湖北省孝感市2013届高三第二次统一考试数学文

孝感市2012-2013学年度高中三年级第二次统一考试数学试卷(文科)本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号填写(涂)在试题卷和答题卡上．2．考生答题时,选择题请用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．3. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知集合}02|{},034|{2>-=<+-=x x x N x x x M ，则N M =（ ）A ．}31|{<<x xB ．}21|{<<x xC ．}3|{<x xD ．}32|{<<x x 2.已知复数iiz +=12013，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. “1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间),1[+∞上为增函数”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0342=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ）D ．3±5.函数),2||,0(),sin()(R x x A x f ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为（ ）A ．)48sin(4)(ππ--=x x fB ．)48sin(4)(ππ+-=x x fC ．)48sin(4)(ππ-=x x f D ．)48sin(4)(ππ+=x x f6.已知直线m 、n 、l 不重合，平面α、β不重合，下列命题正确的是（ ）A ．若ββ⊂⊂n m ,，α//m ，α//n ，则βα//B ．若ββ⊂⊂n m ,，n l m l ⊥⊥,，则β⊥lC ．若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥D ．若n m m //,α⊥，则α⊥n7.若方程xx 2)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．1-或2D ．1-或1 8.已知函数c bx axx x f +++=232131)(在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值,满足)0,1(1-∈x ，)1,0(2∈x ，则242+++a b a 的取值范围是（ ）A ．)2,0(B ．)3,1(C ．]3,0[D ．]3,1[ 9.已知点P 是双曲线116922=-yx的右支上一动点，M ，N 分别是圆4)5(22=++yx 和1)5(22=+-yx 的动点，则PN PM -的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．910.定义函数()D x x f y ∈=,，若存在常数C ，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得()()C x f x f =21，则称函数()x f 在D 上的几何平均数为C .已知()[]4,2,∈=x x x f ，则函数()x x f =在[]4,2上的几何平均数为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．） 11.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如下图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为 .12.如上图，矩形ORTM 内放置5个大小相同的正方形，其中A ，B ，C ，D 都在矩形的边上，若向量AF y AE x BD +=，则=+22yx .甲乙9 8 7 65 x 0 8 1 1 y6 2 9 1 1 6（第11题图）TDME FROCAB（第12题图）13.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为6的等腰直角三角形，则它的体积为 .14.右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .15．若0,0>>b a ,且点）（b a ,在过点)1,1(-、)3,2(-的直线上，则2242b a ab S --=的最大值是 .16.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以)(n f 表示第n 个图的蜂巢总数，则)(n f 的表达式为 .17.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为0.2cm 的球）正好落入孔中的概率是 .(不作近似计算)三、解答题：(本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 18.（本题满分12分）已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为a ，b ，c ，向量),(a b c a m -+=，),(b c a n -=,且n m ⊥．(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若向量)1,0(-=s ,)2cos2,(cos 2B A t =,+的取值范围．…（第16题图）正视图侧视图俯视图（第13题图）（第14题图）19.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，当2≥n 时，总有n n n a a 221+=-成立，且41=a ． (Ⅰ)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ．20.（本小题满分13分）已知正方体1111ABCD A B C D -， O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：(Ⅰ)1C O ∥面11AB D ；(Ⅱ)1A C ⊥面11AB D ．21.（本题满分14分）设F 是椭圆22221,(0)x y a b ab+=>>的左焦点，直线l 方程为cax 2-=，直线l与x 轴交于P 点，M 、N 分别为椭圆的左右顶点，已知22=MN ，且MF PM 2=．(Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)过点P 且斜率为66的直线交椭圆于A 、B 两点，求三角形ABF 面积．22.（本小题满分14分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． (Ⅰ)若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；(Ⅱ)若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； (III)在(Ⅰ)的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y = 上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．