合运算的法则是什么？
●分数的混合运算法则是：先算乘方，
再算乘除，最后算加减，有括号的先 算括号里的。
分式的混合运算法则是什么？ 分式的混合运算法则是什么？
●分式的混合运算法则是：先算乘方，
再算乘除，最后算加减，有括号的先ห้องสมุดไป่ตู้ 括号里的。
例题：计算 例题：
x + 2 （ 1） + x x − 2
2
4 x ÷ − 4 x + 4 x − 2
x−2 • x x−2 • x
x+2 4 = + 解：原式 x − 2 ( x − 2 )2
( x + 2 )( x − 2 ) 4 = + 2 (x − 2) (x − 2)2 x2 − 4 + 4 x − 2 = • 2 x (x − 2) x−2 x2 = • (x − 2)2 x x = x−2
分式乘除法及加减混合运算
分式乘除法及加减混合运算分式乘除法及加减法一、知识整理分式乘除法：1、分式乘以分式，把分子相乘的积作积的分子，把分母相乘的积作积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
D B C A D C B A ⋅⋅=⋅ CB DA C DB A DC B A ⋅⋅=⋅=÷ 2、分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
n n nB A B A =⎪⎭⎫⎝⎛3、分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。
分式加减法：1、分式与分数类似，也可以通分。
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
2、分式的加减法：分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减。
（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示是：CBA CBC A ±=±； （2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
用式子表示是：BDBCAD BD BC BD AD D C B A ±=±=±。
3、分式的通分：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
通分的难点是寻找最简公分母，确定最简公分母的一般方法：①把各分式分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②把相同字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次．．．幂．作为最简公分母的一个因式；③把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
二、经典例题 分式乘除法 【例1】计算：（1）291643x y y x ⋅； （2）a a a a 21222+⋅-+；【例4】若b a 32=，求22225332bab a b ab a +-+-的值。
分式加减法【例1】计算：（1）2422---x x x ； （2）x x x --+-1112； （3）m n mn m n m n n m ---+-+22。
分式的加减乘除
分式的加减乘除分式是数学中常见的一种表示数的方式，它是以分数的形式呈现，由一个分子和一个分母组成。
在实际问题中，我们常常需要对分式进行加、减、乘、除的运算。
本文将重点讨论分式的加减乘除运算，并给出相应的计算方法和示例。
一、分式的加法分式的加法是指将两个分式相加的运算。
具体的计算步骤如下：1. 对两个分式的分母进行通分，使得它们的分母相同。
2. 分别对两个分式的分子进行相应的运算。
3. 将得到的结果作为新分式的分子，通分后的分母作为新分式的分母。
示例：假设我们要计算 1/3 + 1/4，按照上述步骤进行计算：1. 通分得到：4/12 + 3/12。
2. 分子相加得到：4 + 3 = 7。
3. 分母保持不变：12。
因此，1/3 + 1/4 = 7/12。
二、分式的减法分式的减法是指将两个分式相减的运算。
计算步骤如下：1. 对两个分式的分母进行通分，使得它们的分母相同。
2. 分别对两个分式的分子进行相应的运算。
3. 将得到的结果作为新分式的分子，通分后的分母作为新分式的分母。
示例：假设我们要计算 5/6 - 2/3，按照上述步骤进行计算：1. 通分得到：5/6 - 4/6。
2. 分子相减得到：5 - 4 = 1。
3. 分母保持不变：6。
因此，5/6 - 2/3 = 1/6。
三、分式的乘法分式的乘法是指将两个分式相乘的运算。
计算步骤如下：1. 将两个分式的分子相乘，作为新分式的分子。
2. 将两个分式的分母相乘，作为新分式的分母。
示例：假设我们要计算 (2/3) * (3/4)，按照上述步骤进行计算：1. 分子相乘得到：2 * 3 = 6。
2. 分母相乘得到：3 * 4 = 12。
因此，(2/3) * (3/4) = 6/12，可以进一步化简得到 1/2。
四、分式的除法分式的除法是指将一个分式除以另一个分式的运算。
计算步骤如下：1. 将除法转化为乘法，即将被除数的分式乘以除数的倒数。
2. 将被除数的分子与除数的分子相乘，作为新分式的分子。
七年级数学分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算及应用教四年制知识精讲
七年级数学分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算及应用教四年制【同步教育信息】一. 本周教学内容：分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算及应用二. 教学重点、难点：重点：分式的加、减、乘、除混合运算。
