分牛问题
经典逻辑推理题附答案
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33."鸡蛋
一位老太太挎了一筐鸡蛋到市场去卖。路上被一位骑车的人撞倒，鸡蛋全部打破。骑车人搀起老太太说：
“你带了多少鸡蛋？我赔你。”老太太说：
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5."小孩
昨天，我的邻居告诉我，他家才６岁的小孩不小心从５楼的窗台上摔下来了。
我吃了一惊，忙问“摔的怎么样？”他说“还好，只是胳膊腿擦破了点皮，没伤着骨头。”我心里的石头落了地：
“这孩子的命可真大。”
3
6."问题小唱
什么菜煮不熟？什么菜洗不净？
什么蛋不能吃？什么饼不能吃？
什么河没有水？什么马不能骑？
善于寻找事物的异同点和内在的联系，善于发现事物的发展规律，是做好任何研究工作应具备的基本素质和条件。请你找找看，下面的两个数有多少相同点？
2468
357929."上楼
我上班的办公楼和我居住的家属楼都是６层楼，而我工作和居住的楼层均在３层。于是我想：
我每天所爬的台阶数是家住６楼，工作也在６楼的同事的几分之几呢？
“你知道我将怎样处决你吗？猜对了，我可以让你死得好受些，给你吃个枪子。要是你猜错了，那就对不起了，请你尝尝上绞刑架的滋味。”行刑官想：
“反正我说了算，说你对你就对，说你错你就错”没想到由于死刑犯聪明的回答，使得行刑官无法执行死刑，这个死刑犯绝处逢生。这个死刑犯是怎样回答的？
☆☆
19."怪城
有一个怪城，城里一边住着好人，一边住着坏人，城门左右各有一个人站岗，其中一个是好人，一个是骗子，好人总说实话，骗子总说假话。有个人到了这个城门后，忘记了哪边是好人，如果问错了人，就会走到骗子住的地方，吃亏上当。
数学趣味题以及数学史
数学趣味题AND数学史---高斯【1】牛顿的“牛吃草问题”英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。
书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”。
“牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。
如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。
”【2】托尔斯泰割草问题一组割草人，要把两片草地割完。
大的一片草地是小的一片草地的2倍.上半天大家都在大片地上工作，午后分成两组，一半人在大片地上工作，到傍晚正好割完。
另一半人在小片地上割草，到傍晚时还剩一小块，这一小块改为由一人割，用一天，问这组割草人共有几人？【3】五猴分桃问题“五猴分桃”这个问题，据说是由大物理学家狄拉克提出的，许多人尝试着做过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的解法。
一堆毛桃五猴分，分来分去分不均；于是约定先睡觉，醒来以后再讨论。
大猴乖巧施心计，不占便宜不甘心，跑来偷偷吃一个，剩余刚能五等份，拿走自己应得数，走时喜得走不稳。
二猴醒后也跑来，先吃一个过过瘾，剩余也能被五除，堂而皇之拿一份。
其余几猴均如此，个个猴儿都不蠢。
问：毛桃最少是多少？【4】柯克曼女生问题Kirkman's Schoolgirl Problem（英国数学家柯克曼（1806～1895）于1850年提出）有一个学校有15个女生，她们每天要做三人行的散步，要使每个女生在一周内的每天做三人行散步时，与其她同学在组成三人小组同行时，彼此只有一次相遇在同一小组，应怎样安排？【5】阿基米德分牛问题太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成，在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。
奥数题高难度
1.图形：高等难度如图,长方形ABCD中,E为的AD中点,AF与BE、BD分别交于G、H,OE垂直AD于E,交A F于O,已知AH=5cm,HF=3cm,求AG．图形答案：2.图形面积：高等难度直角三角形ABC的两直角边AC=8cm,BC=6cm,以AC、BC为边向形外分别作正方形ACDE 与BCFG,再以AB为边向上作正方形ABMN,其中N点落在DE上,BM交CF于点T．问：图中阴影部分与梯形BTFG的总面积等于多少应用题：高等难度3.我国某城市煤气收费规定：每月用量在8立方米或8立方米以下都一律收元,用量超过8立方米的除交元外,超过部分每立方米按一定费用交费,某饭店1月份煤气费是元,8月份煤气费是元,又知道8月份煤气用量相当于1月份的,那么超过8立方米后,每立方米煤气应收多少元应用题答案：4.乒乓球训练逻辑：高等难度甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练,每局2人进行比赛,另1人当裁判．每一局的输方去当下一局的裁判,而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时,发现甲共打了1 5局,乙共打了21局,而丙共当裁判5局．那么整个训练中的第3局当裁判的是_______．乒乓球训练逻辑答案：本题是一道逻辑推理要求较高的试题．首先应该确定比赛是在甲乙、乙丙、甲丙之间进行的．那么可以根据题目中三人打的总局数求出甲乙、乙丙、甲丙之间的比赛进行的局数．⑴丙当了5局裁判,则甲乙进行了5局；⑵甲一共打了15局,则甲丙之间进行了15-5=10局；⑶乙一共打了21局,则乙丙之间进行了21-5=16局；所以一共打的比赛是5+10+6=31局．此时根据已知条件无法求得第三局的裁判．但是,由于每局都有胜负,所以任意连续两局之间不可能是同样的对手搭配,就是说不可能出现上一局是甲乙,接下来的一局还是甲乙的情况,必然被别的对阵隔开．而总共31局比赛中,乙丙就进行了16局,剩下的甲乙、甲丙共进行了15局,所以类似于植树问题,一定是开始和结尾的两局都是乙丙,中间被甲乙、甲丙隔开．所以可以知道第奇数局第1、3、5、……局的比赛是在乙丙之间进行的．那么,第三局的裁判应该是甲．5.奇偶性应用：高等难度在圆周上有1987个珠子,给每一珠子染两次颜色,或两次全红,或两次全蓝,或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红,1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色奇偶性应用答案：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色,即所有珠子都是两次染同色.设第一次染m 个珠子为红色,第二次必然还仅染这m个珠子为红色.则染红色次数为2m次;∵2m≠1987偶数≠奇数∴假设不成立;∴至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色;6.整除问题：高等难度一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数整除问题答案：这是一道古算题.它早在孙子算经中记有："今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何"关于这道题的解法,在明朝就流传着一首解题之歌："三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知."意思是,用除以3的余数乘以70,用除以5的余数乘以21,用除以7的余数乘以15,再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105,那么就减去105,直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：方法1：2×70+3×21+2×15=233233-105×2=23符合条件的最小自然数是237.平均数：高等难度有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排,其中第一个是一个完全平方数,倒数第二个也是完全平方数．那么这18个数的平均数是：_______．平均数答案：8.追击问题：高等难度如下图,甲从A出发,不断往返于AB之间行走;乙从C出发,沿C—E—F—D—C围绕矩形不断行走;甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,甲从背后第一次追上乙的地点离D点__ __________米;追击问题答案：9.正方形：高等难度如图所示,ABCD是一边长为4cm的正方形,E是AD的中点,而F是BC的中点;以C为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G,以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点,正方形答案：10.