高一数学两角和与差的正弦、余弦、正切知识精讲
高一数学两角和与差的正弦、余弦、正切知识精讲
高一数学两角和与差的正弦、余弦、正切知识精讲【本讲主要内容】两角和与差的正弦、余弦、正切【知识掌握】 【知识点精析】1. 两角和与差的三角函数公式 sin()sin cos cos sin ()αβαβαβαβ±±±=Scos()cos cos sin sin ()αβαβαβαβ±±=+Ctan()tan tan tan tan ()αβαβαβαβ±±±=+1T2. 两角和的余弦与正弦公式是本章各类公式的基础，在这两个公式中，两角和的余弦公式又是基础，因为两角和的正弦公式是它与诱导公式导出的。
3. 公式S C αβαβ±±，具有一般性，即α、β可为任意角，通过对S C αβαβ±±，展开式进行比较，可总结出规律：S αβ±的展开式是“异名同号”；C αβ±的展开式是“同名异号”。
公式T αβ±也具有一般性，但应明确：公式T αβ±是在αππβππ≠，≠k k ++22，αβππ±≠k +2时成立，否则不成立。
4. 注意公式的逆用或变形应用 例如：114+-=+tan tan tan()ααπα，114-+=-tan tan tan()ααπαtan tan tan()(tan tan )αβαβαβ+=+-1 tan tan tan()(tan tan )αβαβαβ-=-+1 5. 在公式的应用中还要注意“角的演变”规律 例如：2ααβαβ=++-()()；βαβααβαβαβαβαβ=+-+=++=+--()()；等等2226. 重要结论将a b sin cos αα+化为一个角的一种三角函数形式 解：a b a b a a bb a bsin cos (sin cos )αααα+=++++222222令a a bb a b2222+=+=cos sin ϕϕ，，则：a b a b a b sin cos (sin cos cos sin )sin()αααϕαϕαϕ+=++=++2222（其中ϕ角所在象限由a ，b 符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ba确定） 注意：将a b cos sin αα+化为一个角的一种三角函数形式与本题解法，类似本题解法具有一般性，并且有记忆价值，它是解答此类问题的基础。
两角和与差的正弦余弦和正切公式
两角和与差的正弦余弦和正切公式1.两角和的正弦公式：sin(a+b) = sinacosb + cosasinb这个公式表示两个角的正弦之和等于前者的正弦与后者的余弦之积加上前者的余弦与后者的正弦之积。
证明：根据三角恒等式和万能角公式，我们可以得到：sin(a+b) = sin[(a)+(b)]= sin[(a)cos(b) + (b)cos(a)]= sin[(a)cos(b)] + sin[(b)cos(a)]= sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)这就是两角和的正弦公式。
2.两角和的余弦公式：cos(a+b) = cosacosb - sinasinb这个公式表示两个角的余弦之和等于前者的余弦与后者的余弦之积减去前者的正弦与后者的正弦之积。
证明：同样，根据三角恒等式和万能角公式，我们可以得到：cos(a+b) = cos[(a)+(b)]= cos[(a)cos(b) - (b)sin(a)]= cos[(a)cos(b)] - sin[(a)sin(b)]= cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)这就是两角和的余弦公式。
3.两角和的正切公式：tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana*tanb)这个公式表示两个角的正切之和等于两角的正切之和除以1减去两角的正切之积。
证明：我们可以使用两角和的正弦和余弦公式来推导两角和的正切公式。
首先，根据正切的定义tan(a+b) = sin(a+b) / cos(a+b)然后，代入两角和的正弦公式和余弦公式的表达式，我们有：tan(a+b) = (sinacosb + cosasinb) / (cosacosb - sinasinb)接下来，我们对分子和分母同时除以cosacosb，得到：tan(a+b) = (sin(a) + tana) / (1 - sin(a)tanb)最后，再将分子中的sin(a)替换为sin(a)/cosa，我们可以得到：tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana*tanb)这就是两角和的正切公式。
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(
)
A．M<N<P B．N<M<P
C．P<M<N D．P<N<M
答案：C
(2)[2023·河北石家庄模拟]已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin
7
sin (α＋β)＝________．
18
4
解析：由于sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝ ，
3
16
故(sin α＋cos β)2＝1，(cos α＋sin β)2＝ ，
5
6
6
100
11
D．－
100
答案：B
π
π
π
π
π
π
解析：因为cos ( ＋α)cos ( －α)＝(cos cos α－sin ·sin α)·(cos cos α＋sin sin
6
6
6
6
6
6
3
1
3
1
3
1
3
1
＝( cos α－ sin α)·( cos α＋ sin α)＝ cos2α－ sin2α＝ cos2α－ (1－cos2α)
sin αcos β±cos αsin β
(1)sin (α±β)＝________________．
(2)cos (α±β)＝________________．
cos αcos β∓sinαsinβ
tan ±tan
1∓tantan (α±β)＝ Nhomakorabea_________．
(3)tan
2 + 2 sin（x＋φ）
23
解析：(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 1°＋tan 44°＋tan 1°tan 44°＝1＋tan 1°tan
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
2
(sin
2
A.a>b>c
C.c>a>b
(2)已知
56°-cos 56°),c=
1-ta n 2 39°
,则 a,b,c 的大小关系是(
1+ta n 2 39°
B.b>a>c
D.a>c>b
π
cos(α-6 )+sin
4 3
α= 5 ,则
π
si(nα+6 )=
.
