16.2等腰三角形(第二课时)
北师大版八年级数学上册课件《等腰三角形第2课时》
其中不正确的个数是( C )
A.1
B.2
C.3
D.4
探究新知
知识点 2
等边三角形的性质
想一想： 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内
角有什么特征呢？
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
思考： 怎样证明这一定理？
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
探究新知
证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
课堂小结
等腰三角 形重要线 段的性质
底角的两条角平分线相等 两条腰上的中线相等 两条腰上的高相等
等边三角 形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且 每个角都等于60°
NM
B
C
探究新知
证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
又∵CM= 1 AC
，B1NA=B
，
2
2
∴CM=BN．
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，
∴△BMC≌△CNB（SAS）．
∴BM=CN.
A
NM
B
C
探究新知
猜想证明： 等腰三角形两腰上的高相等．
例 如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,求
证:DE∥BC.
证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. 又∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E, ∴∠AEB=∠ADC=90°, ∴∠ABE=∠ACD, ∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD, 即∠EBC=∠DCB.
探究新知
素养目标
3.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决 问题． 2.了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰 上的高，中线）的性质.
《等腰三角形》第二课时PPT课件人教版数学八年级上册
两边相等
这两边所对的角相等
等腰三角形的判定：
两角相等
这两角所对的边相等
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角
形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 证明：∵BA=BC，∴∠A=∠C.
几何语言：如图，在△ABC中， ∠1= ∠B, ∠2= ∠C 将等腰三角形的性质和判定综合应用在解决实际问题中
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.
学习目标
1.理解等腰三角形的判定，体会等腰三角形“等边对等 角”和“等角对等边”的区别. 2.探索并掌握等腰三角形的判定的过程，并用以解决 实际问题.
课堂导入
我们知道，如果有一个三角形有两条边相等，那么它 们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相 等，那么它们所对的边有什么关系？
E A1 D
2
求证：AB=AC.
B
C
AB//CD，∠1=∠2 ∠1= ∠B, ∠2= ∠C
证明：∵AD//BC， ∴∠1=∠B,∠2=∠C. ∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC.
∠B= ∠C AB= AC E
A1 D 2
B
C
例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，
求作这个等腰三角形.
证明：∵BA=BC，∴∠A=∠C. ∵DF⊥AC，∴∠DFA=∠EFC=90， 即∠A+∠D=90°，∠C+∠FEC=90°， ∴∠D=∠FEC.∵∠BED=∠FEC，∴∠D=∠BED， ∴BE=BD，即△DBE是等腰三角形.
∴CE=CB，则△CEB是等腰三角形. ∵在△ABD和△ACD中， 应用“等角对等边”的前提条件是在同一个三角形中. ∴∠1=∠B,∠2=∠C. 证明：如图，作∠BAC的平分线AD交BC于点D， 求证：△DBE是等腰三角形.
《等腰三角形》第2课时示范公开课PPT教学课件【八年级数学下册北师大版】
在△ABC中，AB=AC，BE和CD分别是AC、AB上的中线.证明：CD=BE.
提示：还可以证明△ABD≌△ACE，依据为：（SAS）
∵BE和CD分别是AC、AB上的中线∴CE= AC ，BD= AB∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，CE=BD，在△BCE和△CBD中∵CE=BD，∠ABC=∠ACB，BC=BC∴△BCE≌△CBD（SAS）∴CD=BE
等腰三角形第2课时
试一试：自己动手用纸制作一个等腰三角形.
你能利用折叠的方法找出它两个底角的平分线、两条腰上的中线和高线吗？
这里我们可以看到底边和腰所在的直线重合，左边同理
角平分线的折法
A
B
底角的平分线
步骤一：过点B折叠腰，令A和C重合找到中点D
步骤三：左边同理折叠
中线的折法
A
C
B
D
步骤二：再沿着BD折叠
证明：
等腰三角形两底角的平分线相等.
猜想：等腰三角形两条腰上的中线相等；等腰三角形两条腰上的高线相等.
让我们一起证明吧！
动动脑，想一想：等腰三角形两条腰上的中线相等吗?高呢?
