题型研究题型四新定义与阅读理解题类型三新解题方法型针对演练
题型二 新定义与阅读理解题
新定义运算型
类型二
新定义理解型
类型三
新解题方法型
题型二
新定义与阅读理解题
(2017福建1考，10分)
类型一 新定义运算型 类型二 新定义理解型 类型三 新解题方法型Βιβλιοθήκη 类型一新定义运算型
类型二
新定义理解型
类型三
新解题方法型
类型一
新定义运算型
典例精讲 例 (2017莱芜)对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其 意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b} ＝a.例如min{2，－1}＝－1，若关于x的函数y＝min{2x－ 1，－x＋3}，则该函数的最大值为(
18 当18＝2(x＋ x
)时，
18 x |， x
整理得x2－9x＋18＝0， 解得x1＝3，x2＝6，
18 当18＝－2(x＋ x
)时，
针对演练
整理得x2＋9x＋18＝0，
解得x3＝－3，x4＝－6，
∴P点坐标为：(3，6)，(6，3)，(－3，－6)，(－6，－3)．
类型一
新定义运算型
类型二
新定义理解型
2 A. 3
)
B. 1
4 C. 3
5 D. 3
类型一
新定义运算型
类型二
新定义理解型
类型三
新解题方法型
【思维教练】要求函数的最大值，由min{a，b}的定义可
分两种情况，分别得出函数表达式和x的取值范围，进行
运算即可．
类型一
新定义运算型
类型二
新定义理解型
类型三
新解题方法型
【解析】据题意可知当2x－1≥－x＋3时，y＝－x＋3， 4 4 4 此时x≥ ，则－x≤－ ，∴当－x＝－ 时，y最大值＝－ 35 3 3 4 ＋3＝ ；当2x－1<－x＋3时，y＝2x－1，此时x< ， 3 4 3 5 4 5 ∴y最大值<2× －1＝ .∴该函数的最大值为 . 3 3 3 3 D
高中数学“新定义”题型的解题策略
高中数学“新定义”题型的解题策略１.明确“新定义”题型的本质与特点“新定义”题型中所说的“新定义”其实是相对考纲、课本而言，在题目中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，但是这种题型已在多年的高考甚至中考中出现，某种程度上讲“新定义”题并不是完全创新的题型，而是考生很常见的一种题型。
可以通过日常的教学及模拟训练让学生喜欢上这种较有特色的数学情景题，如果学生的情绪不紧张，很多“新定义”题是可以迎刃而解的，在解题中真正的障碍是理解与运算、信息的迁移能力。
“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“称”“规定”“记”等字眼，而题目一般都是用抽象简洁的语言给出新的定义，没有过多的解释说明，要求学生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义。
而“新定义”题学习新定义的时间短，阅读后就要求立即独立运用它解决有关问题，对学生的心理素质和思维敏捷性要求较高。
２.“新定义”题型解题步骤解题时可以分这样几步：（１）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。
（２）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点。
（３）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。
如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除等方法。
３.“新定义”题型的讲评建议（１）通过熟悉的例子增强学生对这类题目的兴趣，也可以提高他们的解题信心。
（２）加强审题能力的培养。
现在学生的阅读能力差，所以在平时的教学中一定要训练学生的阅读、审题能力，如数学中常见的应该题就是对学生阅读能力的考查。
（３）拓宽学生的视野。
可以借助“新定义”题或是大纲内相关的知识点拓宽学生的视野，虽然“新定义”题特征是题目新颖较难猜测，但实际上高考中也有很多重复出现的例子。
中考数学专题-新定义与阅读理解创新型问题-(解析版)
新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：{}()min ,()a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可． 【详解】 令(),y min a b =,当2123x x x +≤-++时，即220x x --≤时，1y x =+， 令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当0w ≤时，12x -≤≤， ∴1y x =+（12x -≤≤）， ∴y 随x 的增大而增大， ∴当x =2时，3y =最大；当2123x x x +>-++时，即220x x -->时，2y x 2x 3=-++， 令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当0w >时，2x >或1x <-， ∴2y x 2x 3=-++（2x >或1x <-）， ∴2y x 2x 3=-++的对称轴为x =1， ∴当2x >时，y 随x 的增大而减小， ∴当x =2时，2y x 2x 3=-++=3， ∴当2x >时，y <3；当1x <-，y 随x 的增大而增大， ∴当x =-1时，2y x 2x 3=-++=0； ∴当1x <-时，y <0；综上，()2min 123y x x x =+-++，的最大值为3． 