高中数学第二章平面向量1从位移速度力到向量学案北师大版必修
新教材高中数学第2章平面向量及其应用§1从位移速度力到向量学案含解析北师大版必修第二册
新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：§1 从位移、速度、力到向量学 习 任 务核 心 素 养 1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)通过向量的有关概念的学习，培养数学抽象素养．(1)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．(2)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．民航客机飞行一次，位移变化一次，由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：上述情境涉及哪些物理量？其特点是什么？ 问题2：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 问题3：平行向量一定是相等向量吗？ 知识点1 向量的概念数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等).两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ [提示] 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 知识点2 向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A 为起点，B 为终点的有向线段，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作||AB→. (2)向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a |.箭头所指的方向表示向量的方向．知识点3 零向量与单位向量(1)长度为0的向量称为零向量，记作0或0→； (2)模等于1个单位长度的向量，叫作单位向量．1.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．[答案] 一条直线 两个点 知识点4 向量的基本关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a ＝b .(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a 平行于b ，记作a ∥b ；规定零向量与任一向量共线．(3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a 的相反向量记作－a ； 规定零向量的相反向量是零向量．2.下列说法错误的是( )A ．若a ＝0，则||a ＝0B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任意向量平行D ．零向量与任意向量垂直B [零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行、垂直，所以B 是错误的．] 知识点5 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，在平面内选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角；(2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系：θ＝0°⇔a 与b 同向；θ＝180°⇔a 与b 反向；θ＝90°⇔a ⊥b ，规定：零向量与任一向量垂直．3.等边△ABC 中，AB →与AC →的夹角是________，AB →与BC →的夹角是________．[答案] 60° 120°类型1 向量的有关概念【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；(2)若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； (3)在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； (4)若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0.[解] (1)当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件，故(1)不正确．(2)AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故(2)不正确．(3)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，(3)正确． (4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确．1.向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2.熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．[跟进训练]1．已知O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量 D ．起点相同的向量C [||AO →＝||BO →＝||CO →＝r .] 类型2 向量的表示【例2】 (教材北师版P 75例1改编)一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量．[解] (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →，如图所示． (2)由题意知AD →＝BC →， ∴AD 与BC 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．[跟进训练]2．在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1).(1)|OA →|＝4，点A 在点O 正北方向；(2)|OB →|＝22，点B 在点O 东偏南45°方向；(3)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么？ [解] (1)(2)(3)的图象如图所示．(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆． 类型3 共线向量与夹角【例3】 (教材北师版P 76例2改编)如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，(1)分别写出图中所示与OA →，OB →，OC →相等的向量； (2)分别求出AB →与OB →，AB →与FE →的夹角的大小．[解] (1)OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →. (2)AB →与OB →的夹角的大小为60°，AB →与FE →的夹角的大小为60°.1．