三向应力状态的广义胡克定律
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材料学 胡克定律
l
b=50mm h=100mm
解: 梁为拉伸与弯曲的组合变形. A点有拉伸引起的正应力和弯曲 引起的切应力.
（拉伸） （负）
（1）A点处的主应变1， 2 ， 3
A
x = 20
x = 30
（2）A点处的线应变 x , y , z
例题14 简支梁由18号工字钢制成. 其上作用有力F= 15kN, 已知
2.三向等值应力单元体的体积应变（The volumetric strain of triaxial-equal stress element body）
三个主应力为
m
单元体的体积应变
m
m
这两个单元体的体积应变相同 单元体的三个主应变为
2
1
dy
3
dz dx
m
m
m
如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应 变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例. 所以在三向
因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为 d =10mm .
例题13 已知矩形外伸梁受力F1,F2作用. 弹性模量E=200GPa,泊
松比m= 0.3, F1=100KN,F2=100KN. 求:（1）A点处的主应变 1,2 , 3 （2）A点处的线应变 x , y , z
F1
b
F2 A
F2 z
a
例题10 边长 a = 0.1m 的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形
可略去不计的钢凹槽中,如图所示. 已知铜的弹性模量E=100GPa,
泊松比μ=0.34,当受到F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主
应力,体积应变以及最大切应力.
解:铜块横截面上的压应力
Fa
应力状态广义胡克定律
铸铁拉伸
低碳钢拉伸
TSINGHUA UNIVERSITY
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
两种材料的扭转试验
低碳钢扭转
铸铁扭转
TSINGHUA UNIVERSITY
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
TSINGHUA UNIVERSITY
为什么要研究应力状态 试件的破坏不只在横截面，
有时也沿斜截面发生破坏；
90
2
sin 2(
90 )
cos2
பைடு நூலகம்
2
sin 2
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3 提取扭转变形杆件危险点的应力状态
T
Wt
纯剪切应力状态
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4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态
M
Wz
单向应力状态
5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态
应力的点的概念与面的概念
应力
哪一个面上？ 哪一点？
指明
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态:
——过同一点不同方向面上应力的集合，称 为这一点的应力状态；
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二、为什么要研究应力状态？
请看下列实验现象：
低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验
两种材料的拉伸试验
三
平
向
面
应
应
力
力
状 特例 状
态
态
单向应力状态
特例
纯剪应力状态
常用术语 主单元体 主平面
x1
x1
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主应力 单元体的某个面上切应力等于零时的正应力;
低碳钢拉伸
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塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
两种材料的扭转试验
低碳钢扭转
铸铁扭转
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为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
