等比数列的性质含例题总结归纳
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题2、通项公式:4、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时，S n na in⑵当q 1时，5罟5、等比数列的判定方法:等比数列等比中项：a n 2a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0){a n }为等比数列通项公式：a nA B n A B 0{a n }为等比数列1、等比数列的定义:a n 1a n 2,且n N * ， q 称为公比n 1a naga iB n a i0,A B0，首项：a 1;公比：q推广：a na m qa nama n m — \ a m3、等比中项：（1）如果a, A, b 成等比数那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或A ab注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（（2）数列a n 是等比数列2 a n a n 1aq qA'B nA' ( A, B,A',B'为常数)(1) 用定义：对任意的都有a n 1qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0）{a n }为a n6、等比数列的证明方法:依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 17、等比数列的性质：(2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。
(3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。
特别的，当m n 2k 时，得2a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{a n}中，a1 a9 64, a3 a7 20, 求a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a i和q，可得an ；或注意到下标1 9 3 7，可以利用性质可求出a3、a y，再求a ii.总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1 ] {an}为等比数列，a仁3，a9=768,求a6。
等比数列定义知识点归纳总结
等比数列定义知识点归纳总结等比数列是数学中常见的一种数列形式，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对等比数列的定义、性质和应用进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。
比值常用字母q表示，称为公比。
换言之，一个数列满足an+1 = an * q的关系，其中an表示第n项，an+1表示第n+1项，q表示公比。
二、等比数列的性质1. 公比的影响：公比q的绝对值决定了等比数列的性质。
当|q|<1时，等比数列的值越来越小；当|q|>1时，等比数列的值越来越大；当q=1时，等比数列的值保持不变。
2. 通项公式：对于等比数列an，第n项的通项公式为an = a1 *q^(n-1)，其中a1为首项。
3. 公式推导：可以通过递归或数学归纳法得到等比数列的通项公式，进而求解数列中任意一项的值。
4. 前n项和：等比数列的前n项和（部分和）可用以下公式表示：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中a1为首项，q为公比。
三、等比数列的应用等比数列在诸多领域有广泛的应用，如金融、物理、工程等。
以下列举几个常见的应用场景：1. 财务投资：与利率相关的问题往往可以转化为等比数列问题，如计算定期存款每年的本息总额。
2. 自然科学：许多自然界的现象或物理规律可以用等比数列来描述，如累积衰减、分裂增殖等。
3. 几何问题：等比数列广泛应用于几何问题中，如计算等比数列构成的等边三角形的面积。
4. 数据分析：等比数列可用于分析一些数据序列或随机变量的增长规律，如人口增长、疾病传播等。
综上所述，等比数列是一种重要的数列形式，具有较广泛的应用价值。
通过对等比数列的定义、性质和应用的归纳总结，读者可更好地理解等比数列，并能在实际问题中灵活运用。
在解决问题时，读者可以根据题目给定的条件，利用等比数列的相关公式和性质进行推导和计算，以得到准确的结果。
等比数列的性质总结
等比数列的性质总结及经典例题1. 等比数列的前n 项和n S 公式：1 (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 2. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0nn a A BA B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列6. 等比数列的证明方法 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -=如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q…（公比为q ，中间项用a 表示）； 8. 等比数列的性质 (1) 当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a qq A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
初中数学知识归纳等比数列的计算和性质
初中数学知识归纳等比数列的计算和性质初中数学知识归纳：等比数列的计算和性质等比数列是数学中常见的数列形式，它具有一些独特的计算方法和性质。
在本文中，我们将对等比数列的计算和性质进行详细的归纳和总结。
一、等比数列的计算方法等比数列是指后一项与前一项的比等于同一个常数的数列。
常用的计算方法有如下几种：1. 求通项公式设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
我们可以通过求解通项公式来计算等比数列的任意一项。
通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)，其中^表示乘方运算。
举例来说，如果我们知道首项a=2，公比r=3，要求第5项an的值，我们可以使用通项公式计算得到：a5 = 2 * 3^(5-1)= 2 * 3^4= 2 * 3 * 3 * 3 * 3= 162因此，第5项an的值为162。
2. 求和公式等比数列的前n项和可以通过求解求和公式来计算。
求和公式可以表示为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项的和。
例如，如果我们知道首项a=1，公比r=2，要求前4项的和S4，我们可以使用求和公式计算得到：S4 = 1 * (1 - 2^4) / (1 - 2)= 1 * (1 - 16) / -1= (1 - 16) / -1= -15因此，前4项的和S4为-15。
3. 分割法分割法是等比数列计算中一个常用且简便的方法。
该方法适用于公比r为整数的等比数列。
具体步骤如下：（1）将等比数列分割为若干个部分，每个部分包括连续的几项。
（2）将每个部分的首项相乘，得到对应的连续几项的积。
（3）将各个部分的积相加，即可得到等比数列的前n项的和。
举例来说，如果我们要计算公比为2的等比数列前8项的和，可以使用分割法进行计算。
等比数列为：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128将等比数列分割为3个部分：(1, 2), (4, 8, 16), (32, 64, 128)计算各个部分的积：2, 512, 262144将各个部分的积相加：2 + 512 + 262144 = 262658因此，前8项的和为262658。
等比数列的性质总结