例3中与OA →模相等的向量有多少？ [解] 由图知与OA →的模相等的向量有23个．2．例3中向量OA →的相反向量有哪些？[解] 与向量OA →长度相等方向相反的向量有OD →，BC →，FE →，AO →. 3．例3中与向量OA →共线的向量有哪些？[解] 与向量OA →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →. 4．求出例3中AB →与OA →的夹角的大小 [解] AB →与OA →的夹角的大小为120°.判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．[跟进训练]3.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量； (3)求AE →与CD →夹角的度数． [解] (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)DA →，CF →，FC →.(3)因为CD →＝AF →，所以AE →与CD →夹角为∠EAF ＝45°.1．下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③若|a |＞|b |，则a ＞b .A ．0B ．1C ．2D ．3B [①温度没有方向，所以不是向量，故①错；③向量不可以比较大小，故③错；②若a ，b 中有一个为零向量，则a 与b 必共线，故a 与b 不共线，则应均为非零向量，故②对．]2．(多选题)下列说法错误的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝±bB ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量称为相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量ACD [对A ，当|a |＝|b |时，由于a ，b 方向不一定相同，a ＝±b 未必成立，所以A 错误；对B ，零向量的长度是0，正确；对C ，长度相等的向量方向不一定相同，故C 错误；对D ，共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．故选ACD.]3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AD →|＝|AB →|，则这个四边形是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形 D [由AB →＝DC →可知AB ∥DC ，且|AB →|＝|DC →|， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 又|AD →|＝|AB →|，所以平行四边形ABCD 为菱形．故选D.]4．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________． [答案] OA →与BO →，AC →与BD →5.如图所示的菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠DAB ＝60°，则DA →与CA →的夹角为________；DA →与BC →的夹角为________．30° 180° [由图知，DA →与CA →的夹角与∠DAO 是对顶角，又因∠DAB ＝60°，根据菱形的几何性质，知∠DAO ＝30°，故DA →与CA →的夹角为30°，DA →与BC →为相反向量，故DA →与BC →的夹角为180°.]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.向量与有向线段有怎样的联系与区别？[提示] 用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段还是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．2.向量的“平行”与平面几何中的“平行”含义是否相同？[提示]共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．。
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案姚连省编制
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案扶风县法门高中姚连省第一课时 2.1从位移、速度、力到向量一、教学目标1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教法学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究交流法.四.教学过程（一）、创设情境实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。
问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.（二）、探究新知1．学生阅读教材思考如下问题A B[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等。
注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。
高中数学 第2章《平面向量》1从位移、速度、力到向量导学案 北师大版必修
陕西省榆林育才中学高中数学第2章《平面向量》1从位移、速度、力到向量导学案北师大版必修4使用说明1.根据学习目标，课前认真阅读课本第71页到第73页内容，完成预习引导的全部内容.2.在课堂上（最好在课前完成讨论）发挥高效学习小组的作用，积极讨论，大胆展示，完成合作探究部分.学习目标1.了解向量的实际背景，理解向量的概念.2. 理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量等概念.学习重点向量、零向量、单位向量、平行向量的概念.学习难点向量的概念，零向量、单位向量、平行向量的判断自主学习一、自主预习1.我们把______________________的量叫做向量；把____________ 的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作____，线段AB的长度叫做有向线段AB的长度，记作_______，2.向量可以用有向线段表示，向量AB的长度（或称____）记作_____，长度为零的向量叫做____向量，记作0，长度等于1个单位的向量，叫做__ 向量；有向线段包括三要素____、____、____；数学中我们研究的向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量。
