随机变量的方差
相互独立的随机变量的方差公式
相互独立的随机变量的方差公式在数学和统计学中，方差公式是研究概率分布的重要方法。
它可以描述一组数据的变化情况，是概率分布和统计模型研究中不可或缺的关键因素。
今天，我们就来学习一下相互独立随机变量的方差公式。
什么是方差？方差是众数和一般数之间的差异程度，可以从直观上说明一组数据的变化趋势。
从技术上讲，方差是随机变量与其均值之间的偏差平方和的期望值，也就是平方误差。
在数学和统计学中，它反映了概率分布的”稳定性”。
那么，相互独立的随机变量的方差公式是什么样的呢？对于随机变量的公式，一般假设它们是相互独立的，即出现一个随机变量的概率不会因为出现另一个随机变量而改变。
此时，相互独立的随机变量的方差公式如下：φ1 =x2x2/n其中，x1和x2为两个随机变量，n为变量的总数。
由此可见，通过计算方差，我们可以比较两个不同变量之间的差异程度，从而了解该变量的概率分布情况。
下面我们以一个实际的例子来理解一下相互独立的随机变量的方差公式。
请看一组随机变量的观测值：2，5，5，7，8。
假设它们是相互独立的，则可以得到它们的方差：φ1 = (2 + 5 + 5 + 7 + 8) - [(2 + 5 + 5 + 7 + 8)]/5= 65.4 - [(27]/5= 65.4 - 37.56= 27.84由此可以看出，这是一组数据的方差为27.84，这说明不同的随机变量之间存在较大的差异程度，有较大的变化趋势。
方差公式是一种衡量一组数据变化趋势的重要指标，其中相互独立的随机变量的方差公式尤为重要。
它可以帮助我们更好地了解概率分布情况，从而判断当前变量的取值范围。
对此，我们可以灵活运用，以达到更好的研究结果。
相互独立的随机变量的方差公式
相互独立的随机变量的方差公式相互独立的随机变量，是指两个或多个随机变量完全独立，即当其中一个随机变量发生变化时，另一个随机变量不会受到影响。
它也被称为“完全独立的随机变量”，是概率论中比较重要的概念。
如何用方差公式衡量相互独立的随机变量？方差公式可以用来衡量相互独立的随机变量，方差公式是指：当一组随机变量X1，X2，X3，……，Xn服从某一分布模型，其期望值为μ，则X1，X2，X3，……，Xn的方差公式可以定义为：σ^2=E[(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+...+(Xn-μ)^2]。
另外，如果有两个相互独立的随机变量X和Y，则它们的方差之和可以用如下的方式计算：σ^2X+σ^2Y=E[(X-μx)^2] + E[(Y-μY)^2]。
计算相互独立的随机变量的方差公式计算相互独立的随机变量的方差公式，可以使用以上提到的两个公式，即：σ^2=E[(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+...+(Xn-μ)^2]和σ^2X+σ^2Y=E[(X-μx)^2] + E[(Y-μY)^2]。
例如，如果有三个相互独立的随机变量X1, X2, X3，则方差公式为：σ^2=E[(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+(X3-μ)^2]。
又例如，如果有两个相互独立的随机变量X和Y，则它们的方差之和可以用公式σ^2X+^2Y=E[(X-μx)^2] + E[(Y-μY)^2]来计算。
相互独立的随机变量的方差公式的应用在统计学和概率论中，方差公式是计算分布和数据的偏差的重要参数。
它能够准确反映样本空间的分布情况。
进一步来讲，方差公式也可以用来计算相互独立的随机变量之间的关系。
例如，通过计算不同变量之间的方差比，我们可以比较这些变量之间的相关性。
另外，它还可以用来估计待检变量的方差，从而检验样本的变异性，这在实际的科学研究中也非常有用。
本文所介绍的方差公式对于研究相互独立的随机变量之间的关系也非常有用。
它能够帮助我们精确地计算和比较变量之间的差异，从而使实验结果更加准确。
