长沙9年中考第21课时 锐角三角函数及其应用(Word版)
2024年中考数学总复习课件：第四章三角形21+锐角三角函数及其应用
（1） 求索道的长结果精确到；
（2） 求水平距离的长结果精确到．参考数据：，，，
（1） 求索道的长结果精确到；
1.直角三角形中边、角、面积间的关系
图示
三边关系
勾股定理：
三角关系
边角关系
;;;
面积关系
为斜边上的高
温馨提示：解直角三角形要巧选三角函数，即有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中.（已知条件中有斜边选择正弦或余弦，没有斜边用正切，尽量用乘法和原始数据计算，尽量避免选用中间数据） 2.解直角三角形的应用的有关概念
（1） 求的长；
解：，，.，，. ，.．
（2） 求的正切值．
[答案] 如图，过点作于点，
. 点是的中点，是的中位线.，.由（1）知，，..．
8.[2023·江西样卷] 图1所示是某种落地式台灯，图2是其示意图.已知垂直于地面，可绕着点旋转，可绕着点旋转，且，，始终在同一平面内，，分别为光源的最大光线图，测得 ， ，，，．
利用无刻度的直尺画图：在下面的三个图中，以为边，在正方形网格内作 ，点为格点（每个小正方形的顶点），使 的值分别为： ，和．
解：如图所示.
类型二 锐角三角函数的应用
例2 [2023·南昌模拟] 图1是某型号挖掘机，该挖掘机由基座、主臂和伸展臂构成．图2是该挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，是主臂，是伸展臂）．已知基座的高度为，
温馨提示：在解直角三角形的实际应用中，计算结果要求精确到哪一位，就将结果四舍五入到哪一位，如5.54保留整数是6，精确到0.1是5.5． 4.测量物体高度的方法 （1）利用直角三角形的边角关系； （2）利用影长与物高成比例； （3）利用测倾器解斜三角形.
(完整版)初三锐角三角函数知识点与典型例题(可编辑修改word版)
锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：在Rt△ABC 中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c，则∠A 的正弦可表示为：sinA= ，∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数【特别提醒：1、sinA、∠cosA、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】例1．如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°．①sin A =(②cos A =()＝，对对)＝，对对第 1 题图sin B =(cos B =()＝；对对)＝；对对③tan A =( )＝，∠A对对对例2. 锐角三角函数求值：tan B =∠B对对对＝．( )在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝，sin A＝，cos A＝，tan A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝．例3．已知：如图，Rt△TNM 中，∠TMN＝90°，MR⊥TN 于R 点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．典型例题：类型一：直角三角形求值5 1. 已知 Rt △ABC 中， ∠C = 90︒, tan A = 3, BC = 12, 4求AC 、AB 和 cos B ．2. 已知：如图，⊙O 的半径 OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于 C 点， sin ∠AOC = 3⋅4求：AB 及 OC 的长．3. 已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于 C 点，AB ＝16cm ， sin ∠AOC = 3⋅5(1) 求⊙O 的半径 OA 的长及弦心距 OC ； (2) 求 cos ∠AOC 及 tan ∠AOC ．4. 已知∠A 是锐角， sin A = 8 17，求cos A ， tan A 的值对应训练：（西城北）3．在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若 BC ＝1，AB = ，则 tan A 的值为A.55B. 2 55C.12D ．2(房ft )5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 3，那么 tan A 的值等于（）.5A. 3 5B. 4 5C. 3 4D.4 3类型二. 利用角度转化求值：1. 已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是 AC 边上一点，DE ⊥AB 于 E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．32.如图，直径为10的⊙A 经过点C(0对5) 和点O(0对0) ，与x 轴的正半轴交于点D，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC 的值为（）1 3A.B．2 2C.3D．45 5yCAO D xB图 8图图3.（2009·孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P（3，4），则sin=．4.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm，DE⊥AB，sin A =，则这个菱形5 的面积= cm2．5.（2009·齐齐哈尔中考）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的3半径为2，AC = 2 ，则sin B 的值是（）2 3 3 4A.B．C．D．3 24 3F2 3 6. 如图 4，沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处．已知 AB = 8 ， BC = 10 ，AB=8,则 tan ∠EFC 的值为 ( )ADE 3 4 34 BCＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．43557. 如图 6，在等腰直角三角形∆ABC 中， ∠C = 90︒ ， AC = 6 ， D 为 AC 上一点，若tan ∠DBA = 15，则 AD 的长为()A.B ． 2C.1 D ． 28. 如图 6，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线 AD = 1633求 ∠B 的度数及边 BC 、AB 的长.ACDB图 6类型三. 化斜三角形为直角三角形例 1 （2012•安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 ，求 AB 的长．