点线面关系练习题(有答案)
点线面位置关系例题与练习含答案
点、线、面的位置关系●知识梳理（一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线的三点确定一个平面. ．．．推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；????,900??；1.4异面直线所成的角：（1）范围：（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.?//a?a//b??②判定定理：③性质定理：???a?//ba??//?aa???????b???b??2.线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面????,900??内射影的夹角。
范围：????//???；面面平行：①定义： 3.②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；?????////?,b//,b?b,a?O,aa符号表述：????//?,a?a?.符号表述：判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.??//???//??????a//?ab//a?））；（2③面面平行的性质：（1????a????b??（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
???,?a?l?al?l.，则符号表述：若任意都有，且??,ba??O?ab????????l?l al?a,?l??（②判定：1（）；2）③性质：??al??b?l?????a//b?a?b,；3.2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】??的平面角?－lOA?l??AOB是二面角OB?l,?AOB?[0?,180?] 范围：②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.?????l???90；的平面角为3.3面面垂直（1）定义：若二面角，则??a????? 2）判定定理：（???a???????ABa???????a??MON?90MON??，则②，二面角的一个平面角为（3）性质：①若；???a??ABa??●热点例析【例1】热点一有关线面位置关系的组合判断ababl，则( )β＝．?α，?β若，，α是两条异面直线，α，β是两个不同平面，∩lab分别相交，A．与lab都不相交．，与 B lab中一条相交．，至多与 C lab中的一条相交．，至少与D lablalbababl至少与∥解析：假设与与，从而，是异面直线矛盾，故均不相交，则∥∥，，ab 中的一条相交．选，D.热点二线线、线面平行与垂直的证明ABCDABCDDDABCDABCDABADAD，－⊥平面＝，底面中，【例2】如图，在四棱台2是平行四边形，11111ABBAD ＝60°. ＝，∠11BDAA⊥(1)证明：；1．BDCCA∥平面(2)证明：11BDDDDDABCDBDABCD. ⊥平面⊥，且方法一：因为，所以?平面 (1)11ABDADBADAB，∠中，由余弦定理得又因为＝2＝60°，在△2222ADADBDABADAB －23＝·，＋cos 60°＝222DDADDADBDABADBD＋∩＝，.所以⊥＝.所以又1ABDADD.⊥平面所以11BDAAADDAAA.又?平面，故⊥1111ABCDABCDBDDD，(方法二：因为如图⊥平面)，且?平面1DDBD.所以⊥1DGGAB．)如图(，连接的中点取．ABDABADAGAD. 中，由得＝2在△＝BAD＝60°，又∠ADGGDGB，所以△＝为等边三角形，因此DBGGDB.故∠＝∠AGDGDB＝30°，＝60°，所以∠又∠ADBADGGDB＝60°＋30°＝90°，故∠＋∠＝∠BDAD.所以⊥ADDDDBDADDA. ＝又⊥平面∩，所以111AAADDAAABD. ⊥平面又，故?1111ACAC.(2)如图，连接，11EABDEAC.＝∩设，连接11ABCDECAC.因为四边形＝为平行四边形，所以2ABADABACECACEC，知由棱台定义及∥＝2＝＝2且111111AECC 为平行四边形．所以四边形11CCEA.因此∥11 ABDABDCCEA，，平面平面又因为?1111CCABD.∥平面所以11热点三面面平行与垂直的证明ABCDADBCABBCADBCPABCDPAPB，为平面＝＝2，【例3】在直角梯形外一点，且中，＝∥，4⊥，，PDPCNCD的中点．为，＝ABCDPCD⊥平面；求证：平面(1)EABPPCENE点的位置；若不存上是否存在一点∥平面在线段使得？若存在，说明理由并确定(2) 在，请说明理由．MNPNMPMAB，连接，， (1)证明：取，中点CDABPNPM.，⊥则⊥ABMNBCABCDAB. 又，∴为直角梯形，⊥⊥PMNABMNMPM. ＝∩⊥平面，∴∵PNPMNABPN.，∴⊥又?平面ABCDPNABCD.与∵相交，∴⊥平面ABCDPCDPNPCD.⊥平面，∴平面平面?又．11PCPBEFBFBPCECPEFMFNE，＝上分别取点，，使，连接＝，，(2)解：假设存在．在，，443EFBCEFBC＝则3.∥＝且可求得4MNMNBCEFMNEFMN. ，∴且∵＝3且∥∥＝MNEFENFM. 为平行四边形，∴∴四边形∥FMPAB，?又∵平面1PCENEABPCEPC.∥平面∴在线段＝上存在一点，此时使得 4热点四折叠问题?AB，中，AP//BC，AP例4如图所示，在直角梯形ABCP1AP?2?PCD、、，，沿CDCBGAB=BC=分别为PC的中点，将PD，D是AP的中点，E折起，使F2PD?平面ABCD得．（Ⅰ）求证：AP//平面EFG；PD?G?EF的大小．) (Ⅱ求二面角F P D AFEDAECBGG B C．AC,BD:连交于O点,连GO,FO,EO:解(Ⅰ)证明11CDCD GOGOEF?EF同理// //, 分别为PC,PD的中点,∴// ,∵E,F22?EO??平面EFOG．四边形EFOG是平行四边形, ?PA//EO,PC,AC的中点又在三角形PAC中,E,O分别为??EO平面EFOG,平面EFOG,PA?PA//平面EFOG,即PA//平面EFG．方法二)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO．11CDPB GEEF //,∴同理//,PC,PDE,F∵分别为的中点221AB CDEF?又//AB,// 2?B,EEG?EF?,PB?AB? PAB,平面EFG//平面?//PA?平面EFGPA又．平面PAB,xyz?D DPDA,DC,为方向向量建立空间直角坐标系为原点D,以．方法三)如图以:则有关点及向量的坐标为????????????.2,00,0,1,1C,0,2,0F,G1,2,0A,EP0,0,10,0,2,??????1,EG?10,1,,2,EF???0,1AP?,?2,0??zn?,x,y EFG的法向量为设平面?0?0?ynx?z?EF????.??????0??0yx?y?z???0EG?n????10n?,1,取．?AP?0?,?2n?0?0?1?2An??1, ∵?AP?平面又EFG．平面EFG．AP//DCAD??PD?ABCDABCD ,Ⅱ)由已知底面又∵是正方形面(DCD?PD?PD?AD?又?DDA0,2,0??AD?PCDPCD平面, ,的一个法向量向量=是平面??n01,,?EFG的法向量为又由(Ⅰ)方法三)知平面2Dn.?cosDA,n???222n?DA0.45DEF?G?结合图知二面角的平面角为热点五线线角线面角面面角●6ABCDABCD?PPA与底面中，侧棱例5正四棱锥所成角的正切值为。
点线面测试题及答案初一数学知识点
点线面测试题及答案初一数学知识点
点线面测试题及答案初一数学知识点
点和线练习
第1题.以下说法中正确的语句共有几个?答：( )
①两点确定一条直线;②延长直线AB到C;③延长线段AB到C，使得AC=BC;④反向延长线段BC到D，使BD=BC;⑤线段AB与线段BA 表示同一条线段;⑥线段AB是直线AB的一部分
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：B
第2题.下列说法中：①两条直线相交只有一个交点;②两条直线不是一定有一个公共点;③直线AB与直线BA是两条不同直线;④两条不同直线不能有两个或更多个公共点，其中正确的.是( )
A.①②
B.①④
C.①②④
D.②③④
答案：C
第3题.过平面上A,B,C三点中的任意两点作直线,可作( )
A.1条
B.3条
C.1条或3条
D.无数条
答案：C
第4题.下列语句正确的是( )
A.点a在直线l上
B.直线ab过点p
C.延长直线AB到C
D.延长线段AB到C
答案：D。
立体几何点线面位置关系习题精选
同步练习第I 卷（选择题）1.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是（ ）.A 、若m ∥,n α∥α,则m ∥nB 、若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC 、若n ∥,n α∥β,则α∥βD 、若,m n αα⊥⊥,则m ∥n 2.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （ ） A ．//,//m n αα，则//m n B ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．//,//m n m α，则//n α D ．,αγβγ⊥⊥，则//αβ3.已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若α∥β，m ∥α，则m ∥β B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ⊥α C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4.已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面， 则下列命题正确的是（ ）A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若l ∥α，m α⊂，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ C ．若l α//，m α⊂，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m // 6.设b a ,表示直线，γβα,,表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥a 且b a ⊥，则α//bB ．若αγ⊥且βγ⊥，则βα//C ．若α//a 且β//a ，则βα//D ．若αγ//且βγ//，则βα//7.