等差数列的对称性
高中数学第五章数列5..1.等差数列的性质学案含解析B版选择性第三册
第2课时等差数列的性质必备知识·素养奠基1.等差中项：如果x,A，y 是等差数列,那么称A 是x与y的等差中项,且A=。
2。
等差数列中项与序号的关系(1）两项关系a n=a m+（n-m）d(m,n∈N+).(2）多项关系若s+t=p+q（p，q，s,t∈N+),则a s+a t=a p+a q.特别地,若2s=p+q,则2a s=a p+a q.如何证明若m+n=p+q(m，n，p,q∈N+），则a m+a n=a p+a q?提示:因为a m=a1+（m-1)d，a n=a1+（n-1）d。
所以a m+a n=2a1+（m+n—2）d.同理，a p+a q=2a1+(p+q-2）d，因为m+n=p+q,所以a m+a n=a p+a q. 3。
等差数列的项的对称性文字叙述在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和符号表示n为偶数n≥2a1+a n=a2+a n-1=…=+n为奇数n≥3a1+a n=a2+a n—1=…=24.由等差数列构成的新等差数列(1)条件｛a n｝,{b n｝分别是公差为d1,d2的等差数列。
（2)结论数列结论{c+a n}公差为d1的等差数列(c为任一常数){c·a n｝公差为cd1的等差数列(c为任一常数）｛a n+a n+k｝公差为2d1的等差数列（k为常数,k∈N+）{pa n+qb n}公差为pd1+qd2的等差数列(p,q为常数）5。
等差数列的单调性等差数列｛a n｝的公差为d，(1)当d〉0时,数列{a n｝为递增数列。
(2)当d<0时,数列｛a n}为递减数列.（3)当d=0时,数列{a n｝为常数列。
1。
思维辨析（对的打“√”,错的打“×”）（1)若{a n}是等差数列,则{｜a n|}也是等差数列. (）(2)若数列{a n｝是等差数列，则a1,a3，a5,a7,a9也是等差数列。
（)(3)在等差数列｛a n｝中，若a m+a n=a p+a q，则m+n=p+q也能成立（m,n,p，q∈N+ ). （）(4)在等差数列｛a n}中,若m+n=r,m，n,r∈N+,则a m+a n=a r。
等差数列求和技巧
等差数列求和技巧在数学中，等差数列是指数列中任意两个相邻数之间的差值保持恒定的数列。
求解等差数列的和是数学中常见的问题之一。
本文将介绍几种常用的等差数列求和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、等差数列求和公式对于一个等差数列，我们可以使用求和公式来计算其总和。
假设等差数列的首项为a，公差为d，共有n项，则等差数列的求和公式可以表示为：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，Sn表示等差数列的和。
二、等差数列求和通用步骤下面是一般情况下求解等差数列和的通用步骤：1. 确定数列的首项a、公差d以及项数n。
2. 使用求和公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)计算出总和Sn。
三、等差数列求和技巧除了以上的通用步骤外，我们还可以运用一些技巧来简化等差数列求和的计算过程。
1. 利用对称性对于等差数列来说，如果其项数为奇数，那么数列的中间项与首项和末项的和是相等的。
我们可以直接使用这个性质来求和，而不需要使用求和公式。
例如：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 9) + (3 + 7) + 5 = 10 + 10 + 5 = 252. 利用求和公式的性质我们可以对等差数列进行逆序求和，并与原始的求和公式相加，从而得到每一项的和。
例如：1 +2 +3 + ... + n = n(n+1)/2n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n(n+1)/2将两个等式相加，得到：2(1 + 2 + 3 + ... + n) = n(n+1)得出等差数列的和为：1 +2 +3 + ... + n = n(n+1)/23. 利用倍数关系如果一个等差数列的公差为1，那么该等差数列的和可以简化为项数n的平方。
例如：1 +2 +3 + ... + n = n(n+1)/2 = n^2/2 + n/2 ≈ n^2/2 (当n足够大时)四、实例演算为了更好地理解和掌握等差数列求和技巧，下面我们以几个实例来进行演算。
二次函数图像的对称性与满足sm =sn 的等差数列
二次函数图像的对称性与满足sm =sn 的等差数列
曲线有许多种形状，其中最具有视觉吸引力的形状之一就是二次函数的图像。
二次函数
的图像具有一系列的美丽特性，包括非常明显的对称性和等差梯度。
其中，最常见的一种对称性是对称图像，也就是由一条直线划分图像，两边图像完全相同。
通常称之为对称轴，即使仔细观察，也无法发现任何差异。
例如，下面的图像有一个明
显的对称性，尽管是从右上角开始，可以看出它有一个对称轴，位于x轴上。
另一个显著的特性是等差数列梯度。
二次函数图像的梯度表示两个连续的X值之间的Y
值的变化，并且可以用标准化的数学表达式表示：sm = sn，其中sm是当前X值到下一个
X值之间的Y值的变化，而sn是当前X值到上一个X值之间的Y值的变化。
改变变量的值将改变梯度的值，但既然保留等差数列，就可以使用等差数列线性函数来描
述变化梯度。
由此可见，在满足该等式的情况下，二次函数图像具有明显的梯度，从而
形成一条连续的曲线。
总而言之，二次函数图像非常令人印象深刻，它具备非常明显的对称性和等差梯度。
为
达到这些目标，这种图像必须满足sm = sn的等差数列，以确保线性梯度的平滑性和明显
的对称性。
二次函数的图像的特征使其成为一种有趣而又优雅的函数，它可以用来描述
各种各样的运动和现象，使其变得更加清晰加以表示。
《等差数列及求和》课件
在物理学中，等差数列可以用于 计算周期性变化的现象，例如振
动、波动和电磁波。
化学