求面积：高等难度下图中,ABCD是边长为1的正方形,A,E,F,G,H分别是四条边AB,BC,CD,DA的中点,计算图中红色八边形的面积求面积答案：至此,我们对各部分的面积都已计算出来,如下图所示.又解设O为正方形中心对角线交点,连接OE、OF,分别与AF、BG交于M、N,设AF与EC 的交点为P,连接OP,△MOF的面积为正方形面积的,N为OF中点,△OPN面积等于△FPN 面积,又△OPN面积与△OPM面积相等,所以△OPN面积为△MOF面积的,为正方形面积的,八边形面积等于△OPM面积的8倍,为正方形面积的.11.阴影面积：高等难度如右图,在以AB为直径的半圆上取一点C,分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC 和BFC．当C点在什么位置时,图中两个弯月型阴影部分AEC和BFC的面积和最大;阴影面积答案：12.得奖人数：高等难度六年级举行一次数学竞赛,共有若干名同学得奖,其中得一等奖的同学比余下的得奖人数的五分之一少三名,得二等奖的占领奖人数的三分之一,得三等奖的人数比二等奖的人数同学多21名,问得奖人数是多少得奖人数答案：解答：设获奖人数为x,则所以x=111人13.竞赛：高等难度光明小学六年级选出的男生的1/11和12名女生参加数学竞赛,剩下的男生人数是剩下的女生人数的2倍.已知六年级共有156人,问男、女生各有多少人竞赛答案：②女生人数：156-99=57人.14.粮食问题：高等难度甲仓有粮80吨,乙仓有粮120吨,如果把乙仓的一部分粮调入甲仓,使乙仓存粮是甲仓的60％,需要从乙仓调入甲仓多少吨粮食粮食问题答案：①甲仓有粮：80＋120÷1＋60％=125吨.②从乙仓调入甲仓粮食：125-80=45吨.出三个正方形的边长是成比例缩小的,即为一个等比数列,而这个比就要用到相似三角形的知识点;这在以前讲沙漏原理或者三角形等积变形等专题的时候提到过;可以说是一道难度比较大的题;当然对于这种有特点.15.分苹果：高等难度有一堆苹果平均分给幼儿园大、小班小朋友,每人可得6个,如果只分给大班每人可得1 0个,问只分给小班时,每人可得几个分苹果答案：第01题阿基米德分牛问题太阳神有一牛群,由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.在公牛中,白牛数多于棕牛数,多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛,多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数,多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.在母牛中,白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.问这牛群是怎样组成的第02题德·梅齐里亚克的法码问题一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.问这4块砝码碎片各重多少第03题牛顿的草地与母牛问题a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a＆39;头母牛将b＆39;块地上的牧草在c＆39;天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系第04题贝韦克的七个7的问题在下面除法例题中,被除数被除数除尽：7 ÷7 = 77777用星号标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了,那些不见了的是些什么数字呢第05题柯克曼的女学生问题某寄宿学校有十五名女生,她们经常每天三人一行地散步,问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步,并恰好每周一次第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddresse d letters求n个元素的排列,要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler＆39;s Problem of Polygon Division可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形平面凸多边形剖分成三角形第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas＆39; Problem of the Married Couplesn对夫妇围圆桌而坐,其座次是两个妇人之间坐一个男人,而没有一个男人和自己的妻子并坐,问有多少种坐法第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam＆39;s Binomial Expansion当n是任意正整数时,求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.第10题柯西的平均值定理Cauchy＆39;s Mean Theorem求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli＆39;s Power Sum Problem确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+口口.第12题欧拉数The Euler Number求函数φx=1+1/xx及Φx=1+1/xx+1当x无限增大时的极限值.第13题牛顿指数级数Newton＆39;s Exponential Series将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator＆39;s Logarithmic Series不用对数表,计算一个给定数的对数.第15题牛顿正弦及余弦级数Newton＆39;s Sine and Cosine Series不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre Derivation of the Secant and Tangent Seri es在n个数1,2,3,…,n的一个排列c1,c2,…,cn中,如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值c i-1和ci+1之间,则称c1,c2,…,cn为1,2,3,…,n的一个屈折排列. 试利用屈折排列推导正割与正切的级数.第17题格雷戈里的反正切级数Gregory＆39;s Arc Tangent Series已知三条边,不用查表求三角形的各角.第18题德布封的针问题Buffon＆39;s Needle Problem在台面上画出一组间距为d的平行线,把长度为l小于d的一根针任意投掷在台面上,问针触及两平行线之一的概率如何第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem每个可表示为4n+1形式的素数,只能用一种两数平方和的形式来表示.第20题费马方程The Fermat Equation求方程x2－dy2=1的整数解,其中d为非二次正整数.第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem证明两个立方数的和不可能为一立方数.第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law欧拉-勒让德-高斯定理奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式p/q·q/p=－1p-1/2·q-1/2第23题高斯的代数基本定理Gauss; Fundamental theorem of Algebra每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.第24题斯图谟的根的个数问题Sturm;s Problem of the Number of Roots求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.第25题阿贝尔不可能性定理Abel＆39;s Impossibility Theorem高于四次的方程一般不可能有代数解法.第26题赫米特-林德曼超越性定理系数A不等于零,指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.