随机变量的方差
相互独立的随机变量的方差公式
相互独立的随机变量的方差公式在数学和统计学中，方差公式是研究概率分布的重要方法。
它可以描述一组数据的变化情况，是概率分布和统计模型研究中不可或缺的关键因素。
今天，我们就来学习一下相互独立随机变量的方差公式。
什么是方差？方差是众数和一般数之间的差异程度，可以从直观上说明一组数据的变化趋势。
从技术上讲，方差是随机变量与其均值之间的偏差平方和的期望值，也就是平方误差。
在数学和统计学中，它反映了概率分布的”稳定性”。
那么，相互独立的随机变量的方差公式是什么样的呢？对于随机变量的公式，一般假设它们是相互独立的，即出现一个随机变量的概率不会因为出现另一个随机变量而改变。
此时，相互独立的随机变量的方差公式如下：φ1 =x2x2/n其中，x1和x2为两个随机变量，n为变量的总数。
由此可见，通过计算方差，我们可以比较两个不同变量之间的差异程度，从而了解该变量的概率分布情况。
下面我们以一个实际的例子来理解一下相互独立的随机变量的方差公式。
请看一组随机变量的观测值：2，5，5，7，8。
假设它们是相互独立的，则可以得到它们的方差：φ1 = (2 + 5 + 5 + 7 + 8) - [(2 + 5 + 5 + 7 + 8)]/5= 65.4 - [(27]/5= 65.4 - 37.56= 27.84由此可以看出，这是一组数据的方差为27.84，这说明不同的随机变量之间存在较大的差异程度，有较大的变化趋势。
方差公式是一种衡量一组数据变化趋势的重要指标，其中相互独立的随机变量的方差公式尤为重要。
它可以帮助我们更好地了解概率分布情况，从而判断当前变量的取值范围。
对此，我们可以灵活运用，以达到更好的研究结果。
相互独立的随机变量的方差公式
相互独立的随机变量的方差公式相互独立的随机变量，是指两个或多个随机变量完全独立，即当其中一个随机变量发生变化时，另一个随机变量不会受到影响。
它也被称为“完全独立的随机变量”，是概率论中比较重要的概念。
如何用方差公式衡量相互独立的随机变量？方差公式可以用来衡量相互独立的随机变量，方差公式是指：当一组随机变量X1，X2，X3，……，Xn服从某一分布模型，其期望值为μ，则X1，X2，X3，……，Xn的方差公式可以定义为：σ^2=E[(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+...+(Xn-μ)^2]。
另外，如果有两个相互独立的随机变量X和Y，则它们的方差之和可以用如下的方式计算：σ^2X+σ^2Y=E[(X-μx)^2] + E[(Y-μY)^2]。
计算相互独立的随机变量的方差公式计算相互独立的随机变量的方差公式，可以使用以上提到的两个公式，即：σ^2=E[(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+...+(Xn-μ)^2]和σ^2X+σ^2Y=E[(X-μx)^2] + E[(Y-μY)^2]。
例如，如果有三个相互独立的随机变量X1, X2, X3，则方差公式为：σ^2=E[(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+(X3-μ)^2]。
又例如，如果有两个相互独立的随机变量X和Y，则它们的方差之和可以用公式σ^2X+^2Y=E[(X-μx)^2] + E[(Y-μY)^2]来计算。
相互独立的随机变量的方差公式的应用在统计学和概率论中，方差公式是计算分布和数据的偏差的重要参数。
它能够准确反映样本空间的分布情况。
进一步来讲，方差公式也可以用来计算相互独立的随机变量之间的关系。
例如，通过计算不同变量之间的方差比，我们可以比较这些变量之间的相关性。
另外，它还可以用来估计待检变量的方差，从而检验样本的变异性，这在实际的科学研究中也非常有用。
本文所介绍的方差公式对于研究相互独立的随机变量之间的关系也非常有用。
它能够帮助我们精确地计算和比较变量之间的差异，从而使实验结果更加准确。
第二节随机变量的方差
2. 连续型随机变量函数的数学期望的求法： j1 i1
(1)设X的概率密度为f ( x)，则Y g( X )的数学期望为：
EY E[g( X )] g( x) f ( x)dx.
(2) 设( X，Y )的概率密度为f ( x，y)，则Z g( X，Y )的数学期望为：
EZ E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy.
7. 柯西 许瓦兹不等式：若E( X 2 ), E(Y 2 )均存在, E( XY )存在，且
[E( XY )]2 E( X 2 )E(Y 2 )
1. 方差： DX E( X EX )2 .
特别，当X为离散型随机变量，DX＝ ( xk EX )2 pk , k 1
当X为连续型随机变量，
例3.