故选C ． 【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．2．（广东省2021年中考真题数学试卷）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b cp ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若5,4p c ==，则此三角形面积的最大值为（ ）A B ．4C ．D ．5【答案】C 【分析】由已知可得a +b =6，5S ab ==-，把b =6-a 代入S 的表达式中得：256S a a -+S 的最大值．【详解】 ∴p =5，c =4，2a b cp ++= ∴a +b =2p -c =6∴55S ab ==-由a +b =6，得b =6-a ，代入上式，得：25(6)5565S a a a a =--=-+-设2+65y a a =--，当2+65y a a =--取得最大值时，S 也取得最大值 ∴22+65(3)4y a a a =--=--+ ∴当a =3时，y 取得最大值4∴S =故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a +b =6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题． 3．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数y ax b =+的特征数为[],a b ，若一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =-+的特征数是（ ） A ．[]2,3 B ．[]2,3-C ．[]2,3-D ．[]2,3--【答案】D 【分析】先求出平移后的直线解析式为23y x m =-++，根据与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，得到直线23y x m =-++经过原点，从而求出m ，根据特征数的定义即可求解． 【详解】解：由题意得一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后解析式为23y x m =-++， ∴直线23y x m =-++与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称， ∴点A ，B ，O 在同一直线上， ∴直线23y x m =-++经过原点， ∴m +3=0， ∴m =-3，∴一次函数2y x m =-+的解析式为23y x =--， ∴一次函数2y x m =-+的特征数是[]2,3--． 故选：D 【点睛】本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A ，B 关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．4．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）设1(,)P x y ，2(,)Q x y 分别是函数1C ，2C 图象上的点，当a x b≤≤时，总有1211y y -£-£恒成立，则称函数1C ，2C 在a x b ≤≤上是“逼近函数”，a x b ≤≤为“逼近区间”．则下列结论：①函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上是“逼近函数”； ①函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”； ①01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”； ①23x ≤≤是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”． 其中，正确的有（ ） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①【答案】A 【分析】分别求出12y y -的函数表达式，再在各个x 所在的范围内，求出12y y -的范围，逐一判断各个选项，即可求解． 【详解】解：∴∴15y x =-，232y x =+，∴()()1253227y y x x x -=--+=--，当12x ≤≤时，12119y y -£-£-， ∴函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上不是“逼近函数”；∴∴15y x =-，224y x x =-，∴()()12225554x y y x x x x --=--=-+-，当34x ≤≤时，1211y y -£-£，函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”；∴∴211y x =-，222y x x =-， ∴()()22122112x x x y y x x -=--=-+--，当01x ≤≤时，12314y y -£-£-， ∴01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”；∴∴15y x =-，224y x x =-，∴()()12225554x y y x x x x --=--=-+-，当23x ≤≤时，12514y y £-£， ∴23x ≤≤不是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”． 