第27题欧拉直线Euler＆39;s Straight Line在所有三角形中,外接圆的圆心,各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上,而且三点的分隔为：各高线的交点垂心至各中线的交点重心的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上. 第29题卡斯蒂朗问题Castillon＆39;s Problem将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.第30题马尔法蒂问题Malfatti＆39;s Problem在一个已知三角形内画三个圆,每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.第31题蒙日问题Monge＆39;s Problem画一个圆,使其与三已知圆正交.第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius画一个与三个已知圆相切的圆.第33题马索若尼圆规问题Macheroni＆39;s Compass Problem证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.第34题斯坦纳直尺问题Steiner＆39;s Straight-edge Problem证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图,如果在平面内给出一个定圆,只用直尺便可作出. 第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.第36题三等分一个角Trisection of an Angle把一个角分成三个相等的角.第37题正十七边形The Regular Heptadecagon画一正十七边形.第38题阿基米德π值确定法Archimedes; Determination of the Number Pi设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为口口和bv,便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0,b0,a1,b1,a2,b2,…其中口口+1是口口、bv的调和中项,bv+1是bv、口口+1的等比中项.假如已知初始两项,利用这个规则便能计算出数列的所有项.这个方法叫作阿基米德算法.第39题富斯弦切四边形问题Fuss＆39; Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形第40题测量附题Annex to a Survey利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen＆39;s Billiard Problem在一个已知圆内,作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii已知两个共轭半径的大小和位置,作椭圆.第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram在规定的平行四边形内作一内切椭圆,它与该平行四边形切于一边界点.第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents已知抛物线的四条切线,作抛物线.第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points过四个已知点作抛物线.第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points已知直角等轴双曲线上四点,作出这条双曲线.第47题范·施古登轨迹题Van Schooten＆39;s Locus Problem平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动,第三个顶点的轨迹是什么第48题卡丹旋轮问题Cardan＆39;s Spur Wheel Problem一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时,这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么第49题牛顿椭圆问题Newton＆39;s Ellipse Problem确定内切于一个已知凸四边形的所有椭圆的中心的轨迹.第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem确定内接于直角等边双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.。
8道常规智力题
1. 所涉及到的知识点
分析法 观察法
2. 分析问题
很多面试者看到本题，第一反应就是用计算法解决本题。但是用分析法解决本题更为 简单，分析法是最基本的方法。各种方法常常要用到分析法。可以说，分析能力的高低， 是一个人的智力水平的体现。分析能力不仅是先天性的，在很大程度上取决于后天的训练， 应养成对客观事物进行分析的良好习惯。
面试题 1：斯密斯夫妇握手问题
史密斯夫妇邀请另外四对夫妇就餐，已知他们每个人都不和自己握手，不和自己的配 偶握手，且不和同一个人握手一次以上。在大家见面握手寒暄后，史密斯问大家握手了几 次，每个人的答案都不一样。
问：史密斯太太握手几次？
1. 所涉及到的知识点
排除法 分析法
2. 分析问题
解决本题可用排除法，把一些无关的信息先予以排除，可以确定的问题先确定，尽可 能缩小未知的范围，以便于问题的分析和解决。这种思维方式在我们的工作和生活中都是 很有用处的。根据已给的条件可知：
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12.1 所示。 假设 I 握了 8 次手，即 I 与其配偶以外的所有人都握了手；可以假设 I 为史密斯太太，
她握了八次手，即与史密斯先生以外的每个人都握了一次手。可以推知除斯密斯夫妇外的 其他三对夫妇的握手次数至少为 1，与上面推断已知的 A 的握手次数为 0 冲突。所以假设 不成立。并可推知握手 0 次的 A 和握手 8 次的 I 为一对夫妇。实际的握手情况按夫妻分配 可以参考图 12.2：
3. 答案
儿子 8 头，妻子 4 头，女儿 2 头，乡亲 1 头。 注：倒推法，从问题最后的结果开始，一步一步往前推，直到求出问题的答案。有些 问题用此法解起来很简单，如用其他方法则很难。
100个经典初等数学问题
100个经典初等数学问题第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成. 在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.问这牛群是怎样组成的？第02题德•梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.问这4块砝码碎片各重多少？第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cowsa头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系？第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * ** * * * * ** * * * * 7 ** * * * * * ** 7 * * * ** 7 * * * ** * * * * * ** * * * 7 * ** * * * * ** * * * * *用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couplesn对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n 次幂.第10题柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np.第12题欧拉数The Euler Number求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值第13题牛顿指数级数Newton's Exponential Series将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series不用对数表，计算一个给定数的对数.第15题牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列.