例 2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ， sin A = 1⋅3(1)求 AB 边上的高 CD ； (2)求△ABC 的面积 S ； (3)求 tan B ．23 33例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC 的值．对应训练1．（2012•重庆）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）2.已知：如图，△ABC 中，AB＝9，BC＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B．3.ABC 中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC 的面积是A.2 cm2B.4 cm2C.6 cm2D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形例1 （2012•内江）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（）1 5A．B．2 5C．1010D．2 55对应练习：1.如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A = .CA B2.如图，A、B、C 三点在正方形网络线的交点处，若将∆ABC 绕着点A 逆时针旋转得到∆AC' B'，则tan B' 的值为1 1 1A. B. C.4 3 2D. 13.正方形网格中，∠AOB 如图放置，则tan∠AOB 的值是（）A．52B.51C. D. 22特殊角的三角函数值锐角30°45°60°sincostan当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（昌平）1）.计算：2 cos 30︒+ 2 sin 45︒- tan 60︒．（朝阳）2）计算：tan 60︒+ sin2 45︒- 2 cos 30︒.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－3tan30°－tan45°3AO B33(石景ft)4．计算：⎛+ 2 cos 60︒+ sin 45︒-⎝⎫0tan 30︒⎪．2 ⎭tan 45︒+ sin 30︒ (通县)5．计算：；1- cos 60︒例2．求适合下列条件的锐角．(1)cos=12 (2)tan=3(3) s in 2=22(4) 6 cos(- 16 ) = 3（5）已知为锐角，且tan(+300)=，求tan的值（6）在∆ABC 中，若cos A -+(sin B -2)2= 0 ，∠A，∠B 都是锐角，求∠C 的度数.2例3. 三角函数的增减性1.已知∠A 为锐角，且sin A < 1，那么∠A 的取值范围是2A. 0°< A < 30°B. 30°< A ＜60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°2.已知A 为锐角，且cos A < sin 300，则（）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°例4. 三角函数在几何中的应用1.已知：如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB 于E，BE＝16cm，sin A =12⋅ 13123123求此菱形的周长．2. 已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°， AC = BC=于 D 点，求：(1) ∠BAD ；(2) sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和 tan ∠BAD ．，作∠DAC ＝30°，AD 交 CB3. 已知：如图△ABC 中，D 为 BC 中点，且∠BAD ＝90°， tan ∠B =CAD 、tan ∠CAD ．1 ，求：sin ∠CAD 、cos ∠34. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°， sin B = 3，点 D 在 BC 边上，DC= AC = 6，求 tan ∠BAD5的值．ABDC5.（本小题5 分）如图，△ABC 中，∠A=30°， tan B =2C， AC = 4 ．求 AB 的长.AB解直角三角形：3 333 1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系： ． ②两锐角之间的关系： ．③边与角之间的关系：sin A = cos B =； cos A = sin B = ； tan A =1 =tan B1；tan A= tan B =．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)． 在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ． CD 2＝ ；AC 2＝ ； BC 2＝ ；AC ·BC ＝ ．类型一例 1．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35， c = 35 ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知： a = 2 ， b = 2 ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知： sin A =2 ， c = 6 ，求 a 、b ；3(4)已知： tan B = 3, b = 9, 2求 a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积 S = 12 3, 求 a 、b 、c 及∠B ．2例2．已知：如图，△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB 及BC 的长．例3．已知：如图，Rt△ABC 中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD 的长．例4．已知：如图，△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB 及BC 的长．类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：例1．（2012•福州）如图，从热气球C 处测得地面A、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100 米，点A、D、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（）A．200 米B．200 米C．220 米D．