设X的概率密度为 f ( x) 2(10, x),
0
x 其它
1，求DX
.
解： EX
xf ( x)dx
1 0
x
2(1
x)dx
2(
x2 2
x3 3
)
1 0
1 3
,
EX 2
x2 f ( x)dx
1 0
x2
2(1
x )dx
2(
x3 3
x4 4
)
1 0
1 6
,
DX
EX 2
(EX )2
1 6
1 9
1 18
.
例4. 证明对任意实数C，有E( X C )2 DX .
证明： E( X C )2 E( X 2 2CX C 2 ) EX 2 2C EX C 2
EX 2 (EX )2 (EX )2 2C EX C 2
随机变量的期望与方差
随机变量是概率论中非常重要的概念，它描述了一次随机试验中可能出现的各种结果及其对应的概率。
而随机变量的期望和方差是对这些结果的统计性质的度量。
首先，我们来看看随机变量的期望。
期望是对随机变量的平均值的度量，它表示了在多次随机试验中，随机变量的结果的平均表现。
对于离散型随机变量，期望可以用如下公式来计算：E(X) = Σ(x_i * p_i)其中，E(X)表示随机变量X的期望，x_i表示随机变量X可能的取值，p_i表示该取值出现的概率。
对于连续型随机变量，期望的计算方式稍有不同。
在这种情况下，期望可以用如下公式来计算：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X的取值，f(x)表示X的概率密度函数。
期望可以理解为随机变量的平均表现，它具有很多应用。
例如，在赌博中，我们可以用期望来判断一个赌局是否合理。
如果某个赌局的期望为负，意味着赌徒平均而言会亏损，此时赌徒应该避免参与这个赌局。
接下来，我们来看看随机变量的方差。
方差是对随机变量结果的离散程度的度量，它表示了多次随机试验中，随机变量结果与其期望之间的差异程度。
方差越大，表示结果的离散程度越大，反之亦然。
对于离散型随机变量，方差可以用如下公式来计算：Var(X) = Σ((x_i - E(X))^2 * p_i)其中，Var(X)表示随机变量X的方差，x_i表示随机变量X可能的取值，p_i表示该取值出现的概率。
对于连续型随机变量，方差的计算方式稍有不同。
在这种情况下，方差可以用如下公式来计算：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中，Var(X)表示随机变量X的方差，x表示随机变量X的取值，f(x)表示X的概率密度函数。
方差可以理解为随机变量结果的离散程度。
它具有很多应用。
例如，在金融领域，方差被广泛用于度量投资组合的风险。
一个投资组合的方差越大，意味着其回报的波动性越大，风险越高。
随机变量的方差的概念和概率意义
VUA
现在如果需要您从中选购一只，试问你会选择哪个厂家生产的产品? 如何刻画随机变量取值的波动性？
E(X・E(X)) E\X-E(X)\ E[X-E(X)]2
定义4. 3. 1 设X是随机变{[X- E(X)]2}
为X的方差. b (X) = J D(X)称为X的标准差或均方差.
VUA
二.常见分布的数学期望和方差
1. X~P(^),则 E(X) = D(X) = 2;
2. X~B(n, p),则 E(X) = np\
D(X) = nP(1 ~P)
3. X~N(p, a2),则 E(X)=卩;
D(X) = a2
4.均匀分布 E(X)=(b+a)/2 , D(X)=(b -a)2/12
5.指数分布
______________ i E (X) = 4D(X)=-
证明
VUA
三.方差的概率意义
1・方差刻划了随机变量X相对数学期望的偏离程度!
例 4.3.1 2.方差是随机变量X关于任何值的偏离程度的最小值!
厠
VUA
1. 8尸(人),则 E(X) = 2, D(X) = 2; E ( X 2)=萝 e A 寸k2 =e _x 萝”(k 一1* £o k! £i
(k -1)!
=e 一+仕入8(弋kk--^2+)!+e8~k0XkY--1^)-!
=e -勾 2 * “ + e - S e 2
=22 + 人 D(X) = E(X2)-[E(X)]2 顼 + 人一人2 =X
厠
VUA
例 4.3.1 证明 函数9(x) = E[(X - x尸],x G R，当x = E(X)时达到最小. 证明 (x) = E [(X - x )2] = E (X 2) - 2 xE (X) + x2 令 W(x) = - 2 E (X) + 2 x = 0,得到 x = E (X). 又•.•©"(x) x=E(X) = 2 >0，
随机变量方差的概念及性质
= ( n 2 n) p 2 + np.
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2
= ( n 2 n) p 2 + np ( np )2
= np(1 p ) ).
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k } =
λk
k!
e λ , k = 0,1,2,
π π 2 = 3π + 24 2 4 16
4 2
2
= 20 2π 2 .
