2016-2017学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试卷(理科)(解析版)

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2015-2016年山东省潍坊中学高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2015-2016学年山东省潍坊中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程为（）A．x=B．x=C．y=D．y=﹣2．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤03．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件4．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a＜b，则a2＜b2”B．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a≤b，则a2≤b2”C．命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”D．命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0＞1”6．（5分）已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4B．2C．1D．8．（5分）已知椭圆=1过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．x+2y﹣1=0D．x+2y﹣4=0 9．（5分）已知命题p：若m＞0，则关于x的方程x2+x﹣m=0有实根．q是p的逆命题，下面结论正确的是（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真10．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中模线上．11．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”的条件．12．（5分）若曲线的焦点为定点，则焦点坐标是．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若公比q＞1，则数列{a n}是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为．14．（5分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．15．（5分）下列判断：（1）命题“若q则p”与“若￢p则￢q”互为逆否命题；（2）“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件；（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题；（4）命题“∅⊆{1，2}”为真命题，其中正确的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知命题p：方程的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；又p∨q为真，￢q为真，求实数m 的取值范围．17．（12分）在△ABC中满足条件acosB+bcosA=2ccosC，（1）求∠C；（2）若c=2，求三角形ABC面积的最大值．18．（12分）A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C 在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．19．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（13分）已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．21．（14分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点．（1）若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；（2）是否存在这样的直线l，使S的最大值为（其中O为坐标原点）？△ABO若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由．2015-2016学年山东省潍坊中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程为（）A．x=B．x=C．y=D．y=﹣【解答】解：∵抛物线y=﹣x2的标准方程为x2=﹣y，∴抛物线y=﹣x2的准线方程为y=．故选：C．2．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤0【解答】解：由题意∀x∈R，2x2+1＞0，的否定是∃x∈R，2x2+1≤0故选：D．3．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件【解答】解：方程ax2+y2=c表示双曲线，则c≠0，反之若a=1，c=1，则不能表示椭圆或双曲线．故c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知椭圆焦点在y轴上，且c==5，双曲线的渐近线方程为y=±x，设欲求双曲线方程为，则，解得a=4，b=3，所以欲求双曲线方程为．故选：D．5．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a＜b，则a2＜b2”B．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a≤b，则a2≤b2”C．命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”D．命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0＞1”【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a≤b，则a2≤b2”，故A 错误；命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，故B错误；命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”，故C正确，D错误；故选：C．6．（5分）已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：如图，（1）若，则cos＞0；∴∠A＞90°，即△ABC是钝角三角形；（2）若△ABC为钝角三角形，则∠A不一定为钝角；∴不一定得到；∴是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4B．2C．1D．【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，由它们有相同的焦点，得到m﹣n=2．不妨设m=5，n=3，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=16又|F1F2|=4，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，则△F1PF2的形状是直角三角形△PF1F2的面积为•PF1•PF2=（）（）=1故选：C．8．（5分）已知椭圆=1过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．x+2y﹣1=0D．x+2y﹣4=0【解答】解：设以点A（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=2，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程=1，可得，，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴点A（2，1）为中点的弦所在直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），整理，得：x+2y﹣4=0．故选：D．9．（5分）已知命题p：若m＞0，则关于x的方程x2+x﹣m=0有实根．q是p的逆命题，下面结论正确的是（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真【解答】解：P：当m＞0时，△=4+4m≥0，此时方程x2+x﹣m=0有实根，故p 为真命题q：p的逆命题：若x2+x﹣m=0有实根，则△=4+4m≥0，解可得m≥﹣1，q为假命题故选：C．10．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点，连接OM，PF2；∵M，O分别是PF2，F1F2的中点；∴MO∥PF1，且|PF1|=2|MO|=2b；OM⊥PF2；∴PF1⊥PF2，|F1F2|=2c；∴；根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a；∴；∴；两边平方得：a2﹣2ab+b2=c2﹣b2，c2=a2﹣b2代入并化简得：2a=3b，∴；∴；即椭圆的离心率为．故选：A．二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中模线上．11．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件．【解答】解：由“a＞b＞0”利用不等式的性质可得“a2＞b2”成立，故充分性成立．但由“a2＞b2”不能推出“a＞b＞0”，如a=﹣3、b=﹣1时，故必要性不成立．故答案为充分不必要．12．（5分）若曲线的焦点为定点，则焦点坐标是（0，±3）．【解答】解：曲线的焦点为定点，当a﹣4 和a+5符号相同时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，c==3，故焦点坐标是（0，±3）．当a﹣4 和a+5符号相反时，曲线表示焦点在y轴上的双曲线，标准方程为，双曲线的标准方程为，∴焦点在y轴上，c==3，故焦点坐标是（0，±3）．故答案为：（0，±3）．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若公比q＞1，则数列{a n}是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为4．【解答】解：原命题p：“在等比数列{a n}中，若公比q＞1，则数列{a n}是递增数列”，例如，当数列为，﹣2，﹣4，﹣8，…，q=2，但是数列为递减数列，故原命题为假命题；逆命题是：“在等比数列{a n}中，若数列{a n}递增数列”，则“公比q＞1”，例如，当数列为，﹣1，﹣，﹣，…，q=，但是数列为递增数列，是假命题；否命题是：“在等比数列{a n}中，若公比q≤1，则数列{a n}不是递增数列，是假命题；逆否命题是：“在等比数列{a n}中，若数列{a n}不是递增数列”，则“公比q≤1”，是假命题；综上，命题p及其逆命题，否命题和逆否命题中，假命题有4个．故答案为：414．（5分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．【解答】解：由y2=2x，得F（，0），设AB所在直线方程为y=k（x﹣），代入y2=2x，得k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1+，x1x2=结合|AF|=3|BF|，x1+=3（x2+）解方程得k=±．∴直线L的方程为．故答案为：15．（5分）下列判断：（1）命题“若q则p”与“若￢p则￢q”互为逆否命题；（2）“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件；（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题；（4）命题“∅⊆{1，2}”为真命题，其中正确的序号是（1）（3）（4）．【解答】解：根据逆否命题的定义（1）正确；∵m=0时m2=0，若a＜b 则am2＜bm2为假命题，故（2）不正确；∵否命题：不是矩形的四边形的对角线不相等，故（3）正确；∵∅是任何集合的子集，∴（4）正确；故答案是（1）（3）（4）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知命题p：方程的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；又p∨q为真，￢q为真，求实数m 的取值范围．【解答】解：∵方程是焦点在y轴上的双曲线，∴，即m＞2．故命题p：m＞2；…（3分）∵方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，∴△=[4（m﹣2）]2﹣4×4×1＜0，即m2﹣4m+3＜0，∴1＜m＜3．故命题q：1＜m＜3．…（6分）∵又p∨q为真，¬q为真，∴p真q假．…（8分）即，此时m≥3；…（11分）综上所述：{m|m≥3}．…（12分）17．（12分）在△ABC中满足条件acosB+bcosA=2ccosC，（1）求∠C；（2）若c=2，求三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由题意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，故，∵∠C∈（0，π），∴…（6分）（2）∵cosC==，∴ab=a2+b2﹣4≥2ab﹣4，即ab≤4，等号当a=b时成立，=absinC≤=…12分∴S△ABC18．（12分）A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C 在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．【解答】解：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则依题意|PB|﹣|PA|=4∴P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．这里a=2，c=3，b2=5．其方程为…（3分）又|PB|=|PC|，∴P又在线段BC的垂直平分线上…（5分）由方程组解得即…（8分）由于，可知P在A北30°东方向．…（10分）19．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]20．（13分）已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．∴，解得∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）在{b n}中，∵S n=2b n﹣1当n=1时，b1=2b1﹣1，∴b1=1当n≥2时，由S n=2b n﹣1及S n﹣1=2b n﹣1﹣1，得b n=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1∴{b n}是首项为1公比为2的等比数列∴（n∈N*）（2）∵，∴①②①﹣②得==1+4（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=﹣3﹣（2n﹣3）•2n∴（n∈N*）21．（14分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点．（1）若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；的最大值为（其中O为坐标原点）？（2）是否存在这样的直线l，使S△ABO若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ），∴…（1分）∵，∴，∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1…（2分）椭圆的标准方程为…（3分）（Ⅱ）已知F2（1，0），设直线的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1）B（x2，y2）联立直线与椭圆方程，化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0∴，…（4分）∴AB的中点坐标为…（5分）（1）k=0时，满足条件，此时AB的中垂线为x=0；当k≠0时，∵|MA|=|MB|，∴，整理得2k2﹣3k+1=0，解得k=1或…（7分）（2）直线l斜率不存在时，直线方程为x=1，代入椭圆方程，此时y=±，S△=，ABO=|y1﹣y2|=•直线l斜率不存在时时，S△ABO∵k∈R，k≠0，∴，∴综上，∴满足题意的直线存在，方程为x=1．…（14分）。

山东省潍坊市2016-2017学年高二原理上学期期末考试(word版带答案)

2016—2017学年度上学期第一学段教学质量监测高二化学2017.1注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，共40分；第Ⅱ卷为非选择题，共60分，满分100分，考试时间为90分钟。

2.第Ⅰ卷共4页，每小题只有一个正确答案，请将选出的答案标号涂在答题卡上。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 S 32 Cl 35.5Ca40 Fe 56 Cu 64 Pb 207第Ⅰ卷（选择题共42分）一、选择题（本题包括14小题，每题3分，共42分。

每小题只有一个选项符合题意）1、化学与生产、生活息息相关，下列叙述错误的是A．人们常用硫酸铝钾或硫酸铝做净水剂B．锅炉水垢的主要成分是碳酸钙和碳酸镁C．医用药品常在低温、干燥环境下密封保存D．自来水厂常用液氯进行杀菌消毒处理2、下列说法错误的是A．在任何条件下，纯水都呈中性B．FeS、Mg(OH)2属于难溶电解质C．催化剂能改变反应所需的活化能D．在25℃时，由CH4(g) + 2O2(g) = CO2(g) + 2H2O(g) △H= —802.31kJ·mol—1，可知CH4的燃烧热为—802.31 kJ·mol—13、汽车尾气中的CO、NO在催化转化器中发生反应：2NO(g) + 2CO(g) 催化剂N2(g) + 2CO2(g) 在298K，100kPa下，△H= —113kJ·mol—1，△S= —145J·mol—1·K—1，下列说法错误的是A．该反应常温下能自发进行B．该反应中反应物的总能量高于生成物的总能量C．加压、升温都有利于提高反应物的转化率D．CO、NO会与血红蛋白结合而使人中毒4、下列说法正确的是A．装有NO2的烧瓶放入热水中，气体颜色会明显加深B．在镀件上电镀铜时，镀件应连接电源的正极C．测定中和反应的反应热时，将碱缓慢倒入酸中D．进行酸碱中和滴定实验时，锥形瓶必须用待测液润洗5、在无色透明的酸性溶液中，可以大量共存的离子组是A．Fe2+、NO3—、Na+、Cl—B．Cu2+、Na+、CH3COO—、Cl—C．SO42——、HCO3—、K+、Na+ D．Ba2+、Na+、NO3—、Cl—6、25℃时，将水不断滴入0.1mol·L－1的氨水中，下列变化的图像不合理的是7、下列事实不能用化学平衡移动原理解释的是A．光照新制的氯水时，溶液的酸性逐渐增强B．增大压强，有利于N2和H2反应生成NH3C．用浓氨水和NaOH固体快速制取氨气D．加催化剂，使H2和碘蒸气在一定条件下转化为碘化氢8、下列离子方程式的书写正确的是A．向FeBr2溶液中通入足量的氯气：2Fe2+ + 2Br—+ 2Cl2 = 2Fe3+ + Br2 + 4Cl—B．用石墨电极电解NaCl饱和溶液：2Cl—+ 2H2O Cl2↑+ H2↑+ 2OH—C．碳酸钙与过量的盐酸反应：CO32— + H+ = CO2↑+ H2OD．AlCl3溶液中加入过量的NaOH溶液：Al3+ + 3OH— = Al(OH)3↓9、纽扣电池的两极材料分别是锌和氧化银，电解质溶液为KOH溶液。