随机变量的期望与方差
随机变量是概率论中非常重要的概念，它描述了一次随机试验中可能出现的各种结果及其对应的概率。
而随机变量的期望和方差是对这些结果的统计性质的度量。
首先，我们来看看随机变量的期望。
期望是对随机变量的平均值的度量，它表示了在多次随机试验中，随机变量的结果的平均表现。
对于离散型随机变量，期望可以用如下公式来计算：E(X) = Σ(x_i * p_i)其中，E(X)表示随机变量X的期望，x_i表示随机变量X可能的取值，p_i表示该取值出现的概率。
对于连续型随机变量，期望的计算方式稍有不同。
在这种情况下，期望可以用如下公式来计算：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X的取值，f(x)表示X的概率密度函数。
期望可以理解为随机变量的平均表现，它具有很多应用。
例如，在赌博中，我们可以用期望来判断一个赌局是否合理。
如果某个赌局的期望为负，意味着赌徒平均而言会亏损，此时赌徒应该避免参与这个赌局。
接下来，我们来看看随机变量的方差。
方差是对随机变量结果的离散程度的度量，它表示了多次随机试验中，随机变量结果与其期望之间的差异程度。
方差越大，表示结果的离散程度越大，反之亦然。
对于离散型随机变量，方差可以用如下公式来计算：Var(X) = Σ((x_i - E(X))^2 * p_i)其中，Var(X)表示随机变量X的方差，x_i表示随机变量X可能的取值，p_i表示该取值出现的概率。
对于连续型随机变量，方差的计算方式稍有不同。
在这种情况下，方差可以用如下公式来计算：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中，Var(X)表示随机变量X的方差，x表示随机变量X的取值，f(x)表示X的概率密度函数。
方差可以理解为随机变量结果的离散程度。
它具有很多应用。
例如，在金融领域，方差被广泛用于度量投资组合的风险。
一个投资组合的方差越大，意味着其回报的波动性越大，风险越高。
随机变量的方差的概念和概率意义
VUA
现在如果需要您从中选购一只，试问你会选择哪个厂家生产的产品? 如何刻画随机变量取值的波动性？
E(X・E(X)) E\X-E(X)\ E[X-E(X)]2
定义4. 3. 1 设X是随机变{[X- E(X)]2}
为X的方差. b (X) = J D(X)称为X的标准差或均方差.
VUA
二.常见分布的数学期望和方差
1. X~P(^),则 E(X) = D(X) = 2;
2. X~B(n, p),则 E(X) = np\
D(X) = nP(1 ~P)
3. X~N(p, a2),则 E(X)=卩;
D(X) = a2
4.均匀分布 E(X)=(b+a)/2 , D(X)=(b -a)2/12
5.指数分布
______________ i E (X) = 4D(X)=-
证明
VUA
三.方差的概率意义
1・方差刻划了随机变量X相对数学期望的偏离程度!
例 4.3.1 2.方差是随机变量X关于任何值的偏离程度的最小值!
厠
VUA
1. 8尸(人),则 E(X) = 2, D(X) = 2; E ( X 2)=萝 e A 寸k2 =e _x 萝”(k 一1* £o k! £i
(k -1)!
=e 一+仕入8(弋kk--^2+)!+e8~k0XkY--1^)-!
=e -勾 2 * “ + e - S e 2
=22 + 人 D(X) = E(X2)-[E(X)]2 顼 + 人一人2 =X
厠
VUA
例 4.3.1 证明 函数9(x) = E[(X - x尸],x G R，当x = E(X)时达到最小. 证明 (x) = E [(X - x )2] = E (X 2) - 2 xE (X) + x2 令 W(x) = - 2 E (X) + 2 x = 0,得到 x = E (X). 又•.•©"(x) x=E(X) = 2 >0，
随机变量方差的概念及性质
= ( n 2 n) p 2 + np.
