高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修
a· b≤_______ |a||b|
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4．向量数量积的运算律
b· a (交换律)． (1)a· b＝_____
a· (λb) (结合律)． (2)(λa)· b＝λ(a· b)＝_______
a· c＋b· c (分配律)． (3)(a＋b)· c＝_______
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[ 跟踪训练] → → → → 1．(1)在△ABC中，∠A＝60° ，AB＝3，AC＝2.若 BD ＝2 DC ， AE ＝λ AC － → →→ AB(λ∈R)，且AD· AE＝－4，则λ的值为________．
3 → → b＝|a||b|cos 60° ＝3， 11 [设AB＝a，AC＝b，由已知得|a|＝3，|b|＝2，a· → → → → → → 因为BD＝2DC，所以AD－AB＝2(AC－AD)， → 1→ 2→ 1 2 所以AD＝3AB＋3AC＝3a＋3b，
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λ 2 1 2 2λ 2 1 2λ → → 1 2 所以 AD · AE ＝ 3a＋3b · (λb－a)＝ 3－3 a· b－ 3 a ＋ 3 b ＝(λ－2)－ 3 ×9＋ 3
×4＝－4， 3 解得λ＝11.]
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[ 基础自测] 1．思考辨析 (1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( ) )
(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a· b>0.( (3)|a· b|≤a· b.( (4)(a· b)2＝a2· b2.( ) )
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[ 解析] (1)×.因向量的夹角包括180° ，直线的倾斜角不包括180° . (2)√.由数量积的定义可知． (3)×.|a· b|≥a· b， (4)×.(a· b)2＝(|a|· |b|cos θ)2＝a2· b2cos2θ.
2 所以a· b＝|b||a|cos θ＝3×3＝2.]
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[合 作 探 究· 攻 重 难]
向量数量积的计算及其几何意义
π (1)已知单位向量e1，e2的夹角为3，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是 ________． (2)给出下列结论：①若a≠0，a· b＝0，则b＝0；②若a· b＝b· c，则a＝c；③ (a· b)c＝a(b· c)；④a· [ b(a· c)－c(a· b)] ＝0，其中正确结论的序号是________． (3)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120° .求： ①(a－b)· (a－b)； ②(2a＋b)· (a－b). 【导学号：84352242】
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与向量垂直、夹角有关的问题
[ 探究问题] 1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a· b等于多少？反之成立吗？
提示：a⊥b⇔a· b＝0.
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2．|a· b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹 角θ？ 提示：|a· b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a· b＝|a||b|cos θ.
(2)设非零向量a和b，它们的夹角为θ. ①若|a|＝5，θ＝150° ，求a在b方向上的投影； ②若a· b＝9，|a|＝6，求b在a方向上的投影．
[ 解]
①|a|· cos θ＝5×cos 150° ＝5× －
5 3 3 ＝－ 2 ， 2
5 3 ∴a与b方向上的投影为－ 2 . a· b 9 3 ② |a| ＝6＝2， 3 ∴b在a方向上的投影为2.
2 2 ＝ke2 ＋ k e ＋ ( k ＋1)e1· e2 1 2
＝2k＞0，∴k＞0. 当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k＞0且k≠1. (2)由已知条件得
7a－5b＝0， a＋3b· 7a－2b＝0， a－4b·
平面向量
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及
其含义
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学习目标：1.平面向量的数量积．(重点)2.平面向量数量积的几何意 义．(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)
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[自 主 预 习· 探 新 知]
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母题探究：1.将例3(1)中的条件“锐角”改为“钝角”其他条件不变，求k 的取值范围．
[ 解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，
2 2 ∴(e1＋ke2)· (ke1＋e2)＝ke2 ＋ k e ＋ ( k ＋1)e1· e2＝2k＜0， 1 2
∴k＜0. 当k＝－1时e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍 去． 综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.
两边取绝对值得： |a· b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”， 所以|a· b|≤|a||b|， a· b cos θ＝|a||b|.
