2019-2020学年新教材人教B版高中数学必修第二册课件：第六章 6.1.2 向量的加法
新教材 人教B版高中数学选择性必修第二册全册精品教学课件(共958页)
3.1.1 基本计数原理 P2
3.1.2 排列与排列数 P80
3.1.3 组合与组合数 P167
3.3 二项式定理与杨辉三角 P234
4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.1 条件概率 P315
4.1.2 乘法公式与全概率公式 P351
4.1.3 独立性与条件概率的关系 P428
4.2 随机变量
2．(变条件，变结论)本例(2)换为：用数字 1,2,3 可以组成多少个 没有重复数字的整数？
[解] 分三类： ①第一类为一位整数，有 1,2,3，共 3 个； ②第二类为二位整数，有 12,13,21,23,31,32，共 6 个； ③第三类为三位整数，有 123,132,213,231,312,321，共 6 个． ∴共组成 3＋6＋6＝15 个无重复数字的整数．
的个数是( )
A．1
B．3
C．6
D．9
D [这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个
值 x 有 3 种方法；第二步，在集合{－1，－2,4}中任取一个值 y 有 3
种方法．根据分步乘法计数原理知，有 3×3＝9 个不同的点．]
4．一个礼堂有 4 个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不 同走法________种．
4.2.1 随机变量及其与事件的联系 P476
4.2.2 离散型随机变量的分布列 P511
4.2.3 二项分布与超几何分布 P566 4.2.4 随机变量的数字特征 P655 4.2.5 正态分布 P754
4.3.1 一元线性回归模型 P801
4.3 统计模型
4.3.2 独立性检验 P919
3.1.1 基本计数原理 第1课时 基本计数原理
高中人教B第二册案：6.1.2 向量的加法含解析
【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册学案：6.1.2向量的加法含解析6.1。
2向量的加法素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解向量和的定义．2．掌握向量加法的法则．3．了解多个向量相加．4．理解向量加法的运算律．5．了解和向量模的不等式．1。
通过学习和向量定义，培养学生的数学抽象素养．2．通过向量加法的运算,培养学生的直观想象、数学运算素养．必备知识·探新知知识点向量加法的定义及其运算法则（1）向量加法的定义定义：求两个向量和的运算．（2)向量求和的法则三角形法则已知向量a,b，在平面内任取一点A，作错误!＝a，错误!＝b作出向量错误!，则向量__错误!__称为a 与b的和，记作a＋b，即a＋b＝错误!＋错误!＝错误!．平行四边形法则已知两个__不共线__向量a，b，作错误!＝a,错误!＝b，以__错误!__，__错误!__为邻边作□ABCD，则对角线上的向量错误!＝__a＋b__.__≤__｜a＋b|__≤__｜a|＋|b|．思考：(1）向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的?和向量的起点与终点是怎样的？（2）利用向量求和的三角形法则时,若向量a，b中有零向量怎么办？若两向量共线时，能否利用三角形法则求和？(3)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗?(4)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？提示：（1）求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．(2）对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝A．当两向量共线时,仍可以使用三角形法则求和．（3)不可以,因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量．（4)求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量．知识点多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为__始点__，最后一个向量的终点为__终点__的向量，就是这些向量的和,如图所示．知识点向量加法的运算律交换律结合律a＋b＝b＋（a＋b)＋c＝a＋(b＋c）a思考：（a＋b）＋(c＋d)＝(a＋d）＋(b＋c)成立吗?提示：成立，向量的加法运算满足交换律和结合律,因此在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的次序和任意的组合去进行．关键能力·攻重难题型探究题型向量的加法法则┃┃典例剖析__■典例1(1）如图,在△ABC中,D，E分别是AB，AC上的点,点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD,那么(在横线上只填上一个向量）：①错误!＋错误!＝__错误!__；②错误!＋错误!＝__错误!__．(2)下列说法正确的是__①③__．①若|a｜＝3, |b｜＝2, 则｜a＋b|≥1,②若向量a,b共线，则|a＋b｜＝|a|＋｜b|，③若｜a＋b|＝|a|＋｜b|,则向量a，b共线．(3)如图所示,已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b＋C．［解析](1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!；②错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!．（2)①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确,即③正确．（3)a、b、c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量,因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一：(三角形法则)：如图（1)所示，作错误!＝a,错误!＝b，则错误!＝a＋b，再作错误!＝c,则错误!＝错误!＋错误!＝(a＋b）＋c，即错误!＝a＋b＋C．解法二：（平行四边形法则）：∵a、b、c不共线，如图（2）所示．在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b,以错误!、错误!为邻边作□OADB，则对角线错误!＝a＋b，再作错误!＝c，以错误!、错误!为邻边作□OCED．则错误!＝a＋b＋C．规律方法:1。
新教材高中数学第6章平面向量及其线性运算：数乘向量：向量的线性运算pptx课件新人教B版必修第二册
变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的正确性,并说明理由.