故选A 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键． 5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：,,a a ba b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，则不等式(21)(2)3x x +*->的解集是（ ） A ．1x >或13x < B ．113x -<<C ．1x >或1x <-D ．13x >或1x <- 【答案】C 【分析】根据新定义运算规则，分别从212x x +≥-和212x x +<-两种情况列出关于x 的不等式，求解后即可得出结论． 【详解】解：由题意得，当212x x +≥-时， 即13x ≥时，(21)(2)21x x x +*-=+， 则213x +>， 解得1x >，∴此时原不等式的解集为1x >； 当212x x +<-时， 即13x <时，(21)(2)2x x x +*-=-， 则23x ->， 解得1x <-，∴此时原不等式的解集为1x <-；综上所述，不等式(21)(2)3x x +*->的解集是1x >或1x <-． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x 的不等式．6．（2021·广西中考真题）如{}1,2,M x =，我们叫集合M ，其中1，2，x 叫做集合M 的元素．集合中的元素具有确定性（如x 必然存在），互异性（如1x ≠，2x ≠），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合{},1,2N x =，我们说M N =．已知集合{}1,0,A a =，集合1,,b B a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -的值是（ ） A ．－1 B ．0C ．1D ．2【答案】C 【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B 的元素通过分析，与A 的元素对应分类讨论即可． 【详解】解：∴集合B 的元素1,ba a，a ，可得， ∴0a ≠， ∴10≠a，0b a =，∴0b =，当11a =时，1a =，{}1,0,1A =，{}1,1,0B =，不满足互异性，情况不存在， 当1a a=时，1a =±，1a =（舍），1a =-时，{}1,0,1A =-，{}1,1,0B =-，满足题意， 此时，=1b a -． 故选：Ｃ 【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。
考研英语新题型技巧
考研英语新题型技巧《考研英语新题型技巧》近年来，考研英语的题型不断更新，以适应更广泛的学科背景和能力要求。
新题型考察的不仅是基础的语法和词汇能力，更注重考生的综合阅读和分析能力。
为了帮助广大考生提高考试成绩，在此分享一些考研英语新题型的解题技巧。
第一种新题型是阅读填词题。
这种题型要求考生根据短文的语境，在空格中填入最恰当的词汇。
首先，考生应该仔细阅读选项，以便对文章的主题和内容有一个大致的了解。
然后，通过上下文的逻辑关系，把握文章的整体结构。
最后，根据语境和选项的词性，选择合适的单词填入空格中。
第二种新题型是阅读选择题。
在这类题目中，考生需要在每个空格处选择最恰当的选项来完成短文。
解这类题目时，考生应该注意首先阅读全文，了解其大意和结构。
然后，根据上下文和相关联的信息，选择与之相符的选项。
此外，考生还应注重选项中的词性和词义，确保选项在句子中的用法是正确的。
第三种新题型是阅读理解题中的判断题。
这类题目要求考生根据所给短文判断给出的陈述是“正确”、“错误”还是“不提及”。
读完短文后，考生应该逐句阅读陈述，并注意与短文的事实和细节是否一致。
在判断时，考生应当避免个人主观想法的干扰，只按照短文的内容来判断。
最后，考生还需注重平时的练习和积累。
有意识地阅读各类英文文章、报纸、杂志以及考研英语真题，提高对词汇和句型的理解和运用能力。
此外，通过针对性的练习，可以熟悉各种题型，掌握解题技巧。
考生还可以参加英语角或找一个英语学习小组，与他人交流，提高口语和听力水平，在考试中更有信心。
总之，在应对考研英语新题型的过程中，考生应该注重逻辑思维能力的培养，提高对文本的理解能力。
通过合理的时间规划和针对性的练习，相信考生们一定能在考试中取得好成绩。
祝愿所有考生都能成功进入自己理想的院校，开启人生新的篇章。
专题二 新定义与阅读理解问题
∵四边形ACEF是菱形,∴∠ADC=90°,AE=2AD,CF=2CD,
∴四边形ABCD为损矩形.
由(2)知点A,B,C,D在同一个圆上.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=45°,∴AD=CD,∴AE=CF,
∴菱形ACEF为正方形.
②在①的条件下,若AB=2,BC=4,求BD的长.
解:②如图②所示,过点 D 作 EF∥BC,交 BA 的延长线于点 E,作 CF⊥EF 于点 F.
理解试题阅读材料中提供的新情景 、新方法和新知识等,能熟练地进行知识的迁移、转化和
应用.
类型一
定义新运算、法则型问题
对于该类问题,要抓住新定义运算的法则或者顺序,并将此定义作为解题的依据,通常照套法则即可.