)
答案 (1)D
4
(2)
5
解析 (1)a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°
1
D.
2
.
答案 (1)B (2)D (3) 3
解析 (1)根据两角和的正弦公式展开得 sin
3
θ= sin
2
3
θ+ cos
2
θ=1,即
π
3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π
3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
所以 cos(α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin[(α＋ β )－α]
＝sin(α＋ β )cos α－cos (α＋ β )sin α
＝5143×17－－1114×4 7 3＝
3 2.
又因为 0＜ β ＜π2，所以 β ＝π3.
[迁移探究] (变换条件)若把本例中的“0＜ β＜π2” 改为“π2＜ β ＜π”，求角 β 的值．
解：因为 0＜α＜π2，cos α＝17，所以 sin α＝473. 又因为π2＜ β ＜π，所以π2＜α＋ β ＜32π. 因为 sin(α＋ β )＝5143，所以 cos (α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin [(α＋ β )－α]＝ sin(α＋ β )cos α－cos(α＋ β )sin α＝ 5143×17－－1114×473＝ 23. 又因为π2＜ β ＜π，所以 β＝23π.
归纳升华 1．(1)逆用两角和的正弦公式可得：asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋θ )；(2)将含有 sin ωx，cos ωx 的一次式 子化简成 Asin(ωx＋φ )的形式，为进一步研究函数的性质 提供了方便．
2．与特殊角有关的几个结论： sin x±cos x＝ 2sinx±π4； sin x± 3cos x＝2sinx±π3＝2cosx±π6.
2.两角和与差的正切公式
名称
公式
使用条件
两角和的 tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋π2
正切
tan α＋tanβ _1_－__ta_n__α_t_a_n_β__ (k∈Z)
两角差的 正切
tan(α－β)＝ tan α－tanβ
α，β，α－β≠kπ＋π2
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
cos
12
(α－β)＝ ，
13
sin
3
(α＋β)＝－ ，则
5
π
3π
3π
π
(2)∵ ＜β ＜ ，∴－ ＜－β ＜－ .
2
4
4
2
π
3π
π
π
又∵ ＜α＜ ，∴－ ＜α－β ＜ .
2
4
4
4
π
∵α＞β，∴α－β＞0，∴0＜α－β ＜ .
4
∵ cos
12
(α－β)＝ ，∴
13
sin (α－β)＝ 1 −
144
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[学习要求] 1.会推导两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推
导出两角差的正弦、正切公式.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1. cos (α－β)＝ cos α cos β＋ sin α sin β .
5
＝ .
169
13
cos 2α的
π
3π
π
3π
3π
∵ ＜α＜ ， ＜β＜ ，∴π＜α＋β＜ .