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(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2 的夹角为锐角，则k的取值范围为________． (2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂 直，求a与b的夹角. 【导学号：84352244】
|b|cos θ 的乘积． _______
思考：投影一定是正数吗？
[ 提示] 投影可正、可负也可以为零．
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3．向量数量积的性质 垂直向量 平行向量 向量的模 求夹角 不等关系 同向 反向 a· b＝__ 0
|a||b| a· b＝______
－|a||b| a· b＝______ a· a a· a＝|a|2 或|a|＝____
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与向量模有关的问题
(1)已知向量a，b的夹角为60° ，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_______. (2)已知向量a与b夹角为45° ，且|a|＝1，|2a＋b|＝ 10，求|b|. 【导学号：84352243】
[ 思路探究] 灵活应用a2＝|a|2求向量的模．
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(2)因为两个非零向量a，b垂直时，a· b＝0，故①不正确； 当a＝0，b⊥c时，a· b＝b· c＝0，但不能得出a＝c， 故②不正确； 向量(a· b)c与c共线，a(b· c)与a共线，故③不正确； a· [b(a· c)－c(a· b)] ＝(a· b)(a· c)－(a· c)(a· b)＝0，故④正确．
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[规律方法] 求平面向量数量积的步骤是：1求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； 2分别求|a|和|b|；3求数量积，即a· b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间 用实心圆点“· ”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. 求投影的两种方法： 1b在a方向上的投影为|b|cos θθ为a，b的夹角，a在b方向上的投影 为|a|cos θ. a· b a· b 2b在a方向上的投影为 ，a在b方向上的投影为 . |a| |a|
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[ 思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．
3 a· e1 (1)2 (2)④ [(1)设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影为|a|cos θ＝ |e | ＝a· e1 1 ＝(2e1－e2)· e1 ＝2e2 e2 1－e1· π 3 ＝2－1×1×cos3＝2.
(1)2 3 [(1)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2· |a|· |2b|· cos 60° ＋(2|b|)2 1 2 ＝2 ＋2×2×2×2＋2 ＝4＋4＋4＝12，
2
所以|a＋2b|＝ 12＝2 3.
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(2)因为|2a＋b|＝ 10， 所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a· b＋b2＝10， 又因为向量a与b的夹角为45° 且|a|＝1， 2 2 所以4×1 ＋4×1×|b|× 2 ＋|b| ＝10，
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(3)①(a－b)· (a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91. ②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120° ， 所以a· b＝10×3×cos 120° ＝－15， 所以(2a＋b)· (a－b)＝2a2－a· b－b2 ＝200＋15－9＝206.]
[ 提示] 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．
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2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念：
|b|cos θ ； ①b 在 a 的方向上的投影为________
|a|cos θ . ②a 在 b 的方向上的投影为________
b在a的方向上的投影 (2)数量积的几何意义： 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与____________________
[ 思路探究] (1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向 不相同． (2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a 与b的夹角．
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(1)(0,1)∪(1，＋∞) [(1)∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)· (ke1＋e2)
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[ 跟踪训练] 2．已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.
[ 解] 由已知，|a＋b|＝4， ∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a· b＋b2＝16.(*) ∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9， 代入(*)式得4＋2a· b＋9＝16， 即2a· b＝3. 又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a· b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝ 10.
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT
)
A.30° B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b夹角及a与a-b
夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积定义求解;(2)可采取
数形结合方法组成平面图形求解.
第25页
探究一
探究二
探究三
(1)解析:因为(2a+b)⊥b,
所以2(a+b)·b=0,
∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3 或|b|=-1(舍去).
答案:(1)5 7 (2)3
第22页
探究一
探究二
探究三
|a|= ·，
反思感悟 依据数量积定义a·
a=|a||a|cos 0°=|a|2,得
这是求向量模一个方法.即要求一个向量模,先求这个向量与本
身数量积(一定非负),再求它算术平方根.对于复杂向量也是如此.比
结合方法求解.
第28页
探究一
探究二
探究三
本例(1)中,若非零向量a,b夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)
时,求实数k值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),
所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
1
所以 k|a|2+ - 2 |a|2-2|b|2=0,
所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得
4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
所以|a-b|= 10.
高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义优化练习新人教A版必修4
答案：－63
9．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解析：①当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
解析：(1)由|3a－b|＝ ，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝1，所以a·b＝ .因此(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝15，
所以|a＋3b|＝ .
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ，
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝ ，
所以cosθ＝ ＝ ＝ ，
故 · ＝( ＋ )·
＝ ·( － )
＝ ·( － )
＝ · ＋ －
＝ | || |cos 120°＋ | |2－ | |2
＝ ×2×1× ＋ ×1－ ×22＝－ .
答案：－
8．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.