(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
2
(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的 5 ;
(3)-2a与2a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
解析 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,即x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
数乘向量的概念
【例1】 (1)已知非零向量a,b满足a=4b,则( C )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a与b的方向相同
D.a与b的方向相反
解析 ∵a=4b,4>0,
知识点3 向量的线性运算
向量的 加法、减法、数乘向量
以及它们的混合运算,统称为向量的线
性运算.
名师点睛
对向量的线性运算的理解
(1)已知某些向量,要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所
学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简,求值,这样能简化解题
过程.
(2)解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样,进行消元,其消元方
m=
3
2
a+ b
11 11
,n=
1
3
a- b
11 11
.
解析∵3m+2n=a,①
m-3n=b,②
3×②得3m-9n=3b,③
①-③得
1
3
11n=a-3b,∴n= a- b.④
11 11
(新教材)2019-2020学年人教B版高中数学必修第二册第6章 平面向量初步 6.1.5 课时29
所以O→A＋O→C＝2O→E＝－3O→B.
知识对点练
课时综合练
解析
所以O→B＝－23O→E， |O→B|＝23|O→E|. 设点 A 到 BD 的距离为 h，则 S△AOB＝12|O→B|·h，S△AOC＝2S△AOE＝|O→E|·h.
1→ 1→ 所以SS△△AAOOCB＝2|O|→OEB|·|·hh＝2|O|→OEB||＝12×23＝13.
求证：D→E＝13(b－a)．
知识对点练
课时综合练
大儒诚信教育资源
证明 ∵CDDA＝EABE＝12，∴D→A＝23C→A＝23b，A→E＝13A→B＝13(A→C＋C→B)＝13(－b －a)＝－13b－13a.
∴D→E＝D→A＋A→E＝23b－13b－13a＝13b－13a＝13(b－a).
知识对点练
知识对点练
课时综合练
正解 因为 D 为 BC 的三等分点， 当 BD＝13BC 时，如图 1，
B→D＝13B→C，
知识对点练
课时综合练
答案
大儒诚信教育资源
所以A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B) ＝23A→B＋13A→C ＝23a＋13b.
知识对点练
课时综合练
答案 C
知识对点练
课时综合练
答案
解析 找出一个非零实数 λ 使得 a＝λb 即可判断 a∥b.A 项中 a＝－12b； B 项中 a＝4b；D 项中 a＝－32b，故 A，B，D 三项中 a∥b，而 C 项中 a＝e1 －2e2，b＝－2e1＋e2，所以 C 项 a 与 b 不一定共线，故选 C.