山东省潍坊市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

2017-2018学年度第一学期模块监测高二数学（理科）试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 已知「：二，匚、已，那么下列不等式一定正确的是（）A. 加■■ beB.I J JC. ：i c - [■- dD. 「I cl - l）匚【答案】D【解析】试题分析：由同向不等式的加法性质可知由Ji • I〕，二、已可得呂十匸> b十d丄a-d > b-c考点：不等式性质2. 设3是等差数列心｝的前n项和，若山+己-- ^，则5 （）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】A【解析】白I ，白白:.-F -； 9 丄，3 .[屯宀.；-2d .勺占匕，选A.3. 若AAB匚的三个内角满足LinA：j riE^iri匚 5:11:13，贝也AE匚（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得「二「二一 _二_ 二_ :所以C是最大a2 +b2 -e2 2^+121-169 23的角，由余弦定理「「，所以C为钝角，因lab2x5x11 110此三角形ABC一定是钝角三角形考点：三角形形状的判定及正、余弦定理的应用4. 设/是等比数列，下列说法一定正确的是（）A. a.'a a成等比数列B. a. a 3成等比数列C. a: - 成等比数列D.儿.a, ,a-成等比数列【答案】D 【解析】项中 a ： = a ■ ■.a -L ■ a ■, = a'- ■ cf.. a-._ ' = a _ ■ a ■,，故 2 项说法错误；E ■项中日：.一占一丁- a_ ■ a. - ■ q'，故2项说法错误；匸项中日_一一 a_ ■ - a_ ■ a. -■ q ?，故匚项说法错误；故「项中日-一a_ ■ q' -a.■ a_, -q"'，故「一：项说法正确，故选D.5. 若关于x 的不等式 I ” •］］：<的解集为V.J,则实数I ］】的值是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A【解析】’•■ 丁 • ⑴—厂•八TI 7 > ■0.x|. - 7⑴2• 「；解集为x 0 - x -2 .-2 IT -2—2, IT —丄，故选 A.6.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的丄是较小的两份之和，则最小的一份为（【答案】A【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为 £i 2d:： cl £■ - d . a - 2 d （其中J 0）；则■:a 2d - I 仁I 匚I I ：i - Ci I ci -I ：i I 2d-= 5a = 100.. a = 20.由_ a c ，：」 d •二L I c 2d d ：.丨，得3a + 3d = 7 6a-3d ）；二 24d = 11a. d =所以，最小的1分为a 2d 2D ■. : •故选A .考点：等差数列的性质1011D.:A.B.y £x7.若变量盂y满足约束条件x + y < 1,则z = 2x + y的最大值为（）y > -1A. 4B. 3C. 2D. 1（一 ?x - 7，平移直线Y = 2工可知，当直线经过点匚二1时，直线的截距最大，代值计算可得£取最大值三，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题•求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值•8. 设是等差数列，下列结论中正确的是（）A. 若□白，贝0 I 白B. 若-a. 屯，贝阳.•斤」C.若白I 白,贝庐I & -D.若-〔:,贝『阳• 「心白-【答案】B【解析】A选项中,，分别取1. 1.巳即可得A错误；假设—日］日.，则- Y,公差d - 0. ” C ,「+・•..日丄兀.•屯..屮-自,即E正确；C选项中日：启.，，：-=,分别取 -丄己即可得C错误；口项中无法判断公差；-：的正负，故日日・日-日-•无法判断正负，即&错误，故选B.9. 在等腰匚中，内角.2 匸所对应的边分别为m.b.j吕一2.2 ,丄人一120 ,则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别是（）A. 4 和2B. 4 和八 MC. 2 和？二；二D. 2 和2 , 3 i 7【解析】等腰AAB匚中，日—2匕，口、、、_ 120，可得I」匚E由正弦定理可得，2^5 1 1 & l 2R'R 2 ,由面积相等••' 可得「一2上巳，故T ££*选C.10. 若J上是函数「“i _点宀；|p. C.q 的两个不同的零点，且1 「上这三个数依次成等比数列，2上倚这三个数依次成等差数列，则pc =（）A. 4B. 5C. 9D. 20【答案】D【解析】因为mb是函- px + q（p > OjQ > o）的吻个不同的零点F所以a +b = p P ab = q d p > 0P q > 0 »可得a > 0,b > 0 又比-2力这三个数依次成等比数列，-2上左这三个数依次成等差数列「可得伴解得帛=4 ；'■ p = a + b = 5r q = 1x4 = 4'贝i]pq = 20 3故选D.11. 设is 1宀，吕■■- b，若p —仃.白加，—甘：，r — U] fih：.：.，则下列关系式中正确的是（）A. P -「qB.卩一「qC. q - f ■ pD. q - f 卩【答案】B【解析】由题意可得：若 |； - f ,ab - li' ■■ ab - 1HH I J - 7 li'H 丨I II I），q - T：1 + 1—丨门—T门.己—卩,t 「. f 日I F b Ii'd liib ，'•I」r - q，故选B.12. 已知两个等差数列和的前n项和分别为•；“，丁，且■："l I丄心"li UT，则使得」为整数的正整数I】的个数是（）°门A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】；数列刁和忧；均为等差数列，且前n项和&和丁，满足咱丄+ FC"…2 口一沖，可得「十，则n -S2n-L- ，验证知，当门L2J.E；时，、为整数，即使得为整数的£n n n< 耳~| 口巧正整数11的个数是-,故选C.【方法点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有：（1）通项公式的推广：芥=+ （n-m）d; 4）若心話为等差数列「且p + q=m + n = 2ra p+ a q = a m+ a n = 2a r;⑶若厲｝是等差数列,公差^备斗+叶弘+亦…日'则是公差mcl的等差数列；⑷数列S mr S2m-S m53m-S2m..也是等差数列本题的解答运用了性质（2）.第U卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数y = x + >引的最小值为 _____________ .【答案】5【解析】「二.：、3 ' x-2 U:、「一戈一，_ - - - S - 2. z-3 _ -3-5，当且仅当x = 4 时取等号，故答案为5.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题•利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用••或•时等号能否同时成立）•14. 已知数列是递减等比数列，且心』7,乳 -',贝V数列的通项公式召=____________ .【答案】汀【解析】因为口注■■■,所以九一白；讣，4 一，一一一〔，又因为数列X a r /是递减等比数列，所以：“-:，数列心［的通项公式a. - a.q - 27 - ' ' - 3 _1,15. 已知ME ■匚中，满足匚—®丁，二一 ?的三角形有两解，则边长二的取值范围为【答案】.；.3.2：.【解析】在ME 匚中，匚_印-2，由正弦定理可得，:卡；-工::，若此三角形有两解，必须满足的条件为：二• I: - ;.：:i''iR ，即］• I 」-2，故答案为3.2 .16.寒假期间，某校家长委员会准备租赁乩巳两种型号的客车安排 900名学生到重点高校进行研究旅行，二巳两种客车的载客量分别为 36人和60人, /辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过 21辆,设分别租用A£两种型号的客车K 辆，y 辆，所用的总租金为z 12u0x - 1303/，得7 - ；＞■ •:,作出不等式组对应的平面区域平移y :x ■ ■ .,■，由图象知当直线F / 二…经过点虫时，直线的截距最小，此时7最小，由广得｛ &，即当x == 时，此时的总租金z = 1200 X 5 + 1800 X 12 = 27600元，达到最小值，故答案为 27600.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 解下列关于X 的不等式: （1）' ；（ 2）£才- O'：.a : R ：.金最少为元.【答案】【解析】其中/■/满足不等式组；36x 十 60/ 三 900x + y < 21y-x < 73x + 5y > 75r (x,y CM)，即，x 十 y 乞 21 t (x r y G N)，由y-x 三 7租金分别为1200元/辆和1800元且三型车不多于2型车7辆，则租上元，则-1200 x - 13037,【答案】⑴ I ； x ｝；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1） \ • 2化为. •：：,等价【2工7 :": x 2）- 0;x^2：-.X - z. X -■ Z不等式求解即可；（2）分三种情况讨论j,分别求解一元二次不等式即可.试题解析：（I ）将原不等式化为x p，即门工7v.x ?:. - H - ? ■. 2 八所以原不等式的解集｛茂；、\ - . ｝.（II ）当门=C时，不等式的解集为｛0｝；当仁I = C时，原不等式等价于■；X - （-| I: x ? ；i - - O，因此当zi C时，亦“ 2a， a - x -当占二U时，亦.•氏I，2a - x ■ a.综上所述，当门=c时，不等式的解集为｛0｝，当己• C时，不等式的解集为，｛X a -兴-药｝，当日「C时，不等式的解集心2s - x - a ｝.18. 已知ME匚的内角所对应的边分别为日上•二，且满足 4*.2sirA.LinB.（1）判断AABC的形状；（2）若n —三，匚=E ,：二匕为角匚的平分线，求AE.CD的面积.【答案】（1）直角三角形；（2）二^【解析】试题分析：（1）由两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可求二「，即可判定三角形的形状；（2）由已知利用勾股定理可求匕，利用三角形内角和定理可求-AZ）C，由正弦定理可求：匚的值，再利用三角形面积公式得结果.试题解析：（I ）由 A B? = 2L nAsi'iE；，得cosAcosB 十sinAsinB = 2sinAsinB,■■- cosAcosB - sinAsinB = 0,「. 十B）= 0.■ ■匚=9。

山东省潍坊市2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题-Word版含答案

高二数学（理工农医类）2016.1 本试卷共4页，分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共50分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用想橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列结论一定成立的是A. 22a b <B.33a b <C. 11a b> D.22ac bc < 2.命题：3"[0,),20"x x x ∀∈+∞+≥的否定是A. 3(,0),20x x x ∀∈-∞+<B. 3[0,),20x x x ∃∈+∞+< C. 3(,0),20x x x ∀∈-∞+≥ D.3[0,),20x x x ∃∈+∞+≥ 3."0"x <是的"0"1x x <+ A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =A. 12B. 4-C. 6-D.8- ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos b C a =，则ABC 的形状是22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线:43200l x y -+=，且双曲线的一个焦点在直线l 上，，则双曲线方程为A. 221916x y -=B. 221169x y -= C. 22551916x y -= D.22551169x y -=ABCD ，,,DA a DB b DC c ===，点M 在棱DA 上，2DM MA =，N 为中点，则MN =A. 211322a b c ---B. 211322a b c -++C.211322a b c ++D.211322a b c --8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上题已知条件，可求得该女子第四天所织布的尺数为A. 815B. 1615C.2031D.4031x ，若不等式4210x x m -⋅+>恒成立，则实数m 的取值范围是A. 2m <B. 22m -<<C. 2m ≤D.22m -≤≤22(0)y px p =>的焦点为F ，准线,,l A B 为是抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=，设线段AB 的中点为M ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D.第II 卷（非选择题共100分）注意事项：1.将第卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）x 轴上的椭圆2219x y m +=的离心率12e =，则实数m =______. ,x y 满足条件101020x x y x y +≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为______.13..在ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若,,b c a 成等比数列，且2a b =，则cos A =_____.2:8C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为6，则||_____.AB =15.给出下列四个命题：命题”若3πθ=-则tan 3θ=的否命题是”若3πθ≠-则tan 3θ≠；②在ABC 中，”A>B ”是”sin sin A B >”的充分不必要条件；③定义：12...n n p p p +++为n 个数12...n p p p +++的”均倒数”,已知数列{}n a 的前n 项的”均倒数”为12n +，则数列{}n a 的通项公式为21;n a n =+ ④在ABC 中，2,6,BC AC AB ==222AB =以上命题正确的为_______.（写出所以正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量(,1,2),(1,,2),(3,1,),//,.a x b y c z a b b c ==-=⊥()I 求向量,,;a b c()II 求向量()a c +与()b c +所成角的余弦值.17.（本小题满分12分）在ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且22()13a b c ab+-=. ()I 求C ∠.()II 若3,2c b ==，求B ∠及ABC 的面积.18.（本小题满分12分）已知:p 方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆；q ：实数m 满足22(21)0m a a a -+++<且q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）中国海警缉私船对一般走私船进行定位：以走私船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），中国海警缉私船恰在走私船的正南方向18海里A 处，现假设：①走私船的移动路径可视为抛物线29;28y x =②定位后中国海警缉私船即刻沿直线匀速前往追捕；③中国海警缉私船出发t 小时后，走私船所在位置的横坐标为27.t()I 当1t =时，写出走私船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好相遇，求中国海警缉私船速度的大小；()II 问中国海警缉私船的时速是多少海里能追上走私船？20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且满足15410,16;a a S +==数列{}n b 满足：2112333....3()3n n n b b b b n N -+++++=∈ ()I 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；()II 设11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前项和n T . 21.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点2)，离心率为63，点O 为坐标原点. ()I 求椭圆E 的标准方程；()II 过左焦点F 任作一直线l ，交椭圆E 于P 、Q 两点， ()i 求OP OQ 的取值范围；()ii 若直线l 不垂直于坐标轴，记弦PQ 的中点为M ，过F 作PQ 的垂线FN 交直线于点N 。