需要注意两点:(1)有括号时应当先算括号里面的;(2)新定义的运算往往不一定具备交换律和结合
为“好点”.在下列函数的图象上,有且只有一个“好点”的函数是(
A.y=|2x+5|
-
C.y=
D )
B.y=-x-2
2
D.y=x -2x+
2.(2022莱芜二模)定义:在平面直角坐标系中,点P(x,y)的横坐标x的绝对值表示为|x|,纵坐标y的绝
对值表示为|y|,我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P(x,y)的折线距离,记为
2
2
们规定一个新数“i”,使其满足 i =-1(即方程 x =-1 有一个根为 i),并且进一步规定:一切实数可以与
1
2
3
2
4
新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于是有 i =i,i =-1,i =i ·i=(-1)·i=-i,i =
2019年高考数学复习：新定义型、创新型、应用型试题
2019年高考数学复习：新定义型、创新型、应用型试题新定义型、创新型、应用型试题「考情研析」本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．核心知识回顾1．新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．2．创新型问题创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．3．实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)．热点考向探究考向1新定义型问题例1(1)(2018·天津市耀华中学模拟)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q ＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q等于() A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0≤x<2}答案 B解析由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．(2)(2018·山东菏泽模拟)若函数y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好由两个“友情点对”，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 B解析 首先注意到(0，a )没有对称点，当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋a ，则－f (－x )＝－x 3－6x 2－9x －a ，即－x 3－6x 2－9x －a ＝2(x <0)有两个实数根，即a ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)有两个实数根．画出y ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)的图象如下图所示，由图可知a ＝2时有两个解．方法指导 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．1．若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2 b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．2．(2018·湖南联考)在R 上定义运算：xy ＝x (1－y )．若对任意x >2，不等式(x －a )x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，3]C ．[－1,7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞) 答案 A解析 ∵运算：x y ＝x (1－y )，∴(x －a )x ≤a ＋2转化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，a (x －2)≤x 2－x ＋2，∵任意x >2，不等式(x －a )x ≤a ＋2都成立，∴a ≤x 2－x ＋2x －2. 令f (x )＝x 2－x ＋2x －2，x >2，则a ≤[f (x )]min ，当x >2时，f (x )＝x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2＋3≥2(x －2)×4x －2＋3＝7，当且仅当x ＝4时，取最小值．∴a ≤7，选A.考向2 创新型问题例2 (1)(2018·抚顺模拟)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(x ，y )；然后统计x ，y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )的个数m ；再根据统计数m 来估计π的值．假如统计结果是m ＝102，那么可以估计π的值约为( )A.227B.4715C.5116D.6017答案 B解析 (构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )所需满足的条件为⎩⎨⎧ x ＋y >1，x 2＋y 2<1，0<x <1，0<y <1，作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有102360＝π4－121×1，解得π＝4715.(2)已知{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *)，S n ＝a 1＋4·a 2＋42·a 3＋…＋4n －1·a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得S n －4n 5·a n ＝________. 答案 n 5解析 由S n ＝a 1＋a 2·4＋a 3·42＋…＋a n ·4n －1； ①得4·S n ＝4·a 1＋a 2·42＋a 3·43＋…＋a n －1·4n －1＋a n ·4n ； ②①＋②得，5S n ＝a 1＋4(a 1＋a 2)＋42·(a 2＋a 3)＋…＋4n －1·(a n －1＋a n )＋a n ·4n ＝a 1＋4·14＋42·⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋…＋4n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋4n ·a n ＝1＋1＋1＋…＋1＋4n ·a n ＝n ＋4n ·a n . 所以5S n －4n·a n ＝n ，∴S n －4n 5·a n ＝n 5. 方法指导 高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．1．把数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12n －1的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k行有2k －1个数，第t 行的第s 个数(从左数起)记为A (t ，s )，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12n －1中的项1287应记为________．113 1517 19 111 113115 117 119 (129)… … …答案 A (8,17)解析 令2n －1＝287⇒n ＝144⇒1287是数列{12n －1}的第144项，由S 7＝27－12－1＝127⇒A (8,17)． 2．如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝θ，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )，向量OP→的斜坐标为(x ，y )．给出以下结论：①若θ＝60°，P (2，－1)，则|OP→|＝3； ②若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； ③若OP →＝(x 1，y 1)，OQ →＝(x 2，y 2)，则OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2； ④若θ＝60°，以O 为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.其中所有正确结论的序号是________．答案 ①②④解析 对于①，OP 是两邻边长分别为2,1，且一内角为60°的平行四边形较短的对角线，解三角形可知|OP →|＝3，故①正确；对于②，若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，故②正确；对于③，OP →＝(x 1，y 1)，OQ →＝(x 2，y 2)，所以OP →·OQ →＝(x 1e 1＋y 1e 2)(x 2e 1＋y 2e 2)，因为e 1·e 2≠0，所以OP →·OQ →≠x 1x 2＋y 1y 2，故③错误；对于④，设圆O 上任意一点为P (x ，y )，因为|OP |＝1，所以(x e 1＋y e 2)2＝1，所以x 2＋y 2＋xy －1＝0，故④正确．