100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45 °．点D 到地面的垂直距离DE 3 2m ，求点 B 到地面的垂直距离BC．例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小ft顶上，小ft的高BD=30m．从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA=60°，测得ft顶B 的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB 的长．ADB E例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树C高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3AB 为1.7 米，求这棵树的高度.米，小聪身高例5．已知：如图，河旁有一座小ft，从ft顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m．现需从ft顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC，求ft的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．例5．（2012•泰安）如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20 米，到达点C，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（）C．20 米D．米例6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC）为30 米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8 秒，∠BAC=75°．（1）求B、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60 千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1 米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，≈1.732，60 千米/小时≈16.7 米/秒）3A．10 米B．10 米33 3 3类型四. 坡度与坡角例．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： ，堤坝高 BC=50m ，则应水坡面 AB 的长度是（ ） A ．100mB ．100 mC ．150mD ．50 m类型五. 方位角1. 已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30°，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45°，问该货轮 继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少?(精确到 0.1 海里，1.732 )2．（2012•恩施州）新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012 年 5 月 18 日，某国 3 艘炮艇追袭 5 条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政 310” 船人船未歇立即追往北纬 11 度 22 分、东经 110 度 45 分附近海域护渔，保护 100 多名中国 渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去．（见图 1）324解决问题如图 2，已知“中国渔政 310”船（A ）接到陆地指挥中心（B ）命令时，渔船（C ）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政 310”船西南方向，“中国渔政 310”船位于陆地指挥中心南偏东 60°方向，AB=海里，“中国渔政 310”船最大航速 20 海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政 310”船赶往出事地点需要多少时间．综合题：三角函数与四边形：（西城二模）1．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，6tan ∠BDC= 3．(1) 求 BD 的长； (2) 求 AD 的长．（2011 东一）18．如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 分别作 AE ⊥BC 于点 E ，AF ⊥CD 于点 F ．（1） 求证： ∠BAE =∠DAF ；（2） 若 AE =4，AF =，s in ∠BAE = 53 ，求 CF 的长．5三角函数与圆：1. 如图，直径为 10 的⊙A 经过点C (0对5) 和点O (0对0) ，与 x 轴的正半轴交于点 D ，B 是 y轴右侧圆弧上一点，则 cos ∠OBC 的值为（）1 3 A.B ．22C ．3D ． 45 5yC AOD xB图 8图图5 DO4（延庆）19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接 AC 与⊙O 交于点 D, (1) 求证：∠AOD=2∠CC4 (2) 若 AD=8，tanC= ，求⊙O 的半径。
湘教版九年级上册第四章锐角三角函数复习与小结1
１、概念． 在直角三角形中，一个锐角为α，则
sin
cos
角的对边 . 斜边
角的邻边 . 斜边
sin
角的对边 ． tanα 角的邻边 cos tan 分别叫作角α正弦、余弦和正切，
2
cos 60
1 tan 30 tan 45
作业
1· 课本复习题四A组题 2· 学法大视野题
再见
设α为锐角，则
sin ＝cos 90 ,
cos ＝sin 90- .
5、用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值．
复习题
1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º BC=10，AB=12．分 ， 别求∠A ， ∠B 的正弦，余弦和正切的值．
2．求下列各式的值：
1 sin 45 cos30 cos45sin30; 31 2sin 30; tan 30 tan 45 sin 60 . ; 4 2
锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数 .
2、 30º 45º 60º 的正弦、余弦、正切 值．
α
60º
3 2
sin
cos
tanα
2 2
1 2
1
3
3、同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系． （1）
sin 2 cos 2 1.