知识对点练
课时综合练
解析
3．(1)已知 3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中 a，b 为已知向量)， 求 x；
第章向量基本定理【新教材】人教B版高中数学必修第二册课件
思考 2：设 e1，e2 是平面向量的一组基底，则 e1，e2 中可能有零 向量吗？平面向量的基底唯一吗？
[提示] 平面向量基本定理的前提条件是 e1，e2 不共线，若 e1， e2 中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾， 故 e1，e2 中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们 不共线．
条件一 平面内任一向量 a 和同一平面内两个不共线向量 e1，e2
条件二
a＝λ1e1＋μ1e2 且 a＝λ2e1＋μ2e2
结论
λμ11＝＝λμ22，
2．任意一向量基底表示的唯一性的应用 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平 面内两个不共线向量 e1，e2 的线性组合 λ1e1＋λ2e2.在具体求 λ1，λ2 时 有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中 λ1，λ2 的唯一性列方程组求 解．
2．平面向量基本定理 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平面内任意一个向 量 c，存在唯一的实数对(x，y)，使得 c＝__xa＋yb______. 3．基底 平面内不共线的两个向量 a 与 b 组成的集合{a，b}，常称为该 平面上向量的一组基底，如果 c＝xa＋yb，则称___xa＋yb ______为 c 在基 底{a，b}下的分解式．
2．平面向量基本定理的实质是什么？ [提示] 平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行 分解．
【例 3】 平面内有一个△ABC 和一点 O(如图)， 线段 OA，OB，OC 的中点分别为 E，F，G，BC， CA，AB 的中点分别为 L，M，N，设O→A＝a，O→B＝ b，O→C＝c.
(1)试用 a，b，c 表示向量E→L，F→M，G→N； (2)求证：线段 EL，FM，GN 交于一点且互相平分．
2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步 共线向量基本定理练习(含解析)新人教B版必修第二册
课时30 共线向量基本定理知识点一 共线向量基本定理1.已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 答案 A解析 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；∵λa －μb ＝0，∴λa ＝μb ，故②可以；当x ＝y ＝0时，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．2．已知e 1，e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ，－4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，k ＝－8.3. 如图所示，已知OA ′ →＝3OA →，A ′B ′ →＝3AB →，则向量OB →与OB ′ →的关系为( )A ．共线B ．同向C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′ →的长度是O B →的3倍 答案 D解析 由题意，知OB →＝OA →＋AB →，OB ′→＝OA ′→＋A ′B ′→＝3OA →＋3AB →＝3OB →，故选D.知识点二 共线向量基本定理的应用4.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，且3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S 答案 C解析 如图，由于3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，则3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)， 3(PA →＋PB →)2＝－2(PB →＋PC →)2. 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，即3PM →＝－2PN →，则点P 在中位线MN 上，则△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半．5．设AB →＝22(a ＋5b )，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则共线的三点是________．答案 A ，B ，D解析 BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，AB →＝22BD →，即A ，B ，D 三点共线．6．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.答案 13或－2解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，∴k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m ，1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0，∴k ＝13或－2.7．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，且D ，E 分别是BC ，CA 的中点，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3∶1解析 如图，OB →＋OC →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，∴OA →＋2OB →＋3OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)＝0，即2OD →＋OE →＝0， ∴DO →与OE →共线，即D ，E ，O 共线， ∴2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.8．已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．用向量法证明：EF ∥AB ，EF ＝12(AB ＋DC )．证明 如图，延长EF 到点M ，使FM ＝EF ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得平行四边形ECMB ，由平行四边形法则得EF →＝12E M →＝12( EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →， DC →共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →， EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0，∴EF →＝12(E B →＋EC →)＝12(E A →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2D C →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB ，又|EF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12( AB →＋DC →)＝12(|AB →|＋|D C →|)，∴EF ＝12(AB ＋DC )，所以结论得证.易错点 对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线且方向相反，则k ＝________.易错分析 出错的根本原因是对共线向量基本定理b ＝λa 理解不透，误认为向量反向时，参数k 的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案 2正解 因为向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线， 所以k 2－4＝0，解得k ＝±2，当k ＝－2时，b ＝2a ，此时a 与b 方向相同，不符合题意，应舍去，因此k ＝2.一、选择题1．