难点：合理、巧妙地利用运算规律进行计算。
三. 教学要点：1. 运算规则：分式的加、减、乘、除混合运算，先作乘除运算再做加、减运算，遇括号先算括号内的。
【典型例题】[例1] 计算34121311222+++-⋅-+-+x x x x x x x 解：原式)1)(3()1()1)(1()3(112++-⋅-++-+=x x x x x x x 2)1(111+--+=x x x 22)1(2)1(11+=++-+=x x x x [例2] 计算x x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+ 分析：本题可有两种解法：（1）根据运算顺序先做括号内的减法，再做除法。
（2）先将除法转化为乘法，再利用分配律进行运算。
解法一： 原式x x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+= xx x x x x x 4])2(1)2(2[2-÷----+=4)2(44)2()1()2)(2(22-⋅--=-⋅----+=x x x x x x x x x x x x x 2)2(1-=x 解法二： 原式4)44122(22-⋅+----+=x x x x x x x x 22222222)2(1)4()2(4)4()2(4)4()2()1()4)(2(24441422-=---=--+--=------+=-⋅+----⋅-+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x [例3] nm m n m n m m n n m +÷-++÷-1)]11()()[( 解：原式mn mn n m m n m mn n m +⋅-⋅++⋅-=1]1[22 mn m mn mn m n m mn mn n m m mn n m -=+⋅+-=+⋅-+-=1)1)((1))(([例4] )1()2(222222----÷+-++y x y y x x y x x y xy x x 解：原式2222222)()()(yx y x y x y x y x y x x x -+-+-÷++-= yx y x xy y x y x xy +-=--⋅+-=222)([例5] 23322)]}11([)({11y x y x y yx y x x x -÷+⋅+-÷+ 解：原式222]})([))(())(({11x y y xy x y y xy x y x y x y x x x -⋅+⋅+-+-+÷+= 22222})()({11x y y xy x yxy x y x x x -+-⋅+--÷+= 2)(11x x-÷+= 22111xx x x +=+= [例6] 如果85,43,2413===c b a ，那么)111()(c b a ab ca bc ++⋅++)111(222cb a abc ++-的值是多少？ 解：∵85,43,2413===c b a 原式222222222)(c b a b a a c c b abc abc ab ca bc ab ca bc ++⋅-++⋅++= 653)85432413(2)(2)(2)()(2222222222=++=++=++=++-++=c b a abcab c ac b bc a abcb a ac c b ab ca bc[例7] 已知c x y z b z x y a z y x =+=+=+,,，求证：1111=+++++c c b b a a 。
分式的加减乘除运算法则
分数加减法的注意事项
加减法运算中，注意符号的变化
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分母不同时，需要先通分，再相 加减
加减法运算后，注意结果的化简
02
分式的乘法
分子乘分子，分母乘分母
分式的乘法法则： 分子乘分子，分 母乘分母
示例：(a/b) * (c/d) = (ac)/(bd)
注意事项：确保 分母不为零，否 则分式无意义
应用：解决涉及 分式乘法的实际 问题
分数乘法的注意事项
分数乘以分数，分子乘以分子， 分母乘以分母
分数乘以整数，分数乘以整数， 分母不变
分数乘以分数，结果可能为假 分数，需要化为带分数或整数
分数乘以分数，结果可能为负 数，需要注意符号的变化
03
分式的除法
乘倒数法
定义：两个分式 相除，分子分母 分别相乘，再相 除
添加标题
添加标题
分子分母同时乘以或除以一个不 为零的数，分式的值不变
分式除法中，如果分子和分母有 公因式，可以先约分再计算
04
分式运算的注意事项
约分和通分的运用
约分：将分子和 分母同时除以它 们的最大公约数， 以简化分式
通分：将两个或 多个分式化为相 同分母的分式， 以便进行加减运 算
注意事项：在进 行约分和通分时 ，要确保分式的 值不变
分式的加减乘除运算法 则
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
目录
01
分式的加减法
02
分式的乘法
03
分式的除法
04
分式运算的注意事项
01
分式的加减法
定义：分母相同的两个或多个分 式相加减
分式运算分式的加减运算
分式运算分式的加减运算分式运算——分式的加减运算在数学中，分式是一种表达数值的形式，它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的单位数量，分母表示每个单位的数量。
分式的加减运算是我们学习分式的基础，本文将详细介绍分式的加减运算方法。
一、分式的加法运算分式的加法运算是指将两个分式相加得到一个新的分式的过程。
下面我们来具体说明分式的加法运算方法。
1. 分母相同的分式相加如果两个分式的分母相同，那么我们只需要将它们的分子相加得到新的分式的分子，再将对应的分母保持不变即可。
