考点13 解斜三角形及应用举例

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考点13 解斜三角形及应用举例1.（2010·湖北高考理科·Ｔ3）在△ABC 中，a =15，b=10, ∠A=60，则cos B =( ) （A）3-（B）3 （C（D）-【命题立意】本题主要考查解三角形时正、余弦定理的应用，以及三角形边角的性质.【思路点拨】先由正弦定理求出sinB ，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B 的范围，最后利用平方关系求出cosB.【规范解答】选C.由正弦定理知sin sin a b A B = 知sin sin b AB a=10215==32<，又a b >，故A B >，从而()0,60B ∈(0,)3π,6cos 3B =. 【方法技巧】利用“大边对大角”判断出∠B 是锐角是本题解题关键.2.（2010·上海高考理科·Ｔ１8）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115， 则此人能（ ）（A ）不能作出这样的三角形 （B ）作出一个锐角三角形 （C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质及用余弦定理判定三角形形状的应用． 【思路点拨】先由高转化到边长，再由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负． 【规范解答】选D.设三角形的面积为S ，则S a =⨯13121，所以S a 26=，同理可得另两边长S b 22=，S c 10=，由余弦定理，所以A 为钝角．所以能作出一个钝角三角形.【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．3.（2010·上海高考文科·Ｔ１8）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =， 则△ABC （ ）（A ）一定是锐角三角形 （B ）一定是直角三角形（C ）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质、正弦定理及余弦定理判定三角形形状等有关知识． 【思路点拨】由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负．【规范解答】选 C .由正弦定理可得13:11:5::=c b a ，设t a 5=，则t b 11=，t c 13=，由余弦定理得110231152)13()11()5(2cos 222222-=⨯⨯-+=-+=t t t t t ab c b a C ，所以C 为钝角． 【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【命题立意】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式及解三角形知识.【思路点拨】由已知可得cosB ，利用两角和的正弦公式可得sin ∠BAD 。

在三角形ABD 中用正弦定理求AD.【规范解答】由cos ∠ADC=53>0知，B<2π.由已知得cosB=1312,sin ∠ADC=54 ， 从而 sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin ∠ADCcosB-cos ∠ADCsinB=.6533135********=⨯-⨯由正弦定理得 ,sin sin BAD BD B AD ∠=所以 AD=.25653313533sin =⨯=∠BADBD5.（2010·重庆高考文科·Ｔ18）设△ABC 的内角A,B,C 的对边长分别为,,a b c ，且2223334b c a +-=.（1）求sin A 的值.（2）求2sin()sin()441cos2A B C Aππ+++-的值. 【命题立意】本小题考查解三角形的基础知识，考查余弦定理及其应用，考查三角函数的恒等变换和求值，考查运算求解能力，考查方程的思想.sin sin BAD BD B AD ∠=【思路点拨】（1）先用余弦定理求出角A的余弦值，再求正弦值.（2）熟练应用有关的三角函数公式, 进行三角恒等变形.【规范解答】（Ⅰ）由余弦定理得：222cos2b c aAbc+-=，又因为222333b c a+-=，所以2223b c a+-=，所以3cos2bcAbc==因为0Aπ<<，所以1sin3A===，即sin A的值是13.（Ⅱ）2sin()sin()441cos2A B CAππ+++-2sin()sin()44=1cos2A AAπππ+-+-22sin()sin()442sinA AAππ+-=2)22222sinA A A AA+=2(sin cos)(sin cos)2sinA A A AA+-=222sin cos2sinA AA-=22217()73391222()39--===-⨯.【方法技巧】将余弦定理公式中的部分式子看作一个整体，采用整体代入、化简的方法.6.（2010·重庆高考理科·Ｔ１6）设函数()22cos2cos,32xf x x x Rπ⎛⎫=++∈⎪⎝⎭.（1）求()f x的值域.（2）记ABC∆的内角A，B，C的对边长分别为,,a b c，若()f B=1，a的值.【命题立意】本小题考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式的应用及函数sin()y A x bωφ=++ϕ的性质，同时考查正、余弦定理及其应用及运算求解能力.【思路点拨】把函数()f x化为一个正弦（或余弦）函数求得值域，再根据()1f B=求出角B；最后利用正弦定理或余弦定理求a的值.【规范解答】（1）22()cos cos sin sin cos133f x x x xππ=-++1cos cos 12x x x =-++15cos 1sin()126x x x π=+=++， 因为5sin()[1,1]6x π+∈-，所以()[0,2]f x ∈，因此()f x 的值域是[]0,2 .（2）因为()1f B =，所以5sin()116B π++=，即5sin()06B π+=， 又因为0B π<<，所以5511666B πππ<+<，所以56B ππ+=，6B π=.（方法一）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2320a a -+=，解得1a =或2.（方法二）由正弦定理sin sin b c B C =得sin 2C =，所以3C π=或23π；当3C π=时，2A π=，所以2a ==；当23C π=时，6A π=，所以1a b ==；故a 的值是1或2.【方法技巧】运算能力与公式应用、变形技巧是解答关键.7.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ17） 已知ABC ∆的内角A ，B 及其对边a，b满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．【命题立意】本小题主要考查考生处理三角形边角关系问题的能力，能否通过恰当使用正弦定理、余弦定理以及三角形中的三内角间的关系将有关边角确定，是否掌握处理有关三角形边角关系的一般方法.本题突出考查三角恒等变形，两角和与差的正余弦公式及三角中的运算技巧. 【思路点拨】利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，将cot cot a b a A b B +=+变形为B A B A cos cos sin sin +=+，移项后利用两角和的正弦求解，注意到π<+<B A 0.【规范解答】由B b A a b a cot cot +=+及正弦定理得B A B A cos cos sin sin +=+, B B A A sin cos cos sin -=-,从而4cos sin 4sincos 4sincos 4cossin ππππB B A A -=-, )4sin()4sin(B A -=-ππ.又π<+<B A 0,故B A -=-44ππ,2π=+B A ,所以2π=C .【方法技巧】巧妙利用正弦定理进行边化角并注意到π<+<B A 0判断出B A -=-44ππ.关闭Word 文档返回原板块。