2016-2017学年山东省潍坊市高二(上)期末数学试卷与解析word(理科)

2016-2017学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题p：“∃x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）A．∀x∈R，x2+2≥0 B．∀x∉R，x2+2＜0 C．∃x∈R，x2+2≥0 D．∀x∈R，x2+2＞02．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．724．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形5．（5分）已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．46．（5分）如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则•=（）A．﹣ B．﹣ C．D．7．（5分）如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）A．50米B．25米C．25米D．50米8．（5分）已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）A．①B．③④C．①③D．①②③9．（5分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）A．（﹣3，6）B．（﹣3，6）C．（﹣6，6）D．（﹣6，6）10．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣C．﹣2 D．不存在11．（5分）已知函数f（x）=x+a，g（x）=x+，若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥412．（5分）已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点P i（i=1，2，3，4），|P i F1|•|P i F2|=（）A．0 B．7 C．14 D．21二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是．14．（5分）“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为．15．（5分）已知圆O：x2+y2=16上任意一点P，过P作x轴的垂线段PA，A为垂足，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹记为曲线C，则曲线C的离心率为．16．（5分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知向量=（1，0，1），=（0，1，1），向量﹣k与垂直，k 为实数．（I）求实数k的值；（II）记=k，求向量﹣与﹣的夹角．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．19．（12分）设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|＜0}．（I）求集合A；（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．21．（12分）近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c（x）万元，其中c（x）=．设该单位的年利润为f（x）（万元）．（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．（i）若直线l过定点（1，0），直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1•k2为定值；（ii）若直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，求点P的横坐标x p的取值范围．2016-2017学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题p：“∃x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）A．∀x∈R，x2+2≥0 B．∀x∉R，x2+2＜0 C．∃x∈R，x2+2≥0 D．∀x∈R，x2+2＞0【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，x2+2≥0，故选：A2．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）【解答】解：∵抛物线x2 =4y 中，p=2，=1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，1 ），故选C．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．72【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，解得a5=4，∴S9==36．故选：B．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，因为A、B、C是三角形内角，所以B=C．三角形是等腰三角形．故选：A．5．（5分）已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：若a＞b＞0，则＜成立，则原命题为真命题，则逆否命题为真命题，命题的逆命题为若＜，则a＞b＞0，为假命题，当a＜0，b＞0时，结论就不成立，则逆命题为假命题，否命题也为假命题，故真命题的个数为2个，故选：C6．（5分）如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则•=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，∴•=（+）•=•+•=×1×1×+×1×1×=，故选：D．7．（5分）如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）A．50米B．25米C．25米D．50米【解答】解：设AB=am，则BC=am，BD=am，∵∠CBD=30°，CD=50米，∴2500=a2+3a2﹣2a，∴a=50m．故选A．8．（5分）已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）A．①B．③④C．①③D．①②③【解答】解：对于命题p：若可表示焦点在x轴上的双曲线，则3﹣a＞0，a﹣5＞0，a不存在，故命题p是假命题；对于命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2或a2=b2或a2＜b2，命题q为假命题；①p∨q为假，②p∧q为假，③（￢p）∨q为真，④（￢p）∧（￢q）为真；故选：B．9．（5分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）A．（﹣3，6）B．（﹣3，6）C．（﹣6，6）D．（﹣6，6）【解答】解：抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），准线方程为：x=3，C上一点P到焦点F的距离为9，设P（x，y）可得﹣x+3=9，解得x=﹣6，则=9，可得y=．故选：D．10．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣C．﹣2 D．不存在【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z，此直线在y轴截距最小时，z最大，由区域可知，直线经过图中A（0，2）时，z取最大值为﹣2；故选C11．（5分）已知函数f（x）=x+a，g（x）=x+，若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥4【解答】解：当x 1∈[1，3]时，由f（x）=x+a递增，f（1）=1+a是函数的最小值，当x2∈[1，4]时，g（x）=x+，在[1，2）为减函数，在（2，4]为增函数，∴g（2）=4是函数的最小值，若∀x 1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[1，4]的最小值，即1+a≥4，解得：a∈[3，+∞），故选：C．12．（5分）已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点P i（i=1，2，3，4），|P i F1|•|P i F2|=（）A．0 B．7 C．14 D．21【解答】解：由题意，c=4，a=3，b=，双曲线的方程为=1，与圆x2+y2=16，可得|y|=，∴|P i F1|•|P i F2|==14，故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，故答案为y=±．14．（5分）“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为1．【解答】解：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题⇔x∈[1，2]时，x2﹣a≥0恒成立⇔a≤（x2）min，又∵x∈[1，2]时（x2）min=1，∴a≤1，则实数a的最大值为1故答案为：1．15．（5分）已知圆O：x2+y2=16上任意一点P，过P作x轴的垂线段PA，A为垂足，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹记为曲线C，则曲线C的离心率为．【解答】解：设M（x，y），则P（x，2y），代入圆的方程并化简得：，解得a=4，b=2，c=．椭圆的离心率为：．故答案为：．16．（5分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为9．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m+×13+97m+×（﹣0.5）=200m+×12.5≥2×1125，化为m2+31m﹣360≥0，解得m，取m=9．故答案为：9三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知向量=（1，0，1），=（0，1，1），向量﹣k与垂直，k 为实数．（I）求实数k的值；（II）记=k，求向量﹣与﹣的夹角．【解答】解：（Ⅰ）∵；∴；∵与垂直；∴；∴k=2；（Ⅱ）由（Ⅰ），；∴，；记向量与的夹角为θ，则：；∵0≤θ≤π；∴．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵2bcosC=acosC+ccosA，∴由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sinB，∵sinB＞0，∴cosC=，∵C∈（0，C），∴C=…6分（II）∵b=2，c=，C=，∴由余弦定理可得：7=a2+4﹣2×，整理可得：a2﹣2a﹣3=0，∴解得：a=3或﹣1（舍去），∴△ABC的面积S=absinC==…12分19．（12分）设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|＜0}．（I）求集合A；（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0得（x﹣2a）[x﹣（a+1）]＜0，①若2a＜a+1，即a＜1时，2a＜x＜a+1，此时A=（2a，a+1），②若2a=a+1，即a=1时，不等式无解，此时A=∅，③若2a＞a+1，即a＞1时，a+1＜x＜2a，此时A=（a+1，2a）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＜1时，A=（2a，a+1），B={x|＜0}={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），若￢q是￢p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，即A⊊B，则，即，则﹣≤a≤2，∵a＜1，∴﹣≤a＜1，则实数a的取值范围是[﹣，1）．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（I）数列{a n}的前n项和s n=n2﹣n，当n=1时，a1=s1=0；当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．当n=1时上式也成立，∴a n=2n﹣2．设正项等比数列{b n}的公比为q，则，b2=q，b3=q2，3a2=6，∵3a2是b2，b3的等差中项，∴2×6=q+q2，得q=3或q=﹣4（舍去），∴b n=3n﹣1 ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=…①．T n=…②①﹣②得T n==2×=1﹣．∴T n=．21．（12分）近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c（x）万元，其中c（x）=．设该单位的年利润为f（x）（万元）．（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？【解答】解：（I）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640，∴f（x）=；（II）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x=32时，f（x）=f（32）=92；maxx＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣（2x+）≤400，当且仅当2x=，即x=60时，f（x）max=f（60）=400，∵400＞92，∴该单位年处理工厂废气量为60万升时，所获得的利润最大，最大利润为400万元．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．（i）若直线l过定点（1，0），直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1•k2为定值；（ii）若直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，求点P的横坐标x p的取值范围．【解答】解：（I）由已知中过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．可得：c=，=，a2﹣b2=c2，解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：；…3分（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）证明：（i）∵直线l过定点（1，0），设x=my+1，由得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，…5分∴y1+y2=，y1y2=，∵右顶点为E（2，0），∴k1•k2=•====﹣，∴k1•k2为定值；…8分（ii）将A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得：，两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）=﹣（y1﹣y2）（y1+y2）∵直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，∴y1+y2≠0，x1﹣x2≠0，∴﹣•==k AB，设AB的中点H（x0，y0），则k AB=﹣•，故直线l的垂直平分线方程为：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得P点横坐标为：…10分，由H（x0，y0）在椭圆内部，可得：x0∈（﹣2，2），故∈（﹣，）…12分赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

山东省潍坊市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

2017-2018学年度第一学期模块监测高二数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，，那么下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由同向不等式的加法性质可知由，可得考点：不等式性质2. 设是等差数列的前项和，若，则（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】A【解析】，，选A.3. 若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得,所以C是最大的角，由余弦定理,所以C为钝角，因此三角形一定是钝角三角形考点：三角形形状的判定及正、余弦定理的应用4. 设是等比数列，下列说法一定正确的是（）A. 成等比数列B. 成等比数列C. 成等比数列D. 成等比数列【解析】项中，故项说法错误；项中，故项说法错误；项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.5. 若关于的不等式的解集为，则实数的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解集为，故选A.6. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为（其中）；则由，得所以，最小的1分为．故选A．考点：等差数列的性质7. 若变量满足约束条件，则的最大值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【解析】作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最大，代值计算可得取最大值，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 设是等差数列，下列结论中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】选项中，，分别取即可得错误；假设，则，公差，，即正确；C选项中，，分别取即可得C错误；项中无法判断公差的正负，故无法判断正负，即错误，故选B.9. 在等腰中，内角所对应的边分别为，，，则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别是（）A. 4和2B. 4和C. 2和D. 2和【答案】C【解析】等腰中，，，可得由正弦定理可得，，由面积相等可得，故选C.10. 若是函数的两个不同的零点，且这三个数依次成等比数列，这三个数依次成等差数列，则（）A. 4B. 5C. 9D. 20【答案】D11. 设，，若，，，则下列关系式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：若，，，，故选B.12. 已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】数列和均为等差数列，且前项和和，满足，可得，则，验证知，当时，为整数，即使得为整数的正整数的个数是，故选C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的最小值为__________．【答案】5【解析】，，当且仅当时取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14. 已知数列是递减等比数列，且，，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】因为，，所以,,又因为数列是递减等比数列，所以，数列的通项公式，故答案为.15. 已知中，满足，的三角形有两解，则边长的取值范围为__________．【答案】【解析】在中，，由正弦定理可得，，若此三角形有两解，必须满足的条件为：，即，故答案为. 16. 寒假期间，某校家长委员会准备租赁两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研究旅行，两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元/辆和1800元/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆，则租金最少为__________元．【答案】27600【解析】设分别租用两种型号的客车辆，辆，所用的总租金为元，则，其中满足不等式组，即，由，得，作出不等式组对应的平面区域平移，由图象知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，由得，即当时，此时的总租金元，达到最小值，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 解下列关于的不等式：（1）；（2）.【答案】(1)；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）化为，等价不等式求解即可；（2）分三种情况讨论，分别求解一元二次不等式即可.试题解析：（I）将原不等式化为，即所以原不等式的解集 .（II）当时，不等式的解集为{0}；当时，原不等式等价于，因此当时，，当时，，综上所述，当时，不等式的解集为{0}，当时，不等式的解集为，,当时，不等式的解集18. 已知的内角所对应的边分别为，且满足. （1）判断的形状；（2）若，，为角的平分线，求的面积.【答案】(1)直角三角形;(2)【解析】试题分析：（1）由两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可求，即可判定三角形的形状；（2）由已知利用勾股定理可求，利用三角形内角和定理可求，由正弦定理可求的值，再利用三角形面积公式得结果.试题解析：（I）由，得,,., 故为直角三角形.(II)由（I）知，又，，,由正弦定理得,，19. 设是等差数列的前项和，已知，，.（1）求；（2）若数列，求数列的前项和.【答案】(1)18;(2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列满足，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，根据等差数列的求和公式可得递的值；（2）由（1）知，从而可得，利用裂项相消法求解即可.试题解析：（I）设数列的公差为，则即，解得，所以.（也可利用等差数列的性质解答）(II)由（I）知，，【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20. 已知的内角所对应的边分别为，且. （1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】试题分析：(1)由利用正弦定理得，再利用两角差和的正弦公式化简可得所以；（2）由余弦定理结合条件，可得，利用二次函数的性质可得结果.试题解析：(I）,即,, 在中，可得所以.(II）∵，即，，∴由余弦定理得：，即∵，∴则21. 潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑，某班同学准备测量观光塔的高度（单位：米），如图所示，垂直放置的标杆的高度米，已知，.（1）该班同学测得一组数据：，请据此算出的值；（2）该班同学分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到观光塔的距离（单位：米），使与的差较大，可以提高测量精确度，若观光塔高度为136米，问为多大时，的值最大？【答案】(1) 135m;(2) .【解析】试题分析：(1)根据三角函数的定义及直角三角形的性质可得，，，利用，化简即可得结果；（2）由得，利用两角差的正切公式以及基本不等式可的值最大.试题解析：（I）由，，,及，得，解得,因此算出观光塔的高度是135m.(II）由题设知，得，由得，所以.当且仅当，即时，上式取等号，所以当时最大.22. 已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求；（3）令，若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1); (2);(3)【解析】试题分析：(1) 当时，利用公式；，可得，验证当时是否适合即可；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可（3）讨论当为奇数时，当为偶数时两种情况，分别利用等差数列求和公式求和，然后利用放缩法可证明结论.试题解析：(I)当时，当时，，适合上式，（）.(II)，则①，②，①-②得，..(III),当为奇数时，，当为偶数时，，综上所述，【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.。