故填①②④.考向3 实际应用型问题例3 (1)(2018·南昌模拟)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q答案 D解析 由题图2可知固定位置到点A 距离大于到点C 距离，所以舍去N ，M 两点，不选B ，A ；若是P 点，则从最高点到点C 依次递减，与图2矛盾，因此取Q ，即选D.(2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，当容器中的沙子只有开始时的八分之一，即a e －bt ＝18a 时，e －bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.方法指导 求解应用题的一般步骤(四步法)(1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N 最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N 最接近的是1093.故选D.2．某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量L (x )(单位：千双)是关于销售单价x (单位：元/双)的函数．已知销售单价不低于1元/双．当月销售量最少为0.205千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为20元/双时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过4元/双时，月销售量为2.125千双．研究表明：当4≤x ≤20时，月销售量L (x )与销售单价x的函数关系为L (x )＝a x 2＋b (a ，b 为常数)．记月销售额(单位：千元)为f (x )＝x ·L (x )，为使f (x )达到最大值，则销售单价x 应为( )A ．1元/双B ．2元/双C ．3元/双D ．4元/双 答案 D解析 由题得，当1≤x ≤4时，L (x )＝2.125；当x ＝20时，L (x )＝0.205；当4≤x ≤20时，L (x )＝a x 2＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎨⎧ L (4)＝2.125，L (20)＝0.205，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 42＋b ＝2.125，a 202＋b ＝0.205，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝18，所以L (x )＝32x 2＋18，故函数L (x )的表达式为L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2.125，1≤x ≤4，32x 2＋18，4<x ≤20.故f (x )＝x ·L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2.125x ，1≤x ≤4，32x ＋x 8，4<x ≤20.当1≤x ≤4时，f (x )为增函数，故当x ＝4时，f (x )的最大值为8.5；当4<x ≤20时，可知函数f (x )＝32x ＋x 8在区间(4,16]上单调递减，在区间[16,20]上单调递增，又f (4)＝8.5，f (20)＝4.1，所以f (x )的最大值为8.5.综上，当x ＝4，即当销售单价为4元/双时，月销售额可以达到最大值，故选D.真题押题『真题模拟』1．(2018·郑州模拟)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 依题可知e i x 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x ，sin x )，故e 2i 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos2，sin2)，显然该点位于第二象限，选B.2．(2018·天水期末)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n . ①第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( )A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1) 答案 C解析 a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)．3．(2018·南京模拟)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为( )A.23B.25C.12D.15答案 C解析 依题意，从5种物质中任取2种，共有4＋3＋2＋1＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P ＝12，故选C.4．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．答案 6 12解析 (1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1＝6.(2)设男学生人数为x (x ∈N ＋)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x－1，教师人数为x －2.又2(x －2)>x ，解得x >4，即x ＝5，该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12.5．(2018·江苏高考)设n ∈N *，对1,2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s <t 时，有i s >i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．(1)求f 3(2)，f 4(2)的值；(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．解 (1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1,2,3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3， 所以f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5.(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以f n (0)＝1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以f n (1)＝n －1.为计算f n ＋1(2)，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n .当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22， 因此n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22. 『金版押题』6．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x >1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车(精确到1小时)．答案 4解析 当0≤x ≤1时，－2≤x －2≤－1,5－2<5x －2<5－1，即125<5x －2<15，不满足5x －2≤0.02，所以x >1.。
专题2.7 新定义与阅读理解题
第二篇热点难点篇专题07新定义与阅读理解题（讲案）一讲考点——考点梳理1、“新定义”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.注重考查学生应用新的知识解决问题的能力.2、阅读理解型问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.中考数学的阅读理解题考查学生阅读理解能力与日常生活体验，同时又能考查学生获取信息后的抽象概括能力、建模能力，决策判断能力。