解析：将两已知等式相加得，2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．2B．－2
C．4D．－4
解析：记向量a与b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cosθ＝－12，即6×3cosθ＝－12，所以cosθ＝－ ，所以a在b方向上的投影为|a|cosθ＝6× ＝－4.
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
2018年秋高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标：1.平面向量的数量积．(重点)2.平面向量数量积的几何意义．(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)[自主预习·探新知]1．平面向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示]数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①b在a的方向上的投影为|b|cos θ；②a在b的方向上的投影为|a|cos θ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．思考：投影一定是正数吗？[提示]投影可正、可负也可以为零．3．向量数量积的性质4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[基础自测]1．思考辨析(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( )(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a·b>0.( )(3)|a·b |≤a·b .( ) (4)(a·b )2＝a 2·b 2.( )[解析] (1)×.因向量的夹角包括180°，直线的倾斜角不包括180°. (2)√.由数量积的定义可知． (3)×.|a ·b |≥a·b ，(4)×.(a·b )2＝(|a |·|b |cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，且a 与b 的夹角为60°，那么a·b 等于________． 3 [a·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝ 3.]3．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是23，则a·b 为________．2 [设a 与b 的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影|a |cos θ＝23，所以a ·b ＝|b ||a |cos θ＝3×23＝2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)已知单位向量e 1，e 2的夹角为3，a ＝2e 1－e 2，则a 在e 1上的投影是________．(2)给出下列结论：①若a ≠0，a·b ＝0，则b ＝0；②若a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③(a·b )c ＝a (b·c )；④a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝0，其中正确结论的序号是________．(3)已知向量a 与b 满足|a |＝10，|b |＝3，且向量a 与b 的夹角为120°.求： ①(a －b )·(a －b )； ②(2a ＋b )·(a －b ).[思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．(1)32 (2)④ [(1)设a 与e 1的夹角为θ，则a 在e 1上的投影为|a |cos θ＝a ·e 1|e 1|＝a ·e 1＝(2e 1－e 2)·e 1＝2e 21－e 1·e 2＝2－1×1×cos π3＝32.(2)因为两个非零向量a ，b 垂直时，a ·b ＝0，故①不正确； 当a ＝0，b ⊥c 时，a·b ＝b·c ＝0，但不能得出a ＝c ， 故②不正确；向量(a·b )c 与c 共线，a (b·c )与a 共线，故③不正确；a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝(a·b )(a·c )－(a·c )(a·b )＝0，故④正确． (3)①(a －b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝100－9＝91.②因为|a |＝10，|b |＝3，且向量a 与b 的夹角为120°， 所以a·b ＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a·b －b 2＝200＋15－9＝206.][规律方法] 求平面向量数量积的步骤是：求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；分别求|a |和|b |；求数量积，即a·b ＝|a ||b |cos θ，要特别注意书写时a 与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.求投影的两种方法：b 在a 方向上的投影为|b |cos θθ为a ，b 的夹角，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.b 在a 方向上的投影为a·b |a |，a 在b 方向上的投影为a·b|a |. [跟踪训练]1．(1)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．311[设AB →＝a ，AC →＝b ，由已知得|a |＝3，|b |＝2，a·b ＝|a ||b |cos 60°＝3， 因为BD →＝2DC →，所以AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， 所以AD →＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b ，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ·(λb －a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3－23a·b －13a 2＋2λ3b 2＝(λ－2)－13×9＋2λ3×4＝－4，解得λ＝311.](2)设非零向量a 和b ，它们的夹角为θ.①若|a |＝5，θ＝150°，求a 在b 方向上的投影； ②若a·b ＝9，|a |＝6，求b 在a 方向上的投影． [解] ①|a |·cos θ＝5×cos 150°＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－532，∴a 与b 方向上的投影为－532. ②a·b |a |＝96＝32， ∴b 在a 方向上的投影为32.(1)2b |＝_______. (2)已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，求|b |. [思路探究] 灵活应用a 2＝|a |2求向量的模．(1)23 [(1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2·|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a ＋2b |＝12＝2 3. (2)因为|2a ＋b |＝10， 所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°且|a |＝1， 所以4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10， 整理得|b |2＋22|b |－6＝0， 解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)．] [规律方法] 求向量的模的常见思路及方法求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方.a·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化一些常见的等式应熟记，如a ±b2＝a 2±2a·b ＋b 2，a ＋b a －b ＝a 2－b 2等.