(完整)2019-2020年高考数学小题高分突破13函数的图像与性质

2019-2020年高考数学小题高分突破13 函数的图像与性质1．已知实数x ，y 满足⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( ) A ．tan x >tan y B ．ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1 C.1x >1y D ．x 3>y 3答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y⇔x >y ，对于A ，当x ＝3π4，y ＝－3π4时，满足x >y ，但tan x >tan y 不成立．对于B ，若ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1，则等价于x 2＋1>y 2成立，当x ＝1，y ＝－2时，满足x >y ，但x 2＋1>y 2不成立．对于C ，当x ＝3，y ＝2时，满足x >y ，但1x >1y 不成立．对于D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，则g (f (－2))的值为( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－4 答案 C解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－(4－2)＝－2， g (f (－2))＝g (－2)＝f (－2)＝－2.3．函数f (x )＝e x ＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )答案 A解析 f (－x )＝e －x ＋1(－x )(e －x －1) ＝e x ＋1(－x )(1－e x )＝e x ＋1x (e x －1)＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称， 又当x →0时，f (x )→＋∞，故选A.4．已知f (x )为定义在R 上周期为2的奇函数，当－1≤x <0时，f (x )＝x (ax ＋1)，若f ⎝⎛⎭⎫52＝－1，则a 等于( )A ．6B ．4C ．－1425 D ．－6答案 A解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫－12a ＋1＝－1， 解得a ＝6.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，故选B.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2－1，x ≤1，ln x ，x >1，若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D.[)2，＋∞答案 A解析 ∵ f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2－1，x ≤1，ln x ，x >1，若f (x )≥f (1)恒成立， 则f (1)是f (x )的最小值，由二次函数性质可得对称轴a ≥1，由分段函数性质得()1－a 2－1≤ln 1，得0≤a ≤2， 综上，可得1≤a ≤2，故选A.7．已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[]－1，0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－∞，－4∪[)2，＋∞ B.[]－4，2C.(]－∞，－3∪[1，＋∞)D.[]－3，1 答案 D解析 因为f (x ＋1)是偶函数， 所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 由f (m ＋2)≥f (x －1)对任意x ∈[－1,0]恒成立， 得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|对任意x ∈[－1,0]恒成立， 所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.故选D. 8．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[]0，1时，f (x )＝x ，若在区间(]－1，1上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，12 答案 D解析 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]， f (x )＝1f (x ＋1)－1 ＝1x ＋1－1 ＝－xx ＋1， 在同一坐标系内画出y ＝f (x )，y ＝mx ＋m 的图象如图，动直线y ＝mx ＋m 过定点(－1,0)， 当过点(1,1)时，斜率m ＝12，由图象可知，当0<m ≤12时，两图象有两个不同的交点，从而g (x )＝f (x )－mx －m 有两个不同的零点．9．定义：如果函数f (x )的导函数为f ′(x )，在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b )，使得f ′(x 1)＝f (b )－f (a )b －a ，f ′(x 2)＝f (b )－f (a )b －a，则称f (x )为区间[a ，b ]上的“双中值函数”．已知函数g (x )＝13x 3－m2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤43，83 B.⎝⎛⎭⎫43，83 C.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 由题意可知，g (x )＝13x 3－m2x 2，∵g ′(x )＝x 2－mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)， 满足g ′(x 1)＝g ′(x 2)＝g (2)－g (0)2－0＝43－m ，∴方程x 2－mx ＋m －43＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫m －43>0，0<m 2<2，m －43>0，4－2m ＋m －43>0，解得43<m <83，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫43，83. 10．已知函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[)0，1时，f (x )＝1－x 2.给出下列四个命题： p 1：f (1)＝0；p 2：2是函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 2的一个周期； p 3：函数y ＝f (x －1)在(1,2)上单调递增；p 4：函数y ＝f (2x －1)的增区间为⎣⎡⎦⎤2k －12，2k ＋12，k ∈Z . 其中真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 1，p 4 D ．p 2，p 4答案 C解析 f (x ＋2)＝－f (x )中，令x ＝－1可得 f (1)＝－f (－1)＝－f (1)，据此可得f (1)＝0，命题p 1正确； 由题意可知f ()x ＋4＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则函数f (x )的周期为T ＝4，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 2的一个周期为8，命题p 2错误；由f (x ＋2)＝－f (x )可知，函数f (x )关于点(1,0)中心对称，绘制函数图象如图所示．将函数图象向右平移一个单位可得函数y ＝f (x －1)的图象， 则函数y ＝f (x －1)在(1,2)上单调递减，命题p 3错误； p 4：函数y ＝f (2x －1)的增区间满足： 4k －2≤2x －1≤4k (k ∈Z )，求解不等式组可得增区间为⎣⎡⎦⎤2k －12，2k ＋12，k ∈Z ， 命题p 4正确．综上可得真命题为p 1，p 4.11．若y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝⎛⎦⎤0，13上无零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞) D ．