分析：①想证明CD=BE,可以证明：②两个三角形里的已知条件： ③需要补充的条件：
通过中线得到
证明：等腰三角形两条腰上的中线相等
腰上的中线
步骤一：折叠腰，使点A的对应点落在AC边上.
步骤三：左边同理
高线的折法
A
C
B
D
步骤二：再沿着BD折叠
腰上的高线
①等腰三角形的两底角的平分线、两条腰上的中线、两条腰上的高线有什么关系？
底角的平分线
腰上的中线
腰上的高线
相等
《等腰三角形》第二课时(冀教)
《等腰三角形》第二课时从本节在教材中的地位与作用来看，《等腰三角形的判定》是紧接《等腰三角形的性质》之后展开的。
纵观整个初中平面几何教材，它是在学生掌握了平行线、全等三角形、轴对称等平面几何知识，并且具备了初步的观察、猜想、操作等活动经验的基础上讲授的。
这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习平行四边形、菱形、矩形、正方形及圆等知识的基础，起着承前启后的作用。
【知识与能力目标】掌握等腰三角形的判定定理，会用等腰三角形的判定进行简单的推理、判断及应用。
【过程与方法目标】探索等腰三角形的判定定理，培养学生观察、证明、建模、创新等的能力。
【情感态度价值观目标】通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解。
从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力。
【教学重点】探索并证明等腰三角形的判定定理。
【教学难点】等腰三角形的判定与性质的区别。
教学过程一、情境导入1、多媒体展示：如图所示，量出AC的长，就可知道河的宽度AB。
你知道为什么吗？2、想一想：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？（也相等）二、探究新知（一）呈现等腰三角形判定定理的几何证明，验证猜想的正确性。
1、已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）。
求证：AB=AC。
请同学们思考、交流。
证明：如上图，过A作AD平分∠BAC交BC于点D.在△ABD与△ACD中，∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD∴ △ABD≌ △ACD.∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)，∴ △ABC是等腰三角形.2、请同学们思考：还有其他的证明方法吗？可以过点A作高AD吗？可以取BC的中点D,并连接AD吗？可以通过折叠的方法得到吗？（二）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形。
其中，两个相等的角所对的边相等。
等腰三角形(第二课时)课件
∴AF=CF,∴△AFC 是等腰三角形.
13
6.如图13 - 3 - 25,在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°, CD⊥AB 于 点D,∠BAC 的平分线 AF 交 CD 于 点 E,交 BC 于点F,CM⊥AF 于点M. 求证：EM=FM.
26
○ 能力提升演练
9 . 如 图 1 3 - 3 - 3 2 , 在 直 角 三 角 形 ABC 中，∠BAC=
90°,AB=AC,D 为 BC 上一点，AB=BD,DE⊥BC, 交
AC 于点E, 则图中的等腰三角形的个数有 ( B )
A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个
27
10.如 图 1 3 - 3 - 3 3 ,D 为 △ABC 内 一 点 ，CD 平 分
出△ABC 是等腰三角形的是 ②③ (填序号).
21
6 . 如 图 13- 3 - 2 9, 在 △ABC 中，∠B 与∠C 的平分线 交 于 点 0 , 过 点 0 作 DE/ / BC, 分 别 交 AB、 AC 于 点 D、E.若AB=5,AC=4, 则△ADE 的周长是9
22
7.如图13- 3- 30,在△ABC 中，AB=AC,E 在 BA 的 延长线上，ED ⊥BC, 交 BC 的延长线于点D, 交 AC 的延长线于点 F. 求证：AE=AF.
