习题作业-点线面的运用.
点线面位置关系例题与练习(含答案)之欧阳音创编
点、线、面的位置关系●知识梳理（一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线．．．的三点确定一个平面.推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：[]0,90θ∈︒︒3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b a b O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
第二章_点线面——习题
2-32 已知：三角形ABC的投影, 求作：该平面对V面的倾角。
2-33 已知MN为平面内对V面的最大斜度线， =300， 试求作该平面的两面投影。
已 知：平面ABCD的BC边平行于V面， 试完成：ABCD的水平投影。（习题2-32）
2-34 判别直线与平面的相对位置（平行、相交）。
平行
'
2-45 求两平面的交线，并判别可见性。
2-46 求两平面的交线，并判别可见性。
2-46 求两平面的交线，并判，试作其上第II 段（四棱锥台）和第IV段（四棱柱）的展开图。
2-42 求两平面的交线，并判别可见性。
2-42 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-44 求直线与平面的交点，并判别可见性。
2-44 求直线与平面的交点，并判别可见性。
第二章点线面习题点线面位置关系练习题点线面位置关系习题点线面体练习题点线面练习题点线面体同步习题点线面点线面平面构成图片康定斯基论点线面点线面设计
第二章 点线面——习题
2-1 根据直观图作A、B、C、D各点的投影图。
2-2 根据直观图作A、B的三面投影图。
2-3 已知各点的两面投影， 求作其第三面投影。
2-38 过点D作直线DE平行三角形ABC且与H面成300。
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
不平行
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
平行
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
平行
2-40 过点A作平面平行于平面BCDE。
画法几何点线面投影的习题
画法几何点线面投影的习题2-1 根据点的空间位置，画出点的投影图2-2 根据点的坐标，画出点的投影图和空间位置2-3根据点的两面投影求第三投影，并判定其相对位置2-4 已知点B 在点A 的正上方10，点C 在点B 的正左方10，求A 、B 、C 的三面投影，并标明其可见性。
b'b b”c'c” c( a” ) ( )ab”A AA BBB c ׳dC CCDD2-5 已知长方体的投影图，试判定棱线AB、AC、CD与投影面的相对位置，并标明其侧面投影。
2-6 注出三棱锥SABC各棱线的水平和正面投影，并判定它们属于哪类直线。
2-7求直线AB的第三投影。
2-8 分别求出直线CD和EF的实长及其倾角α和β。
2-9 已知直线AB与V面的倾角β=300，求其水平投影ab。
2-10 判定点K是否在直线AB上。
不在2-11 判定下列直线的相对位置（平行、相交、交叉）2-12 求点M到直线AB的距离。
2-13求一距H面为20的水平线，与两交叉直线AB、CD相交2-14判定两条交叉直线AB、CD对V、W面重影点的可见性2-15试求两条直线AB、CD之间的距离2-16已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试完成该正方形的正面、侧面投影2-17求下列平面的第三投影，并判定它们与投影面的相对位置2-18试判定A、B两点是否在下列平面内2-19 完成平面五边形的正面投影2-20判定3条相互平行的直线是否在同一平面内通过作图可知：左边两条平行直线可确定一平面，右边的平行线没有过该平面上的某一点，所以三条平行线不在同一平面。
2-21已知直线CD在⊿ABC平面内，试求c′d′2-22试在⊿ABC内取一点K，使K距H面、V面均为20。
《第3课 点、线、面》作业设计方案-小学美术人教版二年级下册
《点、线、面》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 了解点、线、面的基本概念和特征；2. 掌握点、线、面的基本表现技巧；3. 能够运用点、线、面进行基本的美术创作。
二、作业内容：1. 绘画作业：（1）选择一个主题，如“生活中的点、线、面”，进行绘画创作；（2）通过观察和感受，运用点、线、面元素表现主题；（3）作品要求表现出点、线、面的和谐统一。
2. 手工制作作业：（1）选择一个合适的材料，如卡纸、纸杯、布料等；（2）根据教师示范，尝试制作一个简单的立体造型，如风车、房子等，运用点、线、面进行装饰；（3）作品要求表现出点、线、面的美感，并具有一定的实用价值。
三、作业要求：1. 绘画作业：（1）用黑色或彩色笔完成作品；（2）作品尺寸为A4纸大小；（3）提交作品需附上简短的创作说明。
2. 手工制作作业：（1）按照所选材料的要求进行制作；（2）作品应符合安全和环保要求；（3）提交作品需附上制作过程的照片或视频，以及简短的创作说明。
四、作业评价：1. 评价标准：点、线、面的运用是否恰当，作品主题是否符合要求，创意性、美观性如何，实用价值等。
2. 分组评价：将学生作品分组评价，鼓励学生相互学习，共同进步。
3. 教师评价：对每组作品进行点评，给予指导建议，鼓励学生在下次作业中改进和提高。
4. 优秀作品展示：评选出优秀作品，进行展示，激发学生的创作热情。
五、作业反馈：1. 收集学生对作业的反馈意见，了解学生对美术课程的建议和需求；2. 根据学生反馈，对作业内容和形式进行改进，提高教学质量；3. 鼓励学生相互交流学习经验，共同提高美术水平。
通过本次作业，学生能够进一步了解点、线、面的基本概念和特征，掌握其表现技巧，并能够运用点、线、面进行基本的美术创作和手工制作。
同时，通过评价和反馈环节，学生能够得到教师的指导建议，提高自己的美术水平。
此外，教师还可以根据学生反馈对作业内容和形式进行改进，提高教学质量。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 巩固学生对点、线、面的认识，理解其基本特征。