例如，对于分式 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{4}{5}$，它们的分母相同，因此可以直接将它们的分子相加得到新的分式，即 $\frac{3}{5} +\frac{4}{5} = \frac{7}{5}$。
2. 分母不同的分式相加如果两个分式的分母不同，那么我们首先需要将它们的分母化为相同的分母，然后再将它们的分子相加得到新的分式。
例如，对于分式 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{3}{4}$，它们的分母不同。
我们可以通过求最小公倍数的方法将它们的分母化为相同的分母。
最小公倍数为4，因此可以将分式 $\frac{1}{2}$ 化为 $\frac{2}{4}$，然后再将分子相加得到新的分式，即 $\frac{2}{4} + \frac{3}{4} =\frac{5}{4}$。
二、分式的减法运算分式的减法运算是指将一个分式减去另一个分式得到一个新的分式的过程。
下面我们来具体说明分式的减法运算方法。
1. 分母相同的分式相减如果两个分式的分母相同，那么我们只需要将它们的分子相减得到新的分式的分子，再将对应的分母保持不变即可。
例如，对于分式 $\frac{7}{9}$ 和 $\frac{2}{9}$，它们的分母相同，因此可以直接将它们的分子相减得到新的分式，即 $\frac{7}{9} -\frac{2}{9} = \frac{5}{9}$。
初中数学教案分式的加减乘除运算
初中数学教案分式的加减乘除运算初中数学教案：分式的加减乘除运算一、引言在数学学科中，分式的运算是初中阶段的重要内容之一。
分式的加、减、乘、除是我们日常生活和学习中经常会遇到的运算方式。
本教案将重点介绍初中数学中分式的加减乘除运算方法和规则。
二、分式的加法1.同分母分式的加法：对于两个分母相同的分式a/b和c/b，可以直接将其分子相加，分母保持不变，得到结果为(a+c)/b。
2.异分母分式的加法：对于两个分母不同的分式a/b和c/d，首先需要找到它们的公共分母（最小公倍数），将它们的分子化为公共分母对应的分数，然后分子相加，分母保持不变，得到结果。
三、分式的减法1.同分母分式的减法：对于两个分母相同的分式a/b和c/b，可以直接将其分子相减，分母保持不变，得到结果为(a-c)/b。
2.异分母分式的减法：对于两个分母不同的分式a/b和c/d，首先需要找到它们的公共分母（最小公倍数），将它们的分子化为公共分母对应的分数，然后分子相减，分母保持不变，得到结果。
四、分式的乘法分式的乘法是将两个分式相乘，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，然后对结果进行化简，得到最简形式的分数。
五、分式的除法分式的除法是将一个分式除以另一个分式，将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数（即分母与分子对调），这样得到的分子和分母的乘积即为结果。
六、例题与练习1. 分式加法例题：计算 3/4 + 5/6 = ?解答过程：由于两个分式的分母不同，需要找到它们的公共分母，即最小公倍数。
分母4和6的最小公倍数为12，因此将3/4和5/6化为同分母，得到分数: 9/12 + 10/12 = 19/12。
最终答案为19/12。
2. 分式乘法例题：计算 2/3 × 4/5 = ?解答过程：将分式的分子相乘，分母相乘，得到结果: 8/15。
最终答案为8/15。
七、总结与反思通过本教案的学习，我们了解了分式的加减乘除运算方法和规则。
分式的加减乘除混合运算
一、提出问题： 请问下面的运算过程对吗？
思考
1、分数的四则运算是如何进行的？
先乘方，再乘除，最后加减。 （有括号先算括号里的）
2、分式的四则运算又是如何进行的？
先乘方，再乘除，最后加减。 （有括号先算括号里的）
例题讲解
1 x 3 x2 2x 1
• 例1．计算
x 1 x2 1 x2 4x 3
• 解：原式 1 x 3 (x 1)2 （先因式分解， x 1 (x 1)( x 1) (x 3)( x 1) 便于约分）
1 x 1 x 1 (x 1)2
x 1 (x 1)2
x 1 (x 1)2
2-m
2m-4 ； 3-m
（2） xx2-+22x
-
x-1 x2-4x+4
x-4 ． x
练习
4、
5、
6、
小结
• 1．分式混合运算要注意顺序。 先乘方，再乘除，最后加减。 （有括号先算括号里的）
• 2．计算时要求步骤详细，每步能说出变形依据。
1 (x 1)2
（注意符号）
2 (x 1)2
• 例2 计算： ( 2a )2 1 a b b ab b 4
• 解：原式
• 例3．计算
x2
x 1
x4
(
)
x2 2x x2 4x 4 x
解：原式
练习：
（1） m+2+
5
分式的加减乘除
分式的加减乘除分式是数学中的一种常用表示方法，用于表示一个数与另一个数之间的比率关系。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
在本文中，我们将详细介绍分式的加减乘除运算。
一、分式的加法分式的加法是指将两个分式相加的运算。
我们可以通过以下步骤来完成分式的加法：Step 1：找到两个分式的公共分母。
Step 2：将两个分式的分子分别乘以对方的公共分母。
Step 3：将两个分式的分子相加，并将结果放在一个新的分子上。
Step 4：将两个分式的公共分母保持不变，并将结果放在一个新的分数上。
Step 5：将新的分子和分母进行约分，得到最简分数。
例如，我们有以下两个分式需要相加：1/3 + 2/5Step 1：两个分式的公共分母为15。
Step 2：将1/3乘以5/5，得到5/15；将2/5乘以3/3，得到6/15。
Step 3：5/15 + 6/15 = 11/15。