4、互为余角的正弦、余弦的关系．
初三数学锐角三角函数的简单应用知识点
初三数学锐角三角函数的简单应用知识点
初三数学锐角三角函数的简单应用知识点
读书使学生认识丰富多彩的世界，获取信息和知识，拓展视野。
接下来小编为大家精心准备了锐角三角函数的简单应用知识点，希望大家喜欢!
学习重点难点：
重点：进一步用解直角三角形的.知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.
难点：灵活运用三角函数解决实际问题.
【温故知新】
1.如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B 点、C点的仰角分别为60°和45°，则广告牌的高度BC为_____________米(结果保留根号).
2.如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度?
变式如图，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB 的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：
(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出);
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.。
中考数学考前满分计划：锐角三角函数及应用(含解析)
◇以 ◇练 ◇带 ◇学
真题回顾
1．（益阳）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，有三点 A(0,1) ， B(4,1) ， C(5,6) ，则 sin BAC (
)
A． 1
2
B． 13
5
C． 2
2
D． 3
2
2．（南通）如图，从航拍无人机 A 看一栋楼顶部 B 的仰角 为 30 ，看这栋楼底部 C 的俯
A． 16
3
B． 20
3
C． 28
3
D． 35
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
一、三角函数的定义1. 正弦函数sinx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的纵坐标就是sinx。
2. 余弦函数cosx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的横坐标就是cosx。
3. 正切函数tanx：对于任意实数x，将sinx除以cosx就是tanx。
4. 余切函数cotx：对于任意实数x，将cosx除以sinx就是cotx。
5. 正割函数secx：对于任意实数x，将1除以cosx就是secx。
6. 余割函数cscx：对于任意实数x，将1除以sinx就是cscx。
二、三角函数的性质1. 基本关系式：sin^2x + cos^2x = 12. 周期性：sin(x+2kπ) = sinx，cos(x+2kπ) = cosx，其中k为任意整数。
3. 奇偶性：奇函数有sinx、tanx和cotx，偶函数有cosx、secx和cscx。
4. 正函数和负函数：在单位圆上，sinx和cscx为正函数，cosx和secx为负函数。
5. 三角函数的范围：sinx、cosx和tanx的范围是[-1,1]，cotx、secx和cscx的范围是(-∞,∞)。
三、特殊角的三角函数值1.0°、30°、45°、60°和90°的三角函数值。
2.30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导。
四、角度的度量转换1.度和弧度之间的转换：π弧度=180°，1°=π/180弧度。
2.角度的换算：1°=60'，1'=60''。
五、倍角、半角和三倍角公式1. 倍角公式：sin2x = 2sinxcosx，cos2x = cos^2x - sin^2x，tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)。
2. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2) =±√[(1+cosx)/2]，tan(x/2) = ±√[(1-cosx) / (1+cosx)]。
中考数学一轮复习考点专题课件：第21课时 锐角三角函数及其实际应用
坡度(坡比) 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表
、坡角
示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．如图⑦，i＝tanα＝ h
l
返回思维导图
模型一 背靠背型
典例“串”考点
【模型分析】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角 三角形求解，其中公共边CD是解题的关键． 【等量关系】CD为公共边，AD＋BD＝AB 模型演变
第21课时 锐角三角函数及其实际应用
(每年必考1道，3分)
目 录 1 点对点“过”考点
2 典例“串”考点 3 陕西5年真题、副题“明”考法
点对点“过”考点
【对接教材】北师：九下第一章P1－P27； 人教：八下第十七章P21－P39，九下第二十八章P60－P85.
锐角三角函数定义
特殊角的 锐角三 三角函数值 角函数
2 答：大树的高度为9米．
第5题解图
陕西5年真题、副题“明”考法
注：2018年开始陕西中考取消使用科学计算器，为了计算简便，以下真题参考数据 统一改为两位小数．
命题点 锐角三角函数的实际应用(5年2考)
类型一 仰角、俯角(2017.20) 1. (2018陕西副题20题7分)如图所示，某集团的项目组计划在山脚下A点与山顶B点 之间修建一条索道，现利用无人机测算A、B两点间的距离．无人机飞至山顶点B 的正上方点C处时，测得山脚下A点的俯角约为45°，C点与A点的高度差为400 m ，BC＝100 m，求山脚下A点到山顶B点的距离AB.