关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b8.给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面 垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要9.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中为真命题的个数（ ）①若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ ②若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α ③若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ ④若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则； ②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.311.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是 A. ,////m n m n αα⊂⇒ B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥ C. ,,////m n m n αβαβ⊂⊂⇒ D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥12.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥（C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ13.对于空间的一条直线m 和两个平面,αβ，下列命题中的真命题是 A.若,,mm αβ则αβ B. .若,,m m αβ则αβ⊥C.若,,m m αβ⊥⊥则αβ D. 若,,m m αβ⊥⊥则αβ⊥14.设,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥α； B ．若,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥； C ．若l ∥α，l ∥β，m αβ=，则l ∥m ； D ．若,,l m l m αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥．15.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B.若//,a b b α⊂,则//a α C.若//,,,a b αβαγβγ==则//a b D.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα第II 卷（非选择题）二、解答题（本题共7道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,第7题0分,共0分）在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.(Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；BA17.（本题10分）如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：(1)PA ∥平面BDE ； (2)BD ⊥平面PAC ．18.（本小题8分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且2PA PD AD ==,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (1) 求证:EF //平面PAD ; (2) 求证:面PAB ⊥平面PDC ;(3) 求二面角B PD C --的正切值.PO ECDBACBAD1B1A1C19.如图，底面是正三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AA AB ==. （Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ； （Ⅱ）求点A 1 到平面1AB D 的距离.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= E 、F 分别是PB 、CD 的中点，且4PB PC PD ===. （1）求证：PA ABCD ⊥平面； （2）求证：//EF 平面PAD ; （3）求二面角A PB C --的余弦值.21.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． (Ⅰ)求证：//EF 平面PAD ； (Ⅱ)求证：EF CD ⊥；(Ⅲ）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC 的体积.BA22.(本小题满分10分)P-中，底面ABCD是矩形，如图，在四棱锥ABCDAP=，E，F分别是PB,PC的中点.PA⊥平面ABCD，AB(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；AE⊥.(Ⅱ)求证：PC评卷人得分三、解答题（本题共3道小题，每小题10分，共30分）评卷人得分四、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）23.已知直线m,n与平面α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题序号是______24.设,m n是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列正确命题的序号是__________。
点线面关系练习题(有答案)
//a α//a b//a b点线面位置关系总复习● 知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a abαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂=//αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥//αβ;////a γβγ//αβ2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.②判定定理:a ba cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥（3）性质 ①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥（3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥② l P PA Aαβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈3 l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂● “转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直//a b a bαα⊄⊂//a α//a b●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
点线面答案
参考答案一、选择题 1．D解析：当垂直于直线l 的两条直线与l 共面时，两条直线平行；当这两条直线与l 不共面时，两条直线平行或相交或异面．2．D解析：当将AD 1平移至BC 1，连接A 1C 1，∴∠A 1BC 1是异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 在△A 1BC 1中，容易计算A 1B ＝BC 1＝5，A 1C 1＝2． ∴由余弦定理得cos ∠A 1BC 1＝54． 3．A解析：当平面外两点的连线与此平面垂直时，经过这两点与这个平面平行的平面不存在． 4．C解析：依条件得EF ∥＝21AC ，GH ∥＝21AC ，∴ EF ∥＝GH ． 又EH ∥＝21BD ，FG ∥＝21BD ，∴ EH ∥＝FG ． ∵AB ＝BC ，∴EF ＝EH ．∵ AC 与BD 所成角的大小为90°，∴ EF 与EH 所成角的大小为90°． ∴四边形EFGH 是正方形． 5．B解析：对于A ，满足条件的直线l 可以与m ，n 中一条相交；对于C ，若l 与m ，n 都不相交，∵ l 分别与m ，n 共面，∴ l ∥m ，l ∥n ．∴ m ∥n ．矛盾；对于D ，满足条件的直线可以与m ，n 都相交．6．A解析：若设AC ，BD 交于点O ，连接C 1O ，则BD ⊥CO ，BD ⊥C 1O ． ∴ ∠COC 1是二面角C 1-BD -C 的平面角．tan ∠COC 1＝BCCC 1＝33．∴ ∠COC 1＝30°．7．C解析：当A ，B 两点在 同侧时，直线AB 和平面 平行；当A ，B 两点在 异侧时，直线AB 和平面 相交．8．B解析：对于A ， ⊥ ，m ⊥ ，n ∥ ，m ，n 可以不垂直； 对于C ，m ⊥ ，n ∥ ，m ⊥n ， ， 可以不垂直； 对于D ， ⊥ ， ∩ ＝m ，n ⊥m ， n ， 可以不垂直． 9．A解析：设A ，C ∈ ，B ，D ∈ ，① 若AB ，CD 共面，∵ ∥ ，∴ AC ∥BD . ∵ E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ EF ∥AC ，且EF ⊄ ，AC ⊂ ，∴ EF ∥ ．②若AB ，CD 为异面直线，则过点F 做直线MN ∥AB ，MN 交 于M ，交 于N ，则MC ∥ND ．∴ F 为的MN 中点．∴EF ∥AM ，且EF ⊄ ，AM ⊂ ，∴ EF ∥ ．10．A解析：连接AB ′，A ′B ，于是∠ABA ′＝6π，∠BAB ′＝4π. 设AB ＝a ，∴ A ′B ＝a cos6π＝2a ，BB ′＝a cos 4π＝2a ． ∴ A ′B ′＝12a ．∴ AB ∶A ′B ′＝2∶1． 二、填空题 11．60°．解析：将展开图恢复为正方体时，点B ，D 重合，∴ AB ，CD ，AC 三条面对角线构成等边三角形，∴ 直线AB ，CD 所成角的大小为60°．12．5．如图，取A 1B 1的中点G ，连接FG ，EG ， ∵FG ＝1，EG ＝2，∴ EF ＝5．(第10题)ABC A 1B 1C 1EFG(第12题)13．414a ． 解析：如图过点A 作AB ⊥OC ，垂足为B ，连接A ′B ， 点A 到直线OC 距离是AB ．