【山东省潍坊】2017届高三上学年期期末数学年(理科)试题

山东省潍坊市2017届高三上学期期末（理科）数学试卷答案1~5．CCBAB6~10．ADCCD11．3612．313．5614．16π1516．解：（1）函数()()2π24cos 3023f x x x ωωω⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭=()1sin 221cos232x x x ωωω⎫+-++⎪⎪⎭π2cos2112sin 26x x x ωωω⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由()y f x =的图象的一条对称轴为π6x =，可得πππ2π662k ω+=+，k ∈Z ，即31k ω=+，k ∈Z ，由02ω<<，可得1ω=；当ππ22π62x k +=-，k ∈Z ，即ππ3x k =-，k ∈Z ， ()π12sin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭取得最小值12-=1-；（2）由()π12sin 226f A A ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由A 为三角形的内角，可得ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即有π5π266A +=，解得π3A =，由1a =，ABC S =△可得1sin 2bc A 1bc =，① 由2222cos a b c bc A -=+，即为222b c +=②可得2b c +=，则ABC △的周长为3a b c ++=．17．解：（Ⅰ）由频率分布表得，身高在[)180,190之间的频率为0.25，∴20.25f =，∴2400.2510n =⨯=（人），1402141068n =----=（人）， ∴180.2040f ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，身高在[)190,200的频率为6=0.1540，身高不低于180cm 的频率为0.250.150.4+=，故可估计该校高三男生身高不低于180cm 的人数为：6000.4240⨯=（人），故身高不低于180cm 的男生有240人．（Ⅲ）设身高在[)185,190之间的男生有n 人，从[)185,200中任取两人，共有26n C +种取法，满足条件的取法为11266n C C C +，∵至少有一个身高不低于190cm 的学生的概率为911， ∴1126626911n n C C C C ++=，解得5n =，∴抽取身高不低于185cm 的男生人数为11人．18．证明：（Ⅰ）连结AO ，并延长交BC 于点E ，连结PE ，∵O 为正三角形ABC 的外接圆圆心，∴2AO OE =，又2AD DP =，∴DO PE ∥，∵PE ⊂平面PBC ，DO ⊄平面PBC ，∴DO ∥平面PBC ．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DO ⊥平面ABC ，∵DO PE ∥，∴PE ⊥平面ABC ，∴PE BC ⊥，PE AE ⊥，又AE BC ⊥，∴以点E 为坐标原点，以EO 、EB 、EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0E ，()1,0,0O，()B ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，∴()0,EF =，()3,0,1AP =-，22,0,3AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21,0,3ED EA AD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∴21,0,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,0,3OD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,BO =，设平面CDB 的一个法向量(),,n x y z =， 30203n EB y n ED x z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩则，取1z =，得2,0,13n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面BOD 的法向量为(),,n a b c =，则0203m BO a m OD c ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩，取1a =，得31,,0n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2cos ,411193m nm n m n -===++ ∴平面CBD 和平面OBD ．19．解：（Ⅰ）∵122n n n a a -=+，两边同时除以2n ，可得11122n n n n a a --=+ ∴11122n n n n a a ---=，又1112a =， ∴数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴()1112n na n n =+-⨯=， ∴2n n a n =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n a n =，则2n b n ==， ∴()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴11111111111114223341414n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．又∵1sin cos sin 22n B B B T=>，对于任意n +∈N 恒成立， ∴11sin 224B ≤≤，即1sin 22B ≥．又()0,πB ∈，即()20,2πB ∈，∴π5π266B ≤≤， ∴π5π,1212B ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 20．解：（Ⅰ）由题意，MP 垂直平分2F N ， ∴124MF MF +=所以动点M 的轨迹是以()11,0F -，()21,0F 为焦点的椭圆，且长轴长为24a =，焦距22c =，所以2a =，1c =，23b =，曲线E 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,C x y ，()00,G x y ．设直线AC 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，可得()2243690m y my ++-=， ∴122643m y y m +=-+，122943y y m =-+，由弦长公式可得()212212143m AC y m +==+-，又02343y m =-+， ∴2343G m ⎛⎫=-⎪+⎭，直线OG 的方程为34m y x =-，代入椭圆方程得221643x m =+， ∴B ⎛⎫=，B 到直线AC 的距离1d =， O 到直线AB 的距离2d =，∴()12132ABCD S AC d d =+=≥，0m =时取得最小值3． 21．解：（Ⅰ）ln y x x =，()0,x ∈+∞，，ln 1y x '=+，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，ln y x x =递减， 1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0y '>，ln y x x =递增， ∴ln y x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；（Ⅱ）()()()()222ln ln ln 21ln y x x t x x t x x t x x t t =++=+-+--，设ln u x x =，[]1,e x ∈，由（Ⅰ）得ln u x x =在[]1,e x ∈递增，故[]0,e u ∈，此时()2221y u t u t t =+--+，对称轴122t u -=， 1,12t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，∴121,022t -⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， []0,e u ∈，故0u =时，2min y t t =-；（Ⅲ）()()()212221ln 2h x x a x a x =+++-， ()()()211x a x h x x⎡-+⎤-⎣⎦'=，[]1,2x ∈， []e,3a ∈时，[]212e 1,7a +∈+，故()0h x '<在[]1,2成立，即()h x 在[]1,2递减，∵12x x ≠，不妨设1212x x <≤≤，则()()12h x h x >，12x x <，故原不等式可化为()()1212m m h x h x x x -≤-，对1212x x <≤≤成立，设()()m v x h x x=-，则()v x 在[]1,2递增，其中[]e,3a ∈，即()0v x '≥在[]1,2恒成立，而()()()22110x a x m v x x x ⎡-+⎤-⎣⎦'=+≥，即()221220a m x a x x+-+++≥恒成立，即()2322220x x a x x x m --+++≥恒成立，[]e,3a ∈，由于[]1,2x ∈，∴2220x x -≤，故只需()2322220x x a x x x m --+++≥，即32870x x x m ++≥-，令()3287k x x x x m -=++，[]1,2x ∈，()231670k x x x -'=+<，故()k x 在[]1,2x ∈上递减，∴()()2100min k x k m ==-≥，∴10m ≥，∴[)10,m ∈+∞．山东省潍坊市2017届高三上学期期末（理科）数学试卷解析1．【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，集合B=N，则A∩B={0，1}．故选：C．2．【考点】命题的否定；全称命题．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可【解答】解：∵命题q：∀x∈R，x2+1＞0，∴命题q的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故选C．3．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．4．【考点】函数的图象．【分析】根据函数值得正负和函数值得变化趋势即可判断．【解答】解：当x＜0时，y＜0，当x＞0时，y＞0且当x→+∞时，y→0，故选：A5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据导数求其切线的斜率，即=2，再根据离心率公式计算即可．【解答】解：由于y=x2，则y′=2x，∴k=y′|x=1=2，∵函数y=x2在P（1，1）处的切线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，∴=2，∴e===，故选：B．6．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把已知的等式两边平方求得2s inαcosα=，结合α的范围求得sinα+cosα，化简后代入得答案．【解答】解：∵cosα﹣sinα=，平方可得1﹣2sinαcosα=，∴2sinαcosα=．又α∈（π，），故sinα+cosα=﹣=﹣=﹣，∴===．故选：A．7．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】函数f（x）=存在最小值，可得﹣1+a≥12，解得a≥2．再利用分段函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=存在最小值，∴﹣1+a≥12，解得a≥2．则当实数a取最小值2时，x＜1时，f（x）=﹣x+2．∴f（﹣2）=4．f[f（﹣2）]=f（4）=42=16．故选：D．8．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列前n项和公式得q4+q2﹣20=0，从而q=±2．由此能求出数列{}的前5项和．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项为S n，a1=2， =21，∴===21，整理，得q4+q2﹣20=0，解得q=±2．当q=2时，，数列{}的前5项和为当q=﹣2时，a n=2×（﹣2）n﹣1，数列{}的前5项和为=．∴数列{}的前5项和为或．故选：C．9．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，先安排导弹驱逐舰艇，有=24种方法，再安排护卫舰艇，有=6种方法，利用乘法原理可得结论．【解答】解：由题意，先安排导弹驱逐舰艇，有=24种方法，再安排护卫舰艇，有=6种方法，∴编队方式有24×6=144种方法，故选C．10．【考点】函数的图象．【分析】设（x0，y0）在y=k（x+1）上，则（x0，y0）关于y轴对称点为（﹣x0，y0），联立方程求出k=﹣＜0或x0=﹣1，再根据另一个根不为﹣1，则k≠﹣1问题得以解决．【解答】解：设（x0，y0）在y=k（x+1）上，则（x0，y0）关于y轴对称点为（﹣x0，y0），∴y0=k（x0+1），y0=，∴k（x0+1）==∴k=﹣＜0或x0=﹣1，则x0=﹣1为其中一个根，又另一个根不为﹣1，则k≠﹣1，故k＜0且k≠﹣1，故选：D11．【考点】分层抽样方法．【分析】求出抽样比，然后求解n的值即可．【解答】解：某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为1：3：5，分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则乙被抽的抽样比为： =，样本中乙型产品有12件，所以n=12÷=36，故答案为36．12．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B点为原点，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算即可求出答案．【解答】解：以B点为原点，建立如图所示的坐标系，∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的点，设E（0，y），则y∈[0，2]；又D（2，2），C（2，0），∴=（2，2﹣y），=（2，﹣y），∴•=2×2+（2﹣y）×（﹣y）=y2﹣2y+4=（y﹣1）2+3，当y=1时，•取得最小值为3．