15
基础过关精练
1.下列能判定△ABC 为等腰三角形的是
A. ∠A=40°, ∠B=50°
B. ∠A=40°, ∠B=70°
C.AB=AC=3,BC=6
D.AB=.如图13-3-26,已知线段a、h,作等腰△ABC, 使 AB=AC, 且 BC=a,BC 边上的高AD=h. 张红的作 法是： (1)作线段BC=a; (2)作线段BC 的垂直平分线 MN,MN 与 BC 相交 于点D;
等腰三角形第二课时(精品教案设计)
双塔初中 八 年级 数学 科 导学案 课题 《等腰三角形》第二课时 时间： 月 日 班 姓名：学习目标： 会证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式. 重难点：【教学重点】证明有关等腰三角形中相等的线段。
【教学难点】得出合作探究三的两个结论。
一、知识回顾（3分钟，提问3、4号学生,学法指导：学生独立完成，组长组织交流）等腰三角形的性质1、等腰三角形的两底角 。
简述为：____________________________.2、等腰三角形的顶角的_________、底边上的 、底边上的 互相重合。
(简称___________) 二、自主学习（用时10分钟,提问3号学生。
学法指导：独立完成，小组合作交流） 探究一 证明：等腰三角形两底角的平分线相等已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的角平分线． 求证：BD=CE ． 证明：∵AB =AC ，∴∠ =∠ACB(等边对等角)． ∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ABC， ∴∠1=∠2．在△BDC 和△CEB 中，∠ACB=∠ABC，BC= ，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)探究二 等腰三角形两腰上的中线相等吗？高相等吗？(如果相等，证明一个即可)三、合作探究（用时20分钟,学法指导：2号学生展示，其他人独立完成，小组合作交流） 探究三：在△ABC 中，AB==AC,点D ，E 分别在边AB 、AC 上.(1) 如果∠ABD = 31∠ABC ，∠ACE =31∠ACB ，那么BD=CE 吗?（如果相等，写出证明过程）(2) 如果∠ABD =41∠ABC ，∠ACE =41∠ACB 呢?（猜想）(3) 如果AD=12 AC ，AE=12 AB ，那么BD=CE 吗?（如果相等，写出证明过程） 如果AD=13 AC ，AE=13AB 呢?（猜想）结论(1)：___________________________________________________________________ 结论(2)：___________________________________________________________________ 探究四：证明定理：等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.四、课堂小结(2分钟，提问3、4号学生) 五、当堂检测（15分钟，学法指导：写在学案背面，独立完成，教师批改1，2号，学生交流改正） 1、随堂练习12、练习册P5第11题 六、拓展提升（学法指导：课下小组合作交流完成。
人教版初中数学八年级上册《等腰三角形》(第二课时)课件
腰
腰
B
D
C
定理：等腰三角形两底角相等。（等边对等角）
等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶 角的平分线互相重合。（三线合一）
定理：两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
：
一 、知识与能力目标：
1.灵活运用等腰三角形的性质和判定证明线段的 相等关系。
2.掌握证明的基本步骤 。
二、过程与方法：
B
AB=AC AD=AE
∠B=∠C ∠1=∠2
AD=AE ∠3=∠4
AB=AC
34
12
C
D
E
△ABD≌△ACE
BD=CE
想一想：不用证全等，可以证BD=CE吗？
如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE
求证：BD=CE
A
分析：因为△ABC和△ADE是有公共的顶点，
并且底边在同一直线上的等腰三角形
所以作△ABC（或△ADE）的高线AF，
∟
可同时平分BC、DE.