向量也可以用黑体小写字母如a,b,c,…来表示，书写用,c,b,a来表示.3.______________________的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，记作______，规定0与任一向量平行，即对任意向量a都有___ ；4._______________________的向量叫做相等向量；若a与b相等，记作___ ；5.由于任一组平行向量可以移动到同一直线上，平行向量也叫_______向量.【预习自测】1.（向量的概念)下列各量中不是向量的是（）A. 浮力B.风速C.位移D.密度E.温度F.体积2.下列说法中错误的是（ ）（A ）零向量是没有方向的； （B ）零向量的长度为0；(C) 零向量与任一向量平行； (D) 零向量的方向是任意的.3.给出下列命题：○1向量AB 和向量BA 的长度相等；○2方向不相同的两个向量一定不平行；○3向量就是有向线段；○4向量0=0；○5向量AB 大于向量CD 。
高中数学2.1《从位移、速度、力到向量》学案(北师大版必修4)
CB《从位移、速度、力到向量》课堂练习Ⅰ.合作交流，感知概念Ⅱ、判断对错，理解概念⑴若向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线.⑵若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =;反之，若AB DC =，则A 、B 、C 、D 四点必能组成平行四边形. ⑶若,,a b b c ==则a c = ⑷若//,//,a b b a 则//a cⅢ.应用迁移，巩固提高如图，,,D E F 依次为等边三解形ABC 的边,,AB BC AC ,,,,,A B C D E F 为起点或终点的向量中,⑴找出与DE 相等的向量。
⑵找出与DF 共线的向量。
Ⅳ.创新应用，提升能力请你当一回老师，考考你的搭档，在方格中画出一些向量（要求所画向量的起点和终点必须在方格的格点处），让其辩认出是否存在共线向量、相等相量？若存在，请一一举出。
Ⅴ.回顾历史，感受文化Ⅵ. 总结反思，布置作业数学诗《我的向量》1、小结给你一个方向，你就成为我的向量2、作业给你一个坐标系，你就在我心空飞翔⑴课本73页第4题.给你一个基底，带着我，征途启航⑵请同学们逐步积累资料，在学完繁复的几何关系，变成纯代数的情疡《平面向量》一章后，以《话说“优美的动态结构，没有人情冷暖世态炎凉向量”》为题，写一篇数学短文，不管起点在哪里，你始终在水一方谈谈你对向量知识的理解.哪怕山高路远，哪怕风雨苍茫（参考网址：）啊，我的向量，你是一股力量溶进了我的身体，在我的血管量，静静地流淌Ⅶ.数学日记姓名：日期：今天数学课的课题：；今天所学的重要数学知识：；理解得最好的地方：；不明白或还需要进一步理解的地方：；你对什么问题还有不同见解：；今天你独立或和谁一起合作解决了什么问题：；所学内容能否应用在日常生活中，请举例说明：；自我评价：；教师评价：；。
高中数学第二章平面向量2.1从位移、速度、力到向量课堂导学案北师大版必修4
2.1 从位移、速度、力到向量课堂导学三点剖析1.向量、相等向量、共线向量的概念【例1】如右图，四边形ABCD与四边形ABEC都是平行四边形.（1）用有向线段表示与向量相等的向量；（2）用有向线段表示与向量AB共线的向量.思路分析：寻找相等向量时要从大小和方向两个方面来考虑，寻找共线向量只考虑方向即可，两向量方向相同或相反就是共线向量.解：（1）与向量AB相等的向量是、;（2）与向量AB共线的向量是、DC、CE.友情提示用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性、向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.各个击破类题演练 1如右图，四边形ABCD为正方形△BCE为等腰直角三角形，（1）图中与AB共线的向量有____________；（2）图中与AB相等的向量有____________；（3）图中与AB模相等的向量有____________；（4）图中与相等的向量有____________.解:（1）DC、、、、、、（2）DC，BE（3）BA、BE、EB、DC、CD、、、、（4）变式提升 1如右图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_______个互不相等的非零向量.解析：可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中AB=BC=CD，BA=CB=DC；长度为2的向量有4个，其中=BD，=；长度为3的向量有2个，分别是AD和DA，所以最多可以写出6个互不相等的向量.答案：62.共线向量（平行向量）的判断【例2】给出以下五个条件：①a=b；②|a|=|b|;③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是____________.思路分析：利用向量共线的定义，抓住方向相同或相反的条件，但不要忽视零向量.解析:模相等的向量不一定共线，②不能使a与b共线成立；单位向量不一定是共线向量，⑤不能使a与b共线成立.①③④都是正确的.答案：①③④友情提示注意区分相等向量与共线向量的联系与区别，相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量.类题演练 2有下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同②若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线③若a∥b且b∥c，则a∥c④当且仅当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析:①正确.②不正确.这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念.③不正确.假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c 的条件，但结论a∥c却不能成立.④正确.综上可知应选C.答案：C变式提升 2下列命题中，正确的是（）A.|a|=|b|a=bB.|a|＞|b| a＞bC.a=b⇒a∥bD.|a|=0⇒a=0解析：（排除法）由向量的定义知：向量既有大小，又有方向，由向量具有方向性可排除A、B.零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0.∴应排除D.答案：C3.零向量的应用【例3】下列说法正确的有几个（）①零向量是没有方向的向量②零向量与任一向量共线③零向量的方向是任意的④零向量只能与零向量共线A.0个B.1个C.2个D.3个思路分析：从零向量的概念来判断是否正确.解析：由零向量的特点可知②③对.答案：C友情提示容易把零向量当成是没有方向的向量，对于零向量我们应从大小与方向两个角度来理解，把它同实数中的零进行类比.类题演练 3下列四个说法：①若|a|=0;则a=0;②若|a|=|b|，则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0，则-a=0,其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析：由向量的有关定义知①②③错误，④正确.故选A.答案：A变式提升 3下列条件中能得到a=b的是（）A.|a|=|b|B.a,b同向C.a=0,b任意D.a=0,b=0答案：D内容总结（1）2.1 从位移、速度、力到向量课堂导学三点剖析1.向量、相等向量、共线向量的概念【例1】如右图，四边形ABCD与四边形ABEC都是平行四边形.（1）用有向线段表示与向量相等的向量（2）⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是____________.思路分析：利用向量共线的定义，抓住方向相同或相反的条件，但不要忽视零向量.解析:模相等的向量不一定共线，②不能使a与b共线成立。