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为什么要研究应力状态 试件的破坏不只在横截面，
有时也沿斜截面发生破坏；
90
2
sin 2(
90 )
cos2
பைடு நூலகம்
2
sin 2
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3 提取扭转变形杆件危险点的应力状态
T
Wt
纯剪切应力状态
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4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态
M
Wz
单向应力状态
5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态
应力的点的概念与面的概念
应力
哪一个面上？ 哪一点？
指明
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态:
——过同一点不同方向面上应力的集合，称 为这一点的应力状态；
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二、为什么要研究应力状态？
请看下列实验现象：
低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验
两种材料的拉伸试验
三
平
向
面
应
应
力
力
状 特例 状
态
态
单向应力状态
特例
纯剪应力状态
常用术语 主单元体 主平面
x1
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主应力 单元体的某个面上切应力等于零时的正应力;
应力状态分析3广义胡克定律与强度理论土
03
应力状态分析有助于了解结构的承载能力和稳定性， 为工程设计和安全评估提供依据。
应力状态分类
01
02
03
平面应力状态
物体受力作用在两个相互 垂直的平面上，且这两个 平面上的应力分量不相等。
平面应变状态
物体受力作用在两个相互 垂直的平面上，且这两个 平面上的应变分量不相等。
三向应力状态
物体在三个相互垂直的方 向上均受到应力作用，且 三个方向的应力分量都不 相等。
地基承载力特征值的确定需要考虑地质勘查报告、建筑物类型、基础形式等多种因素。
地基变形分析
地基变形分析是指对建筑物地基在不同荷载作用下的变形情况进行评估和分析，以确保建筑物在使用过程中不会发生过大的 沉降、倾斜或裂缝等不良现象。
地基变形分析的方法包括：沉降观测、倾斜测量、裂缝监测等。
感谢您的观看
THANKS
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，通过 将土体离散化为有限个单元体，建立 数学模型并求解，可以更准确地模拟 土坡的应力分布和变形情况。
有限元法的优点在于能够考虑土体的 非线性特性和复杂的边界条件，适用 于大型复杂土坡的稳定性分析。
地基承载力特征值
地基承载力特征值是指地基在垂直荷载作用下所能承受的极限压力，是评估建筑物地基稳定性的重要 指标。
在有限元分析中，强度理论用于模拟和分析复杂应力状态 下结构的响应和行为，为工程实践提供更精确和可靠的计 算结果。
04
土的特性与力学行为
土的分类与性质
土的分类
根据土的成因、粒径、物质组成等， 可以将土分为多种类型，如碎石土、 砂土、粘性土等。
土的性质
土的性质包括物理性质和力学性质。 物理性质包括密度、含水量、孔隙比 等；力学性质包括抗剪强度、压缩性、 抗拔能力等。
应力状态分析有助于了解结构的承载能力和稳定性， 为工程设计和安全评估提供依据。
应力状态分类
01
02
03
平面应力状态
物体受力作用在两个相互 垂直的平面上，且这两个 平面上的应力分量不相等。
平面应变状态
物体受力作用在两个相互 垂直的平面上，且这两个 平面上的应变分量不相等。
三向应力状态
物体在三个相互垂直的方 向上均受到应力作用，且 三个方向的应力分量都不 相等。
地基承载力特征值的确定需要考虑地质勘查报告、建筑物类型、基础形式等多种因素。
地基变形分析
地基变形分析是指对建筑物地基在不同荷载作用下的变形情况进行评估和分析，以确保建筑物在使用过程中不会发生过大的 沉降、倾斜或裂缝等不良现象。
地基变形分析的方法包括：沉降观测、倾斜测量、裂缝监测等。
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有限元法
有限元法是一种数值分析方法，通过 将土体离散化为有限个单元体，建立 数学模型并求解，可以更准确地模拟 土坡的应力分布和变形情况。
有限元法的优点在于能够考虑土体的 非线性特性和复杂的边界条件，适用 于大型复杂土坡的稳定性分析。
地基承载力特征值
地基承载力特征值是指地基在垂直荷载作用下所能承受的极限压力，是评估建筑物地基稳定性的重要 指标。