B
C
D FE
证明：作AF⊥BC，垂足是F 则AF⊥BC
∵AB=AC
∴BF=CF （等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合） 同理∴DF=EF
∴BF-DF=CF-EF (等式的性质)
即BD=CE
闯关感言：
已知：五边形ABCDE中，AB=AE ,BC=DE, ∠B= ∠E,AF ⊥ CD, 求证：CF=FD
A
证明：连接AC、AD
∵ AB=AE BC=DE
B
E
∠B=∠E
∴ △ABC ≌ △AED
∴ AC = AD
又∵ AF⊥CD
C
F
D
初二【数学(人教版)】等腰三角形(第二课时) 教学设计
对于一个三角形,怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等.现在我们将学习另一种判定方法. 问题1：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？ 探究发现：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
问题2：探究所得结论中命题的题设和结论又分别是什么呢？ 如何证明这个命题？ 题设：一个三角形有两个角相等. 结论：这两个角所对的边相等. 已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C. 求证：AB =AC. 证法1：如图，作△ABC 的角平分线AD. 在△BAD 和△CAD 中，{∠1=∠2,∠B =∠C,AD =AD, ∴ △BAD ≌△CAD(AAS).∴ AB=AC. 证法2：如图，作△ABC 的边BC 上的高AD. ∵ AD 是BC 边上的高， ∴ ∠ADB=∠ADC. 在△BAD 和△CAD 中，{∠ADB =∠ADC,∠B =∠C,AD =AD, ∴ △BAD ≌△CAD(AAS). ∴ AB=AC. 证法3：如图，作△ABC 的中线AD ，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E,F. 在△DBE 和△DCF 中， {BD =DC,∠B =∠C,∠BED =∠CFD, ∴ △DBE ≌△DCF(AAS), ∴ DE=DF. 又DE ⊥AB,DF ⊥AC ，∴ ∠1＝∠2. 由∠B ＝∠C ，∠1=∠2,BD=CD, 得△ABD ≌△ACD(AAS), ∴ AB=AC.总结：等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).符号语言：∵在△ABC 中，∠B=∠C,∴ AB=AC.思考：与等腰三角形的性质进行比较看有什么区别？例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=AC.证明：∵ AD∥BC，∴∠1=∠B( )，∠2=∠C( ).而已知∠1=∠2，∴∠B=∠C.∴ AB=AC( ).例2 已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高为h，求作这个等腰三角形.思考作图步骤，教师再讲解规范作图方法.作法：如图，(1)作线段AB=a；(2)作线段AB 的垂直平分线MN，与AB相交于点D；(3)在MN上取一点C，使DC=h；(4)连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.练习：已知：如图所示，AD∥BC，BD平分∠ABC，试判断△ABD的形状，并说明理由.解：△ABD是等腰三角形.理由：∵ AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.又∵ BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ADB=∠ABD，∴ AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.知识内容：等腰三角形的判定：定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两钟2分钟布置作业个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).使用时注意是指同一个三角形中数学方法：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.比较等腰三角形的性质与判定：“等边对等角”与“等角对等边”，条件与结论是对调的，运用逆向思维观察和思考，可以提升自己的理性思维.1.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ C ）A．钝角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.36°，72°，△ABC、△DBA、△BCD.3.已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,∴AE=DE(等角对等边）,∴ △AED是等腰三角形.4.如图,上午10 时，一条船从A处出发以每小时20海里的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°. 求从B处到灯塔C的距离.解：∵∠NBC=∠A+∠C，∴∠C=80°−40°= 40°，∴∠C = ∠A，∴ BA=BC（等角对等边）.∵AB=20×（12−10）=40(海里),∴BC=40 海里.答：B 处距离灯塔C 40海里.。
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C
(3) 由BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，你能得 到什么结论？ ∠EBD=∠CBD (4) 由∠EBD=∠CBD 能转化为∠EBD=∠EDB吗？ DE‖BC
1.如图,已知AB=AD,∠ABC=∠ADC, 则BC=CD.请 A 说明理由.
因此可以考虑连接BD,只需证 解析:要证BC=CD,若连接AC证 ∠CBD=∠CDB,而由已知条件知 △ABC≌△ADC,发现条件不够. ∠ABD=∠ADB, ∠ABC=∠ADC, 从而∠CBD=∠CDB B 解:连接BD. ∵AB=AD(已知)
本节课我们学习了什么内容？
在同一个三角形中,等角对等边. 名称 图 形 等 A 腰 三 角 C 形 B 概 念 性质与边角关系
有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形
判
定
1.两腰相等 2.等边对等角
3. 三线合一 4.是轴对称图形
1.两边相等 2.等角对等边
D
C
∴∠ABD=ADB(在同一个三角形中,等边对等角)
又∵ ∠ABC=∠ADC(已知)
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB.
即∠CBD=∠CDB. ∴BC=CD
想一想:若C点为三角形ABD内一点时,其他条件 不变,原结论仍然成立吗?