已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1＋2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 答案 B解析 a ＋b ＝3e 1＋e 2，∴c ＝6e 1＋2e 2＝2(a ＋b )． ∴c 与a ＋b 共线．2．下面向量a ，b 共线的有( ) ①a ＝2e 1，b ＝－2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)． A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④答案 A解析 对于①，e 1与e 2不一定共线，故a 与b 不一定共线；对于②，a ＝－12b ，∴a ，b 共线；对于③，a ＝4b ，∴a ，b 共线；对于④，若a ，b 共线，则存在一实数λ，使得b ＝λa ，即2e 1－2e 2＝λ(e 1＋e 2)，得(2－λ)e 1＝(λ＋2)e 2，当λ＝2时，得e 2＝0，e 1，e 2共线，矛盾，当λ≠2时，e 1＝λ＋22－λe 2，则e 1，e 2共线，矛盾．故a 与b 不共线．综上，选A. 3．若M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A ．AB →＋BC →＋AC →B ． AM →＋MB →＋BC → C ． AM →＋BM →＋CM →D ．3A M →＋AC →答案 C解析 设D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，根据点M 是△ABC 的重心， AM →＋BM →＋CM →＝23( AD →＋BE →＋CF →)＝23(AB →＋B D →＋BC →＋CE →＋CA →＋AF →)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB →共线．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上答案 B解析 ∵CB →＝λPA →＋PB →，∴CB →－PB →＝λPA →，即CP →＝λPA →.∴点P ，A ，C 共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上． 二、填空题5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________．答案 1解析 由于c 与d 同向，所以可设c ＝k d (k >0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k >0，所以λ>0，故λ＝1.6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝4DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为________． 答案 85解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＝4DB →，∴CD →＝45CB →，即CD →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.7．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋P C →＝A B →，则点P 在边AC 的________等分点处．答案 三解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，所以PC →＝2AP →，从而点P 在边AC 的三等分点处．三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，(1)如果AB →＝e 1＋e 2， BC →＝2e 1＋8e 2， CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，B D →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →与BD →共线，且AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，且此两向量均为非零向量， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线， 只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.9．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .证明 如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ，只要证E ，E ′重合即可．设OA →＝a ， OB →＝b ，则BD →＝13a ， OD →＝b ＋13a .∵BE ′ →＝OE ′ →－b ，E ′A →＝a －OE ′ →，3BE ′ →＝E ′A →， ∴3(OE ′ →－b )＝a －OE ′ →， ∴OE ′ →＝14(a ＋3b )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a ，即OE ′ →＝34O D →，∴O ，E ′，D 三点共线，∴E 与E ′重合．∴BE ＝14BA .10．已知OA →，OB →是不共线的两个向量，设OM →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .求证：M ，A ，B 三点共线． 证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ. ∴OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋OB →－λOB →. ∴OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BM →＝λBA →(λ∈R )，∴BM →，BA →共线． 又∵BM ，BA 有公共点B ， ∴M ，B ，A 三点共线．11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.证明 OP →＝λOA →＋μOB →＝λ(OP →＋PA →)＋μ(OP →＋PB →) ＝(λ＋μ)OP →＋λPA →＋μPB →， 又点P 在直线AB 上，不妨设PA →＝kPB →， 则(λ＋μ－1)OP →＋(λk ＋μ)PB →＝0又OP →与PB →不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ－1＝0，λk ＋μ＝0，得λ＋μ＝1.12．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，且AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解 (1)AD →＝AB →＋BD →＝a ＋12BC →＝a ＋12AC →－12AB →＝12b ＋12a ，AE →＝23AD →＝13b ＋13a ， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13b ＋13a －a＝13b －23a . (2)证明：BF →＝AF →－AB →＝12AC →－AB →＝12b －a ，BE →＝13b －23a ，∴23BF →＝BE →，故BF →∥BE →， 又BF 与BE 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。
6.向量的线性运算-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第二册课件
证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表 示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所 在的基线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分．
[跟进训练] 2．已知非零向量 e1，e2 不共线．如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2， C→D＝3(e1－e2)，求证：A，B，D 三点共线． [证明] 因为A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝ 5(e1＋e2)＝5A→B.所以A→B，B→D共线，且有公共点 B，所以 A，B，D 三 点共线．
(1)－a＋5b－2c (2)0 [(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a ＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c.