《第3课点、线、面》作业设计方案-小学美术人教版12二年级下册
《点、线、面》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《点、线、面》的学习，使学生能够认识并理解美术创作中点、线、面的基本概念及其在美术作品中的应用，培养学生对美术元素的观察力和创造力，提升学生的美术鉴赏能力和动手实践能力。
二、作业内容1. 理论学习：学生需了解点、线、面的定义及在绘画中的作用，如点的密集可形成面，线的组合可构成形态等。
2. 观察实践：学生需观察身边的实物，如树叶的纹理、建筑物的轮廓等，从中找出点、线、面的元素，并尝试用简短的文字描述。
3. 创作练习：学生运用所学知识，以“点、线、面”为主题创作一幅画作。
在画作中，学生需明确表现出点、线、面的运用，可以自由发挥创意，表现个人风格。
4. 素材准备：准备不同大小的画布或纸张，彩色笔或水彩笔等绘画工具。
三、作业要求1. 理论学习部分：学生需认真听讲，积极思考，理解并掌握点、线、面的基本概念。
2. 观察实践部分：学生需仔细观察，用心感受，准确找出并描述出实物中的点、线、面元素。
3. 创作练习部分：学生需独立思考，大胆创作，画作中应明确表现出点、线、面的运用，色彩搭配和谐，构图合理。
同时，要注意画面的整洁与美观。
4. 提交作业时，需附上简短的文字说明，描述画作中点、线、面的运用及创作思路。
四、作业评价1. 教师根据学生的理论学习情况、观察实践及创作练习的表现进行评价。
2. 评价标准包括：理论掌握程度、观察描述的准确性、画作中点线面的运用、色彩搭配及构图等。
3. 评价方式采取综合评价法，即结合学生的自评、互评及教师评价，给出综合成绩。
五、作业反馈1. 教师根据学生的作业情况，给予针对性的指导和建议，帮助学生更好地掌握《点、线、面》的学习内容。
2. 对于表现优秀的学生，给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性；对于存在不足的学生，给予关心和帮助，指导其改进。
3. 通过作业反馈，学生可以了解自己的学习情况，明确自己的优点和不足，以便在今后的学习中加以改进。
《第3课点、线、面》作业设计方案-小学美术人教版12二年级下册
《点、线、面》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 认识和了解点、线的基本形态和在美术创作中的应用。
2. 掌握简单的点、线绘制技巧，尝试用点、线创作简单的画面。
3. 培养学生对美术学习的兴趣和想象力，激发他们的创造性思维。
二、作业内容本节课的作业内容是《点、线、面》的初步认识与运用。
具体包括：1. 认识点、线的概念及特点：学生需通过教师的讲解和展示，理解点、线的定义及其在美术作品中的作用。
2. 观察与发现：学生需在教室环境中寻找并指出点、线元素，如墙面上的装饰线条、窗户上的小亮点等。
3. 创作实践：学生需运用所学知识，用线条和点绘制一幅作品。
可以自由选择主题，如风景、动物或静物等，但需至少包含五个以上的点或线元素。
三、作业要求作业要求如下：1. 安全性：学生在创作过程中应注意使用工具的安全，避免伤害自己或他人。
2. 规范性：线条和点的运用应符合美术创作的基本规范，如线条的流畅、点的分布等。
3. 创新性：鼓励学生发挥想象力，尝试不同的点、线组合和运用，创作出具有个性的作品。
4. 完整性：作品应包含至少五个点或线元素，且应有一定的主题和构图。
四、作业评价作业评价将从以下几个方面进行：1. 点、线运用的准确性和规范性。
2. 作品的创新性和个性。
3. 作品的完整性和构图。
五、作业反馈作业反馈将采取以下形式：1. 教师将对学生的作品进行点评，指出优点和不足。
2. 学生之间可以互相交流作品，互相学习和借鉴。
3. 根据作业评价结果，教师将给出相应的鼓励和建议，帮助学生更好地提高美术创作能力。
以上是本节课的作业设计方案，通过这样的作业设计，希望能够帮助学生更好地认识和了解点、线的基本形态和在美术创作中的应用，培养他们的美术学习兴趣和想象力，激发他们的创造性思维。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本课时作业设计旨在让学生进一步掌握“点、线、面”的基本概念及其在美术作品中的应用，培养学生的观察能力、创新能力和实践能力，为下一阶段的学习打下坚实基础。
第八章点线面练习题
2020-2021学年高一数学必修二第8章《立体几何初步》点线面练习题1.如图所示，下列符号表示错误的是()A.l∈αB.P∉lC.l⊂αD.P∈α答案 A解析观察图知，P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的.2.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线答案 C3.直线在平面外是指()A.直线与平面没有公共点B.直线与平面相交C.直线与平面平行D.直线与平面最多只有一个公共点答案 D解析直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内，其中平行和相交统称为直线在平面外，所以直线在平面外是指直线与平面最多只有一个公共点.4.下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于另外两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等.其中正确的命题的个数为()A.1B.2C.3D.0答案 C解析根据面面平行的性质知①②③正确.5.(多选)在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是()A.平面P AB ⊥平面P ADB.平面P AB ⊥平面PBCC.平面PBC ⊥平面PCDD.