试利用屈折排列推导正割与正切的级数.第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series已知三条边，不用查表求三角形的各角.第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示.第20题费马方程The Fermat Equation求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数.第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem证明两个立方数的和不可能为一立方数.第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式（p/q）•（q/p）=（－1）[(p-1)/2]•[(q-1)/2].第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem高于四次的方程一般不可能有代数解法.第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.第27题欧拉直线Euler's Straight Line在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.第31题蒙日问题Monge's Problem画一个圆，使其与三已知圆正交.第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius.画一个与三个已知圆相切的圆.第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem.证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出.第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.第36题三等分一个角Trisection of an Angle把一个角分成三个相等的角.第37题正十七边形The Regular Heptadecagon画一正十七边形.第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）第40题测量附题Annex to a Survey利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆.第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram,在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点.第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents已知抛物线的四条切线，作抛物线.第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points.过四个已知点作抛物线.第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points.已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线.第47题范•施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem.一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem.确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹.第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0.求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.第52题星形线The Astroid直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络.第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络.第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections确定一个圆锥曲线的曲率.第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola确定包含在抛物线内的面积.第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola确定双曲线被截得的部分所含的面积.第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola确定抛物线弧的长度.第59题笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem (Theoremof Homologous Triangles)如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素.第61题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上.第62题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点.第63题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶. *一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）.第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的.第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们的交点.第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线.第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planesn个平面最多可将整个空间分割成多少份？第68题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem以六条棱表示四面体的体积.第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.第71题五种正则体The Five Regular Solids将一个球面分成全等的球面正多边形.第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.第74题高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等于零.第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.第76题麦卡托投影The Mercator Projection画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的.第77题航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome确定地球表面两点间斜驶线的经度.第78题海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea利用天文经线推算法确定船在海上的位置.第79题高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem根据已知两星球的高度以确定时间及位置.第80题高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的高度.第81题刻卜勒方程The Kepler Equation根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角.第82题星落Star Setting对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角.第83题日晷问题The Problem of the Sundial制作一个日晷.第84题日影曲线The Shadow Curve当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线.