(2)因为(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，所以 2x－a－b＝x－a－b， 即 x＝0.]
向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去 括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘 积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数 看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用 解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运 用运算律，简化运算．
3．能利用向量的线性运算解 提升直观想象和逻辑推理素养.
决简单问题．(难点)
情 境
导
学
探 新
知
如图，M 为△ABC 的边 AB 的中点． 问题 1：能用C→A，C→B表示C→M吗？若能，请表 示出C→M. [提示] C→M＝12(C→A＋C→B)＝12C→A＋21C→B.
问题 2：若 O 为任意一点，M 为 AB 的中点，是否有类似的结论？ [提示] O→M＝12(O→A＋O→B)＝21O→A＋21O→B. 问题 3：λ(a＋b)＝λa＋λb 是否一定成立？ [提示] 一定成立．
高中数学第六章平面向量初步两点间的距离中点坐标公式及向量平行课件新人教B版必修第二册
4．已知点A(2，－4)，B(2，3)，则|AB|＝(
A．1
B．7
C． 17
D． 15
)
答案：B
解析：因为点A(2，－4)，B(2，3)，所以AB＝(0，7)，所以|AB|＝ 02 + 72 ＝7.
课堂探究·素养提升
题型1 直角坐标系内两点间距离公式和中点坐标公式
例1 (1)求线段AB的中点坐标：
Ԧ
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数
“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、
程序化的特征．
x1 y 1
(3)当x2y2≠0时， ＝ ，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形
x2
y2
式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
为(5，6)．
所以y＝－9.
方法归纳
判断向量(或三点)共线的三个步骤
跟踪训练3 设向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(10，k)，求当
k为何值时，A，B，C三点共线．
方法一
方法二
由已知求AB，AC，利用AB＝λAC，求k.
AB与AC共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.
题型4 向量共线的应用[经典例题]
①求|AB|的值；
②若点C满足AB＋3BC＝0，求点C坐标．
【解析】 ①因为AB＝(－5，12)，
所以|AB|＝ −5 2 + 122 ＝13；
②设点C的坐标为(x，y)，
则BC＝(x＋3，y－11)．
由AB＋3BC＝(3x＋4，3y－21)＝0，
4
3x + 4 = 0，
x=− ，
2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步 向量的加法练习(含解析)新人教B版必修第二册
课时26 向量的加法知识点一 向量加法的三角形法则1.已知向量a ，b ，c ，那么下列结论中正确的是( )A ．a ＋b ＝cB ．b ＋c ＝aC ．a ＋c ＝bD ．|a |＋|b |＝|c |答案 B解析 根据向量加法的三角形法则可得b ＋c ＝a .故选B.2．当a ，b 满足下列哪种条件时，等式|a ＋b |＝|a |－|b |成立？( ) A ．a 与b 同向且|a |≥|b | B ．a 与b 反向且|a |≤|b | C ．a 与b 同向且|a |≤|b | D ．a 与b 反向且|a |≥|b | 答案 D解析 当a 与b 反向且|a |≥|b |时，|a ＋b |＝|a |－|b |.知识点二 向量加法的平行四边形法则3.如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO → 答案 C解析 设a ＝OP →＋OQ →，利用平行四边形法则作出向量OP →＋OQ →，再平移即发现a ＝FO →. 4．如下图，在正六边形OABCDE 中，若OA →＝a ，OE →＝b ，试用向量a ，b 将OB →，OC →，OD →表示出来．解 由题意知四边形ABPO ，AOEP 均为平行四边形， 由向量的平行四边形法则，知OP →＝OA →＋OE →＝a ＋b . ∵AB →＝OP →，∴AB →＝a ＋b .在△AOB 中，根据向量的三角形法则，知OB →＝OA →＋AB →＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b ， ∴OC →＝OB →＋BC →＝2a ＋b ＋b ＝2a ＋2b .OD →＝OE →＋ED →＝OE →＋AB →＝b ＋a ＋b ＝a ＋2b . 知识点三 多个向量相加 5.化简下列各式：(1) AB →＋MB →＋BO →＋OM →；(2) MB →＋AC →＋BM →；(3) OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解 (1)原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.(2)原式＝(MB →＋BM →)＋AC →＝AC →.(3)原式＝OA →＋BO →＝BO →＋OA →＝BA →.6．向量a ，b ，c ，d ，e 如图所示，据图回答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用a ，b ，e 表示EC →.解 由题图知AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e . (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝e ＋a ＋b .一、选择题1．已知非零向量a ，b ，c ，则向量(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(b ＋a )，c ＋(a ＋b )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 根据向量加法的运算律解答．2. 如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 答案 D解析 由于BA →＝DE →，故BA →＋ CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →. 3．若C 是线段AB 的中点，则AC →＋BC →等于( ) A ． AB →B ．BA →C ．0D ．