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2
= ( n 2 n) p 2 + np ( np )2
= np(1 p ) ).
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k } =
λk
k!
e λ , k = 0,1,2,
π π 2 = 3π + 24 2 4 16
4 2
2
= 20 2π 2 .
2 0 例4 设 X ~ 1 1 3 2
1 3 , 求 D( 2 X 3 + 5). 1 1 12 12
解
D( 2 X 3 + 5) = D( 2 X 3 ) + D( 5)
= 4 D( X )
= E[ X E ( X )]2 + E[Y E (Y )]2 ± 2 E {[ X E ( X )][Y E (Y )]}
= D( X ) + D(Y ).
推广 若 X 1 , X 2 ,
D( X1 ± X 2 ±
, X n 相互独立 , 则有 + D( X n ).
± X n ) = D( X1 ) + D( X 2 ) +
= C E {[ X E ( X )] }
2 2
= C 2 D( X ).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则
D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y ).
证明
D( X ± Y ) = E {[( X ± Y ) E ( X ± Y )]2 } = E {[ X E ( X )] ± [Y E (Y )]}2
随机变量方差的定义及性质
02
CATALOGUE
方差的性质
方差的非负性
总结词
方差具有非负性，即对于任何随机变量X，其方差Var(X)总是非负的。
详细描述
方差的独立性
要点一
总结词
如果两个随机变量X和Y是独立的，那么Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
要点二
详细描述
这是方差的一个重要性质，表明如果两个随机变量相互独 立，那么它们的和的方差等于它们各自方差的和。这个性 质在概率论和统计学中非常重要，因为它允许我们通过独 立随机变量的方差来计算复合随机变量的方差。
度。
方差主要关注数据点的离散程度 ，而峰态则关注数据点的集中趋
势。
如果数据分布更加尖锐，即数据 点更加集中在平均值附近，则方 差可能会减小，因为数据点之间
的差异较小。
THANKS
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方差还可以表示为
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。这个公式可以用来计算方差，其中E(X^2)表示随机变量X的平方的期望值 ，E(X)表示随机变量X的期望值。
方差与期望值的关系
方差的大小与期望值有关。如果一个随机变量的期望值越大，其方差也越大；如果一个随机变量的期望值越小，其方差也越 小。
03
CATALOGUE
方差的应用
方差在统计学中的应用
描述数据分散程度
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，用于描述数 据的离散程度。
检验假设
在统计学中，方差分析（ANOVA）等方法用于检验 多个总体均值是否相等，从而判断假设是否成立。
随机变量的数学期望和方差
随机变量的数学期望和方差随机变量是概率论中的重要概念，用来描述一个随机事件可能取到的不同值及其对应的概率。
对于一个随机变量而言，数学期望和方差是常用的统计量，用于描述随机变量的平均水平和离散程度。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值，表示了随机变量在大量重复实验中的长期平均表现。
通常用E(X)或μ来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量X可能取到的值，P(X=x)为其对应的概率。
以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，点数可能取到1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等。
则计算掷骰子的数学期望为：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值与其数学期望的偏差的平方的平均值，用于衡量随机变量的离散程度。
通常用Var(X)或σ^2来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，其数学期望为3.5。
则计算掷骰子的方差为：Var(X) = (1-3.5)^2 ×1/6 + (2-3.5)^2 ×1/6 + (3-3.5)^2 ×1/6 + (4-3.5)^2 ×1/6 + (5-3.5)^2 ×1/6 + (6-3.5)^2 ×1/6 = 2.9167对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx方差的平方根被称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。
3.2随机变量的方差
一样的，还必须考虑这两个班级学生的两极分
化情况.为了反映随机变量的这种离散程度，我
们引入方差概念.