故答案为：3．13．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据绝对值的几何意义求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中的系数．【解答】解：由于f（x）=|x﹣1|+|x+7|表示数轴上的x对应点到1和﹣7对应点的距离之和，它的最小值为8，故n=8；二项式（x+）n展开式的通项公式为T r+1=•x8﹣r•x﹣r=•x8﹣2r；令8﹣2r=﹣2，解得r=5，故二项式（x+）n展开式中项的系数为==56．故答案为：56．14．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该“堑堵”是一个以俯视图为底面的直三棱柱，求出棱柱外接球的半径，进而可得该“堑堵”的外接球的表面积．【解答】解：由已知可得该“堑堵”是一个以俯视图为底面的直三棱柱，底面外接球的半径r==，球心到底面的距离d==，故该“堑堵”的外接球的半径R==2，故该“堑堵”的外接球的表面积：S=4πR2=16π，故答案为：16π15．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，N，F三点共线时取得最小值，且有A为NF 的中点，设出A，N，F的坐标，代入抛物线的方程可得p【解答】解：圆圆N：（x+2）2+y2=r2圆心N（﹣2，0），半径为r，|AN|+|AF|=2r，由抛物线M上一动点到其准线与到点N的距离之和的最小值为2r，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点N的距离之和的最小值为2r，可得A，N，F三点共线时取得最小值，且有A为NF的中点，由N（﹣2，0），F（0，），可得A（﹣1，），代入抛物线的方程可得，1=2p •，解得p =，16．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）运用二倍角余弦公式和两角和的正弦公式，化简f （x ），再由正弦函数的对称轴方程和最值，求得ω的值并求f （x ）的最小值；（2）由f （A ）=2，求得A ；再由三角形的余弦定理和面积公式，求得b ，c 的关系，即可得到所求三角形的周长．【解答】解：（1）函数()()2π24cos 3023f x x x ωωω⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭=()1sin 221cos232x x x ωωω⎫-++⎪⎪⎭=π2cos2112sin 26x x x ωωω⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由()y f x =的图象的一条对称轴为π6x =，可得πππ2π662k ω∙+=+，k ∈Z ，即31k ω=+，k ∈Z ，由02ω<<，可得1ω=；当ππ22π62x k +=-，k ∈Z ，即ππ3x k =-，k ∈Z ， ()π12sin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭取得最小值12-=1-；（2）由()π12sin 226f A A ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由A 为三角形的内角，可得ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即有π5π266A +=，解得π3A =，由1a =，ABC S =△可得1sin 2bc A 1bc =，①由2222cos a b c bc A -=+，即为222b c +=②可得2b c +=，则ABC △的周长为3a b c ++=．17．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布表得，身高在[180，190）之间的频率为0.25，由此能求出n 1、n 2、f 1、f 2．（Ⅱ）身高在[190，200）的频率为0.15，身高不低于180cm 的频率为0.4，由此可估计该校高三男生身高不低于180cm 的人数．（Ⅲ）设身高在[185，190）之间的男生有n 人，从[185，200）中任取两人，共有种取法，满足条件的取法为，由此利用至少有一个身高不低于190cm 的学生的概率为，能求出抽取身高不低于185cm 的男生人数．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表得，身高在[)180,190之间的频率为0.25，∴20.25f =，∴2400.2510n =⨯=（人），1402141068n =----=（人）， ∴180.2040f ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，身高在[)190,200的频率为，身高不低于180cm 的频率为0.250.150.4+=，故可估计该校高三男生身高不低于180cm 的人数为：6000.4240⨯=（人），故身高不低于180cm 的男生有240人．（Ⅲ）设身高在[)185,190之间的男生有n 人，从[)185,200中任取两人，共有26n C +种取法，满足条件的取法为11266n C C C +，∵至少有一个身高不低于190cm 的学生的概率为911， ∴1126626911n n C C C C ++=，解得5n =，∴抽取身高不低于185cm 的男生人数为11人．18．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）连结AOL ，并延长交BC 于点E ，连结PE ，推导出DO ∥PE ，由此能证明DO ∥平面PBC ．（Ⅱ）以点E 为坐标原点，以EO 、EB 、EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面CBD 和平面OBD 所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结AO ，并延长交BC 于点E ，连结PE ，∵O 为正三角形ABC 的外接圆圆心，∴2AO OE =，又2AD DP =，∴//DO PE ，∵PE ⊂平面PBC ，DO ⊄平面PBC ，∴//DO 平面PBC ．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DO ⊥平面ABC ，∵//DO PE ，∴PE ⊥平面ABC ，∴PE BC ⊥，PE AE ⊥，又AE BC ⊥，∴以点E 为坐标原点，以EO 、EB 、EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0E ，()1,0,0O，()B ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，∴()0,EF =，()3,0,1AP =-，22,0,3AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21,0,3ED EA AD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∴21,0,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,0,3OD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,BO =，设平面CDB 的一个法向量(),,n x y z =， 30203n EB y n ED x z ⎧∙==⎪⎨∙=+=⎪⎩则，取1z =，得2,0,13n ⎛⎫=-⎪⎝⎭，设平面BOD 的法向量为(),,n a b c =，则0203m BO a m OD c ⎧∙==⎪⎨∙==⎪⎩，取1a =，得31,,0n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2cos ,4m nm n m n -∙===∙+， ∴平面CBD 和平面OBD ．19．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系，即可得到结论．（Ⅱ）通过（Ⅰ）计算可b n =log =2n ，进而利用裂项相消求和法计算可知T n ，利用T n ＜及二倍角公式化简可知sin2B ＞T n ，结合B ∈（0，π）计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵122n n n a a -=+，两边同时除以2n ，可得11122n n n n a a --=+ ∴11122n n n n a a ---=，又1112a =， ∴数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴()1112n na n n =+-⨯=， ∴2n n a n =∙；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n a n =∙，则2n b n ==， ∴()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪∙∙++⎝⎭， ∴11111111111114223341414n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．又∵1sin cos sin 22n B B B T =>，对于任意n +∈N 恒成立， ∴11sin 224B ≤≤，即1sin 22B ≥．又()0,πB ∈，即()20,2πB ∈， ∴π5π266B ≤≤， ∴π5π,1212B ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 20．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）确定动点M 的轨迹是以F 1（﹣1，0），F 2（1，0）为焦点的椭圆，即可求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设直线AC 的方程为x =my +1，与椭圆方程联立，可得（4+3m 2）y 2+6my ﹣9=0，表示出四边形OABC 的面积，即可求出四边形OABC 的面积S 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，MP 垂直平分2F N ， ∴124MF MF +=所以动点M 的轨迹是以()11,0F -，()21,0F 为焦点的椭圆，…..且长轴长为24a =，焦距22c =，所以2a =，1c =，23b =，曲线E 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,C x y ，()00,G x y ．设直线AC 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，可得()2243690m y my ++-=， ∴122643m y y m +=-+，122943y y m =-+，由弦长公式可得()212212143m AC y m +==+-，又02343y m =-+， ∴2343G m ⎛⎫=-⎪+⎭，直线OG 的方程为34m y x =-，代入椭圆方程得221643x m =+， ∴B ⎛⎫=，B 到直线AC 的距离1d =， O 到直线AB 的距离2d =，∴()12132ABCD S AC d d =+=≥，0m =时取得最小值3． 21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）设u =xlnx ，x ∈[1，e ]，得到y =u 2+（2t ﹣1）u +t 2﹣t ，根据二次函数的性质求出y 的最小值即可；（Ⅲ）求出函数h （x ）的导数，问题可化为h （x 1）﹣≤h （x 2）﹣，设v （x ）=h （x ）﹣，根据函数的单调性求出m 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）ln y x x =，()0,x ∈+∞，，ln 1y x '=+， 10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，ln y x x =递减， 1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0y '>，ln y x x =递增， ∴ln y x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；（Ⅱ）()()()()222ln ln ln 21ln y x x t x x t x x t x x t t =++=+-+--，设ln u x x =，[]1,e x ∈，由（Ⅰ）得ln u x x =在[]1,e x ∈递增，故[]0,e u ∈，此时()2221y u t u t t =+--+，对称轴122t u -=， 1,12t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，∴121,022t -⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， []0,e u ∈，故0u =时，2min y t t =-；（Ⅲ）()()()212221ln 2h x x a x a x =+++-， ()()()211x a x h x x⎡-+⎤-⎣⎦'=，[]1,2x ∈， []e,3a ∈时，[]212e 1,7a +∈+，故()0h x '<在[]1,2成立，即()h x 在[]1,2递减，∵12x x ≠，不妨设1212x x <≤≤，则()()12h x h x >，12x x <，故原不等式可化为()()1212m m h x h x x x -≤-，对1212x x <≤≤成立，设()()m v x h x x=-，则()v x 在[]1,2递增，其中[]e,3a ∈，即()0v x '≥在[]1,2恒成立，而()()()22110x a x m v x x x ⎡-+⎤-⎣⎦'=+≥，即()221220a m x a x x+-+++≥恒成立，即()2322220x x a x x x m --+++≥恒成立，[]e,3a ∈，由于[]1,2x ∈，∴2220x x -≤，故只需()2322220x x a x x x m --+++≥，即32870x x x m ++≥-，令()3287k x x x x m -=++，[]1,2x ∈，()231670k x x x -'=+<，故()k x 在[]1,2x ∈上递减，∴()()2100min k x k m ==-≥，∴10m ≥，∴[)10,m ∈+∞．。

