13五年级奥数高斯求和
5年级奥数等差数列求和
德国著名大科学家高斯(1777～ 1855)出生在一个贫穷的家庭。高斯在还 不会讲话就自己学计算，在三岁时有一 天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正 父亲计算的错误。
长大后他成为当代最杰出的天文学 家、数学家。他在物理的电磁学方面有 一些贡献，现在电磁学的一个单位就是 卡尔·弗里德里希·高斯 用他的名字命名。数学家们则称呼他为 “数学王子”。
44 44 44 44 44 44 44 44 44 两数列之和=（6+38）×9
解：原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
练习
1、计算 （1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37 （2）7+11+15+19+......+403 （3）9+19+29+39+......+99 （4）1+3+5+7+......+99
练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第 21项是多少?（2）这串数共有多少个？
高斯求和公式,分组计算
整数巧算问题2-高斯求和与分组求和授课时间：年月日一、知识要点（一）高斯求和公式当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。
和=（首项+尾项）项数项数=（尾项-首项）公差+1其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。
（二）分组求和在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。
二、精讲精练（一）高斯求和公式【例题1】计算1+2+3+……+99练习1：1、1+2+3+……+198+1992、2+3+4+……+199+2003、2+3+4+……+997+998【例题2】现在有一组数字为2,4,6……98,100请问这组数一共有多少个数字？1、现在有一组数字为3,4,5……98,917请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为98,100,102……1234,1236请问这组数一共有多少个数字？3、现在有一组数字为3,6,9……99,102请问这组数一共有多少个数字？【例题3】计算2+4+6+……+998+1000练习3：1、1+3+5+……+97+992、3+6+9+……+198+2013、7+14+21+……+994+1001【例题4】有一组数为1，3,5……97,99,这组数中的第30项是多少？1、有一组数为2，4,6……98,100,在这组数中的第40项是多少？2、有一组数为1，3,5……97,99,在这组数中的第20项和第30项的差是多少？3、有一组数为1，3,5……97,99……999,1001,在这组数中的第400项和第100项的差是多少？【例题5】1+2-3-4+5+6-7-8+……+97+98-99-100+101练习5：1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+102、1+2-3-4+5+6-7-8+……+197+198-199-200+2013、1+3－5－7＋9＋11－13－15＋……-1999+2001【例题6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10……100,150,这组数的和是多少？练习5：1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+162、1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+693、1+3+6+6+11+9+16+12+21+……+201+120三、课后巩固1、现在有一组数字为3,6,9……99,189请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数一共有多少个数字？3、有一组数为2，4,6……98,100,请问这组数中的第25项是多少？4、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数中的第48项是多少？5、1+8+15+……+2101+210186、2+4+6+……+20007、1+4+7+……+1008、10+11+12+……+20099、1+10+20+30+……+200+21010、（1-9）-（2-10）-（3-11）-（4-12）-……-（9-17）-（10-18）11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+……+251+100。
小学奥数题讲解： 高斯求和(等差数列)
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
高斯求和问题
高斯求和首先要理解下列公式，能从无到有地推导，并能熟练地默写才能灵活地运用哦！求和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项—首项）÷公差+1末项=首项+公差×（项数—1）首项=末项－公差×（项数一1）一、按规律填数。
1、3，5，7，9，11，13，（），（），（）…2、5，9，13，17，21，25，（），（），（）…3、2，3，4，8，6，13，8，18，10，23，（），（），（）…4、7，13，19，25，31，（），（），（）…5、1，2，3，5，8，13，21，（），（），（）…6、1，4，9，16，25，36，（），（），（）…7、2，6，18，54，162，），（），（）…以上各题，哪些是等差数列？答：等差数列有：（）。
二、求项数。
1、3，5，7，9，11，13，…199。
这列数共有多少项？2、5，9，13，17，21，25，…1177。
这列数共有多少项？3、7，13，19，25，31，…5923。
这列数共有多少项？三、求任意一项是多少。
1、1、3，5，7，9，11，13，…在这列数中，第99项是多少？2、5，9，13，17，21，25，…在这列数中，第294项是多少？3、7，13，19，25，31，…在这列数中，第987项是多少？四、计算。
1、2+4+6+…+96+98+1002、1＋2+3+…+49+503、1+3+5+7+…+97+994、5+8+11+14+…+29+325、1+5+9+…+33+376、5+10+15+…90+95+1007、（2+4+6+...+1992）－（1+3+5+7+ (1991)8、（7+9+11+...+25）－（5+7+9+ (23)9、（1+3+5+...+2001）－（2+4+6+ (2000)10、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+58+59-6011、1+7+13+19+…+1189 12、2000+1995+1990+…+10+5 13、1+2+3+…+2008 14、2+4+6+…+8415、4+8+12+…+600 16、1+7+13+19+…+1201 17、3+7+11+15+…+2003 18、2008+2004+2000+…+8+4 19、1-2+3-4+5-6+…+2003-2004+2005五、 列式计算下列图形的个数。
第五讲 简单的高斯求和
第五讲简单的高斯求和知识结构：如：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100，这是一个自然数列，它们有着这样的规律，从第二项起每一项与它前面的一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。
