【附20套高考模拟试题】2020届甘肃省兰州市高考数学模拟试卷含答案

2020届甘肃省兰州市高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）

A ．362π-

B ．364π-

C ．482π-

D ．484π- 2．执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为(

)

A ．4

B ．5

C ．7

D ．9

3．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC V 22

23)a c b +-，周长为6，则b 的最小值是（ ）

A ．2

B 3

C ．3

D ．433

4．已知实数,x y 满足

0{

20

x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )

A ．-2

B ．-1

C ．1

D ．2

5．已知抛物线1C ：2

2(0)y px p =>的焦点F 为双曲线2C ：2

2

13

y x -=的顶点，过点F 的直线与抛物

线1C 相交于M 、N 两点，点A 在x 轴上，且满足8MN =，若AM AN =，则AMN ?的面积为( )

A ．36

B ．63

C ．62

D ．82

6．若二项式()n

x x

-

的展开式中第m 项为常数项，则m ，n 应满足（ ） A ．23(1)n m =-

B ．23n m =

C ．23(1)n m =+

D ．2n m = 7．复数21i

z i

+=

-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =

B ．z 的共轭复数为

31+22

i C ．z 的实部与虚部之和为1

D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限

8．某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。被加工为罐头的新芒果最多为()1f kg ，最少为()2f kg ，则下列坐标图最能准确描述1f 、2f 分别与n 的关系是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．函数()2sin()(0)3

f x x π

ωω=+

>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）

A ．[2,4]ππ

B ．

9[2,

)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ

10．近年来.随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧，我国经济发展的“人口红利”在逐渐消退，在当前形势下，很多二线城市开始了“抢人大战”，自2018年起，像西安、南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前，至2019年发布各种人才引进与落户等政策的城市已经有16个。某二线城市与2018年初制定人才引进与落户新政（即放宽政策，以下简称新政）：硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给与的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可

以落户。高中及以下学历人员在当地工作10年以上可以落户。新政执行一年，2018年全年新增落户人口较2017年全年增加了一倍，为了深入了解新增落户人口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年（即2017年）与新政执行一年（即2018年）新增落户人口学历构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中错误的是（）

A．新政实施后，新增落户人员中本科生已经超过半数

B．新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少

C．新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响

D．新政对专科生在该市落实起到了积极的影响

11．函数的图象大致为（）

A．B．

C．D．

12．AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于AQI时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据.则下列叙述正确的是（）

A．这12天的AQI的中位数是90

B ．12天中超过7天空气质量为“优良”

C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好

D ．这12天的AQI 的平均值为100

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．由0,1,2,3,4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位自然数，共有_________个。

14．已知,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，若23b =，三内角,,A B C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于__________．

15．已知

1112100.2U V R I A =

==Ω，则5a =______，4a =_______．

16．过抛物线

2(0)y mx m =>的焦点F 作斜率为22的直线交抛物线于A 、B 两点，以AB 为直径的圆与准线l 有公共点M ，若||2MF =，则||AB =_______．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知过点()4,0D 的直线l 与椭圆22

:14x C y +=交于不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其中120

y y ≠，O 为坐标原点.若

10

x =，求OAB ?的面积；在x 轴上是否存在定点T ，使得直线TA 与TB 的

斜率互为相反数.

18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，

1

1,902

AB BC AD BAD ABC ==

=∠=∠=?. 证明：PD AB ⊥；点M 在棱PC 上，PM PC λ=u u u u v u u u v

且若二面角M -AB-D

的余弦值为21

7，求实数λ的值.

19．（12分）已知椭圆E 的方程为2

22

1x y a +=，点A 为长轴的右端点．,B C 为椭圆E 上关于原点对称的

两点．直线AB 与直线AC 的斜率

AB AC

k k 和满足：

1

2AB AC k k =-

g ．求椭圆E 的标准方程；若直线

:l y kx t =+与圆

222

3x y +=

相切，且与椭圆E 相交于,M N 两点，求证：以线段MN 为直径的圆恒过原

20．（12分）已知函数

Ⅰ求的最小正周期及单调递增区间；

Ⅱ求在区间上的最大值．

21．（12分）如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，，点是棱上的动点.

求证：平面平面；当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.

22．（10分）已知等差数列{}

n

a

的公差d>0，其前n项和为24358

8,,,

n

S a a a a a

+=

，且

成等比数列．求

数列{}

n

a

的通项公式；令1

1

n

n n

b

a a

+

=

?

，求数列

{}

n

b

的前n项和n

T.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

2．D

3．A

4．C

5．D

6．A

7．D

8．A

9．C

10．B

11．A

12．C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．20

15．132 5

32-

16．3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）4

5

（2）在x 轴上存在定点(1,0)T ，使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数. 【解析】 【分析】

（1）由题意不妨设点A(0,1),写出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得点B 坐标，根据面积公式即可得结果；（2）设过点D 的直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理0TA TB k k +=化简，即可得到定点T 的坐标. 【详解】

(1)当10x =时，()0,1A 或()0,1A -，

由对称性，不妨令()0,1A ，此时直线l ：440x y +-=，

联立22

44044

x y x y +-=??

+=?，消去x 整理得2

5830y y -+=， 解得11y =，285

y =， 故83,55B ?? ???