依条件得AA ′＝23a ，A ′O ＝21a ，A ′B ＝42a ．∴ AB ＝16243+a ＝414a ． 14．60°．解析：依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为1，侧面等腰三角形底边上的高为 2，∴ 侧面与底面所成的二面角的余弦值是21． ∴ 侧面与底面所成的二面角的大小是60°． 15．5．解析：依条件可知当a ∥ ，b ∥ 时，以上五种情况都有可能出现，因此五个结论都有可能成立． 三、解答题16． 证明：(1)∵ AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，且AB ∩AD ＝A ， ∴ AA 1⊥平面ABCD ．又BD ⊂平面ABCD ，∴ AA 1⊥BD ．又AC ⊥BD ，AA 1∩AC ＝A ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1． (2)∵ DD 1∥AA 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1， ∴ DD 1∥平面ACC 1A 1．∴ 点P 到平面ACC 1A 1的距离即为直线DD 1到面ACC 1A 1的距离. 也就是点D 到平面ACC 1A 1的距离，设AC ∩BD ＝O ，则DO 的长度是点D 到平面ACC 1A 1的距离．容易求出DO ＝22a ．∴ P 到平面ACC 1A 1的距离为22a ． 17．证明：(1)连接EO ，∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ O 为AC 的中点．∵ E 是PC 的中点，∴ OE 是△APC 的中位线．∴ EO ∥P A ．∵ EO ⊂平面BDE ，P A ⊂平面BDE ，∴P A ∥平面BDE ．(2)∵ PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ PO ⊥BD ．∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥BD ．∵ PO ∩AC ＝O ，AC ⊂平面P AC ，PO ⊂平面P AC ， ∴ BD ⊥平面P AC ．18．(1)证明：∵ PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴ PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ． 又PD ∩DC ＝D ， PD ，DC ⊂平面PCD ， ∴ BC ⊥平面PCD ．∵ PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．(2)解：(方法一)分别取AB ，PC 的中点E ，F ，连DE ，DF ， 则易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D ，E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离的2倍，由(1)知，BC ⊥平面PCD ， ∴平面PBC ⊥平面PCD ．∵ PD ＝DC ，PF ＝FC ，∴ DF ⊥PC ．又 ∴ 平面PBC ∩平面PCD ＝PC ， ∴ DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝22，故点A 到平面PBC 的距离等于2． (方法二)：连接AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ． ∵ AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴ ∠ABC ＝90°． 由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1．由PD ⊥平面ABCD ，及PD ＝1，得三棱锥P -ABC 的体积V ＝31S △ABC ·PD ＝31．∵ PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴ PD ⊥DC ．ABCOA ′(第13题)A BC A 1B 1C 1P · DD 1O(第16题)POECDBA(第17题)(第18题)(第18题)又 ∴ PD ＝DC ＝1，∴ PC ＝22DC PD +＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22． ∵ V A - PBC ＝V P - ABC ，∴31S △PBC ·h ＝V ＝31，得h ＝2． 故点A 到平面PBC 的距离等于2．19．(1)证明：∵ AC ⊥BD ，又BB 1⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ， ∴ BB 1⊥AC . BD ∩BB 1＝B ，∴ AC ⊥平面B 1 D 1DB ． (2)证明：由(1)知AC ⊥平面B 1D 1DB ， ∵ BD 1⊂平面B 1D 1DB ，∴ AC ⊥BD 1． ∵ A 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，AB 1⊂平面A 1B 1BA ， ∴ A 1D 1⊥AB 1．又 ∵ A 1B ⊥AB 1且A 1B ∩A 1D 1于A 1， ∴ AB 1⊥平面A 1D 1B ． ∵ BD 1⊂平面A 1D 1B ， ∴ BD 1⊥AB 1， 又 ∴ AC ∩AB 1＝A ， ∴ BD 1⊥平面ACB 1．(3)解：(方法1)C BB A ACB B V V 11＝--＝31×1×(21×1×1)＝61．(方法2)1ACB B V -＝21(31V 正方体)＝61． 20．(1)证明：∵ AB ⊥平面BCD ，∴ AB ⊥CD ． ∵ CD ⊥BC ，且AB∩BC ＝B ，∴ CD ⊥平面ABC ．又AC AE ＝ADAF＝ (0＜ ＜1)， ∴ 不论 为何值，恒有EF ∥CD ， ∴ EF ⊥平面ABC ． ABC ． ∵ EF ⊂平面BEF ， ∴不论 为何值总有平面BEF ⊥平面(2)解：由(1)知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴ BE ⊥平面ACD ．∴ BE ⊥AC ．∵ BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴ BD ＝2，AB ＝6，AC ＝7．由△ABC ∽△AEB ，有AB 2＝AE ·AC ，从而AE ＝76．∴ ＝AC AE ＝76．故当 ＝76时，平面BEF ⊥平面ACD ．数列测试答案一、选择题1．A 解析：由等差数列的求和公式可得63S S ＝da da 1563311＋＋＝31，可得a 1＝2d 且d ≠0所以126S S ＝da da 661215611＋＋＝d d 9027＝103．2．B解析：解法1：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d ，由a 6＝b 7，即a 1q 5＝b 7． ∵ b 4＋b 10＝2b 7，∴ (a 3＋a 9)－(b 4＋b 10)＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2b 7 ＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2a 1q 5 ＝a 1q 2(q 6－2q 3＋1) ＝a 1q 2(q 3－1)2≥0．(第20题)∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 解法2：∵ a 3·a 9＝a 26，b 4＋b 10＝2b 7，∴ a 3＋a 9－(b 4＋b 10)＝a 3＋a 9－2b 7．又a 3＋a 9－293a a ⋅＝(3a －9a )2≥0， ∴ a 3＋a 9≥293 a a ·．∵ a 3＋a 9－2b 7≥293a a ⋅－2b 7＝2a 6－2a 6＝0， ∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 3．C解析：∵ a 1＋a 2 008＝a 1 003＋a 1 006＝a 1 004＋a 1 005， 而a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，a 1＋a 2 008＝9， ∴ S 2 008＝21(a 1＋a 2 008)×2 008＝9 036，故选C ． 4．B解析：∵ a ，b ，c 成等差数列，∴ 2b ＝a ＋c ， 又S △ABC ＝21ac sin 30°＝23，∴ ac ＝6， ∴ 4b 2＝a 2＋c 2＋12，a 2＋c 2＝4b 2－12， 又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4b 2－12－63， ∴ 3b 2＝12＋63，b 2＝4＋23＝(1＋3)2． ∴ b ＝3＋1． 5．A解析：题中所给圆是以(5，0)为圆心，5为半径的圆，则可求过(5，3)的最小弦长为8，最大弦长为10，∴ a k －a 1＝2，即(k －1)d ＝2，k ＝d 2＋1∈[5，7]，∴ k ≠4．6．A解析：∵ a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16，a 4＝1，∴ a 12＝15． 7．A解析：∵ a 2＋a 6＝2a 4，a 5＋a 10＋a 15＝3a 10，∴ 6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4， ∴ S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝26． 8．B解析：∵ ⎩⎨⎧78＝＋＋24＝－＋＋209118321a a a a a a∴ (a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54， 即3(a 1＋a 20)＝54， ∴ a 1＋a 20＝18， ∴ S 20＝2＋20201)(a a ＝180． 9．C解析： 因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1．因数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒21＋n a ＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒(q －1)2＝0⇒q ＝1．由a 1＝2得a n ＝2，所以S n ＝2n ． 10．