习题9电磁感应与电磁场

习题99-1在磁感应强度B 为0.4T 的均匀磁场中放置一圆形回路，回路平面与B 垂直，回路的面积与时间的关系为：S=5t 2+3(cm 2),求t=2s 时回路中感应电动势的大小？ 解：根据法拉第电磁感应定律得dtd m Φ-=εdt dSB =Bt 10=V 4108-⨯=ε9-2 如题9-2图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a .设半圆环以速度v 平行导线平移.求半圆环感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压U M －U N .题9-2解: 作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿v方向运动时0d =m Φ ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ ⎰+-<+-==ba ba MN ba ba Iv l vB 0ln 2d cos 0πμπε 所以MeN ε沿NeM 方向，大小为ba ba Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势，即ba ba Iv U U N M -+=-ln 20πμ题9-39-3 如题9-3图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面有一矩形线圈.两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以d Id t的变化率增大，求：(1)任一时刻线圈所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则(1) ]ln [lnπ2d π2d π2000dad b a b Ilr l r Ir l r Iab b ad d m +-+=-=⎰⎰++μμμΦ (2) tIb a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε题9-49-4 如题9-4图所示，长直导线通以电流I ＝5 A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面.线圈长b ＝0.06 m ，宽a ＝0.04 m ，线圈以速度v ＝0.03 m/s 垂直于直线平移远离.求：d ＝0.05 m 时线圈中感应电动势的大小和方向.解: AB 、CD 运动速度v方向与磁力线平行，不产生感应电动势．DA 产生电动势⎰==⋅⨯=AD I vb vBb l B v d2d )(01πμεBC 产生电动势)(π2d )(02d a Ivbl B v CB+-=⋅⨯=⎰με∴回路中总感应电动势8021106.1)11(π2-⨯=+-=+=ad d Ibv μεεε V 方向沿顺时针．9-5 长度为l 的金属杆ab 以速率v 在导电轨道abcd 上平行移动.已知导轨处于均匀磁场B 中，B 的方向与回路的法线成60°角(如题9-5图所示)，B 的大小为B ＝kt (k 为正常数).设t ＝0时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向.题9-5图解: ⎰==︒=⋅=22212160cos d klvt lv kt Blvt S B m Φ∴ klvt tm-=-=d d Φε 即沿abcd 方向顺时针方向．题9-6图9-6 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区，B 的方向如题9-6图所示.取逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t ＝0). 解: 如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时0d d <Φt,0>ε； 题9-6图(a)题9-6图(b)在磁场中时0d d =tΦ,0=ε； 出场时0d d >tΦ，0<ε，故t I -曲线如题9-6图(b)所示.9-7 导线ab 长为l ，绕过O 点的垂直轴以匀角速ω转动.aO=3l，磁感应强度B 平行于转轴，如题9-7所示.试求：(1) ab 两端的电势差；(2) a ，b 两端哪一点电势高？题9-7图解: (1)在Ob 上取dr r r +→一小段 则 ⎰==320292d l Ob l B r rB ωωε 同理 ⎰==302181d l Oa l B r rB ωωε ∴ 2261)92181(l B l B Ob aO ab ωωεεε=+-=+= (2)∵ 0>ab ε 即0<-b a U U ∴b 点电势高．9-8 北半球某地的磁场为4⨯10-5T ，磁场方向与水平方向成60o ,现将一根长1m 东西方向水平放置的均匀金属棒自由落下，求t=3s 时金属棒中感应电动势大小？解：根据动感电动势定义l d B v L⋅⨯=⎰)(ε自由下落，速度大小 gt v =，方向与重力加速度方向相同⎰⎰=⋅⨯=LLdl Bv l d B v 030sin )( ε 当t=3s 时，V L Bv 4010630sin -⨯==ε9-9 两根平行长直导线，横截面的半径都是a ，中心相距为d ，两导线属于同一回路.设两导线部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为l 的一段自感为0L=In l d a aμπ-.题9-9图解： 如题9-9图所示，取r l S d d = 则 ⎰⎰-----=--=-+=ad aad aad da a d Il r r r Ilr l r Ir πI)ln (ln 2πd )d 11(π2d ))d (π22(0000μμμμΦ aad Il-=lnπ0μ ∴ aad lIL -==lnπ0μΦ9-10 两线圈顺串联后总自感为1.0 H ，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4 H.试求：它们之间的互感. 解： ∵顺串时 M L L L 221++= 反串联时M L L L 221-+='∴ M L L 4='-15.04='-=L L M H题9-11图9-11 一矩形截面的螺绕环如题7-11图所示，共有N 匝.试求：(1)此螺绕环的自感系数；(2)若导线通有电流I ，环磁能为多少？解：如题7-11图示 (1)通过横截面的磁通为 ⎰==baab NIhr h r NIlnπ2d π200μμΦ 磁链 ab IhN N lnπ220μΦψ== ∴ ab hN IL lnπ220μψ==(2)∵ 221LI W m = ∴ ab hI N W m ln π4220μ=9-12 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I .求：导线部单位长度上所储存的磁能. 解：在R r <时 20π2RI B rμ=∴ 4222002π82Rr I B w m μμ== 取 r r V d π2d =(∵导线长1=l ) 则 ⎰⎰===RRm I Rrr I r r w W 0204320π16π4d d 2μμπ9-13 圆柱形电容器、外导体截面半径分别为R 1和R 2(R 1＜R 2)，中间充满介电常数为ε的电介质.当两极板间的电压随时间的变化为=k dUdt时(k 为常数)，求介质距圆柱轴线为r 处的位移电流密度.解：圆柱形电容器电容 12ln 2R R lC πε=12ln 2R R lUCU q πε== 1212ln ln 22R R r U R R r lU S q D εππε===∴ 12ln R R r ktDj ε=∂∂=9-14 试证：平行板电容器的位移电流可写成d I =CdUdt.式中C 为电容器的电容，U 是电容器两极板的电势差.如果不是平板电容器，以上关系还适用吗？ 解：∵ CU q =SCUD ==0σ ∴ CU DS D ==Φ不是平板电容器时 0σ=D 仍成立 ∴ tUCI D d d =还适用．9-15 半径为R ＝0.10 m 的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中.今对电容器匀速充电，使两极板间电场的变化率为13=1.010dEdt⨯V/(m·s).求两极板间的位移电流，并计算电容器离两圆板中心联线r (r ＜R )处的磁感应强度B r 以及r ＝R 处的磁感应强度B R . 解: (1) tEt D j D ∂∂=∂∂=ε 8.22≈==R j S j I D D D πA(2)∵ S j I l H SD ld d 0⋅+=⋅⎰∑⎰取平行于极板，以两板中心联线为圆心的圆周r l π2=，则22d d 2r tE r j r H D πεππ== ∴ tEr H d d 20ε=tEr H B r d d 2000εμμ== 当R r =时，600106.5d d 2-⨯==tER B R εμ TtUC t ID D d d d d ==Φ。