新教材高中数学第2章平面向量及其应用1从位移速度力到向量素养作业北师大版必修第二册
第二章 1A 组·素养自测一、选择题1．下列说法正确的是( C ) A ．若|a |>|b |,则a >b B ．若|a |＝|b |,则a ＝b C ．若a ＝b ,则a ∥bD ．若a ≠b ,则a 与b 不是共线向量[解析] A 中向量不能比较大小,B 中向量模相等,可能方向不同,D 中不相等的向量可能方向相同或相反,可以是共线向量,于是A,B,D 都是错误的,C 显然正确．2．某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进1003米,则此人位移的方向是( C )A ．南偏东60°B ．南偏东45°C ．南偏东30°D ．南偏东15°[解析] 如图所示,此人从点A 出发,经由点B ,到达点C , 则tan ∠BAC ＝1003100＝3,∴∠BAC ＝60°,即位移的方向是东偏南60°,即南偏东30°,应选C ．3．正n 边形有n 条边,它们对应的向量依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ,则这n 个向量( D ) A ．都相等 B ．都共线 C ．都不共线D ．模都相等[解析] 正n 边形n 条边相等,故这n 个向量的模都相等． 4．设O 是正方形ABCD 的中心,则向量AO →,BO →,OC →,OD →是( D ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量D ．模相等的向量[解析] 这四个向量的模相等．5.如图,在平行四边形ABCD 中,点E ,F 分别是AB ,CD 的中点,图中与AE →平行的向量有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 根据向量的基本概念可知与AE →平行的向量有BE →,FD →,FC →,共3个． 6．下列说法正确的是( C )A ．平行向量就是向量所在直线平行的向量B ．长度相等的向量叫相等向量C ．零向量的长度为0D ．共线向量是在一条直线上的向量[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合,故A 错；长度相等,方向不同的向量不是相等向量,故B 错；共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上,故D 错．故选C ．二、填空题7．零向量与单位向量的关系是 共线 (填“共线”“相等”“无关”)．8．如图,B ,C 是线段AD 的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,最多可以写出 6 个互不相等的非零向量．[解析] 模为1个单位的向量有2个,如AB →,DC →；模为2个单位的向量有2个,如AC →,DB →；模为3个单位的向量有2个,如AD →,DA →,故共有6个．9.如图,已知四边形ABCD 为正方形,△CBE 为等腰直角三角形,回答下列问题：(1)图中与AB →共线的向量有 BA →,BE →,EB →,AE →,EA →,CD →,DC →； (2)图中与AB →相等的向量有 DC →,BE →；(3)图中与AB →模相等的向量有 BA →,BE →,EB →,DC →,CD →,AD →,DA →,BC →,CB →. 三、解答题10．如图所示,4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问：(1)与AB →相等的向量共有几个；(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？[解析] (1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)． (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个． (3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个．B 组·素养提升一、选择题1．等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点P ,点E ,点F 分别在两腰AD ,BC 上,EF 过点P 且EF ∥AB ,则下列等式正确的是( D )A ．AD →＝BC →B ．AC →＝BD → C ．PE →＝PF →D ．EP →＝PF →[解析] 由相等向量的定义,显然EP →＝PF →.2．已知A ＝{与a 共线的向量},B ＝{与a 长度相等的向量},C ＝{与a 长度相等,方向相反的向量},其中a 为非零向量,则下列命题中错误的是( B )A ．C ⊂AB ．A ∩B ＝{a }C ．C ⊂BD ．A ∩B{a }[解析] 因为A ∩B 中还含有a 方向相反的向量,所以B 错． 3．锐角三角形ABC 中,关于向量夹角的说法正确的是( B ) A ．AB →与BC →的夹角是锐角 B ．AC →与AB →的夹角是锐角 C ．AC →与BC →的夹角是钝角 D ．AC →与CB →的夹角是锐角[解析] 由两向量夹角的定义知,AB →与BC →的夹角的大小是180°－∠B ,为钝角,AB →与AC →的夹角是∠A ,为锐角,AC →与BC →的夹角与∠C 的大小相等,为锐角,AC →与CB →的夹角的大小是180°－∠C ,为钝角．4．(多选)如图,在菱形ABCD 中,∠DAB ＝120°,则以下说法正确的是( ABC )A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C ．BD →的模恰好为DA →的模的3倍 D ．CB →与DA →不共线 [解析]与AB →相等的向量只有DC →,A 正确；由已知条件可得|AB →|＝|BA →|＝|BC →|＝|CB →|＝|AC →|＝|CA →|＝|DC →|＝|CD →|＝|DA →|＝|AD →|,B 正确；如图,过点B 作DA 的垂线交DA 的延长线于E ,因为∠DAB ＝120°,四边形ABCD 为菱形,所以∠BDE ＝∠ABE ＝30°,在Rt △BED 中,|DB →|＝|DE →|cos 30°,在Rt △AEB 中,|AE →|＝12|AB →|＝12|AD →|,所以|DB →|＝32|DA →|32＝3|DA →|,C 正确；CB →与DA →方向相同,大小相等,故CB →＝DA →,CB →与DA →共线,D 错误．故选ABC ．二、填空题5．把同一平面内所有模不小于1,不大于2的向量的起点,移到同一点O ,则这些向量的终点构成的图形的面积等于 3π .[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环,其面积为π·22－π·12＝3π. 6．