平面PCD ⊥平面P AD 答案 ABD解析 对于A ，∵P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥平面P AD ，∴平面P AB ⊥平面P AD ，故A 正确；对于B ，∵P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PBC ，故B 正确；对于D ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥CD ，又CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥平面P AD ，∴平面PCD ⊥平面P AD ，故D 正确.6.互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分. 答案 8解析 互不重合的三个平面将空间分成几部分有五种情形：当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分.即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分.所以最多将空间分成8部分.7.一个正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点.过点P 将木块锯开，使截面PDEF 平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为________.答案 a 24解析 由于平面PDEF 与VB 和AC 都平行，所以PF ∥DE ，PF ＝12VB ，PD ∥EF ，PD ＝12AC ，所以四边形PDEF 为平行四边形.又四面体为正四面体，所以VB ⊥AC ，且VB ＝AC ，所以PF ⊥EF ，且PF ＝FE ，则四边形PDEF 是边长为12a 的正方形，故其面积为a 24.8.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________.答案 60°解析 连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C 交BC 1于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ， 在△GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22a ， 故两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.9.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF .证明 (1)在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ， ∴AD DB ＝AE EC， 在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立，∴DE ∥BC . ∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥BC ，折叠后，AF ⊥CF .∵在△BFC中，BC＝22，BF＝CF＝12，∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.又AF∩BF＝F，AF，BF⊂平面ABF，∴CF⊥平面ABF.10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点.求证：(1)MN∥平面CC1D1D；(2)平面MNP∥平面CC1D1D.证明(1)如图，连接AC，CD1.因为ABCD为正方形，N为BD的中点，所以N为AC的中点.又M为AD1的中点，所以MN∥CD1.因为MN⊄平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.(2)连接BC1，C1D，因为B1BCC1为正方形，P为B1C的中点，所以P为BC1的中点.又N为BD的中点，所以PN∥C1D.因为PN⊄平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，所以PN∥平面CC1D1D.由(1)知MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面MNP，所以平面MNP∥平面CC1D1D.11.下列不能确定两个平面垂直的是()A.两个平面相交，所成二面角是直二面角B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C.一个平面经过另一个平面的一条垂线D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b答案 D解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.12.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β. 其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 C解析①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以正确结论的个数是2.13.如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD∥BE，AC∥DG∥EF，且AB＝DE，DG＝2EF，则下列说法中正确的是________.(填序号)①BF∥平面ACGD；②CF∥平面ABED；③BC∥FG；④平面ABED∥平面CGF.答案①解析∵EF∥DG，EF⊄平面ADGC，DG⊂平面ADGC，∴EF∥平面ADGC，同理，BE∥平面ADGC，又∵BE∩EF＝E，∴平面BEF∥平面ACGD，∵BF⊂平面BEF，∴BF∥平面ACGD，故①正确；由于DG＝2EF，则四边形EFGD是梯形，GF的延长线必与直线DE相交，故④不正确；选项②③不能推出.14.如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________.答案34解析 如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连接OB ，OC ，则OC ⊥l ，则∠ACO 为二面角α－l －β的平面角，∠ABC 为AB 与l 所成的角.