在有限元分析中，强度理论用于模拟和分析复杂应力状态 下结构的响应和行为，为工程实践提供更精确和可靠的计 算结果。
04
土的特性与力学行为
土的分类与性质
土的分类
根据土的成因、粒径、物质组成等， 可以将土分为多种类型，如碎石土、 砂土、粘性土等。
土的性质
土的性质包括物理性质和力学性质。 物理性质包括密度、含水量、孔隙比 等；力学性质包括抗剪强度、压缩性、 抗拔能力等。
三向应力状态简介
变形比能： 1 u 2
2
1 1 1 u 1 1 2 2 3 3 2 2 2
1 3
变形比能： 1 1 1 u 1 1 2 2 3 3 2 2 2
1 2 2 1 2 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E 1
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
解： 1 50MPa
2 50MPa 3 50MPa max 1 3
2 50MPa
CL10TU33
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
CL10TU34
解：
120 40 2 2
3(1 2 ) 2 1 2 2 m ( 1 2 3 ) uv 2E 6E
u f u uv
12 2 2 2 m ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6E
m
1 2 3
3
3 ( 1 2 ) 1 2 3 m 变形比能 = 体积改变比能 + 形状改变比能 E 3 K u = u + u
v
f CL10TU41
1 2 2 u 1 2 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
1 式中：
E 1 体积弹性模量 K 3 (12 2 ) 2 （ 3 1 ） E 1 2 3 m 1 3 3 （ 1 2 ） 3 E 当 05 . 时， 0
2
3 1
1 3
广义胡克定律公式推导
广义胡克定律公式推导
广义胡克定律是描述材料弹性行为的重要定律，其公式为 F - k·x 或 F - k·x，其中 F 是施加的外部力，k 是物体的劲度系数，x 是形变量。
在三维情况下，广义胡克定律是三个方程，可以将这三个方程的应力应变提出来写成矩阵形式。
首先，将三维情况下的广义胡克定律写成矢量形式，即 F = k·e，其中 e 是应变矢量，定义为形变前后物体的长度差。
接着，将矢量 F 与应变矢量 e 之间的关系表示为矩阵形式，即 F = k·E，其中 E 是胡克应变矩阵，定义为胡克应变矩阵胡克应变矩阵。
最后，将胡克应变矩阵表示成矢量胡克应变矩阵，即 E = [e_x e_y e_z],然后将其代入矩阵形式的广义胡克定律中，得到三维情况下的广义胡克定律矩阵形式为:
[F_x - k·e_x] = [0 0 0]
[F_y - k·e_y] = [0 0 0]
[F_z - k·e_z] = [0 0 0]
其中，F_x、F_y、F_z 分别表示外部力在 x、y、z 方向上的投影，e_x、e_y、e_z 分别表示对应的应变矢量。
可以看出，三维情况下的广义胡克定律矩阵形式正是反映了物体在三维空间中的弹性行为。
§7-4各向同性材料的应力、应变关系一、广义胡克定律
σy
解： （1）求应变εx, εy ,εz 根据广义胡克定律：
σx
O
= ε x
1 E
(σ
x
−
µσ
y
)
=
1 200 ×
109
(160
×
106
+
0.25
×
40
×
106
)
=
8.5 ×10−4
εy
=1 E
(σ
y
−
µσ x )
= 200
1 ×
109
(−40 × 106
−
0.25×160×106 )
=−4 × 10−4
例: 刚性块D=5.001cm凹座，内放d=5cm刚性
圆柱体，F=300kN, E=200GPa, µ = 0.3,无摩擦，
求圆柱体主应力。
解：
σ3
=− F A
=− π30×05×012043
=−153MPa
F
设圆柱体胀满凹座
ε2 = (5.001− 5) 5= 0.0002
由对称性，可设 σ1 = σ2 = −q
(2) 坐标系转动30o，求 ε γ 30, 30/120
解：（ii）由应力转轴公式
σ= 30
σx
+σ y
2
+
σx
−σ
2
y
cos 2 × 30
−τ x
sin 2 × 30
= 160 − 40 + 160 + 40 cos 60 = 110MPa
2
2
（应力单位：MPa）
τ 30
σ
x
−σ
2
y
三向的胡克定律
三向的胡克定律一、三向胡克定律的基础概念三向胡克定律，又称为三维胡克定律，是弹性力学的基本定律之一。
它描述了在三维空间中，物体的应力和应变之间的关系。
与传统的二维胡克定律相比，三向胡克定律考虑了更多的因素，包括剪切应力、旋转应力和三维空间的应变状态。