有下列说法：①若a ≠b ,则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →,则A ,B ,C ,D 四点是平行四边形的四个顶点；③在□ABCD 中,一定有AD →＝BC →； ④若a ＝b ,b ＝c ,则a ＝c ；⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量． 其中,正确的说法是 ③④⑤ .[解析] ①两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a 与b 有共线的可能,故①不正确；②A ,B ,C ,D 四点可能在同一条直线上,故②不正确；③在平行四边形ABCD 中,|AD →|＝|BC →|,AD →与BC →平行且方向相同,所以AD →＝BC →,故③正确；④a ＝b ,则|a |＝|b |,且a 与b 方向相同；b ＝c ,则|b |＝|c |,且b 与c 方向相同,所以a 与c 方向相同且模相等,故a ＝c ,故④正确；⑤南偏西60°和北偏东60°是两个共线,方向相反,所以两个向量是共线向量,故⑤正确．三、解答题7.如图所示,已知四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形．(1)与AB →相等的向量有哪些？ (2)与AB →共线的向量有哪些？ (3)若|AB →|＝1．5,求|CE →|的大小．[解析] (1)与AB →相等的向量即与AB →同向且等长的向量,有ED →,DC →.(2)与AB →共线的向量即与AB →方向相同或相反的向量,有BA →,ED →,DC →,EC →,DE →,CD →,CE →. (3)若|AB →|＝1．5,则|CE →|＝|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝3.8．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A ,B ,点C 为小正方形的顶点,且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →； (2)求|BC →|的最大值与最小值．[解析] (1)画出所有的向量AC →如图所示．(2)由(1)所画的图知,①当点C 位于点C 1或C 2时,|BC →|取得最小值12＋22＝5； ②当点C 位于点C 5或C 6时,|BC →|取得最大值42＋52＝41. ∴|BC →|的最大值为41,最小值为 5.。
高中数学第二章平面向量2.1从位移、速度、力到向量导学案北师大版必修4
2.1 从位移、速度、力到向量问题导学1．向量的有关概念活动与探究1给出下列几种说法：(1)温度、速度、位移这些物理量都是向量； (2)若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－b ； (3)向量的模一定是正数；(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (5)向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上． 其中正确的序号是________．迁移与应用判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)向量AB →与向量BA →的模相等；(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量； (3)数轴是向量； (4)零向量没有方向；(5)若向量a 与b 同向，且|a|＞|b|，则a ＞b ．关于向量有关概念的几点说明：(1)向量不同于数量，数量可以比较大小，而向量由模和方向确定，方向不能比较大小，因此向量也不能比较大小．(2)数学上所研究的向量是自由向量，可以平移，因此向量中的共线与平行是相同的，而直线或线段中的共线与平行是不同的．(3)零向量是特殊向量，方向可以看作是任意的． 2．向量的表示方法活动与探究2一运输汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求AD →．迁移与应用在如图所示的坐标系中(1个小方格表示1个单位长度)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)|OC →|＝2，点C 在点O 南偏东60°方向．利用有向线段表示向量的基本步骤： (1)确定向量的起点；(2)确定向量的方向；(3)根据向量的模确定向量的终点．利用有向线段的起点和终点的字母表示向量时，必须是起点写在终点的前面． 3．相等向量与共线向量活动与探究3如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．迁移与应用如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，四边形OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？1．对共线向量与平行向量关系的认识 (1)平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．(2)共线向量是指平行向量，与是否真的画在同一条直线上无关．2．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中的相等、平行关系，充分利用平行四边形性质、三角形中位线定理等平面几何知识，然后转化为向量相等、平行．当堂检测1．下列关于向量的说法中，正确的是( )． A ．长度相等的两向量必相等B ．两向量相等，其长度不一定相等C ．向量的大小与有向线段的起点无关D ．向量的大小与有向线段的起点有关2．如图所示，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )．A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量3．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a 和b ，那么下列命题中错误的一个是( )．A ．a 与b 为平行向量B ．a 与b 为模相等的向量C ．a 与b 为共线向量D ．a 与b 为相等的向量4．如图所示，△ABC 的内角C 的角平分线CD 交AB 于D ，AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，那么DB →的模为________．5．把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是______．答案：课前预习导学 【预习导引】 1．大小 方向预习交流1 D 解析：质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，不是向量． 2．(1)方向和长度 AB →(2)有向线段 向量的大小 向量的方向预习交流2 提示：有向线段不是向量，它只是向量的一种表现形式．3．|AB →| |a |预习交流3 提示：模是向量的长度，所以能比较大小，而向量不能，因为向量的大小即长度可以比较大小，但方向不能比较大小．4．