A（第20题图）D 1C 1B 1A1ODCB孝感市2012-2013学年度高中三年级第二次统一考试数学(文科)参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1. D2. A3. C4.C5.B6. D7. D8. B9. D 10. C 二、填空题（每小题5分，共35分）11.8 12. 13 13.72 14.7500 15.21-2 16.1332+-n n 17.π36164三、解答题（共5大题，共65分）（非参考答案的正确解答酌情给分）18．解：(Ⅰ)由题意得0),)(,(222=-+-=--+=⋅ab b c a b c a a b c a n m ，即ab b a c -+=222. ……………3分 由余弦定理得212cos 222=-+=abcb a C ,3,0ππ=∴<<C C . ……………6分（Ⅱ）∵ )cos ,(cos )12cos2,(cos 2B A B A t s =-=+， ……………7分∴)32(cos cos coscos 2222A AB A -+=+=+π1)62sin(21+--=πA . ……9分∵ 320π<<A ，∴67626πππ<-<-A ，∴1)62sin(21≤-<-πA .∴4521<+≤，故2522<+≤. ……………12分19．解：（Ⅰ） 当2≥n 时， n n n a a 221+=-，即12211=---n n nn a a ，又221=a .∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是以2为首项，1为公差的等差数列. ……………4分 ∴11)1(22+=⨯-+=n n a nn ，故nn n a 2)1(+=. ……………6分（Ⅱ）∵n n n a 2)1(+=，nn n n n S 2)1(22322121⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴-， 1322)1(223222+⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n n n S ，两式相减得：11113222)1(21)21(442)1()222(4++-+⨯-=⨯+---+=⨯+-+⋅⋅⋅+++=-n n n n n n n n n S∴ 12+⋅=n n n S ……………12分 20．证明：（Ⅰ）连结11C A ，设11111O D B C A = ，连结1AO ，1111D C B A ABCD - 是正方体, 11ACC A ∴是平行四边形,AC ∴//11C A , 又1O ,O 分别是11C A ,AC 的中点， AO ∴//11C O , 11O AOC ∴是平行四边形,11//AO O C ∴ ……………4分 111D AB AO 平面⊂ ，111D AB O C 平面⊄111//D AB O C 平面∴． ……………6分（Ⅱ）11111D C B A CC 平面⊥ ,111D B CC ⊥∴,又1111D B C A ⊥，C C A D B 1111平面⊥∴,111D B C A ⊥∴, ……………10分同理可证11AB C A ⊥, ……………11分 又1111B AB D B = ,111D AB C A 平面⊥∴ , ……………13分(其它解答酌情给分)21．解：（Ⅰ）∵222===a MN ，∴2=a ，又∵MF PM 2=，∴22=e ，∴1=c ，1222=-=c a b ，∴椭圆的标准方程为1222=+yx……………6分(Ⅱ)由题知：)0,1(-F ，)0,2(-P ，AB l ：)2(66+=x y ，),(11y x A ，),(22y x B ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+)2(661222x y y x 消y 得：01222=-+x x ， ……………9分 ∴ 2144)(61121221=-++=x x x x AB ．点F 到直线AB 的距离：71=d ， ……………12分∴427121421=⨯⨯=∆ABF S ，即三角形ABF 面积为42． ……………14分22．解：（Ⅰ）由b x x x f ++-=23)(，得)23(23)(2--=+-='x x x x x f ，令0)(='x f ，得0=x 或32．当x 变化时，)(x f '及)(x f 的变化如下表：由b f +=-83)21(，b f +=274)32(，)32()21(f f >-∴， 即最大值为8383)21(=+=-b f ，0=∴b ． ……………4分（Ⅱ）由x a x x g )2()(2++-≥，得x x a x x 2)ln (2-≤-．x x e x ≤≤∴∈1ln ],,1[ ，且等号不能同时取，x x <∴ln ，即0ln >-x xxx x x a ln 22--≤∴恒成立，即min 2)ln 2(xx x x a --≤． ……………6分令]),1[(,ln 2)(2e x xx x x x t ∈--=，求导得，2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x t --+-='，当],1[e x ∈时，0ln 22,1ln 0,01>-+≤≤≥-x x x x ，从而0)(≥'x t ，)(x t ∴在],1[e 上为增函数，1)1()(min -==∴t x t ，1-≤∴a ． ……………8分（Ⅲ）由条件，⎩⎨⎧+-=,ln ,)(23x a x x x F 11≥<x x ，假设曲线)(x F y =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，不妨设)0))((,(>t t F t P ，则),(23t t t Q +-，且1≠t ．POQ ∆ 是以O 为直角顶点的直角三角形，0=⋅∴OQ OP ， 0))((232=++-∴t t t F t )(*⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，是否存在P ，Q 等价于方程)(*在0>t 且1≠t 时是否有解． ……………10分 ①若10<<t 时，方程)(*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解； ②若1>t 时，方程)(*为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t ta=+，设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t '=++，显然，当1t >时，()0h t '>， 即()h t 在()1,+∞上为增函数，()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解． ∴对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y = 上总存在两点P，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． ……………14分。