一、方差的概念
1．定义1 定义3.2.1 设 是一个随机变量，数学期望 E
2 为随机 存在，则称 E ( E ) E ( E ) 存在，如果
2
变量的方差,并记为. D 或Var
这个结论的充分性是显然的，下面证明必要性：
1 1 D 0 P( E 0) P( E ) P( E ) 0 n n 1 n n 1 1 2 n 1 ( ) n
由此知
P( E ) 0
更一般地，若 1 , 2
, n 两两独立，则
D1 n D1 D n
性质4 对任意的常数 C E ，则有 D E( C) 2 事实上 E ( C )2 E ( E E C ) 2
E ( E ) 2 2( E C ) E ( E ) ( E C ) 2 D ( E C ) 2 .
E 2
a
2 2 x a ab b x 2 p ( x)dx 4(b a ) a 3 2 2 2
(b a ) D E ( E ) . 12
7) 指数分布 设 ~ E( ) ，已知 E , 因为
E x p( x)dx x e dx x 2d (e x )
契贝晓夫不等式也可以表示成
P( a ) 1 D
2
由切比雪夫不等式看出， D 越小，事件 发生的概率越小， 越是集中在 的附近取值.由
此可见，方差刻划了随机变量取值的离散程度.
离散型随机变量方差两个公式
离散型随机变量方差两个公式
1.方差的定义公式：
方差定义为随机变量与其均值之间的偏差的平方的期望值。
设离散型随机变量X的概率分布为P(X=x_i)=p_i，其中
i=1,2,3,...n，设X的均值为μ。
则随机变量X的方差Var(X)的计算公式如下：
Var(X) = E[(X-μ)^2] = ∑(x_i-μ)^2 * p_i
其中，E代表期望值，∑代表对所有取值求和。
这个公式表达了随机变量与其均值的偏差的平方与概率的乘积的加权平均。
2.方差的计算公式：
方差的计算公式是将随机变量的取值与基准点（通常为均值）的距离平方与概率的乘积的加权平均。
设离散型随机变量X的概率分布为P(X=x_i)=p_i，其中
i=1,2,3,...n，设X的均值为μ。
则随机变量X的方差Var(X)的计算公式如下：
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = ∑(x_i^2 * p_i) - μ^2
这个公式通过计算随机变量的平方的期望值减去均值的平方，得到随机变量离均值的偏离程度。
这两个公式可以根据具体的情况选择使用。
在实际计算中，可以根据所给的概率分布和基准点的取值来选择使用哪个公式。
一般来讲，如果给定了概率分布的具体取值，可以使用第一个公式来计算方差；如果给定了概率分布的均值，可以使用第二个公式来计算方差。
方差是衡量随机变量离其均值的离散程度的一个重要指标。
它可以反映随机变量的波动程度和离散程度。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。
随机变量的方差
§2.3 随机变量的方差随机变量X 的数学期望)(X E 是该随机变量X （或其分布）的一种位置特征数，是随机变量X 取值的一个“中心”.但它并没有告诉我们X 的取值相对于这个“中心”的偏离程度，或者说波动程度等方面的信息。
无论在理论上还是实用中，这方面的信息都是非常重要和有意义。
比如，考虑测量误差X ，如果该测量没有系统误差则意味着X 的均值0)(=X E ，这往往是个基本要求，而我们会更关注测量误差围绕其均值0)(=X E 波动的程度。
再比如，考虑某项风险投资的收益X ，除了关注平均收益)(X E 外，还会关注收益的波动情况。
等等。
由于数学期望)(X E 是其取值的一个中心位置，自然地，度量X 取值的波动程度的一个合理的方法是考察X 取值与)(X E 的距离。
一种方式就是考虑X 取值与)(X E 的距离|)(|X E X -的均值|)([|X E X E -。
但是，由于绝对值在数学上处理很不方便，人们就考虑另一种方式：先把距离|)(|X E X -平方，再取其均值2)(）（X E X E -。
把它作为X 取值散布程度的度量，这个量就叫做方差。
定义 设X 的期望为μ，且)(2X E 存在，则称2)(μ-X E 为X （或其分布）的方差，记为)(X Var 或)(X D 。
即2)()(μ-=X E X Var 称方差的平方根)(X Var 为X 的标准差，记为)(X σ。
方差和标准差都是用以刻画随机变量取值的散布程度的特征数，差别主要体现在量纲上。
方差或标准差越小，随机变量取值越集中，反之越分散。
从方差的定义可以看出随机变量方差X 是X 的函数2))(X E X -（的期望，那么在有了X 的分布列)(i x p 或概率密度)(x p 后，利用上一节介绍的随机变量函数的期望的计算方法，可得∑∞=-=12)())()(i i i x p X E x X Var （或⎰+∞∞--=dx x p X E x X Var )())(()(2 方差的计算更多地用以下公式：22)]([)()(X E X E X Var -=这个公式的推导留给同学们完成。
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6.若随机变量服从二项分布，且E=6， D =4,求此二项分布 7、随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列．若E(X)＝ ，求D(X)的值。
8、已知 3 1，且D 13, 则D
8
7、随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
0.5
1-2q
q2
,求D(X)的值。
9、编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位， 每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X。 (1)求随机变量X的概率分布列； (2)求随机变量X的期望与方差.