[跟踪训练]2．已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，求|a －b |. [解] 由已知，|a ＋b |＝4，∴|a ＋b |2＝42，∴a 2＋2a·b ＋b 2＝16.(*) ∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9， 代入(*)式得4＋2a·b ＋9＝16，即2a ·b ＝3.又∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝4－3＋9＝10， ∴|a －b |＝10.[1．设a 与b 都是非零向量，若a ⊥b ，则a ·b 等于多少？反之成立吗？ 提示：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.2．|a ·b |与|a ||b |的大小关系如何？为什么？对于向量a ，b ，如何求它们的夹角θ？ 提示：|a ·b |≤|a ||b |，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ. 两边取绝对值得：|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |. 当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”， 所以|a ·b |≤|a ||b |，cos θ＝a ·b|a ||b |.(1)已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角，则k 的取值范围为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角.[思路探究] (1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同． (2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a |与|b |的关系，再求a 与b 的夹角．(1)(0,1)∪(1，＋∞) [(1)∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2 ＝2k ＞0，∴k ＞0.当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围为k ＞0且k ≠1. (2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b a －5b ＝0，a －4ba －2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a·b ＋8b 2＝0， ②②－①得23b 2－46a·b ＝0， ∴2a·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.]母题探究：1.将例3(1)中的条件“锐角”改为“钝角”其他条件不变，求k 的取值范围．[解] ∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为钝角，∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2＝2k ＜0， ∴k ＜0.当k ＝－1时e 1＋k e 2与k e 1＋e 2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围是k ＜0且k ≠－1.2．将例3(1)中的条件“锐角”改为“π3”，求k 的值．[解] 由已知得|e 1＋k e 2|＝e 21＋2k e 1·e 2＋k 2e 22＝1＋k 2， |k e 1＋e 2|＝k 2e 21＋2k e 1·e 2＋e 22＝k 2＋1，(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2＝2k ， 则cos π3＝e 1＋k e 2k e 1＋e 2|e 1＋k e 2||k e 1＋e 2|＝2k 1＋k 2，即2k 1＋k ＝12整理得k 2－4k ＋1＝0 解得k ＝4±122＝2± 3.[规律方法] 1.求向量夹角的方法：(1)求出a·b ，|a |，|b |，代入公式cos θ＝a·b|a ||b |求解．(2)用同一个量表示a·b ，|a |，|b |代入公式求解． (3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2；当cos θ＜0时，θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当cos θ＝0时，θ＝π2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0B [因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a·b ＝2×12－(－1)＝3，故选B.]2．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2，b ＝－3e 1＋4e 2，则a·b 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2B [因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，所以a·b ＝(3e 1＋2e 2)·(－3e 1＋4e 2)＝－9|e 1|2＋8|e 2|2＋6e 1·e 2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.]3．已知|a |＝3，|b |＝5，且a·b ＝12，则向量a 在向量b 的方向上的投影为________. 125[设a 与b 的夹角为θ， 因为a·b ＝|a ||b |cos θ＝12， 又|b |＝5，所以|a |cos θ＝125， 即a 在b 方向上的投影为125.]4．若a·b ＜0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [因为a·b ＝|a ||b |cos θ＜0， 所以cos θ＜0，又θ∈[0，π]，所以θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.]5．已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.[解] a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝a ＋b2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝a －b2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课后习题 新人教A版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、A组1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,a与b的夹角为30°,则a·(a-2b)=()A.2-2B.4-2C.-4D.-2解析:a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos 30°=4-2×2×=4-6=-2.答案:D2.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.又0≤θ≤π,∴θ=.答案:B3.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:根据投影的定义,可得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos α==-4,其中α为a与b的夹角.故选A.答案:A4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:∵(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4cos 60°-6×16=|a|2-2|a|-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,∴|a|=6或|a|=-4(舍去),故选C.