C解析：依题意a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝41，两式相除可求得q ＝21，a 1＝4，又因为数列{a n }是等比数列，所以{a n ·a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列，根据等比数列前n 项和公式可得222111q q a a n－)－(＝332(1－4－n )．二、填空题 11．－2．解析：当q ＝1时，S n +1＋S n +2＝(2n ＋3)a 1≠2na 1＝2S n ，∴ q ≠1． 由题意2S n ＝S n +1＋S n +2⇒S n +2－S n ＝S n －S n +1， 即－a n +1＝a n +2＋a n +1，a n +2＝－2a n +1，故q ＝－2． 12．1．解析：方法一 ∵ S n －S n －1＝a n ，又S n 为等差数列，∴ a n 为定值． ∴ {a n }为常数列，q ＝1-n n a a ＝1．方法二：a n 为等比数列，设a n ＝a 1q n －1，且S n 为等差数列，∴ 2S 2＝S 1＋S 3，2a 1q ＋2a 1＝2a 1＋a 1＋a 1q ＋a 1q 2，q 2－q ＝0，q ＝0(舍)q ＝1. 所以答案为1． 13．256，377． 解析：a 9＝28＝256，S 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8) ＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15) ＝341＋36 ＝377． 14．74．解析：由{a n }是等比数列，S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 20－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 20＝q 10S 10，S 30－S 20＝a 21＋a 22＋…＋a 30＝q 20S 10，即S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等比数列，得(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，得(56－32)2＝32(S 30－56)，∴ S 30＝3232－562)(＋56＝74． 15．21，211． 解析：将a 1＋a 2＋a 3＝8，①2n －36＝36(2n －1)．a 4＋a 5＋a 6＝－4．②两式相除得q 3＝－21， ∴ a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3) q 12＝8·421－⎪⎭⎫ ⎝⎛＝21，S 15＝21＋121－－185⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＝211． 16．152．解析：由a n +2＋a n +1＝6a n 得q n +1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q ＞0，解得q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝21，S 4＝2121214－)－(＝152．三、解答题17．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由前n 项和的概念及已知条件得a 21＝9(2a 1＋d )，①4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d )．②由②得d ＝2a 1，代入①有21a ＝36a 1，解得a 1＝0或a 1＝36． 将a 1＝0舍去． 因此a 1＝36，d ＝72， 故数列{a n }的通项公式a n ＝36＋(n －1)·72＝718．解析：(1)证明：因a 1，a 2，a 4成等比数列，故22a ＝a 1a 4，而{a n }是等差数列，有a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即21a ＋2a 1d ＋d 2＝21a ＋3a 1d ． d ≠0，化简得a 1＝d ．(2)由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋d 2910⨯，得到10a 1＋45d ＝110， 由(1)，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ． 因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＝1，2，3，…)．19．解析；由题意得22a ＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d (d －a 1)＝0， 又d ≠0，∴ a 1＝d ．又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n a k ，…，成等比数列， ∴ 该数列的公比为q ＝13a a ＝dd 3＝3， ∴ n a k ＝a 1·3n +1． 又n a k ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴ k n ＝3n +1为数列{k n }的通项公式．】、 20．解析：(1)由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴ b 1＝a 2－2a 1＝3． 由S n ＋1＝4a n ＋2 ①，则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2． ② ②－①得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴ a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又∵ b n ＝a n ＋1－2a n ，∴ b n ＝2b n －1．∴ {b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． ∴ b n ＝3×2 n －1．(2)∵ c n ＝n n a 2，∴ c n ＋1－c n ＝112++n n a －n n a 2＝1122++-n n n a a ＝12+n n b ＝11223+-⨯n n ＝43，c 1＝21a ＝21，∴ {c n }是以21为首项，43为公差的等差数列．(3)由(2)可知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nn a 2是首项为21，公差为43的等差数列． ∴nn a 2＝21＋(n －1)43＝43n －41，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2． S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n－1＝－1－3×12121－－－n ＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1．∴ 数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1．。
点线面关系练习题(有答案)复习进程
点线面关系练习题（有答案）点线面位置关系总复习二、平面与平面平行1.判定方法(1) 定义法：两平面无公共点a// 、b//(2)判定定理：a > //b a b P a r(3)其他方法：知识梳理一、直线与平面平行1.判定方法(1) 定义法：直线与平面无公共点a(2) 判定定 ba / /b 理：(3)其他方法：a"} a//a//2.性质定理：a卜 a//ba//1 卜// // J卜//a」// A2•性质定理： a a//bb、直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直(2)判定方法①用定义•a b 、a c②判定定理:b c A abc 丿③推论：a"I ba//bJ(3)性质} a//b四、平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直a 〕(2)判定定理a」(3)性质①性质定理1>aa 1 J②>A lPPA 垂足为A jl3 PAPPA 」“转化思想”面面平行" 平行 "线线平行面面垂直垂直廿线线垂直求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线，它们所成的角就是二面角的平面角.2•在二面角'■'的棱上任取一点0,在两半平面内分别作射线0A丄l, OB丄l，则/ AOB叫做二面角「•'的平面角例1.如图，在三棱锥S-ABC中，SA 底面ABC , AB BC, DE垂直平分SC,且分别交AC于D，交SC于E,又SA=AB , SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
例1：在棱长都为1的正三棱锥S-ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是_________________ .例2:在正方体ABCD -A1B1C1D1中，①BC1与平面AB1所成的角的大小是_____________ ;②BD1与平面AB1所成的角的大小是_____________ ;③CC1与平面BC1D所成的角的大小是____________ ;④BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是______________ ;⑤BD1与平面BC1D所成的角的大小是_____________ ;例3:已知空间内一点0出发的三条射线0A、OB、OC两两夹角为60°,试求OA与平面BOC 所成的角的大小.求线线距离说明：求异面直线距离的方法有：（1）（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求•此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键.（2）（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a、b距离，先作出过a且平行于b的平面，则b与距离就是a、b距离.（线面转化法）.也可以转化为过a平行b的平面和过b平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离.（面面转化法）.（3）（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求.（4）（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解.两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求.例：在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和B1C之间的距离。