1600 0.2
1800 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400
获得相应职位的概率P2
0.4 0.3
1800 0.2
2200 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：EX1 1400, EX 2 1400 DX 1 40000, DX 2 112000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力 很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强, 就应选择工资方差小的单位,即甲单位.
显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性.
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数
为 x ，则这组数据的方差为：
S2
1 n [( x1
x
)2
( x2
x)2ຫໍສະໝຸດ ( xn x )2]4、甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为 ，其分
布列为
0 1 2 3
0 1 2
P 0.3 0.3 0.2 0.2 P 0.1 0.5 0.4
判断甲乙两人生产水平的高低？
5、有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400
获得相应职位的概率P1
0.4 0.3
D (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4
(3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
2、已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1、 X2的分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
12、袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随 机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时 即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求EX和DX.
8、如图所示的直角边长为4的三角形地块的每个格点(横、纵 直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物， 一株作物的年收获量Y(单位：kg)与它“相近”作物株数X之间 的关系如下：
1.已知随机变量X的分布列为: X 1 2
求EX与DX的值。
P 0.3 0.7
2.已知 X ~ B(100，0.5)，则EX=___,DX=___, σX=__.E(2X-1)=_, D(2X-1)=____，σ(2X-1)=_____
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连 续取出200件商品，设其次品数为X，求 EX 和 DX。
E( E )2 为随机变量的方差.
称 D 为随机变量的标准差.
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量， 它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越 集中于均值.
1. 已知随机变量的分布列
0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D和σ. 解：E 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2
E(X)
p
np
n M
N
探究
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1 、X2 、
的分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平.
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9
E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
一、离散型随机变量的均值(数学期望)
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、离散型随机变量均值的线性性质
E(aX b) aEX b
三、两点分布与二项分布的均值
X X服从两点分布 X ~ B(n，p) X ~ H (n，M，N)
试比较两名射手的射击水平.
结论
根据期望的定义可推出下面两个重要结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论:
可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：
⑴ D(a b) a2D
⑵ 若 ~ B(n, p)，则D npq
10、设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3 次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数. (1)求X的分布列； (2)求X的均值E(X)和方差D(X).
11、一盒中装有零件5个，其中有3个正品，2个次品，从中任取 一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件直到取得 正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望与方差．
(其中q 1 p)
小结：
1、随机变量的方差： D ( x1 E )2 p1 ( xi E )2 pi
E( E )2
( xn E )2 pn
2、随机变量的标准差： D
3、方差的性质： (1) D(a b) a2D (2) 若服从两点分布，则D p(1 p) (3) 若 ~ B(n，p)，则D np(1 p)
方差反映了这组数据的 波动情况
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..
离散型随机变量取值的方差和标准差:
一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：
x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 D ( x1 E )2 p1 ( xi E )2 pi ( xn E )2 pn