以上均不正确答案 C解析 AC →与BC →的模相等而方向相反，因此AC →＋BC →＝0.4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C. 2 D ．2 2 答案 D解析 ∵A B →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b ＋c |＝|2c |， ∵|c |＝2，∴|a ＋b ＋c |＝2 2.故选D.5．已知向量a ，b 均为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同 答案 B解析 ∵a 与b 方向相反，|a |<|b |，∴a ＋b 与a 的方向相反，故B 不正确． 6．已知平行四边形ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a ，且b 是一非零向量，则下列结论： ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |.其中正确的是 ( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①② 答案 A解析 a ＝0，①③正确，②错误；|a ＋b |＝|0＋b |＝|b |＝|a |＋|b |，④错误． 二、填空题7．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________． 答案 20 4解析 当a ，b 共线同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |＝8＋12＝20， 当a ，b 共线反向时，|a ＋b |＝||a |－|b ||＝4. 当a ，b 不共线时，||a |－|b ||<|a ＋b |<|a |＋|b |， 即4<|a ＋b |<20，所以最大值为20，最小值为4.8．小李从家里出发，先到小卖部买了一瓶矿泉水，再到小区门口，这样走的路程________(填“大于”“小于”“不大于”“不小于”或“等于”)他从家里直接到小区门口的距离．(假设这几条路都是直的)答案 不小于解析 由性质|a ＋b |≤|a |＋|b |，小李从家里出发先到小卖部再到小区门口走的路程不小于他从家里直接到小区门口的距离．9．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________. 答案 2 3解析 如图所示，设菱形对角线交点为O .BC →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →.∵∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． 又∵|AB →|＝2，∴|OB →|＝1. 在Rt △AOB 中，|AO →|＝ |AB →|2－|OB →|2＝3，∴|AC →|＝2|AO →|＝2 3. 三、解答题10. 如图，已知向量a ，b .(1)用平行四边形法则作出向量a ＋b ；(2)用三角形法则作出向量a ＋b .解 (1)如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，连接OC ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b .(2)如图，在平面内任取一点O ′，作O ′D →＝a ，DE →＝b ，连接O ′E ，则O ′E →＝O ′D →＋DE →＝a ＋b .11．如图，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →.解 如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，由向量加法的平行四边形法则，易知OA →＋OB →＝OD →.∵∠AOB ＝120°，| OA →|＝| OB →|， ∴∠BOD ＝60°，|OB →|＝|OD →|. ∵∠BOC ＝120°，|OB →|＝|OC →|， ∴OD →＋OC →＝0，故OA →＋OB →＋OC →＝0.12. 已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.证明 连接EF ，由题意知，AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →. 由D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点可知，EF →＝CD →，BF →＝FA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →)＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →)＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0.。
高中数学第六章平面向量初步6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算学案新人教B版必修第二册
6．1.4 数乘向量 6．1.5 向量的线性运算问题导学预习教材P145－P150的内容，思考以下问题：1．向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？2．数乘向量的定义及其几何意义是什么？3．向量线性运算满足哪些运算律？1．数乘向量一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：①当λ>0时，与a的方向相同；②当λ<0时，与a的方向相反．(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．当λ和μ都是实数时有λ(μa)＝(λμ)a．数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a．■名师点拨(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.2．向量的线性运算(1)向量的加法与数乘向量的混合运算一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a．一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb．(2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算，统称为向量的线性运算．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意的向量a ，总有0·a ＝0.( ) (2)当λ＞0时，|λa |＝λa .( )(3)若a ≠0，λ≠0，则a 与－λa 的方向相反．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×已知点C 是线段AB 靠近点B 的三等分点，下列正确的是( ) A.AB →＝3BC →B.AC →＝2BC →C.AC →＝12BC →D.AC →＝2CB →解析：选D.由题意可知，AB →＝－3BC →；AC →＝－2BC →＝2CB →.故只有D 正确．