第5题图
解：如解图，过点D作DG⊥BC于点G，则DG∥EC. ∵∠FAE＝30°，∠BAC＝60°， ∴∠ADG＝30°，∠DAB＝90°. 又∵∠BDG＝30°. ∴∠BDA＝∠BDG＋∠ADG＝60°. 在Rt△ABD中，AD＝6米， ∴AB＝AD·tan∠BDA＝6 3 (米)． 在Rt△ABC中，BC＝AB·sin∠BAC＝ 6 3× 3＝9 (米)．
数学人教版九年级下册锐角三角函数及应用
几何图形初步与三角形 锐角三角函数及其应用
鱼塘中学 鲍晓丽
一、知识要点梳理
概念定理
1. 锐角三角函数的定义 假设在Rt△ABC中，∠C=90°，则有： （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的
正弦，记作sinA.
即 （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦， 记作cosA. 即
解：（1）如答图6-3-3，过点M作MD⊥AB于点D. ∵∠AME=45°， ∴∠AMD=∠MAD=45°. ∵AM=180海里， ∴MD=AM·cos45°= （海里）. 答：渔船从A到B的航行过程中与小岛 M间的最小距离是 海里. （2）在Rt△DMB中， ∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°. ∵MD= 海里，∴MB=
∴ ÷20= =3×2.45=7.35≈7.4（小时）. 答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时.
试一试
1. （2012广东）如图6-3-7，小山岗的斜坡AC的坡度是
tanα =
，在与山脚C距离200 m的D处，测得山顶A的仰角
为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取整数，参考数据：
sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）
（2）三边之间的关系：a2+b2=c2.
（3）边角之间的关系：sinA= ，
cosA=
，tanA=
.
（a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边）
二|、中考考点精讲精练
考点1 锐角三角函数
考点精讲
【例1】（2013广东）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，
BC=4，则sinA=
.
考题再现 1. （2014汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=
(完整word版)初三年级锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习[精选]09271
三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B ）：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要）5、正弦、余弦的增减性:当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。
A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边6、正切的增减性：当0°〈α〈90°时,tan α随α的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据:①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)8、应用举例:（1)仰角：视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角.仰角铅垂线水平线视线视线俯角（2）坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（坡比).用字母i 表示，即hi l=.坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α（叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°.4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向) , 南偏东45°(东南方向)， 南偏西45°(西南方向)， 北偏西45°（西北方向）。
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结
九年级数学中，锐角三角函数是一个重要的知识点。
锐角三角函数是指对于锐角的正弦、余弦和正切函数。
下面我将对锐角三角函数的基本概念、性质和应用进行总结。
一、基本概念1.弧度和角度：角度是常用的角度度量单位，弧度是角度的另一种度量单位。
1个弧度对应360°/2π≈57.3°。
角度和弧度之间的关系式：弧度=角度×π/180°。
2.锐角：指角度小于90°的角。
3. 三角函数：对于一个锐角A，定义其正弦(sin A)为对边与斜边的比值，余弦(cos A)为邻边与斜边的比值，正切(tan A)为对边与邻边的比值。
二、性质1.正弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，sin A > 0；（2）sin A = sin (180° - A) = sin (A + 360°)；（3）sin (90° - A) = cos A；（4）sin A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
2.余弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，cos A > 0；（2）cos A = cos (180° - A) = cos (360° + A)；（3）cos (90° - A) = sin A；（4）cos A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