等比数列性质1. 等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠， 首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q -=， 从而得n mnma q a -=或n q =3. 等比中项（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅4. 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0nn a A BA B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式：()'',,','nnn n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列6. 等比数列的证明方法 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。
等比数列性质归纳总结
等比数列 （一） 主要知识：等比数列的充要条件:()1{}n a 是等比数列1n na q a +⇔=（q 为非零常数）； ()2{}n a 是等比数列n n a cq ⇔=（0,0c q ≠≠）()3{}n a 是等比数列212n n n a a a ++⇔=⋅()4{}n a 是等比数列n n S kq k ⇔=-（11a k q =-，0k ≠，1q ≠） （二）主要方法：1.涉及等比数列的基本概念的问题，常用基本量1,a q 来处理；2.已知三个数成等比数列时，可设这三个数依次为2,,a aq aq 或,,a a aq q ；四个数时设为3a q、aq、aq 、3aq3.等比数列的相关性质:()1若{}n a 是等比数列，则m n m n a a q -=⋅；()2若{}n a 是等比数列，,,,*m n p t N ∈，当m n p t +=+时，m n p t a a a a ⋅=⋅特别地，当2m n p +=时，2m n p a a a ⋅=()3若{}n a 是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；()4若{}n a 是等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则m S ,2m m S S - , 32m m S S -…成等比数列．()5两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n na b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． 【典型例题】例1、已知{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式；例2、在等比数列{}n a 中，318a a -=，64216a a -=，40n S =，求公比q 、1a 及n问题2．1.已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,n N ∈*,354657281a a a a a a ++=，则46a a +=2.在等比数列{}n a 中，32a =，5a m =，78a =，则m =.A 4±.B 5 .C 4- .D 43.在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a =.A 81 .B .C .D 2434.在83和272之间插入三个数，使五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积是 5.在等比数列{}n a 中，已知1231a a a ++=，4562a a a ++=-，则该数列前15项的和15S =6.在等比数列{an}中，a1＝2，前n 项和为Sn ，若数列{an ＋1}也是等比数列，则Sn 等于 ( ) A.2n ＋1－2 B.3n C.2n D.3n －17.在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q 的值为 ( )A.1B.－12C.1或－12D.－1或128.若等比数列{an}满足anan ＋1＝16n ，则公比为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.169．记等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．3310．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．18911．已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an 和前n 项和Sn.例3数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知11a =，12n n n a S n++=（1,2,3,n =⋅⋅⋅） 证明： 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，例4．已知数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，且142n n S a +=+()1,2,n =⋅⋅⋅，11a =.()1设12n n n b a a +=-()1,2,n =⋅⋅⋅，求证：数列{}n b 是等比数列；()2设2nn n a c =()1,2,n =⋅⋅⋅， 求证：{}n c 是等差数列；()3求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和公式n S变式训练(1)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，数列{bn}中，b1＝a1，bn ＝an －an －1 (n ≥2)，且an ＋Sn ＝n. ①设cn ＝an －1，求证：{cn}是等比数列； ②求数列{bn}的通项公式.(2)已知数列{an}的首项a1＝5，前n 项和为Sn ，且Sn ＋1＝2Sn ＋n ＋5，n ∈N*. ①证明数列{an ＋1}是等比数列； ②求{an}的通项公式以及Sn.(3)设数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝(n －1)Sn ＋2n(n ∈N*)． ①求a2，a3的值；②求证：数列{Sn ＋2}是等比数列．（四）巩固练习：1.在等比数列{}n a （*n N ∈）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为 .A 4122- .B 9122-.C 10122-.D 11122-2.已知a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是(),b c ， 则ad 等于 .A 3 .B 2 .C 1 .D 2-3.（07重庆）设{}n a 为公比1q >的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则20062007a a+=______．4.若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，*n N ∈），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则.A 甲是乙的充分条件但不是必要条件.B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 .C 甲是乙的充要条件 .D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.（07陕西）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，314n S =，则4n S 等于 .A 80 .B 30 .C 26 .D 166.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 .A 122n +- .B 3n .C 2n .D 31n -7.设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则q 的值为8.（07全国文Ⅱ）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，， 求{}n a 的通项公式．9.（07北京）数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123,,a a a 成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．10.（山东）设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a N ∈*． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．11.（06福建文）已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（Ⅰ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列。