答案:C5.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于()A.-25B.-20C.-15D.-10解析:由已知可得△ABC为直角三角形,则的夹角为,=0,∴·()==-||2=-25.答案:A6.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=.解析:∵|a-b|=1,∴a2-2a·b+b2=1.又|a|=|b|=1,∴a·b=.∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,∴|a+b|=.答案:7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2,若a·b=0,则k的值为.解析:∵a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=k-2k e1·e2+e1·e2-2=k-2k·-2=2k-=0.∴k=.答案:8ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=. 解析:∵D是边BC的中点,∴).又,∴)·()=)=×(32-22)=.答案:9.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.解:(1)∵a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=4.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,∴a·b=-4,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴θ=.10.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.(2016·山东淄川一中阶段性检测)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(k a-4b),则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题知,(2a+3b)·(k a-4b)=0,即2k a2+(3k-8)a·b-12b2=0,即2k-12=0,k=6.故选B.答案:B2.(2016·江西赣州期末考试)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为()A.2B.1C. D.解析:在平行四边形ABCD中,,∴=()·=1,∴1-×1×||×cos 60°=1,解得||=.答案:D3.在△ABC中,AB⊥AC,AC=1,点D满足条件,则等于()A. B.1C. D.解析:∵AB⊥AC,∴=0.∴·()==0+=·()=)=×(1-0)=.答案:A4.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=()A.2B.C.4D.解析:因为向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,所以a·b=-.所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=13.所以|a-b|=.答案:D5.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析:|2a-b|=.∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.∴|2a-b|=0或4.答案:0或46.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析:由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=m a-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)由向量c与d垂直,得c·d=0,而c·d=(3a+5b)·(m a-3b)=3m a2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,∴m=,即m=时,c与d垂直.(2)由c与d共线,得存在实数λ,使得c=λd,∴3a+5b=λ(m a-3b),即3a+5b=λm a-3λb.又∵a与b不共线,∴解得即当m=-时,c与d共线.8)如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解:(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.∴b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角互动课堂疏导引导1.向量内积的坐标运算建立正交基底{e 1,e 2},已知a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ·b =(a 1e 1+a 2e 2)(b 1e 1+b 2e 2)=a 1b 1e 12+(a 1b 2+a 2b 1)·e 1·e 2+a 2b 2e 22.因为e 1·e 1=e 2·e 2=1,e 1·e 2=e 2·e 1=0,故a ·b =a 1b 1+a 2b 2. 疑难疏引(1)两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和,并且此式是在正交基底{e 1,e 2}下实现的.(2)引入坐标后,实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件,设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),如果a ⊥b ,则a 1b 1+a 2b 2=0,反之,若a 1b 1+a 2b 2=0,则a ⊥b .当a ⊥b 时,若b 1b 2≠0,则向量(a 1,a 2)与(-b 2,b 1)平行,这是因为a ⊥b ,a 1b 1+a 2b 2=0,即a 1b 1=-a 2b 2,1221b ab a =-.两向量平行的条件是相应坐标成比例,所以(a 1,a 2)与(-b 2,b 1)平行,特别地,向量k(-b 2,b 1)与向量(b 1,b 2)垂直,k 为任意实数.例如向量(3,4)与向量(-4,3)、(-8,6)、(12,-9)、…都垂直. 疑难疏引设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),a 1b 1+a 2b 2=0⇒a ⊥b 且a ⊥b ⇒a 1b 1+a 2b 2=0. 3.向量的长度、距离和夹角公式(1)已知a =(a 1,a 2),则|a |2=a 2=a 12+a 22,即|a |=2221a a +.语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1),|AB |=212212)()(y y x x -+-. 此式可视为A 、B 两点的距离公式.(2)设向量a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),故cos 〈a ,b 〉=222122212211||||b b a a b a b a b a ba +++=•.特别提示:该处夹角公式是非零向量的夹角公式. 活学巧用1.设a =(4,-3),b =(2,1),若a +t b 与b 的夹角为45°,求实数t 的值. 解析：利用a ·b =|a |·|b |·cosθ建立方程,解方程即可. a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3), (a +t b )·b =(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5, |a +t b |=20)1(52++t ,由(a +t b )·b =|a +t b |·|b |·cos45°得5t+5=4)1(2252++t , 即t 2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.经检验t=-3不合题意,舍去,只取t=1.2.已知点A(2,3),若把向量OA 绕原点O 按逆时针旋转90°得向量OB ,求点B 的坐标.