设四边形ABCD 中，有DC →＝12AB →且|AD →|＝|BC →|，则这个四边形是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形答案：C如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．解析：由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →. 又因为O 是AC 的中点，所以AC ＝2AO ， 所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →， 所以λ＝2. 答案：2向量的线性运算(1)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝________． (2)化简下列各式：①3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；②12[(3a ＋2b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ]－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ；③2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .【解】 (1)由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a .故填4b －3a .(2)①原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .②原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.③原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量线性运算的方法(1)向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．1．化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）.解：原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b . 2．已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .解：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ①，－4x ＋3y ＝b ②，由①×3＋②×2得，x ＝3a ＋2b ，代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ， 所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .利用已知向量表示相关向量(1)如图，▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则DE →＝( )A.12a －b B.12a ＋bC ．a ＋12bD ．a －12b(2)如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示DE →，CE →，MN →.【解】 (1)选D.DE →＝DC →＋CE →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AD →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)由三角形中位线定理，知DE 綉12BC ，故DE →＝12BC →，即DE →＝12a .CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .[变条件，变问法]在本例(1)中，设AC 与BD 相交于点O ，F 是线段OD 的中点，AF 的延长线交DC 于点G ，试用a ，b 表示AG →.解：因为DG ∥AB ， 所以△DFG ∽△BFA ，又因为DF ＝12OD ＝12×12BD ＝14BD ，所以DG AB ＝DF BF ＝13，所以AG →＝AD →＋DG →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解：BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )， 所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM → ＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .利用向量判断三点共线已知非零向量e 1、e 2 不共线．如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线．【证明】 因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.所以AB →，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．利用向量判断三点共线的方法一般来说，要判定A ，B ，C 三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB →＝λAC →(或BC →＝λAB →等)即可．如图所示，已知D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，延长CD 到M 使DM ＝CD ，延长BE 至N 使BE ＝EN ，求证：M ，A ，N 三点共线．证明：因为D 为MC 的中点，且D 为AB 的中点， 所以AB →＝AM →＋AC →， 所以AM →＝AB →－AC →＝CB →.同理可证明AN →＝AC →－AB →＝BC →.所以AM →＝－AN →. 所以AM →，AN →共线且有公共点A ， 所以M ，A ，N 三点共线．1．下列命题中正确的个数是( ) ①AB →＋BA →＝0；②AB →－AC →＝BC →；③0·AB →＝0. A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：选A.由两相反向量的和为零向量知①正确； 由向量的减法运算法则知，AB →－AC →＝CB →，②错； 由数乘向量的意义知0·AB →＝0，③错， 即正确的个数是1，故选A.2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 解析：选A.法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.3．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①②③④解析：选A.对于①，b ＝－a ，有a ∥b ； 对于②，b ＝－2a ，有a ∥b ； 对于③，a ＝4b ，有a ∥b ； 对于④，a 与b 不共线．4．若|a |＝5，b 与a 方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b . 