在三向胡克定律中，物体的应力和应变被表示为三维向量，这些向量不仅包括大小，还包括方向。
这使得三向胡克定律能够更准确地描述在复杂应力状态下的物体行为，如扭曲、弯曲和剪切等。
二、三向胡克定律的数学表达三向胡克定律的数学表达通常由三个方程构成：应力平衡方程、几何方程和物理方程。
这些方程一起描述了物体的应力、应变和变形之间的关系。
1.应力平衡方程：该方程描述了物体内部应力的平衡状态。
在三维空间中，这个方程是一个线性方程组，表示为：σij,j=0 （i=1,2,3）。
其中，σij表示应力张量分量，j表示偏量算子。
2.几何方程：这个方程描述了物体的应变和变形。
它通常表示为：εij=1/2（uij+uji），其中εij表示应变张量分量，uij表示位移梯度分量。
3.物理方程：这个方程将应力和应变联系起来，通常表示为：σij=λδij+2μεij。
其中，λ和μ是拉梅常数，δij是克罗内克符号，表示当i=j时值为1，否则为0。
三、三向胡克定律的应用三向胡克定律在许多工程领域中有广泛的应用，包括结构工程、航空航天工程和材料科学等。
以下是一些具体的应用实例：1.结构工程：在结构工程中，三向胡克定律被用于分析桥梁、建筑和其它大型结构的应力分布和变形。
这种分析可以帮助工程师预测结构的强度、刚度和稳定性，从而优化设计。
2.航空航天工程：在航空航天工程中，由于飞行器经常处于复杂的应力状态，因此三向胡克定律的应用尤为重要。
它被用于分析飞行器的结构强度、疲劳寿命和气动弹性等问题。
3.材料科学：在材料科学中，三向胡克定律用于研究材料的力学性能，如弹性模量、泊松比和剪切模量等。
这种研究有助于理解材料的微观结构和宏观力学行为之间的关系，为新材料的开发提供理论支持。
三向应力状态简介4广义胡克定律5
为什么脆性材料扭转时沿45º 螺旋面断开？
三、应力状态的研究方法
取单元体 1、单元体特征 单元体的尺寸无限小，
2
1 3 2
3 1
每个面上应力均匀分布
任意一对平行平面上的应力相等 2、主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体
3、主平面 4、主应力 说明:
切应力为零的截面 主平面上的正应力
重要结论：
(1) 同一面上不同点的应力各不相同;
(2) 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
一点的应力状态
过一点不同方位面上应力的总和，称为这一点的应力 状态。
二、研究应力状态的目的
1. 解决复杂应力状态下的强度计算问题 2. 有助于理解和解释某些破坏现象 例如
为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？
(2)当x<y 时 ， 0 是x与min之间的夹角
3. 最大切应力
令
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
x y d 2[ cos 2 x sin 2 ] 0 d 2
F
t
0
dA ( x dAcos )cos
( x dA cos )sin ( y dA sin )sin ( y dA sin )cos 0
化简以上两个平衡方程最后得
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
不难看出
90 x y
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
三、应力状态的研究方法
取单元体 1、单元体特征 单元体的尺寸无限小，
2
1 3 2
3 1
每个面上应力均匀分布
任意一对平行平面上的应力相等 2、主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体
3、主平面 4、主应力 说明:
切应力为零的截面 主平面上的正应力
重要结论：
(1) 同一面上不同点的应力各不相同;
(2) 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
一点的应力状态
过一点不同方位面上应力的总和，称为这一点的应力 状态。
二、研究应力状态的目的
1. 解决复杂应力状态下的强度计算问题 2. 有助于理解和解释某些破坏现象 例如
为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？
(2)当x<y 时 ， 0 是x与min之间的夹角
3. 最大切应力
令
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
x y d 2[ cos 2 x sin 2 ] 0 d 2
F
t
0
dA ( x dAcos )cos
( x dA cos )sin ( y dA sin )sin ( y dA sin )cos 0
化简以上两个平衡方程最后得