解析：要求点B 的坐标,可设为B(x,y),利用⊥,| |=||列方程解决之. 设点B 坐标为(x,y),因为⊥,| |=||,所以⎩⎨⎧=+=+.13,03222y x y x 解得⎩⎨⎧=-=2,3y x 或⎩⎨⎧-==2,3y x (舍去). 所以B 点坐标为(-3,2).3.已知a =(2,32-4),b =(1,1),求a 与b 的夹角θ. 解析：向量坐标已知,可利用夹角坐标公式解决. a ·b =(2,32-4)·(1,1)=2+32-4=32-2,|a |·|b |=).13(42)32(1611)432(22222-=•-=+•-+ ∴cosθ=21)13(4232=--. 又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.4.已知a +b +c =0,|a |=3,|b |=5,|c |=7,求〈a ,b 〉的值. 解析：∵a +b +c =0,∴a +b =-c .∴|a +b |=|c |.∴(a +b )2=c 2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2.∴a ·b =2152925492||||||2222222=--=--=--b a c b a c . ∴cos〈a ,b 〉=215||||=•b a b a ÷(3×5)= 21.∴〈a ,b 〉=3π.。
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(二)
a· c＋b· c (分配律). (3)(a＋b)· c＝_________
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.1（二）
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
向量数量积运算律的提出 类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特
a· b＝b· c(b≠0)⇒a＝c 不成立，如图所示．
显然 a· b＝b· c，且 a≠c.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.1（二）
探究点二
向量数量积的运算律
已知向量 a，b，c 和实数 λ，向量的数量积满足下列运算律： ①a· b＝b· a(交换律)；
本 课 时 栏 目 开 关
②(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb)(数乘结合律)； ③(a＋b)· c＝a· c＋b· c(分配律)． 问题 1 证明 a· b＝b· a.
|b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影． 的投影，_________
2．向量数量积的性质 设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量．
|a|cos〈a，b〉 (1)a· e＝e· a＝_____________ ；
0 且 a· 0 ⇒a⊥b； (2)a⊥b⇒a· b＝__ b＝__
问题 1
征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：
运算律 交换律 结合律 分配律 实数乘法 ab＝ba (ab)c＝a(bc) (a＋b)c＝ac＋bc 向量数量积 判断 正误
a· b＝b· a (a· b)c＝a(b· c) (a＋b)· c＝a· c＋b· c
正确
错误 正确
b＝b· c(b≠0)⇒a＝c 错误 消去律 ab＝bc(b≠0) ⇒a＝c a·
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
数学必修4
§2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义
说课提纲
一、教材内容分析
二、教学目标设计
三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
一、教材分析
1、地位、作用及学情分析
平面向量是继向量的线性运算之后的又一重要 运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物 理等学科中应用广泛。本节内容教材共两课时，本 节是第一课时，主要研究数量积的概念，通过“功” 的事例抽象平面向量数量积的含义,探究数量积的 性质与运算律,体会类比的思想方法,提高学生抽象 概括、推理论证的能力。第二课时主要学习数量积 的坐标运算。 学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体 系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理 知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
这样不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从 中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯 性，而且也节约了课时。
教学过程设计
4、研究数量积的物理意义
（2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。 ①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
二、教学目标设计
1、“数学课程标准（实验）”对本节内容的要 求 （1） 通过物理中“功”等事例，理解平面向
量数积的含义及其物理意义；
（2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系； （3） 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用
数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、教学目标：
（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解 数量积的含义及其物理意义； （2）体会平面向量的数量积与向量投影的关 系， 理解掌握数量积的性质和运算律，并能运 用性质和运算律进行相关的运算和判断； （3）体会类比的数学思想和方法，进一步培 养学生抽象概括、推理论证的能力。
第二章 平面向量数量积的物理背景及其含义
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1．定义 (1)已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a|·|b|cosθ(θ 为 a 与 b 的夹角)． (2)|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上) 的投影(其中 θ 为 a 与 b 的夹角)． (3)零向量与任一向量的数量积为 0. (4)a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．
人教A版必修四·新课标·数学
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(a＋3b)·(7a－5b)＝0 解：由已知条件得 (a－4b)·(7a－2b)＝0 7a2＋16a·b－15b2＝0 即 2 7a －30a·b＋8b2＝0
，
① ② ②－①得 23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2， 代入①得 a2＝b2， 1 2 b a·b 2 1 π ∴|a|＝|b|，∴cosθ＝ ＝ ＝ .∵θ∈[0，π]，∴θ＝ . 3 |a||b| |b|2 2
解：设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ， ∵(2a)·(3b)＝24，∴a·b＝4. π a·b 4 1 ∴cosθ＝ ＝ ＝ .又 θ∈[0，π]，∴θ＝ ， 3 |a||b| 2×4 2 π 即向量 a 与向量 b 的夹角为 . 3
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数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功