3.正切函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，tan A > 0；（2）tan A = tan (180° + A)；（3）tan (90° - A) = 1/tan A；（4）tan A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
4.三角函数的关系：（1）sin^2 A + cos^2 A = 1；（2）tan A = sin A / cos A。
三、应用1.解三角形：利用已知角的正弦、余弦和正切的值，可以求解未知边长或角度的三角形问题。
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第四单元 三角形第二十一课时 锐角三角形函数及其应用长沙9年中考 (2009～2017)命题点1 解直角三角形的实际应用(9年6考) 类型一 解一个直角三角形1．(2015长沙11题3分)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为( )第1题图A . 30tanα米B . 30sin α米C . 30tan α米D . 30cos α米2．(2009长沙19题6分)某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的A 点测得河西岸边的标志物B 在它的正西方向，然后从A 点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C 处，测得B 在点C 的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米？(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第2题图3. (2017长沙22题8分)为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．(1)求∠APB的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？第3题图类型二解两个直角三角形4．(2016长沙11题3分)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120 m，这栋楼的高度为()A. 160 3 mB. 120 3 mC. 300 mD. 160 2 m第4题图5．(2010长沙19题6分)为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)．已知立杆AB高度是3 m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的高度．第5题图类型三与特殊四边形结合6．(2011长沙24题9分)如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE 构成．已知天桥高度BC＝4.8米，引桥水平跨度AC＝8米．(1)求水平平台DE的长度；(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比．(参考数据：取sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75)第6题图考情导向7．(2017张家界)位于张家界核心景区内的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC ＝70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，求像体AD的高度(最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824)第7题图8．(2013岳阳)某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2 m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC ＝30°.(1)求舞台的高AC(结果保留根号)；(2)在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3 m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树？并说明理由.第8题图9．(2016邵阳)如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC.(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)第9题图10．(2017衡阳)衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内．如图，为了测量来雁塔的高度，在E处用高为1.5米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4米，又测得塔顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．(结果精确到0.1米)第10题图11．(2015岳阳)如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED.从点A测得点D 、E 的俯角分别为64°和53°.已知ED ＝35 cm ，求椅子高AC 约为多少？(参考数据：tan 53°≈43，sin 53°≈45，tan 64°≈2，sin 64°≈910)第11题图12．(2016常德)南海是我国的南大门．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A 处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B 处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C 处成功拦截不明船只．