第85题日食和月食Solar and Lunar Eclipses如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.第86题恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期.第87题行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？第88题兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number如果x为正变数，x取何值时，x的x次方根为最大？第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形.第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小.第92题逆风变换航向Tacking Under a Headwind帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？第93题蜂巢（雷阿乌姆尔问题）The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预定的容积，而其表面积为最小.第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）第95题金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus在什么位置金星有最大亮度？第96题地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit慧星在地球的轨道内最多能停留多少天？第97题最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面积？第99题斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积.反之：在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长.第100题斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积.在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面.。
100个著名初等数学问题分析
100个著名初等数学问题100 Great Problems of Elementary Mathematics第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的¼+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+¼；黑牛数是全体花牛数¼+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.问这牛群是怎样组成的？第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.问这4块砝码碎片各重多少？第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cowsa头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系？第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * ** * * * * ** * * * * 7 ** * * * * * ** 7 * * * ** 7 * * * ** * * * * * ** * * * 7 * ** * * * * ** * * * * *用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Mi saddressed letters求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couplesn对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.第10题柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np.第12题欧拉数The Euler Number求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值.第13题牛顿指数级数Newton's Exponential Series将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series不用对数表，计算一个给定数的对数.第15题牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Ta ngent Series在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素c i的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…, n的一个屈折排列.试利用屈折排列推导正割与正切的级数.第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series已知三条边，不用查表求三角形的各角.第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示.第20题费马方程The Fermat Equation求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数.第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem证明两个立方数的和不可能为一立方数.第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式（p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2].第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem高于四次的方程一般不可能有代数解法.第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theore m系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3 +…不可能等于零.第27题欧拉直线Euler's Straight Line在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.第31题蒙日问题Monge's Problem画一个圆，使其与三已知圆正交.第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius.画一个与三个已知圆相切的圆.第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem.证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出.第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.第36题三等分一个角Trisection of an Angle把一个角分成三个相等的角.第37题正十七边形The Regular Heptadecagon画一正十七边形.第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）第40题测量附题Annex to a Survey利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆.第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram,在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点.第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents已知抛物线的四条切线，作抛物线.第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points.过四个已知点作抛物线.