2018--2019点线面的关系(完整答案)
点线面的关系一．选择题（共8小题）1．下列命题正确的是：（）①三点确定一个平面；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面．A．①③B．①④C．②④D．②③2．已知a，b，c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列命题：①若a∥b，b∥α，则a∥α；②若a⊥b，b⊥α，c⊥α，则a⊥c；③若a⊥b，b⊥α，则a∥α；④若a∥b，b∥α，b⊂β，a∩β=c，则a∥c．其中错误命题的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．①②3．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．给出下列命题：①若m⊥α，m⊥n，则n∥α；②若m⊥β，n⊥β，则n∥m；③若m⊥α，m⊥β，则α∥β；④若α∥β，m⊂α，n⊂β，则n∥m；⑤α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n，则命题正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．B．C．D．5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为（）A．4 B．5 C．6 D．77．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共7小题）9．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BDD1．10．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC=BD=2，且AC ⊥BD，则四边形EFGH的面积为．11．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′：AA′=3：4，则S△A′B′C′：S△ABC=．12．过平面外一点作该平面的平行线有条；平行平面有个．13．若直线l⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系为．14．若A∈α，B∉α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有个公共点．15．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交；④若α∩β=m．n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β其中正确确命题的序号是（把正确命题的序号都填上）三．解答题（共15小题）16．如图所示，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点．求证：平面MNP∥平面A1BD．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；19．如图，正三棱锥P﹣ABC中，E是边PC的中点，F是BC的中点．求证：（1）EF∥平面PAB．（2）PA⊥BC．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点N在线段B1D1上，且D1N=2NB1，点M在线段A1B上，且BM=2MA1．求证：MN∥平面AC1B．21．如图所示，四凌锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，E．F，H分别AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE．22．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．（1）求异面直线OC1与AB1所成的角的度数；（2）证明：面C1OD∥面AB1D1．23．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=1，AA1=2，∠B1A1C1=90°，D 为BB1中点，求证：AD⊥平面A1DC1．24．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，△PAC是直角三角形，∠PAC=90°，∠ACP=30°，平面PAC⊥平面ABC．（1）求证：平面PAB⊥平面PBC；（2）若PC=2，求△PBC的面积．25．如图，AD⊥平面APB，AD∥BC，AP⊥PB，R、S分别是线段AB、PC的中点．（1）求证：RS∥平面PAD；（2）若AB=BC=2AD=2AP，点Q在线段AB上，且BQ=3AQ，求证：平面DPQ⊥平面ADQ．26．在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=8，AC=6，BC=10．求证：（1）AB⊥平面ACC1A1；（2）AB⊥A1C．27．已知D，E，F分别是三棱锥P﹣ABC的棱PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC．28．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱D1C1，B1C1，AB，AD的中点，求证：平面D1B1A ∥平面EFGH．29．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为CC1的中点．（1）求证：BD⊥A1M；（2）求证：平面A1BD⊥平面MBD．30．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，△ABC是正三角形，直线AA1⊥平面A1B1C1，D是棱A1C1的中点．（1）求证：B1D⊥平面AA1C1C；（2）求证：BC1∥平面AB1D．一．选择题（共8小题）1．C；2．A；3．B；4．C；5．C；6．C；7．C；8．B；二．填空题（共7小题）9．M在线段FH上；10．1；11．9：49；12．无数；1；13．l∥α或l⊂α；14．1；15．①④；三．解答题（共15小题）16．【解答】证明：如图，连接B1C，B1D1，在△B1C1C中，M，N分别为C1C，B1C1中点，则MN∥B1C，在正方体AC1中，A1B1∥CD且A1B1=CD，所以四边形A1B1CD为平行四边形．所以A1D∥B1C，所以MN∥A1D…（4分）又MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD．所以MN∥平面A1BD…（6分）同理可证PN∥平面A1BD…（8分）又因为MN⊂平面MNP，PN⊂平面MNP，且MN∩PN=N，所以平面MNP∥平面A1BD．…（10分）17．【解答】证明：（1）由题知，EF是△AA1B的中位线，所以EF∥A1B……………（2分）由于EF⊄平面BC1A1，A1B⊂平面BC1A1，所以EF∥平面BC1A1．……………（6分）（2）由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1．……（8分）又∠A1C1B1=∠ACB=90°，所以A1C1⊥C1B1．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面A1C1B1，A1C1⊂平面A1C1B1，从而A1C1⊥CC1，又CC1∩C1B1=C1，CC1，C1B1⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，又B1C⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C..……………（10分）因为A1C1∩BC1=C1，A1C1，BC1⊂平面BC1A1，所以B1C⊥平面BC1A1．……………（12分）又A1B⊂平面BC1A1，所以B1C⊥A1B．又由于EF∥A1B，所以EF⊥B1C．……………（14分）18．【解答】证明：取PC的中点G，连结EG、FG，∵F，G分别是PD、PC的中点，∴FG CD，∵AB CD，E是AB的中点，∴AE CD，∴FG AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，∵AF⊄平面PCE，EG⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE．19．【解答】证明：（1）∵正三棱锥P﹣ABC中，E是边PC的中点，F是BC的中点．∴EF∥PB，∵EF⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．（2）∵正三棱锥P﹣ABC中，F是BC的中点．∴PB=PC，AB=AC，连结PF、AF，则PF⊥BC，AF⊥BC，∵AF∩PF=F，∴BC⊥平面APF，∵PA⊂平面APF，∴PA⊥BC．20．【解答】证明：过点M作ME⊥BB1，垂足为E，连接NE，则由题意得Rt△BME∽Rt△BA1B1，∵BM=2MA1，∴BE=2B1E，∵D1N=2NB1，∴Rt△B1NE∽Rt△B1D1B，∴NE∥D1B，∵ME⊥BB1，AB⊥BB1，∴ME∥AB，∵NE∩ME=E，D1B∩AB=B，且NE∥D1B、ME∥AB，∴面MNE∥面ABC1D1，面ABC1⊂面ABC1D1中，即面MNE∥平面AC1B，∴MN∥平面AC1B．21．【解答】证明：四凌锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，E．E分别AB，CD的中点，可得，四边形AECF是平行四边形，所以EC∥AF，H是PD的中点，可得PC∥HF，∵PC∩EC=C，AF∩HF=F，∴平面AFH∥平面PCE．22．【解答】（1）解：连接DC1，C1B，∴ADC1B1是平行四边形．∴AB1∥DC1，∴∠DC1O为AB1与C1O所成的角．∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴DC1=C1B=BD．又O是BD的中点，∴∠DC1O=30°∴异面直线AB1与C1O所成角为30°；（2）证明：连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴A1A∥CC1，且A1A=CC1，∴A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C1=AC．又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1=AO，∴AOC1O1是平行四边形．∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，∴C1O∥平面AB1D1．∵BDD1B1是平行四边形，∴D1B1∥DB，∵D1B1⊂面AB1D1，DB⊄面AB1D1，∴DB∥平面AB1D1．∵DB∩C1O=O，∴面C1OD∥面AB1D1．23．【解答】证明：∵AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1又A1C1⊥A1B1，∴A1C1⊥平面A1B1BA∴AD⊥A1C1∵AD=，A1D=，AA1=2，由AD2+A1D2=，得A1D⊥AD∵A1C1∩A1D=A1∴AD⊥平面A1DC124．【解答】（1）证明：∵平面PAC⊥平面ABC，∠PAC=90°，∴PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，即AB⊥BC，∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，又∵BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC；（2）解：∵△PAC是直角三角形，∠PAC=90°，∠ACP=30°，PC=2，∴PA=1，AC=，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，∴AB=BC=，PB==，==．∴S△PBC25．【解答】证明：（1）取PB中点E，连结RE，SE，则SE是△PBC的中位线，RE是△APB的中位线，∴SE∥BC，又∵AD∥BC，∴AD∥SE，∵AD⊂平面ADP，SE⊄平面ADP，∴SE∥平面ADP，同理可得：RE∥平面ADP，又∵SE⊂平面SRE，RE⊂平面SRE，SE∩RE=E，∴平面SRE∥平面ADP，∵SR⊂平面SRE，∴SR∥平面ADP．（2）设AQ=1，∵AB=2AP，BQ=3AQ，∴AB=4，AP=2，∵AP⊥PB，∴cos∠PAB==．∴PQ==．∴AQ2+PQ2=AP2，∴PQ⊥AQ．∵AD⊥平面APB，PQ⊂平面APB，∴AD⊥PQ，又∵AD⊂平面ADQ，AQ⊂平面ADQ，AD∩AQ=A，∴PQ⊥平面ADQ，∵PQ⊂平面PDQ，∴平面DPQ⊥平面ADQ．26．（1）在△ABC中，由余弦定理知：cos∠CAB===0，从而可得∠CAB=90°，【解答】解：即有AB⊥AC．∵在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．∴AB⊥平面A1CA．又∵A1A⊥∥C1C，A1A⊂平面A1CA，且C在平面A1CA上．∴平面A1CAC1共面．∴AB⊥平面ACC1A1；（2）由（1）得AB⊥平面ACC1A1；∵A1C⊂平面ACC1A1∴AB⊥A1C．27．【解答】解：∵D，E，F分别是三棱锥P﹣ABC的棱PA，PB，PC的中点，∴DE∥AB，EF∥BC，∵DE∩EF=E，AB∩BC=B，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴平面DEF∥平面ABC．28．【解答】证明：连结HF，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱D1C1，B1C1，AB，AD 的中点，∴EF∥D 1B1，B1F AH，∴四边形AHFB1是平行四边形，∴HF∥AB1，∵EF∩FG=F，D1B1∩B1A=B1，EF⊂平面EFGH，FG⊂平面EFGH，D1B1⊂平面D1B1A，AB1⊂平面D1B1A，∴平面D1B1A∥平面EFGH．29．【解答】（1）证明：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），D（0，0，0），A1（2，0，2），M（0，2，1），=（2，2，0），=（﹣2，2，﹣1），∴=﹣4+4+0=0，∴BD⊥A1M．（2）=（2，0，2），=（2，2，0），=（0，2，1），设平面A1BD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），设平面MBD的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣1，2）∵=1+1﹣2=0，∴平面A1BD⊥平面MBD．30．【解答】证明：（1）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，∴△A1B1C1是正三角形，又∵D是棱A1C1的中点，∴B1D⊥A1C1．∵AA1∥CC1，AA1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥平面A1B1C1，B1D⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥B1D，∵CC1∩AC1=C1，∴B1D⊥平面AA1C1C．（2）连接A1B交AB1于点O，连接OD，则O为BA1的中点．∵D是棱A1C1的中点，∴OD为△A1BC1的中位线．∴OD∥BC1．又OD⊂平面AB1D，BC1⊄面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．。
点线面之间的关系
点线面之间的关系一．选择题（共8小题）1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角3．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β4．已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=2，则直线PC与AB所成角的大小是．10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为边CC1、B1C1的中点，点G、H分别在AA1、D1A1上，且满足AA1=3AG，D1H=2HA1，则异面直线EF、GH所成角的余弦值为．11．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．12．如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．三．解答题（共6小题）13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E，F，G分别是AB，PC，CD的中点．求证：（1）CD⊥PD；（2）平面EFG∥平面PAD．14．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．15．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，M是AA1上一点，且AM=tAA1．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若3AB=2AA1，当t为何值时，B1M⊥平面A1CD？17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，AB=4，AA1=5，点M是BB1中点（Ⅰ）求证：平面A1MC⊥平面AA1C1C （Ⅱ）求点A到平面A1MC的距离．点线面之间的关系参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1，∵A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1ECB1，∵A1E⊂平面A1ECB1，∴A1E⊥BC1．故选：C．法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（﹣2，1，﹣2），=（0，2，2），=（﹣2，﹣2，0），=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，0），∵•=﹣2，=2，=0，=6，∴A1E⊥BC1．故选：C．2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角【解答】解：由题意画出如下图形：A．因为AD∥A1D1，所以∠C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而∠C1A1D1=45°，所以A错；B．因为D1C1∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1，所以B错；C．因为DC∥AB．所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角，而，所以C错；D．因为A1C1∥AC，所以∠B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形△B1CA中，∠B1CA=60°，所以D正确．故选：D．3．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【解答】解：A中，b可能在α内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交（不垂直）；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β．故选：D．4．已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．【解答】解：在A中，若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l与m平行或异面，故B错误；在C中，若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则由线面平行的性质定理得m∥n，故C正确；在D中，若α⊥β，β⊥γ，则α与β相交或平行，故D错误．故选：C．5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），=（﹣1，0，），=（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：C．6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A．二．填空题（共4小题）9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=2，则直线PC与AB所成角的大小是60°．【解答】解：取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接EF，FG，EG，∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线∴EF∥AB，FG∥PC，因此，∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．