问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？(最后结果保留整数，参考数据：cos 75°≈0.2588，sin 75°≈0.9659，tan 75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)第12题图 答案1．C 【解析】根据已知条件，在Rt △ABO 中，tan ∠ABO ＝AO BO ，且BO ＝30米， ∠ABO ＝α，∴AO ＝30tan α米．2．解：由题意得，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°，AC ＝550(米)， ∴AB ＝AC ·tan ∠ACB ＝5503≈952.6≈953(米)．(4分)答：他们测得的湘江宽度约为953米．(6分)3. 解：(1)根据题意可知，∠P AB ＝90°－60°＝30°，∠ABP ＝90°＋30°＝120°， ∴∠APB ＝180°－30°－120°＝30°；(3分)(2)如解图，过点P 作PC ⊥AE 于点C ，第3题解图∵∠APB＝30°＝∠P AB，∴AB＝BP，∵海监船以每小时50海里的速度航行1小时从A处到达B处，∴AB＝PB＝50(海里)，(5分)∵∠PBA＝120°，∴∠PBC＝60°，∴PC＝PB·sin∠PBC＝50·sin60°＝253(海里)，∵253＞25，∴海监船不在灯塔P的周围25海里之内，答：海监船继续向正东方向航行安全．(8分)第4题解图4．A【解析】如解图，作AD⊥BC交BC于点D，AD＝120 m，∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，则BD＝AD·tan∠BAD＝120·tan30°＝40 3 m，CD＝AD·tan∠CAD＝120·tan60°＝120 3 m，∴BC＝BD＋CD＝160 3 m. 5．解：∵在Rt△ABD中，∠BDA＝45°，AB＝3 m，∴AD＝3 m，(2分)在Rt△ADC中，∠CDA＝60°，∵tan60°＝CA AD，∴CA＝3 3 m，(4分)∴BC＝CA－AB＝(33－3) m，答：路况显示牌BC的高度为(33－3) m．(6分) 6．解：(1)如解图，延长线段BE，与AC相交于点F，第6题解图∵AD∥BF，DE∥AC，∴四边形AFED是平行四边形，(2分)∴DE＝AF，∠BFC＝∠A＝37°，在Rt△BCF中，tan∠BFC＝tan37°＝BC FC，∴CF＝BCtan37°＝4.80.75＝6.4(米)，(4分)∴DE＝AF＝AC－CF＝8－6.4＝1.6(米)，答：水平平台DE的长度为1.6米；(5分) (2)如解图，延长线段DE，交BC于点G，∵DG∥AC，∴∠BGM＝∠C＝90°，∴四边形MNCG是矩形，(7分)∴CG＝MN＝3(米)，∵BC＝4.8(米)，∴BG＝BC－CG＝1.8(米)，∵DG∥AC，∴△BEG∽△BFC，∴BEBF＝EGFC＝BGBC＝1.84.8＝38，(8分)∴EFBE＝53，∵AD＝EF，∴ADBE＝53，答：两段楼梯AD与BE的长度之比为5∶3.(9分) 7. 解：∵在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴BC＝CD＝2.3.在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，则AC＝BC·tan∠ABC＝2.3×tan70.5°≈6.5，∴AD＝AC－CD＝6.5－2.3＝4.2.答：像体AD的高度为4.2米．8. 解：(1)在Rt△ABC中，AB＝2，∠ABC＝45°，∴AC＝AB·sin∠A B C＝2×sin45°＝ 2.答：舞台的高为 2 m；(2)在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，∴∠DAC＝60°，∴CD＝AC·tan∠DAC＝2×tan60°＝ 6.∵6＜3，∴修新楼梯AD时底端D不会触到大树．9. 解：在Rt△OBC中，∵OC＝BC·tan∠OBC，且tan∠OBC＝tan30°＝3 3，∴OC＝33BC，在Rt△AOC中，OC＝OA·sin∠OAC，且sin∠OAC＝sin75°，∴OC＝40·sin75°，∴33BC＝40·sin75°，∴BC＝40·sin75°33＝40·sin75°·3≈67.1 cm.答：该台灯照亮水平面的宽度BC约为67.1 cm.10. 解：如解图，依题意得：CD⊥ED，BF⊥ED，AE⊥ED，AG⊥CD(设垂足为G)，设CG为x米，可得CD＝CG＋GD＝(x＋1.5)米，第10题解图在Rt△CBG中，tan∠CBG＝CG BG，∵∠C B G＝60°，∴BG＝x3，在Rt△CAG中，tan∠CAG＝CGAG，∠CAG＝30°，∴AG＝3x3＝3x，∴AB＝3x－x3＝10.4，解得：x＝26 53，∴CD＝2653＋1.5≈10.5(米)．答：来雁塔的高度约为10.5米．11. 解：∵AC⊥BE，AC⊥CD，∴BE∥CD，∵AC∥DE，∴四边形BCDE是矩形，∴BC＝DE，BE＝CD，∠ACD＝∠ABE＝90°. 在Rt△ABE中，∠AEB＝53°，∴BE＝ABtan∠AEB＝AC－BCtan53°≈AC－3543，在Rt △ACD 中，∠ADC ＝64°，∴CD ＝AC tan ∠ADC ＝AC tan64°≈AC 2，∴AC 2＝3（AC －35）4， 解得AC ＝105 cm .答：椅子高AC 约为105 cm .12. 解：如解图，作AD ⊥BC 交CB 延长线于D ，第12题解图在Rt △ABD 中，∠DAB ＝30°，cos ∠BAD ＝AD AB ，∴AD ＝AB ·cos 30°＝20×32＝103(海里)，在Rt △ADC 中，∠DAC ＝75°，cos ∠DAC ＝AD AC ，∴AC ＝AD cos ∠DAC ＝103cos 75°≈10×1.7320.2588≈67(海里)．答：我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了约67海里．。