Step 4：保持公共分母为15。
Step 5：11/15已经是最简分数。
所以，1/3 + 2/5 = 11/15。
二、分式的减法分式的减法是指将一个分式减去另一个分式的运算。
我们可以通过以下步骤来完成分式的减法：Step 1：找到两个分式的公共分母。
Step 2：将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母。
Step 3：将第二个分式的分子乘以第一个分式的分母。
Step 4：将第一个分式的分子减去第二个分式的分子，并将结果放在一个新的分子上。
Step 5：将两个分式的公共分母保持不变，并将结果放在一个新的分数上。
Step 6：将新的分子和分母进行约分，得到最简分数。
例如，我们有以下两个分式需要相减：3/4 - 1/8Step 1：两个分式的公共分母为8。
Step 2：将3/4乘以2/2，得到6/8。
Step 3：将1/8乘以4/4，得到4/32。
Step 4：6/8 - 4/32 = 24/32 - 4/32 = 20/32。
Step 5：保持公共分母为32。
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分式的加减乘除综合应用
1．若x 等于它的倒数，则263x x x ---÷2356
x x x --+的值是（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．0
2、使分式
234
x a x +-的值等于零的条件是_________。
3．（学科综合题）使代数式33x x +-÷24x x +-有意义的x 的值是（ ） A ．x ≠3且x ≠-2 B ．x ≠3且x ≠4 C ．x ≠3且x ≠-3 D ．x ≠-2且x ≠3且x ≠4
4．一水池有甲乙两个进水管,若单独开甲、乙管各需要a 小时、b 小时可注满空池；现两管同时打开，那么注满空池的时间是（ ）
（A ）11a b + （B ）1ab （C ）1a b + （D ）ab a b
+ 5．汽车从甲地开往乙地，每小时行驶1v km ，t 小时可以到达，如果每小时多行驶2v km ，那么可以提前到达的小时数为 （ ）
（A ）212v t v v + （B ） 112v t v v + （C ）1212v v v v + （D ）1221
v t v t v v - 6．下列说法：①若a ≠0,m,n 是任意整数，则a m ．a n =a m+n ; ②若a 是有理数，m,n 是整数，且mn>0，则(a m )n =a mn ；
③若a ≠b 且ab ≠0，则(a+b)0=1；④若a 是自然数，则a -3．a 2=a -1．其中，正确的是（ ）．
（A ）① （B ）①② （C ）②③④ （D ）①②③④
7、4
25222--+--+x x x x x x 8、221212222---++--a a a a a a a 9、1221212222+--÷---+a a a a a a a
10、（技能题）计算：11x +-231x x +-·222143x x x x -+++． 11、化简352242x x x x -⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭
12．x x x x x x 1)113(2-⋅+-- ，其中22-=x 13求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-11112x x x x ，其中12+=x
14）（222
24244y x y
x y xy x -÷++- 其中x=1，y=1
15、3,3
2,1)()2(222222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中
16、（2005沈阳）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-÷⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+--222211y xy x y y x y x ，其中21,21-=+=y x
17.已知两个分式A= 4
42-x ， B=x x -++2121 其中x ≠±2下面有三个结论①A=B ②A 、B 为倒数 ③A 、B 互为相反数，请问哪个正确？为什么？
18．有一道题“先化简，再求值： 2221()244
x x x x x -+÷+-- 其中，x=-3”小玲做题时把“x=-3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
19、 已知
2
1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ,求A. B 的值。
20、已知1111
12222+-+-÷-+-=x x x x x x x y ，试说明在等号右边代数式有意义的条件下，不论x 为何值，y 的值不变。
21、先化简,再选择使原式有意义而你喜欢的数代入求值.
2
132446222--+-⋅+-+x x x x x x x
22、有一道题“先化简,再求值:4
1)4422(22-÷-++-x x x x x ,其中x=3-.”小玲做题时把“x=3-”错抄成了“x=3”,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事?
23)4()4(y
x xy y x y x xy y x +-+÷-+- 其中x =3，y =2 24已知：2x-3y+z=0，且3x-2y-6z=0．求2222222x y z x y z +++-的值
2524)44122(
22+-÷++--+-a a a a a a a a ，其中a 满足0122=-+a a。