第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points.已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线.第47题范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem.一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem.确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹.第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n 次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n 和n，n－1，…，2，1，0.求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.第52题星形线The Astroid直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络.第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络.第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Cir cumscribing a Quadrilateral一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections确定一个圆锥曲线的曲率.第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola确定包含在抛物线内的面积.第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola确定双曲线被截得的部分所含的面积.第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola确定抛物线弧的长度.第59题笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem (Th eorem of Homologous Triangles)如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素.第61题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上.第62题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点.第63题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）.第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的.第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们的交点.第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线.第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planesn个平面最多可将整个空间分割成多少份？第68题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem以六条棱表示四面体的体积.第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.第71题五种正则体The Five Regular Solids将一个球面分成全等的球面正多边形.第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral 证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.第74题高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等于零.第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.第76题麦卡托投影The Mercator Projection画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的.第77题航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome确定地球表面两点间斜驶线的经度.第78题海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea利用天文经线推算法确定船在海上的位置.第79题高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem根据已知两星球的高度以确定时间及位置.第80题高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的高度.第81题刻卜勒方程The Kepler Equation根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角.第82题星落Star Setting对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角.第83题日晷问题The Problem of the Sundial制作一个日晷.第84题日影曲线The Shadow Curve当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线.第85题日食和月食Solar and Lunar Eclipses如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.第86题恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期.第87题行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？第88题兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Num ber如果x为正变数，x取何值时，x的x次方根为最大？第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形.第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小.第92题逆风变换航向Tacking Under a Headwind帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？第93题蜂巢（雷阿乌姆尔问题）The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预定的容积，而其表面积为最小.第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）第95题金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus在什么位置金星有最大亮度？第96题地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit慧星在地球的轨道内最多能停留多少天？第97题最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面积？第99题斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积.反之：在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长.第100题斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积. 在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面.。
100个历史上最有名的初等数学难题
100个历史上最有名的初等数学难题第01题阿基米德分牛问题archimedes' problema bovinum太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。