3、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想、从特殊到一般思想等．二讲题型——题型解析（一）规律题型中的新概念例1、（1）填空：()()a b a b -+=；22()()a b a ab b -++=；3223()()a b a a b ab b -+++=．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b aa b ab b -----++++=（其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．(二)运算题型中的新概念例2、为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=101312-，即1+3+32+33+…+3100=101312-，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．（三）探索题型中的新概念例3、我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y kx =+与x 轴、y 轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（）A．6B．8C．10D．12（四）开放题型中的新概念例4、如图，已知抛物线C 1：y=a 1x 2+b 1x+c 1和C 2：y=a 2x 2+b 2x+c 2都经过原点，顶点分别为A，B，与x 轴的另一个交点分别为M、N，如果点A 与点B，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，则抛物线C 1和C 2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C 1和C 2，使四边形ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是_______________________和_________________________（五）阅读材料题型中的新概念例5、在直角坐标系xOy 中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ≥⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为；（2）若点P 在函数216y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是．（六）阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题例6、理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则==2．思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=tan tan1tan tanαβαβ±．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）=tan60tan451tan60tan45-+2-．思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线112y x=-与双曲线4yx=交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．（七）阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论例7、在如图所示的平面直角坐标系中，△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n+1B 2n+1（n 是正整数）的顶点A 2n+1的坐标是（）A．）B．C．）D．）三讲方法——方法点睛1.“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．2.解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.四练实题——随堂小练1.阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对（θ，m）称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox 上，则正六边形的顶点C 的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．）D．）2.把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是．3.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子1x x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是1x，矩形的周长是2（1x x +）；当矩形成为正方形时，就有x=1x （x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（1x x +）=4最小，因此1x x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子2x 9x +（x＞0）的最小值是（）A．2B．1C．6D．104.规定：sin（-x）=-sinx，cos（-x）=cosx，sin（x+y）=si nx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是（写出所有正确的序号）①cos （-60°）=-12；②sin75°=4+；③sin2x=2sinx•cosx；④sin （x-y）=sinx•cosy-cosx•siny．5.如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n （n 为非负整数）的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a 2+2ab+b 2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a-b）4的展开式，（a-b）4=．五练原创——预测提升1.“聪”和“明”是一对好朋友，聪说：“学数学就像玩游戏，一旦掌握了规则，就很容易了！”明说：“那我考考你，若规定：x◎y =x +|y|,如1◎（-2）=1+|-2|=1+2=3，那么（-2）◎1=（）？”聪很快说出了答案，你也试试吧！A．﹣3B．﹣1C．1D．32.a 为有理数，定义运算符号“※”：当a＞－2时，※a＝－a；当a＜－2时，※a＝a；当a＝－2时，※a＝0．根据这种运算，则※[4＋※（2－5）]的值为（）A．1B．－1C．7D．－73.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数都为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（）.1411211214161313121211A.160B．1168C．1252D．12804.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1,2,32335.阅读下面材料:小明遇到下面一个问题：如图1所示，AD 是ABC ∆的角平分线，,AB m AC n ==，求BDDC的值.小明发现，分别过B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为,E F .通过推理计算，可以解决问题（如图2）.请回答，BDDC=________.参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，四边形ABCD 中，2,6,60,AB BC ABC BD ==∠=︒平分ABC ∠，AB AC ⊥，CD BD ⊥.AC 与BD 相交于点O .（1）AOOC=______.（2）tan DCO ∠=__________.。
中考数学复习型四新定义与阅读理解题类型二新概念学习型课件4
c b
，
联立抛物线与直线
得 ， y=ax2 =3bx=3c y=2bx=2c
整理得ax2＋bx＋c＝0，
∴x2＋x3＝－
b a
c
，x2·x3＝ a
，
∴ ， 1
1
=
x2
x3
=
b a
=-
b
=
1
x2 x3 x2 gx3 c c x1
∴x1，x2，x3能a构成“和谐三数组”．
典例精讲
针对演练
束迟，雨季长；北方雨季开始迟，结束早，雨季短
大致是 _________—_____山山脉— _____山— _________山脉—冈底斯山脉一
大兴安岭 阴
贺兰
巴颜喀拉
线
夏季风很难到达，降水稀少，大部分地区全年都比较干旱
典例精讲
4.降水分布
针对演练
中国年降水量分布图
典例精讲
针对演练
(1)空东间南分沿布海：东部西多北于内西陆部，南方多于北方，呈现出
2
典例精讲
针对演练
∵四边形EMHG是叠合正方形， ∴EM＝GH＝5，正方形EMHG的面积＝52＝25， ∵∠B＝90°， ∴FM＝BM＝ 52 42 ＝3， 设AD＝x，则MN＝FM＋FN＝3＋x， ∵梯形ABCD的面积＝ 1 (AD＋BC)×8＝2×25， ∴AD＋BC＝ 25 ， 2
2
典例精讲
1
，解得t＝－2；
y1 y3 y2
kk k
(综iii上) y13，+ yt1＝2 = －y11 4或，－即2或t k23； t
k
1
=
t k
，解得t＝－4.
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第二部分题型研究
题型四新定义与阅读理解题
类型三新解题方法型
针对演练
1.求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中
便记载了求两个正整数最大公数最大公约数的一种方法一一更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也•以等数约之”，
意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为
这两个正整数的最大公约数.