后项与前项的的差叫做该数列的公差。
我们把数列的第一项叫做首项，最后一项叫做末项，它们之间有着这样的关系：1＋100=101、2＋99=101、3＋98=101……50＋51=101.一共有多少个101呢？100个数每两个为一对，共有50个101.高斯求和就是利用这种配对求和的巧算方法求出这个数列的和的。
解题方法：总和=（首项＋末项）×项数÷2项数=（末项－首相）÷公差＋1末项=首项＋（项数－1）×公差首项=末项－（项数－1）×公差平均数=（首项＋末项）÷2方法探究：例1.计算： 2＋4＋6＋……＋96＋98＋100例2.计算： 2＋5＋8＋11＋14＋17＋20例3.计算下面各题：（1）100＋95＋90＋……＋15＋10＋5（2）1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＋98＋……＋3＋2＋1例4.小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。
问：这本小说共有多少页？例5. 时钟每逢几时就敲几下，每半点钟就敲1下。
问：一昼夜该时钟总共敲了多少下？随堂训练：1.计算：（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10（2）12＋13＋14＋……＋29＋30＋31 （3）18＋19＋20＋21＋22＋23（4）100＋102＋104＋106＋108＋110＋112＋1142.试用两种方法计算下面各题：（1）73＋77＋81＋85＋89＋93 （2）995＋996＋997＋998＋9993.求出所有的两位数的和。
4.求和：（1）1＋3＋5＋7＋……＋37＋39 （2）2＋6＋10＋14＋……＋210＋2145.有10个盒子，44只乒乓球，把这44只乒乓球放到盒子中，能不能使每个盒中的球数都不相同（每个盒子中至少要放一个球）？6.影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位，最后一排有94个座位。
第4讲 小升初奥数高斯求和、新定义
高斯求和、新定义一、高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？和=（首项+末项）×项数÷2；（项数=（末项-首项）÷公差+1）例1、1＋2＋3＋...＋1999＝11＋12＋13＋...＋31＝3＋7＋11＋ (99)例2、在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？举一反三、数一数图中各有多少个三角形。
例3、求100以内除以3余2的所有数的和。
举一反三、在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？例4、盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？举一反三、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？【巩固练习】1、计算下图中，共有多少个长方形。
2、奥数6班开学第一天每两位同学互相握手一次，全班10人，共握手多少次？二、定义新运算我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
例1、对于任意数a ，b ，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b 。
求12*4的值。
举一反三、假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
小学奥数题_高斯求和
《小学奥数教程：高斯求和》专项突破（附答案详解）奥校小学数学竞赛教研中心一、单选题1.在关部门要连续审核30个科研课题方案，如果要求每天安排审核的课题个数互不相等且不为零，则审核完这些课题最多需要（）A. 7天B. 8天C. 9天D. 10天2.现在有100个苹果要分给学生，保证每个学生最少分得一个苹果，并且每个学生分得的苹果数都不相同，则最多可以分给（）个同学。
A. 11B. 12C. 13D. 143.小猫咪咪第一天逮了1只老鼠，以后每天逮的老鼠都比前一天多1只，咪咪10天一共逮了（）只老鼠．A. 45B. 50C. 55D. 604.你一定知道“少年高斯”速算的故事吧！那么1+2+3+4+…+999的结果是（）A. 100000B. 499000C. 499500D. 5000005.用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，那么至少要用（）杯子．A. 100B. 500C. 1000D. 5050二、判断题6.1+2+3+…+2006的和是奇数．．三、填空题7.小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习.当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么，漏加的那个数是________.8.1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15=________²9.一本书，小红第一天读了3页，以后每天都比前一天多读1页，5天后，小红一共读了________页。
10.一堆钢管的最上层有3根，最下层有13根，每相邻两层相差1根，这堆钢管一共有________根。
11.91＋92＋93＋94＋95＝93×________＝________12.1+2+3+4+5+6+7+8+9……+99=________。
13.学校有一只大钟，一时敲1下，2时敲2下……12时敲12下．你知道它一昼夜一共敲________下14.填上合适的数981+982+983+984+985+986+987=984×________=________15.雅雅家住平安街，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌是几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于10000．”雅雅回答说．那么雅雅家住________ 号．16.1+3+5+7+…+97+99=________ =________ 2．17.1+2+3+4+5+6+7+…+99=________．18.计算：9+17+25+…+177=________．19.100以内的偶数和是________ ．20.已知2+4+6+8+…+100=2550，那么1+3+5+7+9+…+101=________．21.1﹣64的自然数中去掉其中两个数，剩下62个数的和是2012，去掉的那两个数共有________ 种可能．22.有40块糖，把它分成4份，且后一份比前一份依次多2块，那么最少一份有________ 块．23.9个连续自然数的和是2007，其中最小的自然数是________ ．24.1+2+3+4+5…+2007+2008的和是________ （奇数或偶数）．25.已知：则：1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1=________．26.自然数1、2、3…14、15的和是120，这15个自然数的平均数是________ ．27.把自然数1，2，3，…99分成三组，如果每一组的平均数恰好都相等，那么这三个平均数的乘积是________ ．28.1+3+5+…+99=________．29.用100个盒子装杯子，每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么至少有________ 个杯子．30.一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1997，则这个被加了两次的页码是________ ．31.27个连续自然数的和是1998，其中最小的自然数是________ ．四、计算题32.33.想一想，算一算。