(1)零向量 0 0→(2)同方向 单位1 a 0 (3)相等 相同 相等 (4)平行或重合 平行共线预习交流4 (1)提示：不相同，0是向量，模等于0,0是数量，无方向． (2)提示：不一定，也可能平行或在同一条直线上．(3)提示：不一定．因为单位向量的模虽然相等，但方向却不一定相同． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 (4) 解析：(1)错误，只有速度、位移是向量．(2)错误．由|a|＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． (3)错误.0的模|0|＝0.(4)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同．(5)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．迁移与应用 解：(1)正确．(2)不正确．两向量虽然有公共终点，但方向不一定相同或相反，故不一定是共线向量． (3)不正确．数轴是一条具有方向的直线，但是没有大小． (4)不正确．零向量不是没有方向，而是方向是任意的． (5)不正确．因为向量不能比较大小．活动与探究2 解：(1)向量AB →，BC →，CD →如下图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线． 又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴|AD →|＝|BC →|＝200 (km)，且AD ∥BC . ∴AD →与BC →同向， 则AD →的方向也为西偏北50°，且|AD →|＝200(km)． 迁移与应用 解：活动与探究3 解：(1)因为E ，F 分别是AC ，AB 的中点，所以EF ∥BC ，且EF ＝12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →，CD →. 迁移与应用 解：(1)AO →＝BF →，BO →＝AE →； (2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →；(3)|AO →|＝|CO →|＝|D O →|＝|BO →|＝|BF →|＝|CF →|＝|AE →|＝|DE →|； (4)AO →与CO →不相等． 【当堂检测】1．C 2．C 3．D 4．325．两个点。
2020年高中数学必修第二册： 位移、速度、力与向量的概念 导学案(北师大版)
第二章平面向量及其应用第1节从位移、速度、力到向量第1课时位移、速度、力与向量的概念⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；1.通过实例分析，形成平面向量的概念.2.会表示向量，并理解向量的基本特征.1.向量的概念：既有_____又有______的量叫向量2.向量的两要素：_______、_________.3.向量AB(或a)的大小，即长度（也称______），记作：_______或________.4.模长为0的向量叫做________,记作：_______5.模长为1的向量叫做________,记作：_______一、情景引入，温故知新情景1：学校位于小明家北偏东60°方向，距离小明家2000m,从小明家到学校，可能有长短不同的几条路.无论走哪条路，位移都是向北偏东60°方向移动了2000m(如图2-1).θ=，出手速率为v=28.35m/s(如情景2：某著名运动员投掷标枪时，其中一次记录为：出手角度43.242图2-2).情景3：如图2-3，汽车沿倾斜角为 的坡路向上行驶，汽车的牵引力为F问题：1上面三个情境中反映的物理量有什么共同的特点?2.请再举出一些含有类似性质的物理量实例进行分析，与同学交流向量的历史大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.二、探索新知探究一向量的概念情境1. .老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去.猫能否追到老鼠？情境2. 民航从北京飞往重庆、广州、上海、哈尔滨等地的航班，这些航班的位移相同吗？情景3：起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起思考：1物理中，既有大小又有方向的量，叫作什么？.2.在数学中，既有大小又有方向的量又叫作什么呢?归纳新知：向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量向量的两要素：大小（模）、方向.（定义向量的模）问题1.现实生活中有哪些量既有大小又有方向？问题2.哪些量只有大小没有方向？例1.下列量中哪些是向量？悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.问题：数量与向量的区别是什么？练习1：给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量例2.如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.练习2.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000。
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1 从位移、速度、力到向量
学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
知识点一向量的概念
思考1在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？
梳理向量与数量
(1)向量：既有________，又有________的量统称为向量．
(2)数量：只有________，没有________的量称为数量．
知识点二向量的表示方法
思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？
思考20的模长是多少？0有方向吗？
思考3单位向量的模长是多少？
梳理(1)向量的表示
①具有________和长度的线段叫作有向线段，以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作________，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →
的长度，记作________．
②向量可以用____________来表示．有向线段的长度表示____________，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示____________．
③向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →
, b →
, c →
，…来表示． (2)________的向量叫作零向量，记作______________；______________________________的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作a 0. 知识点三相等向量与共线向量