2
4
2
4
2
∵ sin
3
(α＋β)＝－ ，∴
5
cos (α＋β)＝－ 1 −
9
4
＝－ ，
25
5
∴ cos 2α＝ cos [(α－β)＋(α＋β)]＝ cos (α－β) cos (α＋β)－
sin (α－β) sin
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高一数学两角和与差的正弦、余弦、正切【本讲主要内容】两角和与差的正弦、余弦、正切【知识掌握】 【知识点精析】1. 两角和与差的三角函数公式 sin()sin cos cos sin ()αβαβαβαβ±±±=Scos()cos cos sin sin ()αβαβαβαβ±±=+Ctan()tan tan tan tan ()αβαβαβαβ±±±=+1T2. 两角和的余弦与正弦公式是本章各类公式的基础，在这两个公式中，两角和的余弦公式又是基础，因为两角和的正弦公式是它与诱导公式导出的。
3. 公式S C αβαβ±±，具有一般性，即α、β可为任意角，通过对S C αβαβ±±，展开式进行比较，可总结出规律：S αβ±的展开式是“异名同号”；C αβ±的展开式是“同名异号”。
公式T αβ±也具有一般性，但应明确：公式T αβ±是在αππβππ≠，≠k k ++22，αβππ±≠k +2时成立，否则不成立。
4. 注意公式的逆用或变形应用 例如：114+-=+tan tan tan()ααπα，114-+=-tan tan tan()ααπαtan tan tan()(tan tan )αβαβαβ+=+-1 tan tan tan()(tan tan )αβαβαβ-=-+1 5. 在公式的应用中还要注意“角的演变”规律 例如：2ααβαβ=++-()()；βαβααβαβαβαβαβ=+-+=++=+--()()；等等2226. 重要结论将a b sin cos αα+化为一个角的一种三角函数形式 解：a b a b a a bb a bsin cos (sin cos )αααα+=++++222222令a a bb a b2222+=+=cos sin ϕϕ，，则：a b a b a b sin cos (sin cos cos sin )sin()αααϕαϕαϕ+=++=++2222（其中ϕ角所在象限由a ，b 符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ba确定） 注意：将a b cos sin αα+化为一个角的一种三角函数形式与本题解法，类似本题解法具有一般性，并且有记忆价值，它是解答此类问题的基础。
例如：cos sin cos()x x x +=-24π【解题方法指导】例1. 已知023545<<<<=+=-απβπααβ，，sin cos() 求：sin β分析：本题运用角的演变关系求解。
根据已知中的角和欲求式子中的角的形式考虑，设βαβα=+-()解：∵，，∴023545<<==απααsin cos∵，∴±cos()sin()αβαβ+=-+=4535∴sin sin[()]βαβα=+-=+-+=--=sin()cos cos()sin ()αβααβα354545352425··或sin ()()β=---=354545350·· ∵πβπβ22425<<=，故sin评注：对角进行演变是解答三角函数问题的逻辑方法，如何对角进行演变？主要是对照条件和结论，同学们应该掌握常见的角的演变形式（前面已介绍）。
再有解本题时，很容易忽略对角的范围的确定，若漏掉πβπ2<<这一条件，就会得出sin β=0或sin β=2425两组解。
例2. 计算：（1）175175+-tan tan °°（2）tan tan tan tan 204032040°°°·°++分析：逆向使用公式，变形使用公式是化简求值常用的方法，熟练地掌握公式是解决此类问题的关键。
（1）解法一：tan tan()tan tan tan tan 75453045301453013313323︒=︒+︒=︒+︒-︒︒=+-=+ ∴17517512312333132323+︒-︒=++--=+--=-=-tan tan解法二：175175457514575+︒-︒=︒+︒-︒︒tan tan tan tan tan tan ·=︒+︒=︒=-︒=-tan()tan tan 4575120603（2）解：∵·tan()tan tan tan tan 2040204012040︒+︒=︒+︒-︒︒∴tan tan 2040︒+︒=︒+︒-︒︒=︒-︒︒=-︒︒=-︒︒tan()(tan tan )tan (tan tan )(tan tan )tan tan 2040120406012040312040332040···∴tan tan tan tan 2040320403︒+︒+︒︒=评述：（1）题中解法一是正用公式T αβ+，使问题得到解决，但显得比较烦琐。
解法二是通过变换，凑出了两角和的正切公式形式，逆用公式T αβ+使问题得以解决。
（2）题是利用公式tan()tan tan tan tan a +=+-βαβαβ1的变形tan tan tan()(tan tan )αβαβαβ+=+-·1以后在涉及到两正切值的和与两正切值的积的问题中常用此变形。
还需要说明的是：在正用、逆用、变形应用公式T αβ±解题时，由于所求的式子与公式有一定距离，应先变形、整理，再应用公式。
例 3. 已知方程x mx m m 243101+++=>()的两根分别为tan tan αβ，，且αβππ、，∈-()22求sin ()sin()cos()cos ()222αβαβαβαβ++++++的值。