如图,已知AB=AD,∠ABC=∠ADC, 则 BC=CD.请说明理由. A
2. 如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点， BD、CE交于点O。若∠BEO= ∠CDO，BE=CD。问 △ABC是等腰三角形吗？请说明理由.
3、把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两
刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰 三角形。你能办到吗？请画示意图说明剪法。
36° 72° 72° 36° 36° 72°
请在纸上任意画线段BC,分别以点B和点C 为顶点,以BC为一边,在BC的同侧画两个相 等的角,两角的终边相交于点A.
请同学们观察并思考:
线段AB与AC相等吗?
B
A
C
从中你发现了什么规律呢?
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形 是等腰三角形. 简单地说,在同一个三角形中,等角对等边。 用符号语言表示为：
如图所示,量出AC的长,就可知道河的 宽度AB,你知道为什么吗?
1.等腰三角形的定义? 有两条边相等的三角形叫等腰三角形。 2.等腰三角形的性质? 1.等腰三角形的两个底角相等(在同一个三角形中， 等边对等角). 2.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上 的高互相重合(等腰三角形三线合一). 思考:根据等腰三角形的意义可知,如果一个三角形 的两条边相等,那么就可判定这个三角形是等腰三 角形.除此之外,还有其他的判定方法吗?
A
在△ABC中， ∵∠B=∠C ( 已知) B ∴ AC=AB. ( 在一个三角形中，等角对等边) 即△ABC为等腰三角形 这又是一个判定两条线段相等根据之一.
C
在△ABC中, ∠B=∠C,则△ABC是等腰三角形.
过A作AD平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点D 在△ABD与△ACD ∠1=∠2
A
1 2 B C
C
B D
1. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点， DE∥BC，∠1= ∠2。说明△ABC的等腰三角形的理由.
解: ∵ DE∥BC
1 B, 2 C
(两直线平行,同位角相等)
1 2 B C
AB AC (在同一个三角形中,等角对等边)
ABC是等腰三角形。
∵AB=15×1.75=26.25
∴BC=26.25 答：B处到达灯塔C26.25海里
A
例2 如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高， DE∥BC，交AB于点E，判断△BED是不是等腰三角 A 形，并说明理由.
(1)要说明△BDE是等腰三角形，需要说 明哪两条边相等, 还是两个角等？ BE=DE 或∠EBD=∠EDB (2)要说明BE=DE,应说明哪两角相等？ 2 1 ∠EBD=∠EDB B
∠B=∠C
AD=AD ∴ △ABD ≌ △ACD ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
D
∴ △ ABC是等腰三角形
问：如图,下列推理正确吗?
A
1 2
D A
1
C
2
B
C D ∵∠1=∠2 ∴ BD=DC
（等角对等边）
B
∵∠1=∠2 ∴ DC=BC
（等角对等边）
错，因为都不是在同一个三角形中。
例1 一次数学实践活动的内容是测量河宽.如图,即测量 A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法 是:从点A出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至 C,在C处测得∠C=30°.量出AC的长,它就是河的宽度(即 A,B之间的距离).这个方法正确吗?请说明理由.
想一想：你还有其他的测量方法吗？ B
1 2 3
4
C
30° A 60°
D
A
C ∠ACB= ∠DCB
●
B
D
A
C
●
B
●
E
D CB=EB, ∠ACB= ∠DEB
A
●
C
B
∠ACB=45°
A
B C
D
∠CBD=50°， ∠C=25°
1.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，判断 △ABC是什么三角形，为什么?
D
A
1
B
2
C
3.上午8 时，一条船从A处出发以15海里每小时的速度向
正北航行，9时45分到达B处，从A、B望灯塔C，测得 ∠NAC=26°， ∠NBC=52°求从B处到灯塔C的距离 解：∵∠NBC=∠A+∠C
C N北 52° B
∴∠C=52°－26°= 26°
∴ BA=BC（在一个三角形中，等角对等边） 26°
△ABC是等腰三角形, 因为∠B=65°, ∠A=50°, 所以
∠C=65°, ∠B6°， 36° 72° ∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____， △ABC △DBA △BCD 图中的等腰三角形有________________.