2 0 例4 设 X ~ 1 1 3 2
1 3 , 求 D( 2 X 3 + 5). 1 1 12 12
解
D( 2 X 3 + 5) = D( 2 X 3 ) + D( 5)
= 4 D( X )
= E[ X E ( X )]2 + E[Y E (Y )]2 ± 2 E {[ X E ( X )][Y E (Y )]}
= D( X ) + D(Y ).
推广 若 X 1 , X 2 ,
D( X1 ± X 2 ±
, X n 相互独立 , 则有 + D( X n ).
± X n ) = D( X1 ) + D( X 2 ) +
= C E {[ X E ( X )] }
2 2
= C 2 D( X ).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则
D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y ).
证明
D( X ± Y ) = E {[( X ± Y ) E ( X ± Y )]2 } = E {[ X E ( X )] ± [Y E (Y )]}2
随机变量方差的定义及性质
02
CATALOGUE
方差的性质
方差的非负性
总结词
方差具有非负性，即对于任何随机变量X，其方差Var(X)总是非负的。
详细描述
方差的独立性
要点一
总结词
如果两个随机变量X和Y是独立的，那么Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
要点二
详细描述
这是方差的一个重要性质，表明如果两个随机变量相互独 立，那么它们的和的方差等于它们各自方差的和。这个性 质在概率论和统计学中非常重要，因为它允许我们通过独 立随机变量的方差来计算复合随机变量的方差。
度。
方差主要关注数据点的离散程度 ，而峰态则关注数据点的集中趋
势。
如果数据分布更加尖锐，即数据 点更加集中在平均值附近，则方 差可能会减小，因为数据点之间
的差异较小。
THANKS
感谢观看
方差还可以表示为
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。这个公式可以用来计算方差，其中E(X^2)表示随机变量X的平方的期望值 ，E(X)表示随机变量X的期望值。
方差与期望值的关系
方差的大小与期望值有关。如果一个随机变量的期望值越大，其方差也越大；如果一个随机变量的期望值越小，其方差也越 小。
03
CATALOGUE
方差的应用
方差在统计学中的应用
描述数据分散程度
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，用于描述数 据的离散程度。
检验假设
在统计学中，方差分析（ANOVA）等方法用于检验 多个总体均值是否相等，从而判断假设是否成立。
随机变量的数学期望和方差
随机变量的数学期望和方差随机变量是概率论中的重要概念，用来描述一个随机事件可能取到的不同值及其对应的概率。
对于一个随机变量而言，数学期望和方差是常用的统计量，用于描述随机变量的平均水平和离散程度。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值，表示了随机变量在大量重复实验中的长期平均表现。
通常用E(X)或μ来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量X可能取到的值，P(X=x)为其对应的概率。
以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，点数可能取到1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等。
则计算掷骰子的数学期望为：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值与其数学期望的偏差的平方的平均值，用于衡量随机变量的离散程度。
通常用Var(X)或σ^2来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，其数学期望为3.5。
则计算掷骰子的方差为：Var(X) = (1-3.5)^2 ×1/6 + (2-3.5)^2 ×1/6 + (3-3.5)^2 ×1/6 + (4-3.5)^2 ×1/6 + (5-3.5)^2 ×1/6 + (6-3.5)^2 ×1/6 = 2.9167对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx方差的平方根被称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。
相互独立的随机变量的方差公式
相互独立的随机变量的方差公式在数理统计中，方差是反映各项测量结果的离散程度的重要概念，是测量描述性统计理论变量的重要标准之一。
它是反映一组数值的离散程度，给出某一特定组数据的特点，表明这组数据在某一特征上的分布。
相互独立的随机变量的方差公式也成为线性组合方差公式，它可以用来计算各种类型随机变量的方差。
在线性组合乘积方差公式中，每一项都是由多个随机变量相乘而得到的，而这些随机变量的取值是完全相同的，从而得到的结果也是完全一致的。
因此，在计算相互独立的随机变量的方差时，可以简化为将每一项的方差加起来。
根据相互独立的随机变量的方差公式，假设有n个随机变量，它们之间相互独立，则它们的方差可以表示为：σ^2=Σ_i=1^nσ_i^2其中，σ_i^2表示第i个随即变量的方差。
另外，在计算多个随机变量的方差时也要考虑相关关系，即每个随机变量之间有可能存在相关关系，可以把它们的方差视为一个向量，根据它们之间的相关关系，可以求出它们的协方差矩阵：Cov = [Cov(x_1, x_1), Cov(x_1, x_2), , Cov(x_n, x_n)] 这里的Cov(x_i,x_j)表示第i个随机变量与第j个随机变量的协方差，而它们的方差就可以用如下公式计算：σ^2=X^TCovX其中，X=[x_1, x_2, , x_n],X^T表示X的转置向量，Cov表示前面所讨论的协方差矩阵。
以上就是相互独立的随机变量的方差公式的推导过程，它可以帮助我们计算出每一类随机变量的方差，更好地分析数据，从而改善统计学分析的准确性和可靠性。
众所周知，在各种突发事件发生时，大量数据会被收集，从而获得各种数据的统计描述，如果不了解数据的分布情况，在分析数据时很容易受到偏离。
因此，要想深入了解数据，更新准确地分析数据，就必须了解相互独立随机变量的方差公式。
这种公式可以用简单的数学形式来描述，用以了解随机变量的数据分布情况，从而更好地分析数据，改进统计学分析的准确性和可靠性。
方差dx计算公式
方差DX计算公式
方差的计算公式有两种形式，一种是基于数学期望的公式DX=E((X-EX)^2)，另一种是基于均值的公式DX=EX^2-(EX)^2。
其中，EX表示随机变量X的数学期望，也就是均值。
对于离散型随机变量，方差的计算公式可以表示为：DX=Σ(xi-EX)^2*pi，其中xi表示随机变量X的每一个可能取值，pi表示对应取值的概率，Σ表示求和。