山东省潍坊市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案

2016-2017学年度第四学段模块监测高二数学试题(理）第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合2{|120}A x xx =--<，()2{|log 4}B x y x ==+，A B =（）A ．()0,3B ．()0,4C ．()3,3-D ．()3,4- 2．复数z =，复数z 是z 的共轭复数，则z z =( ）A ．14 B ．12 C ．1 D ．4 3．已知,a b R ∈，且a b >,则（） A ．22ab>B ．1ab >C ．()lg 0a b ->D ．11()()22a b < 4．61(2)x x +展开式中的常数项为（）A ．120B ．160C ． 200D ．240 5．下列选项中，使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是（）A ．()1,0-B ．(),1-∞-C ． ()0,1D ．()1,+∞ 6．下面有段演绎推理：“直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线//b 平面α，则直线//b 直线a ”则该推理中（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．该推理是正确的7．已知变量,x y 满足约束条件102100x y x y x y a -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2z x y =+的最小值为—5，则实数a =（）A ．-1B ．—3C ． 3D ．5 8．已知,x y 的取值如下表：( ）x0 1, 2 3 4 y11.33。

25。

68。

9若依据表中数据所画的散点图中，所有样本点()(,)1,2,3,4,5iix y i =都在曲线212y x a =+附近波动,则a =（） A ．1 B ．12 C ．13D ．12-9．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像,则下面判断正确的是（）A ．在区间()2,1-上()f x 是增函数B ．在()1,3上()f x 是减函数C ．在()4,5上()f x 是增函数D ．当4x =时，()f x 取极大值10．下列有关结论正确的个数为（）①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游,每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点"，则()2|9P A B =； ②设,a b R ∈，则“22log log a b >”是“21a b ->的充分不必要条件;③设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ,若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==．A ．0B ．1C ． 2D ．311．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( ） A ．85 B ．56 C ． 49 D ．2812．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()03f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ )A ．(),0-∞B ．(),2-∞C ． ()0,+∞D ．()2,+∞第Ⅱ卷（共90分)二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上） 13．命题“,20xx R ∃∈≥”的否定是．14．已知过曲线()xy ax b e =+上的一点()0,1P 的切线方程为210x y -+=，则a b +=．15．===，(,a b均为实数）,则可推测,a b 的值分别为．16．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠,若()()()()f x g x f x g x '<,且()()xf x ag x =(0a >且1a ≠）及()()()()1110113f fg g -+=-,则a 的值为．三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位．（Ⅰ）若复数21||zaz +对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若1212()z zz z z +=-，求z 的共轭复数．18．已知数列{}na 中,111,21n n a a a +==+，（Ⅰ）求2345,,,a a a a ；（Ⅱ）猜想na 的表达式，并用数学归纳法证明．19．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．(Ⅰ)()y f x =的表达式;（Ⅱ）若直线()01x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t 的值．20．一个盒子内装有8张卡片,每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个,偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．（Ⅰ）如果从盒子中一次随机取出2张卡片,并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是偶数的概率;(Ⅱ)现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望． 21．已知函数()221f x xx =-+，()()()2ln 1g x a x a R =-∈．（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（Ⅱ）当0a >时，若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，(ϕ为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（Ⅰ）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线3C 的极坐标方程为()0,R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A B 、均异于原点O ，且||AB =求实数α的值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()|||21|f x x m x m R =++-∈．（Ⅰ）当1m =-时,求不等式()2f x ≤的解集；（Ⅱ)设关于x 的不等式()|21|f x x ≤+的解集为A ，且[]1,2A ⊆，求实数m 的取值范围．试卷答案一、选择题1—5: DCDBB 6—10： ABACD 11、12：CC 二、填空题13．02,＜xR x ∈∀ 14．2 15．6，3516．31三、解答题 17．解：（Ⅰ)21|z|5(12)az a i +=+-=52a ai +-（）,由题意得502a a +⎧⎨-⎩＞＜0，解得0＞a ． (Ⅱ)1212(12)(34)(12)(34)z z i i z z z i i ---+===+-++i ii--=+--12462，1z i =-+．18．解：(Ⅰ）23453,7,15,31aa a a ====;（Ⅱ)猜想：12-=nn a证明：①当1=n 时,11211=-=a ，猜想成立． ②假设k n =时，即12-=k k a ，则当1+=k n 时，由121+=+n n a a 得121)12(21211-=+-=+=++k k k k a a所以1+=k n 时,等式成立．所以由①②知猜想21n na=-成立．19．解：（Ⅰ）设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，则b ax x f +='2)(．由已知22)(+='x x f ，得1=a ,2=b ．∴c x x x f ++=2)(2．又方程022=++c x x 有两个相等的实数根， ∴044=-=∆c ，即1=c ．故12)(2++=x x x f ; （Ⅱ）依题意,得⎰⎰---++=++0212)12()12(ttdx x x dx x x ，∴t x x x t x x x -++=--++0)31(1)312323（，整理,得0166223=-+-t t t ，即01)1(23=+-t ，∴3211-=t ．20．解：（Ⅰ）记“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是偶数"为事件A ，事件总数为2828=C ，因为偶数加偶数,奇数加奇数,都是偶数,则事件A 种数为132523=+C C ，得2813)(=A P ．所得新数是偶数的概率2813．(Ⅱ）ζ所有可能的取值为1,2,3，4，根据题意得85)1(1815===C C P ζ，5615)2(17151813=⋅==C C C C P ζ, 565)3(161517121813=⋅⋅==C C C C C C P ζ，561)4(1515161117121813=⋅⋅⋅==C C C C C C C C P ζ．故ζ的分布列为256456356281=⨯+⨯+⨯+⨯=ζE ．21．解：（Ⅰ）由题意得2()(1)21(1)h x x a n x =---,1＞x ，∴1])1[(2)(2---='x a x x h ，①当0≤a 时，则0)(＞x h '，此时)(x h 无极值； ②当0＞a 时，令0)(＜x h '，则a x +11＜＜；令0)(＞x h ',则a x +1＞；∴)(x h 在]1,1a +（上递减，在),1∞+a （上递增；∴)(x h 有极小值)11()1(na a a h -=+,无极大值；（Ⅱ）当0a >时，由（Ⅰ）知，()h x 在(1,1上递减,在(1)+∞上递增，且有极小值()(11ln h a a =-,①当e a ＞时，0)11()1(＜na a a h -=+，∴)1()1(a g a f ++＜，此时，不存在实数m k ，，使得不等式)()(x f m kx x g ≤+≤恒成立；②当e a ≤＜0时,0)11()1(≥-=+na a a h ，12)(2+-=x x x f 在a x +=1处的切线方程为)2(2a a x a y +-=，令)]2(2[)()(a a x a x f x u +--=，1＞x ，则0)]1([)(2≥+-=a x x u ，∴)()2(2x f a a x a ≤+-，令)1(12)2(2)()2(2)(--+-=-+-=x n a a a x a x g a a x a x v ，1＞x ,则1)]1([2)(-+-='x a x a x v ，令0)(＜x v '，则a x +11＜＜;令0)(＞x v '，则a x +1＞； ∴0)11()1()(≥-=+≥na a a v x v ，∴)2(2)(a a x a x g +-≤，∴)()2(2)(x f a a x a x g ≤+-≤，当a a m a k --==2,2时,不等式)()(x f m kx x g ≤+≤恒成立，∴e a ≤＜0符合题意；由①②得实数a 的取值范围为(]e ，0．22．解:（Ⅰ）由⎩⎨⎧=+=ϕϕsin 2cos 22y x ，消去参数ϕ可得1C 普通方程为4)2(22=+-y x ，∵θρsin 4=，∴θρρsin 42=,由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得曲线2C 的直角坐标方程为4)2(22=-+y x ；（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线4)2(:221=+-y x C ，其极坐标方程为θρcos 4=, 由题意设)(),,(,21a B a A ρρ，则124sin cos AB ρραα=-=-=)4πα-=∴sin()14πα-=±，∴()42k k Z ππαπ-=+∈,∵0απ＜＜，∴34πα=．23．解：(Ⅰ）当1-=m 时，121)(-+-=x x x f ，21212)(≤-+-⇒≤x x x f ，上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或1121212x x x ⎧⎪⎨⎪-+-≤⎩＜＜或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≥≤021x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤2121x x ＜＜或⎪⎩⎪⎨⎧≤≥341x x ．∴210≤≤x 或121＜＜x 或341≤≤x∴原不等式的解集为4{|0}3x x ≤≤．（Ⅱ）∵12)(+≤x x f 的解集包含[]21，, ∴当[]2,1∈x 时，不等式12)(+≤x x f 恒成立,即1212+≤-++x x m x 在[]2,1∈x 上恒成立,∴1212+≤-++x x m x ，即2≤+m x ，∴22≤+≤-m x ，∴22+-≤≤--x m x 在[]2,1∈x 上恒成立， ∴m in m ax )2()2(+-≤≤--x m x , ∴03≤≤-m ，所以实数m 的取值范围是]03[，-．。

山东省潍坊市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

2017-2018学年度第一学期模块监测高二数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，，那么下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由同向不等式的加法性质可知由，可得考点：不等式性质2. 设是等差数列的前项和，若，则（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】A【解析】，，选A.3. 若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得,所以C是最大的角，由余弦定理,所以C为钝角，因此三角形一定是钝角三角形考点：三角形形状的判定及正、余弦定理的应用4. 设是等比数列，下列说法一定正确的是（）A. 成等比数列B. 成等比数列C. 成等比数列D. 成等比数列【答案】D【解析】项中，故项说法错误；项中，故项说法错误；项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.5. 若关于的不等式的解集为，则实数的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解集为，故选A6. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为（其中）；则由，得所以，最小的1分为．故选A考点：等差数列的性质7. 若变量满足约束条件，则的最大值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最大，代值计算可得取最大值，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 设是等差数列，下列结论中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】选项中，，分别取即可得错误；假设，则，公差，，即正确；C选项中，，分别取即可得C错误；项中无法判断公差的正负，故无法判断正负，即错误，故选B.9. 在等腰中，内角所对应的边分别为，，，则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别是（）A. 4和2B. 4和C. 2和D. 2和【答案】C【解析】等腰中，，，可得由正弦定理可得，，由面积相等可得，故选C.10. 若是函数的两个不同的零点，且这三个数依次成等比数列，这三个数依次成等差数列，则（）A. 4B. 5C. 9D. 20【答案】D11. 设，，若，，，则下列关系式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：若，，，，故选B.12. 已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】数列和均为等差数列，且前项和和，满足，可得，则，验证知，当时，为整数，即使得为整数的正整数的个数是，故选C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的最小值为__________．【答案】5【解析】，，当且仅当时取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14. 已知数列是递减等比数列，且，，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】因为，，所以,,又因为数列是递减等比数列，所以，数列的通项公式，故答案为.15. 已知中，满足，的三角形有两解，则边长的取值范围为__________．【答案】【解析】在中，，由正弦定理可得，，若此三角形有两解，必须满足的条件为：，即，故答案为. 16. 寒假期间，某校家长委员会准备租赁两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研究旅行，两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元/辆和1800元/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆，则租金最少为__________元．【答案】27600【解析】设分别租用两种型号的客车辆，辆，所用的总租金为元，则，其中满足不等式组，即，由，得，作出不等式组对应的平面区域平移，由图象知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，由得，即当时，此时的总租金元，达到最小值，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 解下列关于的不等式：（1）；（2）.【答案】(1)；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）化为，等价不等式求解即可；（2）分三种情况讨论，分别求解一元二次不等式即可.试题解析：（I）将原不等式化为，即所以原不等式的解集 .（II）当时，不等式的解集为{0}；当时，原不等式等价于，因此当时，，当时，，综上所述，当时，不等式的解集为{0}，当时，不等式的解集为，,当时，不等式的解集18. 已知的内角所对应的边分别为，且满足. （1）判断的形状；（2）若，，为角的平分线，求的面积.【答案】(1)直角三角形;(2)【解析】试题分析：（1）由两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可求，即可判定三角形的形状；（2）由已知利用勾股定理可求，利用三角形内角和定理可求，由正弦定理可求的值，再利用三角形面积公式得结果.试题解析：（I）由，得,,., 故为直角三角形.(II)由（I）知，又，，,由正弦定理得,，19. 设是等差数列的前项和，已知，，.（1）求；（2）若数列，求数列的前项和.【答案】(1)18;(2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列满足，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，根据等差数列的求和公式可得递的值；（2）由（1）知，从而可得，利用裂项相消法求解即可.试题解析：（I）设数列的公差为，则即，解得，所以.（也可利用等差数列的性质解答）(II)由（I）知，，【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20. 已知的内角所对应的边分别为，且. （1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】试题分析：(1)由利用正弦定理得，再利用两角差和的正弦公式化简可得所以；（2）由余弦定理结合条件，可得，利用二次函数的性质可得结果.试题解析：(I）,即,, 在中，可得所以.(II）∵，即，，∴由余弦定理得：，即∵，∴则21. 潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑，某班同学准备测量观光塔的高度（单位：米），如图所示，垂直放置的标杆的高度米，已知，.（1）该班同学测得一组数据：，请据此算出的值；（2）该班同学分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到观光塔的距离（单位：米），使与的差较大，可以提高测量精确度，若观光塔高度为136米，问为多大时，的值最大？【答案】(1) 135m;(2) .【解析】试题分析：(1)根据三角函数的定义及直角三角形的性质可得，，，利用，化简即可得结果；（2）由得，利用两角差的正切公式以及基本不等式可的值最大.试题解析：（I）由，，,及，得，解得,因此算出观光塔的高度是135m.(II）由题设知，得，由得，所以.当且仅当，即时，上式取等号，所以当时最大.22. 已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求；（3）令，若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1); (2);(3)【解析】试题分析：(1) 当时，利用公式；，可得，验证当时是否适合即可；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可（3）讨论当为奇数时，当为偶数时两种情况，分别利用等差数列求和公式求和，然后利用放缩法可证明结论.试题解析：(I)当时，当时，，适合上式，（）.(II)，则①，②，①-②得，..(III),当为奇数时，，当为偶数时，，综上所述，【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式。

