数理统计08第八讲 假设检验(续)

n ( 0 ) u . 由分布函数的非减性知， E ( ( x ))是的严格 单调增函数， 所以当 0时有 n E ( ( x )) ( 0 ) u ( u ) , 这与(9)矛盾，故结论成立。
H 0： 0， H 1： 1 ( 1 0 )
的水平为的MPT， 根据N-P引理知 ( x )具体
1 , 表示式为 ( x ) 0,
x 0 x 0

n n
u1 , u1 ,
此时MPT ( x )的功效为 E ( ( x )) P { x 0 u1 }
例9.2 设X 1 , X 2 ,, X n是来自正态总体N ( , 2 ) 的简单样本， 2已知。 试证明检验问题 H 0： 0， H 1： 0 的水平为 (0 1)的UMPT不存在。 证明 反证法 假设所考虑检验问题的水平为 (0 1) 的UMPT是 ( x )， 则对任何水平为 的检验

的检验， 如果对任一水平为的检验 ( x )，有 不等式
E ( ( x )) E ( ( x ))

则称 ( x )是水平为 对所有的 1都成立，
的 一致最优势检验， 简记为UMPT。
(Uniformly Most Powerful Test)
对复合假设检验而言， UMPT的存在性不
解 由例8.1可知，检验问题 H 0： 0， H 1： 1 ( 1 0) (9)
水平为 的最优势检验具有拒绝域 u1 W x：x n
或检验函数
u1 1 , x , n ( x) u1 0, x . n 由于检验函数 ( x )与 1 ( 0)无关，所以 ( x )也

i

i 1
这样 T ( x ) xi , c( ) ，且c( )是的严格 单调增函数， 由定理9.1可知水平为 的UMPT 的拒绝域为 ( T ( x )连续随机变量) n W x： xi c , i 1 其中 c 满足 n E ( ( x )) P { xi c }
2 0
～ (1), 再由
2

xi2
2 0
0
xi
i 1
2 i
～ N (0,1), 所以
( i 1,, n) 相互独立性可得
n 1 c 2 x ～ ( n), 从而 P 2 xi 2 可 2 0 i 1 0 0 i 1
1
n
2 i
H 0： 0，
H 1： 0
可以分别化为假设检验问题 H 0： 0， H 1： 0 和假设检验问题
H 0： 0， H 1： 0
同样可以使用定理8.1来求UMPT。
例9.3 设某种设备的寿命服从参数为 的指数 分布，即密度函数为
2 令 ，则所讨论的检验问题变为 解
H 0： 0，
H 1： 0 .
(11)
样本的联合密度函数为 n 1 1 2 2 p( x , ) exp 2 xi 2 n ( 2 ) 2 i 1
n 1 1 2 即 p( x , ) exp xi . n ( 2 ) 2 i 1 n 1 2 这样 T ( x ) xi 和c( ) , 且c( )是的严 2 i 1 格单调增函数， 所以有定理9.1对检验问题(11) 而言， UMPT存在。 由于T ( x )是连续随机变量，
水平为 的UMPT的检验函数为
1, ( x) 0, x i 1
n i 1 n 2 i
c,
2 x i c,
其中 c常数由下式确定
E ( ( x )) P { x c } .

0 0
n
又由于当 0 时，
2 0

xi2
1 1
由于1 ( 0)的任意性，即就是说对所有的 0
E ( ( x )) E ( ( x ))， 都有 所以 ( x )是检验问题(8)的水平为的UMPT。

由此例可知对简单原假设对简单备择假设检 验问题， 如果MPT不依赖于备择假设的参数，则 可适当扩大备择假设， 并由MPT获得UMPT。这 扩大了N-P引理的应用范围。
但与总体的分布有关， 而且与所考虑的假设检
为了说明问题，我们先看下面两个 验问题有关。
例子。
例9.1 设X 1 , X 2 ,, X n是来自正态总体N ( ,1)
( 0) 的简单样本。 求检验问题
H 0： 0，
H 1： 0 (8)
的水平为 (0 1)的UMPT。
是检验问题(8)的水平为的检验。现在令 ( x )
是检验问题(8)的任一水平为的检验，它显然也
是检验问题(9)的水平为 的检验。又由于 ( x )