思考1已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →
相等吗？它们共线吗？
思考2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？
思考3若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？
梳理(1)相等向量：____________且____________的向量叫作相等向量．
(2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线______________，则称这两个向量平行或共线．
①记法：a 与b 平行或共线，记作________． ②规定：零向量与____________平行．
类型一向量的概念 例1下列说法正确的是() A ．向量AB →与向量BA →
的长度相等
B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C ．零向量没有方向
D ．任意两个单位向量都相等
反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练1下列说法正确的有________． ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；
②向量AB →与CD →
是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上； ③向量AB →与BA →
是平行向量． 类型二共线向量与相等向量
例2如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点． (1)写出与EF →
共线的向量； (2)写出与EF →
的模大小相等的向量； (3)写出与EF →
相等的向量．
反思与感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反． (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线． 跟踪训练2
如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心． (1)与OA →
的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与OA →
长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与OA →
共线的向量有哪些？
类型三向量的表示及应用
例3一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →
；
反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；
(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？
1．下列结论正确的个数是()
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数；
③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④若|a |>|b |，则a >b . A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
2．下列说法错误的是() A ．若a ＝0，则|a |＝0 B ．零向量是没有方向的 C ．零向量与任一向量平行 D ．零向量的方向是任意的
3．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →
的关系是()
B ．|AB →|＝|D
C →| C.AB →>DC → D.AB →<DC →
4．如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
(1)写出与AF →、AE →
相等的向量； (2)写出与AD →
的模相等的向量．
1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
3．注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向． 思考2数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 梳理(1)大小方向(2)大小方向 知识点二
思考1可以用一条有向线段表示． 思考20的模长为0，方向任意． 思考3单位向量的模长为1个单位长度．
梳理(1)①方向AB →|AB →
|②有向线段向量的大小向量的方向(2)长度为00或 0→
与向量a 同方向，且长度为单位1 知识点三
思考1因为向量AB →和向量BA →
方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．
思考2不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．
思考3不一定．因为当b ＝0时，a ，c 可以是任意向量． 梳理(1)长度相等方向相同(2)平行或重合①a∥b ②任一向量 题型探究 例1A 跟踪训练1③
例2解(1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 所以EF 綊1
2
BC .又因为D 是BC 的中点，
所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →，CD →.
跟踪训练2解(1)与OA →
的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．
(2)存在．由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →
长度相等、方向相反的向量有AO →，OD →，FE →，BC →
，共4个．
(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →
，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →
，共9个． 例3解(1)向量AB →、BC →、CD →
如图所示．
(2)由题意易知，AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →
共线． 又∵|AB →|＝|CD →|，
∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →
|＝200 km.
跟踪训练3解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)． (2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，5为半径的圆(作图略)． 当堂训练 1．B2.B3.B
4．解(1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →
. (2)与AD →的模相等的向量有DA →，CF →，FC →.。