在化学中，等差数列可以用于计算 元素周期表中的原子序数和电子排 布。
生物学
在生物学中，等差数列可以用于研 究生物种群的增长和变化规律。
04
练习与巩固
基础练习题
等差数列的定义与性质
提供一系列关于等差数列定义的练习 题，如判断题、填空题等，帮助学生 理解等差数列的基本概念和性质。
等差数列与其他知识点的综合应用
设计一些涉及等差数列与其他知识点（如函数、方程等）的综合题目，提升学生运用知识解决问题的 能力。
等差数列的实际应用
结合生活中的例子，设计一些题目，让学生运用等差数列的知识解决实际问题，培养其数学应用能力 。
05
总结与回顾
本节课的重点回顾
等差数列的定义
等差数列的求和公式
等差数列的性质
总结词
等差数列具有一些特殊的性质，这些性质有助于我们更好地理解和应用等差数列。
详细描述
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性和中项性质。对称性是指等差数列的两侧是对称的；递增性或递减 性是指等差数列的项随着序号的增加而增加或减少；中项性质是指在一个等差数列中，中间的一项等于首项和末 项的平均值。
本节课的难点解析
如何理解和应用等差 数列的通项公式和求 和公式。
如何利用等差数列的 性质解决复杂问题。
如何根据题目条件确 定等差数列的首项和 公差。
下节课预告
等比数列的定义及通项公式。 等比数列的性质及其应用。
等比数列与等差数列的异同点比较。
THANKS
感谢观看
等差数列求和公式的推导
推导方法
利用倒序相加法，将等差数列的 前n项和公式进行倒序相加，得到 一个常数，从而推导出等差数列 求和公式。
等差数列的性质
必须一样多
(5)a 3 a 4 a5 4a 3
a1 an a2 an1 a3 an2 ak ank1
例1.
已知数列{an}是等差数列，且a1 2,它的前五项和为20， 求a3
S2n1 2n 1 an
例题分析 例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
等差数列的性质三 1) 等差数列{an}的子数列也成等差数列。
K1,k2,k3,…,kn成等差数列
ak1 ,ak2 ,ak3 ,L ,akn 成等差数列
等差数列的下标成等差数列，则下标所对的 项也成等差数列。
如 a1、a4、a7 L ;a2、a5、a8 L ;a3、a6、a9 L ;
成等差数列。
（1）a1 a5 a2 a4成立吗？a4 a6 a3 a7呢？
（2）已知an是等差数列,若m n p q(m, n, p, q N *),
则aman ap aq成立吗？为什么？
等差数列性质二
“若下标和相等，则对应项的和相等”
an是等差数列，则
m n p q(m, n, p, q N*) aman ap aq
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。
判断： (1)a 3 a5 a1 a7
可推广到三项， 四项等
(2)a 1 a 4 a6 a3 a8
注意：等式两
(3)a 1 a5 a6 a 2 a3 a7 边作和的项数
(4)a 3 a 4 a5 3a 4
a8＝a1＋7d＝5
⇒a1＝19， ⇒ d＝－2 an＝19＋(n－1)×(－2)，
等差数列的概念及其通项公式
实际应用：等差数列在实际生活中也有很 多应用，如等差数列求和在实际计算中的 应用，等差数列在统计学中的应用等。
在物理中的应用
弹簧振子的周期公式：等差数列通项公式在弹簧振子的周期计算中的应用。 放射性元素的衰变：等差数列通项公式在放射性元素的衰变计算中的应用。 音阶和乐谱：等差数列通项公式在音阶和乐谱计算中的应用。 光的干涉和衍射：等差数列通项公式在光的干涉和衍射计算中的应用。
an=a1+(n-1)d， 其中d表示公差；等 比数列的通项公式
为an=a1*q^(n1)，其中q表示公
比。
添加标题
性质不同：等差数 列具有对称性，即 从第一项开始每隔 两项取一项，数列 中剩下的项仍然是 一个等差数列；而 等比数列具有周期 性，即从第一项开 始每隔若干项取一 项，数列中剩下的 项仍然是一个等比
数列。
添加标题
通项公式不同：等 差数列的通项公式 为an=a1+(n-1)d， 其中d表示公差；等 比数列的通项公式 为an=a1*Hale Waihona Puke ^(n1)，其中q表示公比。
添加标题
应用上的联系
等差数列与等比数列在金融领域的应用 等差数列与等比数列在计算机科学中的应用 等差数列与等比数列在物理学中的应用 等差数列与等比数列在数学教育中的应用
06
等差数列与等比数 列的区别与联系
定义上的区别
等差数列：从第二项开始，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数
等比数列：从第二项开始，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数
性质上的区别
定义不同：等差数 列是指相邻两项的 差相等的数列，而 等比数列是指相邻 两项的比值相等的
数列。
添加标题
符号不同：等差数 列的通项公式为
(完整版)等差、等比数列的判断和证明
等差、等比数列的判断和证明一、 1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). 2、等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
②中项法：等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
a a a n n n 212+++=⇔{}a n 为等差数列。
③通项公式法：等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d.b an a n +=（a,b 为常数）⇔{}a n 为等差数列。
④前n 项和公式法：等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
公式变形为Sn=An 2+Bn 其中A=2d ，B=21da -. Bn n A s n +=2（A,B 为常数）⇔{}a n 为等差数列。