例如：求91与56的最大公约数
解：91 - 56 = 35
56 - 35= 21
35 - 21= 14
21 - 14= 7
14 —7= 7
所以，91与56的最大公约数是7.
请用以上方法解决下列问题：
(1)求108与45的最大公约数；
(2)求三个数78、104、143的最大公约数.
2.(2017 青岛节选)数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题•下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.
探究：求不等式|x —1|< 2的解集
(1)探究|x —1|的几何意义
如图①，在以0为原点的数轴上，设点A'对应的数是x —1,由绝对值的定义可知，点A与点0的距离为| x —1|，可记为A'O = |x—1|.将线段A'O向右平移1个单位得到线段AB此时点A对应的数是x，点B对应的数是1.因为AB= A'O,所以AB= | x—1|. 因此，|x —1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离
AB
A10
-- 1 1——I
x-l 0 1 ...................... ...
.4 0 B -5-4-3-2-I Q 12^45*
I d I ・
工0 1
图①團②
第2题图
(2)求方程| x —1| = 2的解
因为数轴上3和一1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3, —1.
(3)求不等式| x—1|<2的解集
因为|x —1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围.
请在图②的数轴上表示|x—1|<2的解集，并写出这个解集.
3.(浙教八下第47页阅读材料改编)古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ ax=
b2(a> 0, b>0)的方程的
a a
图解法是：如图，以2和b为两直角边作Rt△ ABC再在斜边上截取BD= ?,则AD的长就是所求方程的解.
(1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长.
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处.
4.
请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答.
引例：设a, b, c 为非负实数，求证：a2+ b2+ , b2+ c2+ c2+ a2》2(a+ b+ c),
分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a+ b+ c的正方形来研究.
解：如图①，设正方形的边长为a + b+ c, 则AB= a2+ b2, BC= b2+ c2, CD= a2+ c2, 显然AB+ BC+ CD> AD
•••a2+ b2+ b2+ c2+ c2+ a2> 2(a+ b+ c).
探究一：已知两个正数x, y，满足x + y = 12,求.x + 4 + y + 9的最小值(图②仅供参考);
探究二：若a, b为正数，求以a2+ b2, 4a2+ b2, a2+ 4b2为边的三角形的面积.
第4题图
答案
1.解：(1)108 - 45= 63
63 - 45= 18
45 - 18= 27
27 - 18= 9
18-9= 9
所以，108与45的最大公约数是9;
第3题图
罔①圏②
⑵①先求104与78的最大公约数，
104-78 = 26
78 - 26= 52
52 - 26= 26
所以，104与78的最大公约数是26;
②再求26与143的最大公约数，
143-26 = 117
117-26 = 91
91 - 26= 65
65 - 26= 39
39 - 26= 13
26 - 13= 13
所以，26与143的最大公约数是13.
综上所述，78、104、143的最大公约数是13. 2.解：在数轴上表示如解图所示.
第2题解图所以，不等式的|x- 1|<2的解集为一1<x<3.
a
3.解：（1）I/ C= 90°, BC= ^, AC= b,
■.j4b + a —a
2
(2)用求根公式求得:
故AD的长就是方程的正根，
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根.
4.解：探究一：如解图①，构造矩形AECF并设矩形的两边长分别为12，5,
第4题解图①
则x + y= 12 , AB= x2+ 4,
BC= y + 9,
显然AB+ BO AC
当A, B, C三点共线时，AB+ BC最小,
即x2+ 4+ y2+ 9的最小值为AC
••• AC= . 122+ 52= 13, /• x + 4+ y + 9的最小值为13;
第4题解图②
X i =
—4b2+ a2—a
2
探究二：如解图②，设矩形ABCD勺两边长分别为2a, 2b, E, F分别为AB, AD的中点, 则CF= 4a2+ b2, CE^ a2+ 4b2,
EF= a2+ b2,
设以，a2+ b2, 4a2+ b2, a2+ 4b2为边的三角形的面积为&CEF,
••• & CEF= S 矩形 ABCD—S\ CDF一S^ AEF一S A BCE
1 1 1
=4ab- 2X 2a X b—2ab— 2aX 2b
3
=2ab, •••以a2+ b2, - 4a2+ b2, • a2+ 4b2为边的三角形的面积为^ab-。