设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ.由图象得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.15.如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，点E ，F ，G ，H 分别为P A ，PD ，PC ，PB 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH ∥平面ABCD ； ②BC ∥平面P AD ； ③AB ∥平面PCD ； ④平面P AD ⊥平面P AB . 其中正确的有( )A.①③B.①④C.①②③D.②③ 答案 C解析 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH ∥AB ，又EH ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以EH ∥平面ABCD .同理可证EF ∥平面ABCD ，又EF ∩EH ＝E ，EF ，EH ⊂平面EFGH ，所以平面EFGH ∥平面ABCD ；平面P AD ，平面PBC ，平面P AB ，平面PDC 均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交.∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD.同理BC∥平面P AD.16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC；(2)求证：平面P AB⊥平面P AC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF？请说明理由.(1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴CD⊥平面P AC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面P AC，∴AB⊥平面P AC，又AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AC.(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，∴EF为△P AB的中位线，∴EF∥P A.又P A⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴P A∥平面CEF.。
生活中的点线面(平面构成作业)
后一张图为家居室内设计 中常用的装饰表达，通过 对块状大小、颜色和内部 结构的设计使空间不再单 调空洞。
常见的建筑结构对直线曲 线的运用很多，且极具多 变性
常见的建筑结构对直线曲 线的运用很多，且极具多 变性
常见的建筑结构对直线曲 线的运用很多，且极具多 变性
大块面积的运用 画面更加简约
习题课-点线面的投影
判断可见性
根据线的位置关系，判断 其在各个投影面上的可见 性，并绘制虚线或实线。
面的投影作图方法
确定面的投影
根据面的空间形状和尺寸，确定 其在各个投影面上的位置和范围。
绘制面的投影
根据投影规律，将面投影到相应的 投影面上，并使用闭合线框表示。
判断可见性
根据面的位置关系，判断其在各个 投影面上的可见性，并绘制虚线或 实线。
点在某投影面上的投 影，其投影大小与该 点对投影面的距离有 关。
点在某投影面上的投 影，其投影方向与该 点对投影面的相对位 置无关。
线的投影性质
直线的投影仍然是直线。
直线在某投影面上的投影， 其投影方向与该直线对投影 面的相对位置有关。
直线在某投影面上的投影， 其投影长度与该直线对投 影面的距离有关。
面上的正投影的形状和大小不会发生变化。
线的投影练习题及解析
题目
线段AB在投影面H上的正投影是a，在投影面K上的正投影是b，当线段AB的位置变 化时，它的正投影在H面和K面上的形状和大小是否发生变化？
解析
线段AB在H面和K面上的正投影是由物体、投影面和光源三者之间的相对位置决 定的。当线段AB的位置变化时，如果物体、投影面和光源三者之间的相对位置不 变，则线段AB在H面和K面上的正投影的形状和大小不会发生变化。
平行或倾斜。
Part
05
点、线、面的投影练习题及解 析
点的投影练习题及解析
题目
点A在投影面H上的正投影是a，在投影面K上的正投影是b，当点A的位置变化时，它的 正投影在H面和K面上的形状和大小是否发生变化？
解析
点A在H面和K面上的正投影是由物体、投影面和光源三者之间的相对位置决定的。当点 A的位置变化时，如果物体、投影面和光源三者之间的相对位置不变，则点A在H面和K
点线面习题
c′ b′ b c3 ′
30°
d′
d
c
d3′
30°
b3′ c2b2d2 b1′ a2
p a
d1′ c1 ′ p1′ a1 ′
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60°
a3 ′
p3′
X3
p2 X2
A0 e
△ZAC
g c A 1 b B0
△ZC 1
60 °
a
= A0 c
C
f
【12】已知等边△ABC与H面的倾角α=30°，试完成该等 边△ABC的两面投影。
b′ △ZB
D
B0
作图步骤 c′
1、求作等边△ＡＢＣ 高的实长 2、直角三角形法求作 ＢＤ的Ｚ坐标差
a′
d′
a
α
d
c
等边△ABC 高BD的实长
△ZB
D
b
【13】已知等腰△ＤＥＦ的顶点Ｄ和一腰DE在直线DG上， 另一腰ＤＦ∥△ＡＢＣ，且点Ｆ在ＭＮ上，试 完成△ＤＥＦ的两面投影。
n′ b′ 1′ f′
作图步骤：
1、过D作平面D12
c′
m′
2′
e′ d′
1
g′
2、求D12与MN交点F 3、求DF的实长 4、在dg上，取DE=DF
a′ b f n
b′
a′
d′ c′
e′
XV H c a
e
d b e1 ′
c1 ′ d1 ′ a2b2 b1 ′
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c2 d2 e2
反映两直 线间距离
a1 ′
【16】求两直线AB与CD的公垂线 并求公垂线的实长。
b' m' a' c' V X H m a c d' N C D A