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
不难看出
90 x y
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
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1、静平衡方程 2、变形协调方程
转 角
Ml max EI Pl 2 max 2 EI ql 3 max 6 EI Ml Ml 、 3EI 6 EI
max
Pl 2 16 EI Z ql 3 24 EI Z
挠 度
ymax Ml 2 2 EI
Pl 3 ymax 3EI4 ql ymax 8EI
2 2
2
2
1 r3 W
M T
2
2
r4
M 2 T 2 ( ) 3( ) W Wt
r4
1 W
M 0.75T
2
2
对于拉、弯、扭同时存在作用在圆形截面时:
N M 2 T 2 N M 2 T 2 r 3 ( ) ( ) r 4 ( ) 0.75( ) A W W A W W
max
轴向拉.压
扭
转
弯
曲
NL ＝ T L M EIf ( x ) L ＝ 变形 G IP EA Tmax 180 L f max f max 刚度条件 GI P L
x
虎克定律
E
G
超静定 问题
在单元体上两个剪应力共同指定的象限 既为主应力1所在象限
1.应力圆的画法
y
y
R
c
B2 B1
x
x
D2 (y ,y)
D1 (x ,x)
o
x y
2 1.在—坐标系中， 该点的横纵坐标代表单元体以 量取横坐标OB1=x， x轴为外法线方向面上的应力 纵坐标B1D1=x得到D1点。 情况。同样方法得到D2点。
2
2
危险点处于单相应力状态
双向弯曲（原形横截面）
M
2 2 MZ MY
2 2 MZ MY W
M W
max
FN Mz y Myz x I A I
M Z MY ( ) WZ WY
M 2 T 2 r 3 ( ) 4( ) W Wt
r 3 4 r 4 3 圆形截面：Wt 2W
ymax
ymax
Pl 3 48 EI Z
5ql 4 384 EI Z
max
b
h
bh Iz 12
z
3
bh Wz 6
2
Iy
y d
hb 12
3
hb Wy 6
4
2
I z I y
z
4
d
64
Wz Wy
d
3
32
y
3 D D 4 IP (1 ) Wt= ( 1- 4 ) 32 16 d
D
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
2 x tg 2 x y
x y x y 2 2 max( mix) ( ) x 2 2
1 3 3 1 2 E
主应力和主应变的方向重合。1 2 3
y
y z x
x
1 x x y E 1 y y x E
z
E
x
y
G
y
y z x
x
1 1 （ 2 3） 1 3
U 卡氏第二定理： i P i
Q(x) Q(x)
li
li
U i P i M ( x)i M ( x)i dxi EI P
T ( x)i T ( x)i dx li GI p P i
N ( x)i N ( x)i dxi EAi P
2.连D1D2交轴于c点，即以c点为圆心，cd为半径作圆。
1 R 2
2 4 x y 2
R c
x y
2
应 力 圆
2
x y 2 2 ( ) 2
=
1 2 2 x y 4 x 2
圆轴发生扭转变形时，最大拉应力发生在（ 斜 ） 截面上，最大剪应力发生在（ 横 ）截面上。 m
塑性材料：
m
[ ] ＜ [ ]
材料被剪断，断口平齐
脆性材料： [ ]
＜ [ ]
材料被拉断，断口与轴线 450角
三向应力状态的广义胡克定律
2
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E 1
3
QS Z IZb
M max WZ
Q P一侧 剪力
应力
N A
max
Q ＝ A jq
jy
Amin
jy
max Tmax max WP jy
i ay yP
2 z
az
i
2 y
zP
1、中性轴不能将横截面分为两部分 2、截面核心的形状受截面外边界控制
3、中性轴和力的作用点分别在截面形心两侧
组 Q(x) 合 Q(x) 变 形 的 杆内总变形能: 变 2 2 2 N ( x ) T ( x ) M ( x ) 形U dx dx dx l 2 EA l 2GI l 2 EI P 能
[ t ] 3 [ t ] 莫尔强度理论： 1 [ c ]
1 2 2 2 （ [ 1 2） 2 3 3 1 ] 2 r r
2 2
r 3 4
r 4 3
三向应力状态的 广义胡克定律
轴向拉.压 剪 切
受力 内力
P P P P P P
扭 转
m P(kw) m 9549 n(r / min)
弯 曲
m m
变形特点
轴力 N
(截面法) N
P一侧
剪力 Q 挤压力 Pjy
扭矩 T
T IP
T m一侧 弯矩m Px一侧
My IZ