解析：由题意知a ＝－57b .答案：－57[A 基础达标]1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －aD ．a －b解析：选B.原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(－3a ＋6b )＝－a ＋2b ＝2b －a .2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④解析：选B.①正确．②正确．③错误．由m a ＝m b 得m (a －b )＝0，当m ＝0时也成立，推不出a ＝b .④错误．由m a ＝n a 得(m －n )a ＝0，当a ＝0时也成立，推不出m ＝n .3．若5AB →＋3CD →＝0，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．等腰梯形解析：选D.由5AB →＋3CD →＝0知，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，故此四边形为梯形，又|AD →|＝|BC →|，所以梯形ABCD 为等腰梯形．4．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．②D ．③④解析：选A.对于①，可解得a ＝27e ，b ＝－87e ，故a 与b 共线；对于②，由于λ≠μ.故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0则由λa －μb ＝0得a ＝μλb ，故a 与b 共线；对于③，当x＝y ＝0时，a 与b 不一定共线；对于④，梯形中没有AB ∥CD 这个条件，也可能AD ∥BC ，故a 与b 不一定共线．5．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA → D.12AB →－23AD → 解析：选D.EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →.6．已知A ，B ，C 是三个不同的点，OA →＝a －b ，OB →＝2a －3b ，OC →＝3a －5b ，则A ，B ，C 三点________．(填写“共线”或“不共线”)答案：共线7．若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________．(用OA →，OB →表示) 解析：AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)， OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →. 答案：(1－t )OA →＋tOB →8．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|＝________．解析：因为OA →－3OB →＋2OC →＝0，所以OB →－OA →＝2(OC →－OB →)，所以AB →＝2BC →， 所以|AB →||BC →|＝2.答案：29.如图在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，DC 与OA 的交点为E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →. 解：因为AC ＝BA ，所以A 是BC 的中点， 所以OA →＝12(OB →＋OC →)，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . 所以DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .10．设两个非零向量e 1，e 2 不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线．因为DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2. 又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →＝λDB →， 所以2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，k ＝4λ，所以k ＝－8，所以存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线．[B 能力提升]11．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上解析：选D.因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PC →＝AB →＋BP →＝AP →， 所以2AP →＋PA →＋PC →＝3AP →，所以(AP →＋PA →)＋(AP →＋PC →)＝3AP →，即AC →＝3AP →， 所以点P 在AC 边上，且为AC 的三等分点．12.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量：(1)AC →； (2)AD →； (3)DF →＋FE →＋ED →.解：(1) AC →＝OC →－OA →＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d .(3)DF →＋FE →＋ED →＝DO →＋OF →＋FO →＋OE →＋EO →＋OD →＝0.13．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 分别表示向量AE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，因为AF →＝12AC →＝12b ，所以BF →＝AF →－AB →＝－a ＋12b .(2)证明：由(1)知BF →＝－a ＋12b ，BE →＝－23a ＋13b ＝23⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ，所以BE →＝23BF →.所以BE →与BF →共线．- 11 - 又BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．[C 拓展探究])14.如图，在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC CA ＝λ(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示OC →.解：由题意得，OC →＝OB →＋BC →，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， 由BC CA ＝λ(λ>0)，所以BC BA ＝λ1＋λ，所以BC →＝λ1＋λBA →，即OC →＝OB →＋λ1＋λBA →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λa ＋b1＋λ.。