连接AG，则Rt△ACG中，AG==，EG==，又∵AB=PC=2，∴EF=FG=．由此可得，在△EFG中，cos∠EFG==﹣结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．故答案为：60°．10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为边CC1、B1C1的中点，点G、H分别在AA1、D1A1上，且满足AA1=3AG，D1H=2HA1，则异面直线EF、GH所成角的余弦值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意E（0，2，1），F（1，2，2），G（2，0，），H（，0，2），=（1，0，1），=（﹣，0，），设异面直线EF、GH所成角的为θ，则cosθ===．∴异面直线EF、GH所成角的余弦值为．故答案为：．11．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°12．如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．【解答】解：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形；即是EF⊥CE．设AB=1，则CE=1，CF=，FB=，利用余弦定理，得．故异面直线AD与BF所成角的余弦值是．三．解答题（共6小题）13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E，F，G分别是AB，PC，CD的中点．求证：（1）CD⊥PD；（2）平面EFG∥平面PAD．【解答】证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA，又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）∵矩形ABCD中，E、G分别是AB、CD中点，∴EG∥AD，∵EG⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴EG∥平面PAD，∵F是PC中点，∴FG∥PD，∵FG⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴FG∥平面PAD，∵EG∩FG=G，EG、FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PAD．14．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC∴GF∥平面ABC（5分）证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴（2分）又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE（9分）（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，（12分）∵C﹣ABED是四棱锥，==（14分）∴V C﹣ABED15．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．【解答】证明：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=0，连接NO，MO，则NO∥PA．∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD，∴NO⊥AB，∵MO⊥AB，∴AB⊥面MNO∴MN⊥AB，而CD∥AB，∴MN⊥CD…（6分）（2）∵∠PDA=45°∴PA=AD=BC，由△PAM≌△CMB，得PM=CM，又∵N为PC的中点，∴MN⊥PC又MN⊥CD，PC∩CD=C∴MN⊥平面PCD…（12分）16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，M是AA1上一点，且AM=tAA1．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若3AB=2AA1，当t为何值时，B1M⊥平面A1CD？【解答】解：（1）如图1，取A1B1的中点E，连接BE，C1E．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，可得CD∥C1E又因为DB∥EA1，DB=EA1⇒BE∥DA1．且CD∩DA1=D，BE∩C1E=E，面EBC1∥平面A1CD；∵BC1⊂面EBC1，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD（2）由在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，可得CD⊥面AA1B1B．⇒CD⊥B1M，∴要使B1M⊥平面A1CD，只需DA1⊥MB即可，如下图，当DA1⊥MB时，△ADA1∽△A1MB1，⇒，又∵3AB=2AA1，DAB为中点∴⇒∴即当t=时，B1M⊥平面A1CD．17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．【解答】（本小题满分10分）证明：（1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA．因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC．因为OM∥AC，又AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC．因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC．…（5分）（2）因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以∠ACB=90°，即BC⊥AC．因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC．因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．…（10分）18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，AB=4，AA1=5，点M是BB1中点（Ⅰ）求证：平面A1MC⊥平面AA1C1C（Ⅱ）求点A到平面A1MC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：记AC1与A1C的交点为E．连结ME．如图∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，点M是BB1中点，∴MA1=MA=MC1=MC=．因为点E是AC1，A1C的中点，所以ME⊥AC1且ME⊥A1C，…（4分）从而ME⊥平面AA1C1C．因为ME⊂平面A1MC，所以平面A1MC⊥平面AA1C1C．…（6分）（Ⅱ）解：过点A作AH⊥A1C于点H，如图，由（Ⅰ）知平面A1MC⊥平面AA1C1C，平面A1MC∩平面AA1C1C=A1C，而AH⊥平面AA1C1C∴AH即为点A到平面A1MC的距离．…（9分）在△A1AC中，∠A1AC=90°，A 1A=5，AC=4∴∴AH=即点A到平面A1MC的距离为．…（12分）。
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点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行1•判定方法(1) 定义法：直线与平面无公共点。
、平面与平面平行1•判定方法(1) 定义法：两平面无公共点。
all 、bll(2) 判定定理：a >11 ba b P /a i(3)其他方法： 卜lla一 // [2•性质定理： a 卜a //bb 」三、直线与平面垂直(1 )定义：如果一条直线与一个平面的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
(2 )判定方法① 用定义•(2)判定定理:(3)其他方法: //aall2•性质定理：a卜 allb b 」all 1 卜// // Ja c②判定定理：b c A > abca ]③推论: L ba//b J（3）性质a -1a i① b》a b ②b } a//b四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
a ]（2 ）判定定理a（3）性质①性质定理 1卜② P PA 3 P PA“转化思想”面面平行 ---------- *线面平行 ------------- ►线线平行面面垂直 ---------- ► 线面垂直 ----------- ►线线垂直aa 1丿1卜A 1垂足为A 」r1〉PA求二面角1. 找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2. 在二面角的棱上任取一点0,在两半平面分别作射线0A丄1, 0B丄I，则/ A0B叫做二面角的平面角例1.如图，在三棱锥S-ABC中，SA底面ABC, AB BC, DE垂直平分SC,且分别交AC于D,交SC于E,又SA=AB,SB=BC求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
求线面夹角定义：斜线和它在平面的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
例1:在棱长都为1的正三棱锥S- ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是_______________ .例2：在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，①BC1与平面AB1所成的角的大小是____________ ;②BD1与平面AB1所成的角的大小是____________ ;③CC1与平面BC1D所成的角的大小是 __________ ;④BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是_____________ ;⑤BD1与平面BC1D所成的角的大小是____________ ;例3:已知空间一点0出发的三条射线0A、OB、0C两两夹角为60°,试求0A与平面B0C所成的角的大小.求线线距离说明：求异面直线距离的方法有：（1）（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求•此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键.（2）（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a、b距离，先作出过a且平行于b的平面，则b与距离就是a、b距离.（线面转化法）.也可以转化为过a平行b的平面和过b平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离. （面面转化法）.（3）（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求.（4）（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解.两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求.例：在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和B IC之间的距离。