3.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=(4) ①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等差，公差为md ；②若{}n a 是等差数列，则﹛ka n +p ﹜(k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd.③若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd 1+pd 2 （d 1、d 2 分别为{}n a 、{}n b 的公差）④232,,n n n n n S S S S S -- 也成等差数列.⑤{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时， )(1a a n n n n s ++=；nd s s =-奇偶；a a n n s s 1+=奇偶. 当项数为奇数21n -时， a n n n s )12(12-=-；a s s 1-=-奇偶 ；nn s s 1-=奇偶（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列，eg ：a 1，a 3，a 5…构成等差数列，a 1+a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9…也构成等差数列.二、1、等比数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，即)2,(*1≥∈=-n n q N a a n n2、等比数列的判断方法： ①定义法：1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠⇔{}a n 为等比数列。
数学中的等差数列求和技巧
数学中的等差数列求和技巧等差数列是数学中较为基础的一种数列类型，由于其特殊的规律性，在数学的许多领域中都有重要的应用。
求等差数列的和是等差数列应用的一种基本操作，下面将介绍一些在求等差数列和时的常用技巧。
等差数列的概念等差数列是指数列中每一项与它的前一项的差都相等的数列。
若这个常数差为d，则有an= a1 + (n-1)d。
等差数列求和的基本公式求等差数列的和，最基本的公式就是：Sn=na1+n(n-1)d/2 ，其中Sn表示等差数列的和，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
这个公式可以通过代入数值来求出等差数列的和，在大多数情况下可以得到正确的结果。
但在一些特殊情况下，这个公式可能需要做一些适当的变形才能得到正确的答案。
等差数列求和的技巧1. 等差数列对数列求和在求一个等差数列的和时，如果这个数列是排列成等差数列对的形式，那么就可以通过对每一组相邻的两项求和来得到总和，从而避免去计算更加繁琐的公式。
例如：有一个等差数列：1 + 3 + 5 + 7 + 9。
将这个数列分为两组，分别是1 + 9和3 + 7，它们的和分别为10和10。
然后将这两个和加起来，即得到1 + 3 + 5 + 7 + 9的和为20。
2. 重复利用求和公式有时候，在一个问题中有多个等差数列需要求和，如果这些数列的首项、公差和项数不相同，那么每个数列都需要使用公式进行计算。
但是，如果这些数列可以通过一些变形来变成相同的等差数列，那么就可以在计算中重复利用求和公式。
例如：需要求解两个等差数列2, 5, 8, …, 50和3, 9, 15, …, 99的总和，这两个数列都可以通过乘以3和加1的变形来得到另外一个数列：7, 16, 25, …, 148。
这个新的数列利用求和公式，可以得到其总和为1232。
然后再根据这个公式的性质，通过减去第一个数列和第二个数列相加的和，计算出原本的两个数列的和。
3. 逆向思维在一些具有挑战性的问题中，可以运用逆向思维的方法来解决问题。
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求和：1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝？
我们发现：等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末 两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即：a1＋an＝a2＋ ＝…＝ak＋ .
特殊的，如果三个数 x，A，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项，试用 x，y 表示 A.
2015—文数—福建卷
17.等差数列 an 中， a2 4 ， a4 a7 15 ． （Ⅰ ）求数列 an 的通项公式； （Ⅱ ）略．
2016—文数—全国 2 卷
17.等差数列{ an }中， a3 a 4 4, a5 a 7 6 . （Ⅰ ）求{ an }的通项公式； （Ⅱ ）略．
解
∵x，A，y 组成等差数列，
∴A－x＝y－A，∴2A＝x＋y，
x＋y ∴A＝ 2 .
2014—文数—重庆卷
2.在等差数列 {an } 中, a1 2, a3 a5 10 ，则 a7 （ ）
A.5Βιβλιοθήκη B.8C .10D.14
2017—文数—北京卷
15.已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5． （Ⅰ ）求 an 的通项公式； （Ⅱ ）略．
2014—文数—全国 1 卷
17. 已知 an 是递增的等差数列， a2 ， a4 是方程 x 5 x 6 0 的根.
2
（I）求 an 的通项公式； （II）略.
2015—文数—全国 2 卷
5. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, 若 a1 a3 a5 3 ,则 S5 （ A． 5 B． 7 C． 9 D． 11 ）