对于连续型随机变量，方差的计算公式可以表示为：DX=∫(x-EX)^2f(x)dx，其中f(x)是随机变量X的概率密度函数，∫表示积分。
在实际应用中，方差是衡量随机变量离散程度的一个重要指标，它可以用来描述随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
同时，方差也常用于统计学中的假设检验、置信区间估计等方面。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
又∵ Dx 0.4, Dx2 0.8,
环左右,派乙.
∴甲射击水平更稳定.
三、基础训练
1、已知随机变量X的分布列
X0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求DX和σX。
解：EX 00.110.2 20.4 30.2 40.1 2 DX (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4 (3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
2、数学期望的性质
E(aX b) aEX b
三、如果随机变量X服从两点分布，
下面的分析对吗？ ∵ Ex 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9
Ex2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选
手的水平是不同 的,这里要进一步 去分析他们的成 绩的稳定性.
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差 或标准差来刻画的.
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX。
2，1.98
例1:随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求 向上一面的点数X的均值.方差和标准 差.(结果保留到0.01)
例2：已知某运动员投篮命中率P=0.6
(1)求一次投篮命中次数X的期望与方差; (2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值与
X DX 1.2 1.095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为 常数，求EX和DX。 解：离散型随机变量X的分布列为：
Xc P1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
根据期望的定义可推出下面两个重要结论:
结论1：若 ax b, 则 E aEx b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 x 1 2 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21 P 0.3 0.7
2.已知x~B(100,0.5),则Ex=_5_0_,Dx=_2_5__,x_5__. E(2x-1)=_9__9_, D(2x-1)=_1_0__0, (2x-1)=_1_0___
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均 程度越小，即越集中于均值。
刚才问题再思考:
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环 数x1、x2的分布列如下：
x1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
x2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
率P2
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
四、课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义
2、记住几个常见公式 D(aX b) a2DX
若X服从两点分布，则DX p(1 p) 若X ~ B(n, p)，则DX np(1 p)
一组数据的方差：
x 在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 ，
则这组数据的方差为：
S2
1 n [( x1
x )2
( x2
x
)2
L
( xn
x )2]
方差反映了这组
数据的波动情况
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..
离散型随机变量取值的方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论:
(1) 若 Y=aX+b, 则 D Y ?
(2)若X~B(n，p)，则 DX= ?.
几个常用结论
D(aX b) a2DX
若X服从两点分布，则DX p(1 p) 若X ~ B(n, p)，则DX np(1 p)
练习:
1.已知随机变量x的分布列为则Ex与Dx的值为( D)
试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成
绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手
的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
解:∵ Ex 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9
如果对手在
Ex2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 8环左右,派甲.
∴甲、乙两射手的射击平均水平相同. 如果对手在9
方差.
例3：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能 获得如下信息：
甲单位不同职位月工 1200 1400 1600 1800 资X1/元
获得相应职位的概
0.4 0.3 0.2 0.1
率P1
乙单位不同职位月工 1000 1400 1800 2200 资X2/元
获得相应职位的概
0.4 0.3 0.2 0.1
X
1
0
P
p
1－p
则 EX p
四、如果随机变量X服从二项分布，即
X～B（n,p），则 EX np
二．问题探究:
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环 数x1、x2的分布列如下：
x1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
x2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成绩 都在8环左右，应派哪一名选手参赛？ 如果其他对 手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 X DX 为随机变量X的标准差。