线面平行（包括线面距离）例：已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA SB SC, SG为SAB上的高，D、E、F 分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明面面平行（包括面面距离）例1：已知正方体ABCD ABGD,，求证平面B.AD,//平面BCQ例2：在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和B,C之间的距离.面面垂直例1：已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。
求证：平面PAC平面PBDb已知直线PA 垂直于 0所在的平面，A 为垂足，AB 为 0的直径，C 是圆周上异于 A 、B 的一点。
求证:平面PAC 平面PBG课后作业：、选择题1•教室任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线( ) A.平行 B.相交 C.异面D.垂直 2.若m 、n 是两条不同的直线， a 氏丫是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) A. 若 m? B, a 丄 3,贝y m ± aB. 若 ad 尸 m , 3门尸 n , m // n ,贝V all 3C. 若 m ± 3 m l a,贝U a 丄 3D. 若 a 丄 Y a 丄 3, 贝V 3丄 Y3. (改编题)设P 是厶ABC 所在平面外一点，P 到厶ABC 各顶点的距离相等， 而且P 到厶ABC 各边的距离也相 等，那么△ ABC( )A. 是非等腰的直角三角形B. 是等腰直角三角形C. 是等边三角形D. 不是A 、B 、C 所述的三角形A. .；2 5. 如图，已知△ ABC 为直角三角形，其中/ ACB = 90° ° M 为AB 的中点，PM 垂直于△ ACB 所在平面，那么 )A. FA = PB>PCB. PA = FB<FCC. FA = FB = FC例2: 4. 把等腰直角△ ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角 B — AD — C ,则BD 与平面ABC 所成角的正切值为C.1D. FA 工FB 工FC、填空题:6. 正四棱锥S—ABCD的底面边长为2,高为2, E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE丄AC,则动点P的轨迹的周长为__________ .7. a B是两个不同的平面，m、n是平面a及B之外的两条不同直线，给出四个论断：①m丄n；②a丄③n丄B；④m丄a以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________ .三、解答题11. 如图(1)，等腰梯形ABCD 中，AD // BC, AB = AD，/ ABC = 60 ° E 是BC 的中点，如图(2)，将△ ABE 沿AE 折起，使二面角B—AE —C成直二面角，连接BC, BD, F是CD的中点，P是棱BC的中点.(1)求证：AE丄BD;⑵求证：平面PEF丄平面AECD ;(3)判断DE能否垂直于平面ABC ?并说明理由12. 如图，已知PA 矩形ABCD所在平面。
M,N分别是AB, PC的中点。
(1求证：MN 面PAD(2)求证：MN CD(3)若PDA 45°,求证：MN 面PCD12.如图所示，已知△ BCD 中，/ BCD = 90° BC = CD = 1 , AB丄平面BCD，/ ADB = 60° E、F 分别是AC、AD上的动点，且AE = AFAC_ ADX0< X1).(1)求证：不论入为何值，总有平面BEF丄平面ABC;⑵当入为何值时，平面BEF丄平面ACD ?13.如图，在矩形ABCD中，AB = 2BC, P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP丄平面ABCD.(1) 求证：DP丄平面EPC ;一FP(2) 问在EP上是否存在点F使平面AFDL平面BFC?若存在，求出Ap的值•参考答案求二面角分析：找二面角的平面角，有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线是二面角的平面角•,它们所成的角就解:爲丄響方丄辛面EDE = SC±DB1 =」S4平面ABC J设SA=A^=1,则BC=SB=V2〕5盘丄平面ABCEU 丄ABSC =2 , BC=72在Rt △ SA中，SA=1, SC=2•••/ ECA=30 ,在Rt △ DE中，/ DEC=90 ,•••/ EDC=60 ,•所求的二面角为60。
求线线距离解法1:（直接法）如图:D CAy Bi取BC的中点P，连结PD、PB1分别交AC、BC1于M、N两点,易证.DB1//MN DB1 AC DB1 BC1BC MN ^DB1 —a• MN为异面直线AC与BC1的公垂线段，易证： 3 3小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解•但通常寻找公垂线段时，难度较大. 解法2：（转化法）如图：•/ AC // 平面A1C1B,AC与B C1的距离等于AC与平面AGB的距离,x ,在Rt OB 。
1中，作斜边上的高OE ，则OE 长为所求距离,任取点Q BC 1，作QR BC 于R 点，作PK AC 于K 点，设RC 则BR QR ax , CK KR ，且 KR 2 CK 2 CR22 1 2 1 2 KR 2 CR 2 x 2 2 2 .QK 2 ^x 2 (a x)2则 2OE OO 1 OBO i BAC 与BC 1的距离等于平面ACD 1与平面AG B 的距离.DB 平面ACD 1，且被平面ACD 1和平面AGB 三等分;1 3B"iD - •••所求距离为3 3 .小结：这种解法是线线距离转化为面面距离.解法4:（构造函数法）如图：OB OOO 1B 小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离.人】 Bi2（x 3 a ）2 2 3...$ 泳 2a ）2小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之•这 种方法在后面将要学到.线面平行例：分析1：如图，观察图形，即可判定 SG//平面DEF ，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF 的一条直线平行.观察图形可以看出：连结 C G 与DE 相交于H ，连结FH , FH 就是适合题意的直线.怎样证明SG//FH ?只需证明H 是CG 的中点.证法1:连结C G 交DE 于点H ,故QK 的最小值，即AC 与BC 1的距离等于 小结：这种解法是恰当的选择未知量,离.解法5：（体积桥法）如图：构造一个目标函数， 通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距 当求AC 与BC 1的距离转化为求 AC 与平面A 1C 1B 的距离后，设C 点到平面A I C 1B 的距离为h， 贝y V C A 1C 1B V A 1Bcq 即AC 与BC 1的距离等于同理 D 1B 1 //平面 C 1BD•/ DE 是ABC 的中位线，DE//AB .在ACG 中，D 是AC 的中点，且DH //AG ,••• H 为CG 的中点.•/ FH 是 SCG 的中位线，• FH//SG .又 SG 平面 DEF ， FH 平面 DEF ，SG// 平面 DEF .分析2：要证明SG//平面DEF ，只需证明平面 SAB//平面DEF ，要证明平面DEF //平面SAB ，只需证明 SA//DF ，SB//EF 而 SA//DF ，SB//EF 可由题设直接推出.证法2： ■/ EF 为SBC 的中位线，• EF//SB .•/ EF 平面 SAB , SB 平面 SAB ,• EF //平面 SAB .同理： DF //平面 SAB ，EF DF F ，平面SAB//平面DEF ,又SG 平面SAB ,SG// 平面 DEF .面面平行例一：证明：•/ ABCD-AiBGD i 为正方体,D 1A//C 1B ，故D 1A//平面C 1BD又 C 1B 平面 C 1BD=>BD 丄平iMPAC L平血円II人RDu半［filPBD J2：AE是圆O勺直径BC ACC是圆周上异于A、B的一点PA 平面ABCBC PABC平面PAC BC 平面ABC BC平面PBCAC 平面PAC, PA平面PAC 平面PAC平面PBC又D1A D1B1 D1...平面AB1D1//平面GBD例二：根据正方体的性质，易证:BD//B i D iAB〃DQ平面ABD// 平面CB i D i连结AG，分别交平面ABD和平面CBiD1于M和N因为CC1和A C i分别是平面ABCD的垂线和斜线，AC在平面ABCD，AC BD 由三垂线定理：AC i BD,同理：AC i AD••• AG平面ABD,同理可证：AG平面CB i D i•••平面A i BD和平面CB i D i间的距离为线段MN长度.如图所示：在对角面AC i中，O i为AG的中点，0为AC的中点AM MN NC i AC i —a3 3BD和B i C的距离等于两平行平面辽a ABD和CB i D i的距离为3面面垂直iE/jjeABCDi|', AC丄RDPA JBDc^lftjABCDGPA 丄HDACu 平0PAC> PAc 于面PAC例A^| PA A作业：一、选择题：1. D2. C3. C4. B5. C6•解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G,连接EF, EG, FG, EF交AC于点H,易知AC丄EF,又GH// SO,U E••• GH丄平面ABCD,••• AC丄GH,「. AC丄平面EFG故点P的轨迹是AEFG, 其周长为.2+ ,6.答案：・.2+ ,67.①③④？②；②③④？①。