是检验问题(9)的水平为 的MPT， 所以对任意
给定的 1 ( 0), 有 E ( ( x )) E ( ( x )).
(2) 如果定理中的 c( ) 是 的严格单减函数，则 定理的结论同样成立， 只需要将(10)中的不 等号改变方向。 (3) 对假设检验问题 H 0： 0， (4) 对假设检验问题
H 0： 0， H 1： 0 H 1： 0
则定理8.1的结论全部成立。
和假设检验问题
2
2 0
2 2 得 c 02 其中 ( n)是自由度为n的 2分布 ( n)，
的分位点， 故所求的检验问题的水平为 的 UMPT的拒绝域为 n 2 2 2 W x： xi 0 ( n). i 1
（二）双边假设检验 这里仅讨论假设检验问题
其中常数 c 和 r [0,1]有下式确定
E ( ( x )) . (2) 水平为的UMPT的功效函数E ( ( x ))是
0
的增函数。
有关这个定理的详细证明可参看Bickel P.J. 《Mathematical Statistics --Basic Ideas and Selected Topics》 注意： (1) 有关r和c 的确定方法可参看N-P引理的注。
则水平为的MPT的拒绝域为 W2 x：x 0 u . n
这说明对检验问题 H 0： 0，
H 1： 0
相应MPT的拒绝域与备择假设有关， 因此一致
最优功效检验(UMPT)就不一定存在。那么在什 么情况下UMPT存在？ 若存在，如何来求？ 为 了方便我们将检验问题分成单边检验问题和双边 检验问题： H 0： 0；H 1： 0 , H ： ；H ： , 0 0 1 0 单边检验问题 H 0： 0；H 1： 0 , H 0： 0；H 1： 0 .
n
我们将N-P引理应用这个例子， 对检验问题
H 0： 0， H 1： 1 ( 1 0 ),
则水平为的MPT的拒绝域为 W1 x：x 0 u1 . n 而对检验问题 H 0： 0， H 1： 1 ( 1 0 ),
定理9.1 如果样本x1 , x2 ,, xn的联合密度(或分布 率) p( x , ) 是单参数的并可表示为 p( x , ) d ( )h( x ) exp{c( )T ( x )},
其中是实值参数， 且c( )关于的严格单调增 函数， 则对单边检验问题 H 0： 0， H 1： 0 (1) 水平为 的UMPT存在，其检验函数为 1, T ( x ) c , ( x ) r , T ( x ) c , （10） 0, T ( x ) c ,
H 0： 1 or 2 ; H 1： 1 2
(12)
的UMPT的存在性及求法，至于另两类双边假设
检验问题留在后面讨论。
定理9.2 如果样本x1 , x2 ,, xn的联合密度(或分布
率) p( x , ) 是单参数的并可表示为 p( x , ) d ( )h( x ) exp{c( )T ( x )},
e p( x , ) 0
x
x0 x0
.
1
我们想知道这种类型的设备的平均寿命 是否 1 大于 ， 即所考虑假设检验问题为 0 1 1 1 1 H 0： ， H 1： .

0

0
现抽取 n 个此类设备进行试验直到设备不能正
常工作为止，并记录其寿命分别为 x1 , x2 ,, xn ,
试求这个检验问题的水 平为 的UMPT 。
解 样本的联合密度函数为
p( x , ) I{min{ x }0 } ( x ) exp{ xi } i 1 1 令 , 则假设检验问题变为
n
i
n

H 0： 0，
H 1： 0 .
而p( x , ) 可改写为 1 1 n p( x , ) n I{min{ x }0 } ( x ) exp{ xi },
其中是实值参数， 且c( )关于的严格单调增
函数， 则对双边检验问题(12)， 存在水平为
(0 1) 的UMPT, 其检验函数为
第八讲
假设检验（续）
一、一致最优功效检验
（一）单边假设检验
（二）双边假设检验
二、一致最优功效无偏检验
一、一致最优功效检验
考虑检验问题 设统计模型为 { P , }， H 0： 0， H 1： 1 (7) 对这个一般的假设检验问题给出最优检验的定
义如下： 定义9.1 在检验问题(7)中，设 ( x )是水平为