高中数学总结归纳 等比数列的性质及应用
等比数列的性质及应用与等差数列一样，等比数列也有根据其概念或通项得出的一些重要性质，运用其性质可以使解题更为简便．一、若项数为3n 的等比数列(1)q ≠-前n 项和与前n 项积分别为nS '与n T '，次n 项和与次n 项积分别为2n S '与2n T '，最后n 项和与最后n 项积分别为3n S '与3n T '，则n S '，2n S '，3n S '成等比数列，n T '，2n T '，3n T '亦成等比数列．例1 已知一个等比数列的前n 项和为12，前2n 项和为48，求其前3n 项和．解：由题设，可知12n S '=，2481236n S '=-=， 22233610812n n n S S S ''∴==='． 故该数列前3n 项的和为10848156+=．例2 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10301070S S ==，，求40S ． 解：Q {}n a 成等比数列，10201030204030S S S S S S S ∴---，，，也成等比数列，即22010103020()()S S S S S -=-，解得2030S =或2020S =-（不合题意，舍去）．2302040302010()150S S S S S S +∴=+=-． 二、一般地，如果t k p m n r ，，，…，，，，…皆为自然数，且t k p m n r +++=+++……（两边的自然数个数相等），那么当{}n a 为等比数列时，有t kp m n r a a a a a a =···…···…． 例3 在等比数列{}n a 中，若99123992a a a a =···…·，求50a ． 解：19929849515050a a a a a a a a ====Q ··…··， 999912399502a a a a a ∴==···…·，502a ∴=．三、公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为mq （m 为等距离的项数之差）． 例4 在等比数列{}n a 中，若12341a a a a =···，131415168a a a a =···，求41424344a a a a ···． 解：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q ．设112341T a a a a ==···，4131415168T a a a a ==···， 34182T T q q ∴==⇒=．10101141424344121024T a a a a T q ∴====····．。
等比数列常考题型归纳总结很全面
等比数列及其前n 项和教学目标：1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。
2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。
知识回顾： 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。
用递推公式表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a ann =+1。
注意：等比数列的公比和首项都不为零。
（证明数列是等比数列的关键） 2．通项公式：等比数列的通项为：11-=n n q a a 。
推广：m n m n q a a -= 3．中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项；其中ab G =2。
4．等比数列的前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n5．等比数列项的性质（1）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则q p n m a a a a =；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a =2。
（2）除特殊情况外，,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。
n q q ='。
（其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0，但是当n 为奇数是是成立的）。
4、证明等比数列的方法（1）证：q a a nn =+1（常数）；（2）证：112·+-=n n na a a （2≥n ）. 考点分析考点一：等比数列基本量计算 例1、已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。
若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为54，求5S 。
例2、成等差数列的三项正数的和等于15，且这三个数加上2、5、13后成等比数列{}n b 中的543,,b b b 。
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一、等比数列基本概念： 1. 等比数列的定义：()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式：
()11110,0n n
n n a a a q q A B a q A B q
-==
=⋅⋅≠⋅≠， 首项：1a ；公比：q 注：当1q ≠时等比数列通项公式()1110n n n
n a a a q q A B A B q
-===⋅⋅≠是关于n 的带有
系数的指数类函数，底数为公比q ，若11,n q a na ==则. 3. 等比中项
(1) 如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
A ab =
或A =注: 同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数
(2) 数列{}n a 是等比数列⇔2
11n n n a a a -+=⋅ (11n n a a +-≠0)
二、等比数列的性质：
例 1. 在等比数列{}n a 中,320,2a q ==,
求6,n a a
例2. 等比数列{}n a ,121a a +=3,a +4a =9 则45a a += .
例3.等比数列{}n a 中,910111264a a a a ⋅⋅⋅=
则813a a ⋅= .
例4. 在等比数列{}n a 中, 0n a >, 24a a +
3546236a a a a +=, 则35a a +=
例5. 如果数列{}n a 是等比数列, 那么( )
A. 数列2
{}n a 是等比数列
B. 数列{2}n a
是等比数列 C. 数列{lg }n a 是等比数列 D. 数列{}n na 是等比数列
例. 已知四个实数中, 前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 中间两数之积为16, 收尾两数之积为128-, 求这四个数.
例6.等比数列{}n a 中, 154510,90,a a == 则60a = .
例7.在等比数列{}n a 中, 12330a a a ++=
789+120a a a +=,131415a a a ++=
例8. 在等比数列{}n a 中, 3453a a a ⋅⋅=
67824a a a ⋅⋅=,则91011a a a ⋅⋅=
例. 已知{}n a 的前n 项和为n S , 且满足
120(2)n n n a S S n -+⋅=≥, 112
a =
(1) 求证1
{}n
S 是等差数列 (2) 求{}n a 的通项公式.。