(完整word版)山东省潍坊市-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（共大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列结论一定成立的是（）A．a2＜b2B．a3＜b3C．＞D．ac2＜bc22．命题：“∀x∈[0，+∞），x3+2x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+2x＜0 B．∃x∈[0，+∞），x3+2x＜0C．∀x∈（﹣∞，0），x3+2x≥0D．∃x∈[0，+∞），x3+2x≥03．“x＜0”是“＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：4x﹣3y+20=0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=2，N为BC中点，则=（）A．﹣﹣﹣B．﹣++C．++D．﹣﹣8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（）A．B．C．D．9．对任意实数x，若不等式4x﹣m•2x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．m≤2D．﹣2≤m≤210．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，则实数m= ．12．设实数x，y满足条件，则z=y﹣2x的最大值为．13．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b，c，a成等比数列，且a=2b，则cosA= ．14．过抛物线C：y2=8x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为6，则|AB|= ．15．给出下列四个命题：①命题“若θ=﹣，则tanθ=﹣”的否命题是“若θ≠﹣，则tanθ≠﹣”；②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB的充分不必要条件”；③定义：为n个数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；④在△ABC中，BC=，AC=，AB边上的中线长为，则AB=2．以上命题正确的为（写出所有正确的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共75分）16．已知向量=（x，1，2），=（1，y，﹣2），=（3，1，z），∥，⊥．（1）求向量，，；（2）求向量（+）与（+）所成角的余弦值．17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=1．（1）求∠C；（2）若c=，b=，求∠B及△ABC的面积．18．已知p：方程方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：实数m满足m2﹣（2a+1）m+a2+a ＜0且￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．中国海警辑私船对一艘走私船进行定位：以走私船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）．中国海警辑私船恰在走私船正南方18海里A处（如图）．现假设：①走私船的移动路径可视为抛物线y=x2；②定位后中国海警缉私船即刻沿直线匀速前往追埔；③中国海警辑私船出发t小时后，走私船所在的位置的横坐标为2t．（1）当t=1，写出走私船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好相遇，求中国海警辑私船速度的大小；（2）问中国海警辑私船的时速至少是多少海里才能追上走私船？20．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且满足a1+a5=10，S4=16；数列{b n}满足：b1+3b2+32b3+．．．+3n﹣1b n=，（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n+，求数列{c n}的前n项和T n．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点．（i）求•的取值范围；（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上．2015-2016学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列结论一定成立的是（）A．a2＜b2B．a3＜b3C．＞D．ac2＜bc2【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】A．取a=﹣3，b=﹣2，即可判断出正误；B．令f（x）=x3，（x∈R），利用导数研究其单调性即可判断出正误C．取a=﹣2，b=1，即可判断出正误；D．取c=0，即可判断出正误．【解答】解：A．取a=﹣3，b=﹣2，不成立；B．令f（x）=x3，（x∈R），f′（x）=3x2≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，又a＜b，∴a3＜b3，因此正确；C．取a=﹣2，b=1，不正确；D．取c=0，不正确．故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．命题：“∀x∈[0，+∞），x3+2x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+2x＜0 B．∃x∈[0，+∞），x3+2x＜0C．∀x∈（﹣∞，0），x3+2x≥0D．∃x∈[0，+∞），x3+2x≥0【考点】命题的否定．【专题】集合思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】由全称命题的否定的规则可得．【解答】解：∵命题：“∀x∈[0，+∞），x3+2x≥0”为全称命题，故其否定为特称命题，排除A和C，再由否定的规则可得：“∃x∈[0，+∞），x3+2x＜0”故选：B．【点评】本题考查全称命题的否定，属基础题．3．“x＜0”是“＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由＜0，化为x（x+1）＜0，解出即可判断出．【解答】解：∵＜0，∴x（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜0，∴“x＜0”是“＜0”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【考点】等差数列；等比数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】已知等式利用余弦定理化简，整理可得：a2+c2=b2，利用勾股定理即可判断出△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵bcosC=a，∴由余弦定理可得：cosC==，整理可得：a2+c2=b2，∴利用勾股定理可得△ABC的形状是直角三角形．故选：C．【点评】此题考查了三角形形状的判断，考查了余弦定理以及勾股定理的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：4x﹣3y+20=0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知推导出=，双曲线的一个焦点为F（5，0），由此能求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：4x﹣3y+20=0，∴=．∵双曲线的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，∴由y=0，得x=5，∴双曲线的一个焦点为F（5，0），∴，解得a=3，b=4，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．7．已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=2，N为BC中点，则=（）A．﹣﹣﹣B．﹣++C．++D．﹣﹣【考点】空间向量的加减法．【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用．【分析】根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用、与表示出．【解答】解：连接DN，如图所示，四面体ABCD中，=，=，=，点M在棱DA上，=2，∴=，又N为BC中点，∴=（+）；∴=+=﹣++=﹣++．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题目．8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（）A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得每天的织布数量构成公比为2的等比数列，由等比数列的求和公式可得首项，进而由通项公式可得．【解答】解：设该女第n天织布为a n尺，且数列为公比q=2的等比数列，则由题意可得=5，解得a1=，故该女子第4天所织布的尺数为a4=a1q3=，故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．9．对任意实数x，若不等式4x﹣m•2x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．m≤2D．﹣2≤m≤2【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由已知（2x）2﹣m•2x+1＞0恒成立，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵对任意实数x，不等式4x﹣m•2x+1＞0恒成立，∴（2x）2﹣m•2x+1＞0恒成立，∴△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2．故选：B．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．10．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：A．【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，则实数m= 12 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用已知条件求出椭圆的几何量a，b，c，利用离心率公式计算求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆+=1，可知a=，b=3，c=，∵离心率是e=，∴==，解得m=12．故答案为：12．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的基本量和离心率公式，考查运算能力，属于基础题．12．设实数x，y满足条件，则z=y﹣2x的最大值为 5 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x结合图象可得结论．【解答】解：作出条件所对应的可行域（如图△ABC），变形目标函数可得y=2x+z，平移直线y=2x可知：当直线经过点A（﹣1，3）时，直线的截距最大，此时目标函数z取最大值z=3﹣2（﹣1）=5故答案为：5．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．13．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b，c，a成等比数列，且a=2b，则cosA= ﹣．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由b，c，a成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将a=2b代入，开方用b表示出c，然后利用余弦定理表示出cosB，将表示出的a和c代入，整理后即可得到cosB的值．【解答】解：在△ABC中，∵b，c，a成等比数列，∴c2=ab，又a=2b，∴c2=2b2，即c=b，则cosA===﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．14．过抛物线C：y2=8x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为6，则|AB|= 9 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出A的坐标，可得直线AB的方程，代入抛物线C：y2=8x，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|AB|．【解答】解：抛物线C：y2=8x的准线方程为x=﹣2，焦点F（2，0）．∵A到抛物线的准线的距离为6，∴A的横坐标为4，代入抛物线C：y2=4x，可得A的纵坐标为±4，不妨设A（4，4），则k AF=2，∴直线AB的方程为y=2（x﹣2），代入抛物线C：y2=4x，可得4（x﹣2）2=4x，即x2﹣5x+4=0，∴x=4或x=1，∴B的横坐标为1，∴B到抛物线的准线的距离为3，∴|AB|=6+3=9．故答案为：9．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．15．给出下列四个命题：①命题“若θ=﹣，则tanθ=﹣”的否命题是“若θ≠﹣，则tanθ≠﹣”；②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB的充分不必要条件”；③定义：为n个数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；④在△ABC中，BC=，AC=，AB边上的中线长为，则AB=2．以上命题正确的为①③④（写出所有正确的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据否命题的定义进行判断．②根据充分条件和必要条件的定义进行判断．③根据数列{a n}的前n项的“均倒数”为，即可求出S n，然后利用裂项法进行求和即可．④根据余弦定理进行求解判断．【解答】解：①命题“若θ=﹣，则tanθ=﹣”的否命题是“若θ≠﹣，则tanθ≠﹣”；故①正确，②在△ABC中，“A＞B”等价于a＞b，等价为sinA＞sinB，则，“A＞B”是“sinA＞sinB的充分必要条件”；故②错误，③∵数列{a n}的前n项的“均倒数”为，∴=，即S n=n（n+2）=n2+2n，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2﹣2（n﹣1）=2n+1，当n=1时，a1=S1=1+2=3，满足a n=2n+1，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n+1，故③正确，④在△ABC中，BC=，AC=，AB边上的中线长为，设AB=2x，则cos∠AOC=﹣cos∠BOC，即=﹣，即x2﹣4=﹣x2，即x2=2，则x=，则AB=2．故④正确，故答案为：①③④【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，充分条件和必要条件以及解三角形的应用，综合性较强，难度中等．三、解答题：（本大题共6小题，共75分）16．已知向量=（x，1，2），=（1，y，﹣2），=（3，1，z），∥，⊥．（1）求向量，，；（2）求向量（+）与（+）所成角的余弦值．【考点】空间向量的数量积运算．【专题】对应思想；向量法；空间向量及应用．【分析】（1）根据空间向量的坐标表示与∥，且⊥，列出方程组求出x、y、z的值即可；（2）根据空间向量的坐标运算与数量积运算，利用公式求出（+）与（+）所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵向量=（x，1，2），=（1，y，﹣2），=（3，1，z），且∥，⊥，∴，解得x=﹣1，y=﹣1，z=1；∴向量=（﹣1，1，2），=（1，﹣1，﹣2），=（3，1，1）；（2）∵向量（+）=（2，2，3），（+）=（4，0，﹣1），∴（+）•（+）=2×4+2×0+3×（﹣1）=5，|+|==，|+|==；∴（+）与（+）所成角的余弦值为cosθ===．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=1．（1）求∠C；（2）若c=，b=，求∠B及△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由已知条件化简变形可得：a2+b2﹣c2=ab，利用余弦定理可得cosC，结合范围C∈（0°，180°），即可得解C的值．（2）利用已知及正弦定理可得sinB，利用大边对大角可求角B的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinA 的值，利用三角形面积公式即可求值得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知条件化简可得：（a+b）2﹣c2=3ab，变形可得：a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理可得：cosC==，∵C∈（0°，180°），∴C=60°…6分（2）∵c=，b=，C=60°，∴由正弦定理可得：sinB===，又∵b＜c，∴B＜C，∴B=45°，在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcoC+cosBsinC==，∴S△ABC=bcsinA==…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知p：方程方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：实数m满足m2﹣（2a+1）m+a2+a ＜0且￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由p可得：2﹣m＞m﹣1＞0，解得m范围．由q：实数m满足m2﹣（2a+1）m+a2+a＜0化为：（m﹣a）[m﹣（a+1）]＜0，解得m范围．又￢q是￢p的充分不必要条件，可得p⇒q．【解答】解：由p可得：2﹣m＞m﹣1＞0，解得．由q：实数m满足m2﹣（2a+1）m+a2+a＜0化为：（m﹣a）[m﹣（a+1）]＜0，解得a＜m＜a+1．又￢q是￢p的充分不必要条件，∴p⇒q．则，解得．经过检验a=或1时均适合题意．故a的取值范围是．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．中国海警辑私船对一艘走私船进行定位：以走私船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）．中国海警辑私船恰在走私船正南方18海里A处（如图）．现假设：①走私船的移动路径可视为抛物线y=x2；②定位后中国海警缉私船即刻沿直线匀速前往追埔；③中国海警辑私船出发t小时后，走私船所在的位置的横坐标为2t．（1）当t=1，写出走私船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好相遇，求中国海警辑私船速度的大小；（2）问中国海警辑私船的时速至少是多少海里才能追上走私船？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）t=1时，确定P的横坐标，代入抛物线方程可得P的纵坐标，利用|AP|，即可确定中国海警辑私船速度的大小；（2）设中国海警辑私船的时速为v海里，经过t小时追上走私船，此时位置为（2t，9t2），从而可得v 关于t的关系式，利用基本不等式，即可得到结论．【解答】解：（1）t=1时，P的横坐标x P=2，代入抛物线方程y=x2中，得P的纵坐标y P=9．由A（0，﹣18），可得|AP|=，得中国海警辑私船速度的大小为海里/时；（2）设中国海警辑私船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（2t，9t2）．由vt=|AP|=，整理得v2=81（t2+）+352因为t2+≥4，当且仅当t=时等号成立，所以v2≥81×4+352=262，即v≥26．因此，中国海警辑私船的时速至少是26海里才能追上走私船．【点评】本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．20．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且满足a1+a5=10，S4=16；数列{b n}满足：b1+3b2+32b3+．．．+3n﹣1b n=，（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n+，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）通过联立a1+a5=10、S4=16可知首项和公差，进而可知a n=2n﹣1；通过作差可知当n≥2时b n=，进而可得结论；（Ⅱ）通过（I）及错位相减法计算可知数列{a n b n}的前n项和和为P n=1﹣（n+1），通过裂项、利用并项相加法可知数列{}的前n项和Q n=，进而计算可得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，解得：，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；∵b1+3b2+32b3+…+3n﹣1b n=，∴b1+3b2+32b3+…+3n﹣2b n﹣1=（n≥2），两式相减得：3n﹣1b n=﹣=，∴b n=（n≥2），又∵b1=满足上式，∴数列{b n}的通项公式b n=；（Ⅱ）记p n=a n b n=（2n﹣1），其前n项和和为P n，则P n=1•+3•+…+（2n﹣1），P n=1•+3•+…+（2n﹣3）+（2n﹣1），两式相减得：P n=+2（++…+）﹣（2n﹣1）=2•﹣﹣（2n﹣1）=[1﹣（n+1）]，∴P n=1﹣（n+1），∵q n===（﹣），∴其前n项和Q n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵c n=a n b n+，∴T n=P n+Q n=1﹣（n+1）+．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法、裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点．（i）求•的取值范围；（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）（i）求得F（﹣2，0），讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，以及不等式的性质，即可得到所求范围；（ii）可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M（x0，y0），运用中点坐标公式，求得M的坐标，进而得到直线OM方程，求得直线FN和OM的交点N，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=，c=2，即有椭圆方程为+=1；（Ⅱ）（i）F（﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程为x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），•=4﹣=；当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，x1+x2=﹣，x1x2=，•=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）•+2k2•（﹣）+4k2 ==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤•＜，综上可得，•的取值范围是[﹣6，]；（ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0，可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M（x0，y0），则x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，y0=k（x0+2）=，直线OM的斜率为k OM==﹣，直线OM：y=﹣x，由可得，即有k取何值，N的横坐标均为﹣3，则点N在一条定直线x=﹣3上．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查向量的数量积的坐标表示，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查点在定直线上的求法，注意运用直线方程求交点，考查运算能力，属于中档题．。