在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。
问这牛群是怎样组成的？第02题德·梅齐里亚克的法码问题the weight problem of bachet de meziriac一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。
问这4块砝码碎片各重多少？第03题牛顿的草地与母牛问题newton's problem of the fields and cowsa头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系？第04题贝韦克的七个7的问题berwick's problem of the seven sevens在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * ÷* * * * 7 * = * * 7 * ** * * * * ** * * * * 7 ** * * * * * ** 7 * * * ** 7 * * * ** * * * * * ** * * * 7 * ** * * * * ** * * * * *用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第05题柯克曼的女学生问题kirkman's schoolgirl problem某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题the bernoulli-euler problem of the misaddressed letters 求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。
第01题阿基米德分牛问题
第01题阿基米德分牛问题及狗尾续貂(2009-02-14 13:00:43)转载▼标签：教育分类：初等数学第01题阿基米德分牛问题【问题描述】太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成，在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。
问这牛群是怎样组成的？【历史背景】该题是阿基米德（Archimedes 前287--前212）在一封给埃拉托塞尼的信中提出，但真实性颇值得怀疑，该题大概很早以前就已存在，阿基米德只是重新研究而已。
阿基米德是古希腊数学家和物理学家，是历史上最伟大的数学家之一。
阿基米德发现了杠杆定律和浮力定律。
阿基米德有十余种数学著作，主要研究几何中的面积和体积问题。
阿基米德有句名言“给我一个支点，我能撬动地球”。
【问题解答】这是一道解方程组的问题。
设白公牛数为w、黑公牛数为x、花公牛数为y、棕公牛数为z、白母牛数为p、黑母牛数为q、花母牛数为r、棕母牛数为s，根据题意，可列出以下方程组：w-z=(1/2+1/3)x(1)x-z=(1/4+1/5)y(2)y-z=(1/6+1/7)w(3)p=(1/3+1/4)(x+q)(4)q=(1/4+1/5)(y+r)(5)r=(1/5+1/6)(z+s)(6)s=(1/6+1/7)(w+p) (7)方程组有８个未知数，但只有7个方程，假定z为已知。
由(1)、(2)、(3)可解得：w=2226z/891，x=1602z/891，y=1580z/891由于y的解不可约分，所以z应为891的倍数(牛的数目不能为分数)，令z=891m，则：w=2226m，x=1602m，y=1580m，z=891m把以上解代入(4)、(5)、(6)、(7)，解得：p=7206360m/4657，q=4893246m/4657，r=3515820m/4657，s=5439213m/4657由于4657是素数，所以m应为4657的倍数，令m=4657n，则：w=10366482n，x=7460514n，y=7358060n，z=4149387np=7206360n，q=4893246n，r=3515820n，s=5439213n本题有无数组解。
4牛顿问题
专题四牛顿问题知识概要英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。
书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”。
这类题目的一般解法是：把一头牛一天所吃的牧草看作“1”，牛吃草问题中，草的总量在不断变化，这是我们解决问题的困难所在。
但只要抓住两个关键的不变量，这类问题便可迎刃而解。
1、牧场每天新生的草量；2、牧场原有的草量。
如：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。
如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。
”把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162（这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
）（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207（这207包括牧场原有的草和9天新长的草。
）（3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15（4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72（5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天）所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
在研究这个问题时应注意下面几个问题：1．为了说明量的意义，我们规定了一个单位头/天，当我们了解各个量的意义，可以简化规定单位为“1”。
2．求出一天新长出的草够多少头牛吃的是问题关键。
3．将问题理想化，一部分牛吃新长出的草，一部分吃原有的草，当原有的草吃光，也就没有草了。
基本训练1．有一堆割下来的青草可供45头牛吃20天，那么可供36头牛吃多少天？2．牧场上一片草，可供23匹马吃9天，或者可供27匹马吃6天，如果草每天匀速生长，可供21匹马吃多少天？3．一片青草，每天生长的速度相同，如果24头牛6天可以把草吃完，或者20头牛10天可以把草吃光。
那么多少头牛12天可以把草吃尽？4．一场牧场长满青草，这些青草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天，问可供25头吃多少天？5．牧场上长满了牧草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？6．有一牧场，如果养25只羊，8天可以把草吃尽；养21只羊，12天把草吃尽。
牛顿问题牛吃草的解题思路
"牛顿问题"是一个经典的物理问题，也被称为"牛吃草问题"。
它涉及到一个在平坦草原上的牛，以一定速度和一定的角度吃草，然后向前移动，问题是要求确定牛吃草的路径。
解决"牛顿问题"可以使用几何和物理学的基本原理。
以下是解题思路的一般步骤：
1.确定初始条件：了解牛在草原上的初始位置和姿势，以及牛吃草的
速度和角度。
这些信息对于确定牛吃草的路径很重要。
2.分解速度：将牛的速度分解为水平速度（沿着草原表面的移动）和
垂直速度（身体向上或向下的移动）。
这样，我们可以专注于水平方向上的运动。
3.计算运动轨迹：基于水平速度，可以根据运动的匀速直线运动原理
计算牛在水平方向上的位移，也就是草原表面上的水平位移。
4.确定角度和时间：根据牛吃草的角度和速度，可以确定牛吃草的时
间。
结合水平位移计算出的时间，可以确定牛吃草的路径。
请注意，具体的计算过程会根据问题中给出的条件和模型的复杂程度而有所不同。
解决"牛顿问题"可能需要运用几何学、三角学和运动学等相关的物理和数学知识。
值得一提的是，"牛顿问题"也可以是一个具有多个变量和复杂条件的问题。
在这种情况下，解决问题可能需要使用更高级的数学工具和技巧，如微积分和微分方程等。
请根据具体问题的条件和要求来确定适用的计算方法和模型，并根据实践中的实际情况对解题思路进行调整和应用。
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分牛问题
17电气4连政
•有17头牛，分给3个人。
第一个人分二分之一，第2个人分三分之一，第三个人分九分之一。
牛不能被杀，怎么分？
•假设借一头牛后变18头，然后第一个人可以分到9头，第二个人分到6头，第三个2头,共加起来17头牛.还剩一头所以分了17头牛.