高斯求和
…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … …… …… …… …… …… …
7. 有一堆粗细均匀的圆木，堆成右上图的形状，最上 面一层有6根，每向下一层增加一根，共堆了25层。问： 这堆圆木共有多少根？
例6. 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次 从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里盒子里拿出十只球，将 每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共 有多少只乒乓球？
练一练（3） 1.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数， 每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？
2.求100以内除以3余2的所有数的和。
3.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多 少个？
4. 在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差 数列。写出插入的5个数。
5． 在1000到2000之间，所有个位数字是7的自然数之 和是多少？
6. 左下图是一个堆放铅笔的V形架，如果V形架上一共 放有210支铅笔，那么最上层有多少支铅笔？
例1． 计算。1＋2＋3＋…＋2015 ＋ 2016
例2 计算。11＋12＋13＋…＋89＋91
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例5： 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12 厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的 面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴 棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每 层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
层
小三 角形 数 火柴 数
1
1
2
3
3
5
4
7
5
9
6
11
7
13
8
15
3
6
9
12
15
18
21
24
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各 层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为 （1＋3＋5＋…＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（平方厘米）。 2）火柴棍的数目为 3＋6＋9+…+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。 答：最大三角形的面积是768厘米2，整个 图形由108根火柴摆成。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和 公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。
例1： 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等 差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个 数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断 题目中的各个加数是否构成等差数列。
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时， 有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯 却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快 又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和 都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了， 简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问 题。
若干个数，排成一列称为数列，数列中的每一个数 称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末 项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列， 后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99； （3）8，15，22，29，36，…，71。 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数 列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数 列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数 列。
例2 ：11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差 数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21 （项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是 一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首 项、末项、公差的关系，可以得到： 项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3： 3＋7＋11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等 差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4： 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的 和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可 以解决各种与等差数列求和有关的问题。
1.计算下列各题： （1）2＋4＋6＋…＋200； （2）17＋19＋21＋…＋39； （3）5＋8＋11＋14＋…＋50； （4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等 差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前 30项的和。