分析：本题考查了两角和三角函数公式以及同角三角函数关系式的应用。
解：由韦达定理得tan tan tan tan αβαβ+=-=+⎧⎨⎩431mm ·∴tan()tan tan tan tan αβαβαβ+=+-=---=1413143m m∴sin ()sin()cos()cos ()222αβαβαβαβ++++++=+++++++++=++++++=+++=sin ()sin()cos()cos ()sin ()cos ()tan ()tan()tan ()()()22222222221434324314625αβαβαβαβαβαβαβαβαβ评述：整个解题过程就是统一角、统一函数的过程。
其中由tan()αβ+=43，如何求sin ()sin()cos()cos ()222αβαβαβαβ++++++的值是难点，而将所求式子转化为用tan()αβ+表示的式子是关键，这就需要将所求式子看成是分母为“1”的分式，再把“1”用sin ()cos ()22αβαβ+++代换将分子、分母都变为二次齐次式，然后将分子、分母同时除以cos ()2αβ+，这样就得到了用tan()αβ+表示的式子。
问题得以解决。
【考点突破】【考点指要】两角和与差的三角函数是三角的重要组成部分，高考试题中以考查学生利用这些公式进行恒等变形的技能和一定的逻辑推理能力及运算能力为主，题型有选择题，填空题，以容易题为主，所占分值一般是5分。
但观察近两年的高考题，不难发现，通过一个题目考查多个知识点的高考题呈上升趋势。
例如：已知函数f x x x()sin()cos =--1224π（I ）求f(x)的定义域。
（II ）设α是第四象限角，且tan α=-43，求f ()α的值。
这道题就同时考查了“三角函数定义域”；“三角函数值的符号”；“同角三角函数基本关系式”；“两角和与差的三角函数公式”；“倍角公式”等多个知识点。
以解答题形式出现，属于中档题分值占12分。
（本题在下一讲例题分析中给出详解）本讲内容在高考中主要考查：三角变换的基本问题是利用三角公式进行三角函数的化简，求值及三角恒等式的证明。
历年高考中，在考查三角公式的掌握和运用的同时，特别注重的是考查学生思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。
解决“两角和与差的三角函数”问题的基本思路和方法：①了解用两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：化简题，求值题，证明题。
②对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。
③掌握变角解题的规律，学会一些拆角、凑角的技巧。
④领悟公式与其它知识的结合使用。
【典型例题分析】例4. 已知αβππαββπαπ、，，，，则∈+=--=+()sin()sin()cos()3435412134＝______________。
分析：观察已知条件中角的结构和所求式子的角的结构，本题应这样配凑角 απαββπ+=+--44()() 解：∵αβππαβππβπππ、，，∴，，，∈+∈-∈()()()343224234∵sin()cos()αβαβ+=-+=3545，∴sin()cos()βπβπ-=-=-412134513，∴∴cos()cos[()()]απαββπ+=+--44=+-++-=-+-=-cos()cos()sin()sin()()()()αββπαββπ44455133512135665×评注：本题主要考查两角差的三角函数，同时考查同角三角函数的基本关系和三角函数中的角的关系的变换。
在解题过程中，有些同学缺乏整体思维意识，不能从整体上把握αββπ+-，4，απ+4这些角，而是将已知三角函数式展开来做，越化越繁，导致最终半途而废。
例5. 已知锐角三角形ABC 中，sin()sin()A B A B +=-=3515， （I ）求证：tan tan A B =2（II ）设AB ＝3，求AB 边上的高 分析：∵tan tan sin cos cos sin A B A BA B=，所以将已知两式用两角和差公式展开，联立成方程组，整体解出sin cos A B ·与cos sin A B ·的值，再将两式相除，即可求解。
解：（I ）证明：∵sin()A B +=35，sin()A B -=15∴sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan A B A B A B A B A B A B A B +=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒=351525152 ∴tan tan A B =2（II ）解：∵三角形ABC 是锐角三角形，∴ππ2<+<A B而sin()tan()A B A B +=+=-3534，∴ 即tan tan tan tan A B A B +-=-134将tanA ＝2tanB 代入上式并整理得：24102tan tan B B --= 解得tan B =262±（舍去负值），得tan B =+262∴tan tan A B ==+226 设AB 边上的高为CD ，如图所示则AB AD DB CD A CD B CD=+=+=+tan tan 326又∵AB ＝3，∴CD =+26 所以AB 边上的高等于26+评述：本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力。