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2016-2017学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题p：“∃x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）A．∀x∈R，x2+2≥0 B．∀x∉R，x2+2＜0 C．∃x∈R，x2+2≥0 D．∀x∈R，x2+2＞02．抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．724．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC 的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形5．已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．46．如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则•=（）A．﹣ B．﹣ C．D．7．如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D 两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）A．50米B．25米C．25米D．50米8．已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）A．①B．③④C．①③D．①②③9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）A．（﹣3，6）B．（﹣3，6）C．（﹣6，6）D．（﹣6，6）10．已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣C．﹣2 D．不存在11．已知函数f（x）=x+a，g（x）=x+，若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f （x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥412．已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点P i（i=1，2，3，4），|P i F1|•|P i F2|=（）A．0 B．7 C．14 D．21二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线﹣=1的渐近线方程是．14．“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为．15．已知圆O：x2+y2=16上任意一点P，过P作x轴的垂线段PA，A为垂足，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹记为曲线C，则曲线C的离心率为．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知向量=（1，0，1），=（0，1，1），向量﹣k与垂直，k为实数．（I）求实数k的值；（II）记=k，求向量﹣与﹣的夹角．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．19．设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|＜0}．（I）求集合A；（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．21．近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c（x）万元，其中c（x）=．设该单位的年利润为f（x）（万元）．（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．（i）若直线l过定点（1，0），直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1•k2为定值；（ii）若直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，求点P的横坐标x p的取值范围．2016-2017学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题p：“∃x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）A．∀x∈R，x2+2≥0 B．∀x∉R，x2+2＜0 C．∃x∈R，x2+2≥0 D．∀x∈R，x2+2＞0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，x2+2≥0，故选：A2．抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线x2 =4y 中，p=2，=1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，1 ），故选C．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．72【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，解得a5=4，从而S9=，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，解得a5=4，∴S9==36．故选：B．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC 的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a=2bcosC，求出B与C的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，因为A、B、C是三角形内角，所以B=C．三角形是等腰三角形．故选：A．5．已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的等价性分别进行判断即可．【解答】解：若a＞b＞0，则＜成立，则原命题为真命题，则逆否命题为真命题，命题的逆命题为若＜，则a＞b＞0，为假命题，当a＜0，b＞0时，结论就不成立，则逆命题为假命题，否命题也为假命题，故真命题的个数为2个，故选：C6．如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则•=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，∴•=（+）•=•+•=×1×1×+×1×1×=，故选：D．7．如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D 两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）A．50米B．25米C．25米D．50米【考点】解三角形的实际应用．【分析】设AB=am，则BC=am，BD=am，根据∠CBD=30°，CD=50米，利用余弦定理建立方程，即可得出结论．【解答】解：设AB=am，则BC=am，BD=am，∵∠CBD=30°，CD=50米，∴2500=a2+3a2﹣2a，∴a=50m．故选A．8．已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）A．①B．③④C．①③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用；双曲线的简单性质．【分析】先分别判定命题p、命题q的真假，在根据复合命题的真值表判定．【解答】解：对于命题p：若可表示焦点在x轴上的双曲线，则3﹣a＞0，a﹣5＞0，a不存在，故命题p是假命题；对于命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2或a2=b2或a2＜b2，命题q为假命题；①p∨q为假，②p∧q为假，③（￢p）∨q为真，④（￢p）∧（￢q）为真；故选：B．9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）A．（﹣3，6）B．（﹣3，6）C．（﹣6，6）D．（﹣6，6）【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的简单性质，列出方程求出P的横坐标，即可推出结果．【解答】解：抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），准线方程为：x=3，C上一点P到焦点F的距离为9，设P（x，y）可得﹣x+3=9，解得x=﹣6，则=9，可得y=．故选：D．10．已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣C．﹣2 D．不存在【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z，此直线在y轴截距最小时，z最大，由区域可知，直线经过图中A（0，2）时，z取最大值为﹣2；故选C11．已知函数f（x）=x+a，g（x）=x+，若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f （x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥4【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）=x+a在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）=x+在x2∈[1，4]的最小值，构造关于a的不等式组，可得结论．【解答】解：当x1∈[1，3]时，由f（x）=x+a递增，f（1）=1+a是函数的最小值，当x2∈[1，4]时，g（x）=x+，在[1，2）为减函数，在（2，4]为增函数，∴g（2）=4是函数的最小值，若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[1，4]的最小值，即1+a≥4，解得：a∈[3，+∞），故选：C．12．已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点P i（i=1，2，3，4），|P i F1|•|P i F2|=（）A．0 B．7 C．14 D．21【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线、圆的方程，联立求出|y|=，利用面积关系，即可得出结论．【解答】解：由题意，c=4，a=3，b=，双曲线的方程为=1，与圆x2+y2=16，可得|y|=，∴|P i F1|•|P i F2|==14，故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，故答案为y=±．14．“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据全称命题的含义：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题⇔x∈[1，2]时，x2﹣a≥0恒成立⇔a≤（x2）min【解答】解：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题⇔x∈[1，2]时，x2﹣a≥0恒成立⇔a≤（x2）min，又∵x∈[1，2]时（x2）min=1，∴a≤1，则实数a的最大值为1故答案为：1．15．已知圆O：x2+y2=16上任意一点P，过P作x轴的垂线段PA，A为垂足，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹记为曲线C，则曲线C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．【分析】利用已知条件求出椭圆的方程，然后利用椭圆的离心率即可．【解答】解：设M（x，y），则P（x，2y），代入圆的方程并化简得：，解得a=4，b=2，c=．椭圆的离心率为：．故答案为：．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为9．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m+×13+97m+×（﹣0.5）=200m+×12.5≥2×1125，化为m2+31m﹣360≥0，解得m，取m=9．故答案为：9三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知向量=（1，0，1），=（0，1，1），向量﹣k与垂直，k为实数．（I）求实数k的值；（II）记=k，求向量﹣与﹣的夹角．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（Ⅰ）根据的坐标即可得出，而由（）即可得到，进而可求出k=2；（Ⅱ）先得到，进而得出，可设向量与的夹角为θ，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出，从而得出θ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵；∴；∵与垂直；∴；∴k=2；（Ⅱ）由（Ⅰ），；∴，；记向量与的夹角为θ，则：；∵0≤θ≤π；∴．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（I）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinBcosC=sinB，结合sinB＞0，可得cosC=，由于C∈（0，C），可求C的值．（II）由已知利用余弦定理可得：a2﹣2a﹣3=0，解得a的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵2bcosC=acosC+ccosA，∴由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sinB，∵sinB＞0，∴cosC=，∵C∈（0，C），∴C=…6分（II）∵b=2，c=，C=，∴由余弦定理可得：7=a2+4﹣2×，整理可得：a2﹣2a﹣3=0，∴解得：a=3或﹣1（舍去），∴△ABC的面积S=absinC==…12分19．设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|＜0}．（I）求集合A；（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法，讨论a的取值范围进行求解即可．（Ⅱ）根据逆否命题之间的关系将条件进行转化，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0得（x﹣2a）[x﹣（a+1）]＜0，①若2a＜a+1，即a＜1时，2a＜x＜a+1，此时A=（2a，a+1），②若2a=a+1，即a=1时，不等式无解，此时A=∅，③若2a＞a+1，即a＞1时，a+1＜x＜2a，此时A=（a+1，2a）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＜1时，A=（2a，a+1），B={x|＜0}={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），若￢q是￢p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，即A⊊B，则，即，则﹣≤a≤2，∵a＜1，∴﹣≤a＜1，则实数a的取值范围是[﹣，1）．20．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（I）数列{a n}的前n项和s n=n2﹣n，当n=1时，a1=s1；当n≥2时，a n=s n ．可得a n．利用等比数列的通项公式可得b n．﹣s n﹣1（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）数列{a n}的前n项和s n=n2﹣n，当n=1时，a1=s1=0；当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．当n=1时上式也成立，∴a n=2n﹣2．设正项等比数列{b n}的公比为q，则，b2=q，b3=q2，3a2=6，∵3a2是b2，b3的等差中项，∴2×6=q+q2，得q=3或q=﹣4（舍去），∴b n=3n﹣1 ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=…①．T n=…②①﹣②得T n==2×=1﹣．∴T n=．21．近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c（x）万元，其中c（x）=．设该单位的年利润为f（x）（万元）．（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（I）利用f（x）=xc（x）﹣3000，即可得出结论；（II）分段讨论，0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x=32时，f（x）max=f（32）=92；x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣（2x+），利用基本不等式，可得结论．【解答】解：（I）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640，∴f（x）=；（II）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x=32时，f（x）max=f （32）=92；x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣（2x+）≤400，当且仅当2x=，即x=60时，f（x）max=f（60）=400，∵400＞92，∴该单位年处理工厂废气量为60万升时，所获得的利润最大，最大利润为400万元．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．（i）若直线l过定点（1，0），直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1•k2为定值；（ii）若直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，求点P的横坐标x p的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）由已知中椭圆通径的端点坐标，构造方程组，可得a，b的值，进而可得椭圆C的方程；（II）经过点P（1，0）的直线l可设为x=my+1，（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得y1+y2=，y1y2=，由椭圆的右顶点为E（2，0），可得：k1•k2=•==，进而得到答案；（ii）利用点差法，可得k AB=﹣•，故直线l的垂直平分线方程为：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得P点横坐标，结合由H（x0，y0）在椭圆内部，可得答案．【解答】解：（I）由已知中过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．可得：c=，=，a2﹣b2=c2，解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：；…3分（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）证明：（i）∵直线l过定点（1，0），设x=my+1，由得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，…5分∴y1+y2=，y1y2=，∵右顶点为E（2，0），∴k1•k2=•====﹣，∴k1•k2为定值；…8分（ii）将A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得：，两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）=﹣（y1﹣y2）（y1+y2）∵直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，∴y1+y2≠0，x1﹣x2≠0，∴﹣•==k AB，设AB的中点H（x0，y0），则k AB=﹣•，故直线l的垂直平分线方程为：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得P点横坐标为：…10分，由H（x0，y0）在椭圆内部，可得：x0∈（﹣2，2），故∈（﹣，）…12分。