.

所以OAB ?的面积为

1841255

??=. （2）显然直线l 的斜率不为0，设直线l ：4x my =+，

联立22

444

x my x y =+??

+=?，消去x 整理得()22

48120m y my +++= 所以(

)

2

2

6441240m m ?=-?+>，即212m >，

12284m y y m +=-

+，12

212

4

y y m =+， 设(),0T t ，则()()()()

1221121212TA TB y x t y x t y y

k k x t x t x t x t -+-+=

+=---- ()()

()()

12121224my y t y y x t x t +-+=

--

因为直线TA 与TB 的斜率互为相反数，所以0TA TB k k +=，

即()()()()1212222

8112824240444

m t m

my y t y y m t m m m -+-+=?

+-?==+++， 故1t =，故在x 轴上存在定点()1,0T ，使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数. 【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲

线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 18．（1）详见解析；（2）1

3

. 【解析】 【分析】

（1）取AD 的中点O ，连OC,OP ，可证PO AD ⊥，可得PO ABCD 平面⊥，从而BA PO ⊥，再证明

AB PAD ⊥平面，即可得证（2）分别以OC,OD,OP 为,,x y z 轴轴轴建立空间直角坐标系O xyz -，计

算平面ABM 和平面ABD 的法向量，利用其夹角的余弦公式即可求出. 【详解】

（1）证明：取AD 的中点O ，连OC,OP

∵? PAD 为等边三角形，且O 是边AD 的中点 ∴PO AD ⊥

∵平面PAD ⊥底面ABCD ，且它们的交线为AD ∴PO ABCD 平面⊥ ∴BA PO ⊥

∵,BA AD AD PO O 且⊥?= ∴AB PAD ⊥平面 ∴PD AB ⊥

(2)分别以OC,OD,OP 为,,x y z 轴轴轴建立空间直角坐标系O xyz -， 则()()(()0,1,0,1,1,0,3,1,0,0A B P C --

∵((1,0,3,3PC OP =-=u u u v u u u v ∴()

,0,3PM PC λλλ==-u u u u v u u u v

∴()

33OM OP PM u u u u v u u u v u u u u v

λλ=+=,即：()

33M λλ

设(),,m x y z =v ，且m v

是平面ABM 的一个法向量，

∵(

)()

1,0,0,AB AM λ==u u u v u u u u v

∴)010x x y z λλ=??

?++-=??

取()

m =v

而平面ABD

的一个法向量为(OP =u u u v

∴

cos ,7m OP =

=

u u u

v v

∴15

33λλ=

=或∵01λ<< ∴13

λ=

【点睛】

本题主要考查了线线垂直、线面垂直的判定与性质，二面角的求法，属于中档题.

19．（1）2

212

x y +=（2）见证明

【解析】 【分析】

（1）由1

·

2AB AC k k =-可得2a 的值，从而得到椭圆E 的标准方程； （2）原问题等价于0OM ON ?=u u u u v u u u v

，联立方程，利用韦达定理即可得到结果. 【详解】

解：（1）设()00,B x y 则()00,C x y --

由220021x y a +=得，2222

00022

1x a x y a a

-=-= 由12AB AC

k k ?=-，即0000

12y y x a x a -?=----得，222002a x y -=

所以2222

002

2a x a x a --=，所以22a = 即椭圆E 的标准方程为：2

212

x y +=

（2）设()()1122,,,M x y N x y

由2

212x y y kx t ?+=???=+?得： ()222124220k x ktx t +++-= 2121222

422

,1212kt t x x x x k k --+==

++ ()()()2

2

12121212y y kx t kx t k x x kt x x t =++=+++ (

)2222

222

2

2

2

2242121212k t k t

t k t k k k ---=

++=+++

又l 与圆C 相切，所以261t k

=+即2

2231t k =+ 所以222

12122

22212t t k OM ON x x y y k

-+-?=+=+u u u u v u u u v (

)()()22

2

2

2

2

321212101212t k k k k k -++-+=

==++

所以，OM ON ⊥u u u u v u u u v

，即090MON ∠=

所以，以线段MN 为直径的圆经过原点. 【点睛】

圆锥曲线中定点问题的常见解法

（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 20．Ⅰ最小正周期，单调递增区间为

，

；Ⅱ.

【解析】 【分析】

Ⅰ利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简，由周期公式计算得

的最小正周期，由，

可解得函数

的单调增区间；Ⅱ由的范围求出

的范围，进一步求

出的范围，从而可得结果．

【详解】 Ⅰ

．

的最小正周期，

令

，

，

得，，

的单调递增区间为，；

Ⅱ时，，

，

所以的最大值为2，

在区间上的最大值为3．

【点睛】

本题考查正弦函数的周期性及单调性，考查了正弦函数的值域，属于基础题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；

21．（I）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由底面可得．取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，于是得到平面，根据面面垂直的判定可得所证结论．（Ⅱ）取中点，连接，可证得，建立空间直角坐标系．然后根据向量的共线得到点的坐标，再根据线段最短得到点的位置，进而得到．求出平面的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求．

【详解】

（Ⅰ）证明：∵底面，底面，

∴．

取的中点，连接，

∵是等边三角形，，

∴，，

∴点共线，从而得，

又，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.