(0,1)∪()4，＋∞答案 C解析 令y ＝8x －log a x 2＝0，则8x ＝log a x 2， 设f (x )＝8x ，g (x )＝log a x 2，于是要使函数y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝⎛⎦⎤0，13上没有零点， 只需函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝⎛⎦⎤0，13上没有交点， 当a >1时，显然成立；当0<a <1时，f (x )＝8x 单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫13＝138＝2，此时，要使函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝⎛⎦⎤0，13上没有交点， 则需g ⎝⎛⎭⎫13＝log a 19>f ⎝⎛⎭⎫13＝2，即log a 19>2＝log a a 2，于是a 2>19，解得13<a <1，故实数a 的取值范围是a >1或13<a <1，故选C.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，2≤x ≤3，x 2＋2x ，3<x ≤4，g (x )＝ax ＋1，对∀x 1∈[－2,0]，∃x 2∈[－2,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－18∪⎣⎡⎭⎫18，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，0∪⎝⎛⎦⎤0，18 C ．(0,8]D.⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪⎣⎡⎭⎫18，＋∞ 答案 D解析 由题意知问题等价于函数f (x )在[－2,0]上的值域是函数g (x )在[－2,1]上的值域的子集．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋4，2≤x ≤3，x ＋2x ，3<x ≤4，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f (x )∈⎣⎡⎦⎤3，92，由f (x ＋2)＝2f (x )，可得f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)，当x ∈[－2，0]时，x ＋4∈[2,4]．则f (x )在[－2,0]上的值域为⎣⎡⎦⎤34，98.当a >0时，g (x )∈[－2a ＋1，a ＋1]，则有⎩⎨⎧－2a ＋1≤34，a ＋1≥98，解得a ≥18；当a ＝0时，g (x )＝1，不符合题意；当a <0时，g (x )∈[a ＋1，－2a ＋1]，则有⎩⎨⎧a ＋1≤34，－2a ＋1≥98，解得a ≤－14.综上所述，可得a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪⎣⎡⎭⎫18，＋∞. 13．函数f (x )＝a x－2 015＋2 017(a >0且a ≠1)所过的定点坐标为________．答案 (2 015,2 018) 解析 当x ＝2 015时， f (2 015)＝a 2 015－2 015＋2 017＝a 0＋2 017＝2 018，∴f (x )＝a x－2 015＋2 017(a >0且a ≠1)过定点(2 015，2 018)．14．已知函数f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，则函数f (x )的最小值是________． 答案 －16解析 设t ＝x ＋2 015，t ∈R ，则f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，化为g (t )＝(t －3)(t －1)(t ＋1)(t ＋3) ＝(t 2－1)(t 2－9)＝t 4－10t 2＋9＝(t 2－5)2－16，当t 2＝5时，g (t )有最小值－16， 即当x ＝－2 015±5时，函数f (x )的最小值是－16.15．若函数f (x )对定义域内的任意x 1，x 2，当f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称函数f (x )为单纯函数，例如函数f (x )＝x 是单纯函数，但函数f (x )＝x 2不是单纯函数，下列命题：①函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，x －1，x <2是单纯函数；②当a >－2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(0，＋∞)上是单纯函数；③若函数f (x )为其定义域内的单纯函数，x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④若函数f (x )是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x 0使其导数f ′(x 0)＝0，其中正确的命题为________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①③解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为当x ≥2时，f (x )＝log 2x 单调，当x <2时，f (x )＝x －1单调，结合f (x )的图象可知f (x )是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f (x )＝x ＋1x ＋a ，由f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫12但2≠12可知f (x )不是单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，即命题③正确；对于命题④，例如，f (x )＝x 是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在x 0，使f ′(x 0)＝0，故④错误，答案为①③.16．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋54，x >0，－x 2－6x －8，x ≤0，若方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫1，54 解析 作出函数f (x )和g (t )的图象如图．由g [f (x )]－a ＝0(a >0)，得g [f (x )]＝a (a >0)． 设t ＝f (x )，则g (t )＝a (a >0)．由y ＝g (t )的图象知，①当0<a <1时，方程g (t )＝a 有两个根，－4<t 1<－3，－3<t 2<－2，由t ＝f (x )的图象知，当－4<t 1<－3时，t ＝f (x )有1个根，当－3<t 2<－2时，t ＝f (x )有3个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有4个根，②当a ＝1时，方程g (t )＝a 有两个根，t 1＝－3，t 2＝12，由t ＝f (x )的图象知，当t 1＝－3时，t＝f (x )有2个根，当t 2＝12时，t ＝f (x )有3个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有5个根；③当1<a <54时，方程g (t )＝a 有两个根，0<t 1<12，12<t 2<1，由t ＝f (x )的图象知，当0<t 1<12时，t＝f (x )有3个根，当12<t 2<1时，t ＝f (x )有3个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有6个根；11 ④当a ＝54时，方程g (t )＝a 有1个根，t ＝1，由t ＝f (x )的图象知，当t ＝1时，t ＝f (x )有2个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有2个根；⑤当a >54时，方程g (t )＝a 有1个根t >1， 由t ＝f (x )的图象知，当t >1时，t ＝f (x )有1个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有1个根．综上可得，若方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54.。