•这里体现出的将分数比例转化为整数比例实际上应用了分母的最小公倍数的知识。
公倍数指的是两个或多个整数公有的倍数，这样的数字有无数多个；其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。
•最小公倍数通常可以用于分式化简为整式。
有分数系数因式的等式，同时乘以这些分数系数的最小公倍数，就能将分数系数的等式或不等式化简为整数系数，以便对等式或不等式进一步计算。
•我们再细细思考一下,这样分牛合理吗?也就说,老大、老二和老三得到的牛数是否真的农夫的遗嘱丝毫不差?
•我们来计算一下这个问题。
•第一次分后,老大得到17×1/2头牛,老二得到17×1/3头牛,老三得到17×1/9头牛。
•由于牛不能分割,分数的分法在这里不起作用。
这就是农夫儿子想不出办法的原因。
•为什么会出现分数而不是整数呢?问题就出在这里,按照农夫的遗嘱,第一次分后牛不能够把17头牛完全分完,还剩下17/18头牛。
•每个人必须按照遗嘱继续分掉剩下的牛。
•第二次分后,牛也没有分完,还剩下牛17/182。
每个人按照遗嘱继续分牛。
•继续分下去,这是一个收敛的无穷级数。
•也就是说,老大得到的牛头数为
•17×1/2+17/18×1/2+17/182×1/2+7/183×1/2+……
•老二得到的牛头数为
•17×1/3+17/18×1/3+17/182×1/3+7/183×1/3+……
•老三得到的牛头数为
•17×1/9+17/18×1/9+17/182×1/9+7/183×1/9+……
•计算级数1/18+1/182+1/183+……=1/17
•我们看到,经过级数计算的结果与邻居分牛方法完全一致。
•怎样理解、分析和解答“分牛问题”
•例1一位老人写了一份遗嘱,谈到他的遗产17头牛如何分配给三个儿子:“大儿子分得;二儿子分得;小儿子分得”。
如何根据遗嘱进行遗产的分割呢?
•这就是“分牛问题”。
分牛问题的一种流行的解法是:先向邻居借一头牛,连同17头牛的遗产,一共是18头牛。
然后将18头牛的,和分给三个儿子:
•(头);(头);(头)。
•三个儿子各分得9,6和2(头)牛。
9+6+2=17(头)。
剩下的一头牛还给邻居。
•这样的计算方法似乎“巧妙”,但是却不合常规和缺乏根据。
•首先,遗嘱里所说的,和究竟以什么数量作为单位“1”?遗嘱没有明说。
需要我们先把它推算出来?
•其次,为什么要向邻居借牛?为什么只借一头牛?道理也没有说清楚。
下面的解题方法也许更为合理。
•(1)首先推算单位“1”。
按遗嘱分遗产应该是分配全部遗产。
单位“1”的
•应该相当于全部遗产,即相当于17头牛。
所以单位“1”是
•(头牛)
•(2)有了单位“1”,就可以根据遗嘱规定的分率计算三个儿子应分得的遗产各是几头牛。
•弄清了上述数量关系和计算过程,我们可以编出更多的与此类似的“分牛问题”。
•例2一位老人的遗嘱规定他的全部遗产13头牛,这样分配给三个儿子:大儿子分得;二儿子分得;小儿子分得。
三个儿子各应分得几头牛?。
•(头),(头),(头),
•答:三个儿子各应分得6,4和3(头)牛。
•事实上,本题也可以作为按比例分配问题来解决。
即将13头牛按(即6∶4∶3)。