人教A版数学选修2-2学业质量标准检测1
人教A版数学选修2-2 学业质量标准检测1、2
第一、二章 学业质量标准检测本检测仅供教师备用，学生书中没有 时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设1a <1b <0，则在①a 2>b 2；②a ＋b >2ab ；③ab <b 2；④a 2＋b 2>|a |＋|b |.这4个不等式中恒成立的有( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] ∵1a <1b<0，∴0>a >b ，∴a 2<b 2，ab <b 2，②④显然不正确．2．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3][解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D ．3．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( A )A ．nn －4＋8－n (8－n )－4＝2B ．n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C ．nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2D ．n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2[解析] 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.4．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( A )A．■C．□D．○[解析]由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．5．(2019·淄博三模)在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A 点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，AD⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是(A)A．(S△ABC)2＝S△BCO·S△BCDB．(S△ABD)2＝S△BOD·S△BOCC．(S△ADC)2＝S△DOC·S△BOCD．(S△BDC)2＝S△ABD·S△ABC[解析]由已知在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2＝BD·BC，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则(S△ABC)2＝S△BOC·S△BDC．故选A．6．已知a n ＝(13)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( D ) A ．(13)67B ．(13)68C ．(13)111D ．(13)112[解析] 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝(13)112.故选D ．7．函数f (x )在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( C )[解析]由图象知，f(x)在x<0时，图象增→减→增，x>0时，单调递增，故f′(x)在x<0时，其值为＋→－→＋，在x>0时为＋，故选C．8．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(D)A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[解析]观察可知偶函数的导函数是奇函数，由f(－x)＝f(x)知f(x)为偶函数，故g(x)为奇函数，从而g(－x)＝－g(x)．9．已知函数f(x)＝ln x，则函数g(x)＝f(x)－f′(x)的零点所在的区间是(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B ．10．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：(i)1]( A ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1D ．n 2[解析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1，∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A ．11．已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n 2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎨⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B ．12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2017＝( B )A ．1 C ．4D ．5[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2017＝x 1＝2，故应选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a ＝12，b ＝14，c ＝14.[解析] 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.14．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是57.[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.15．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为a 38.[解析] 平面内⎝⎛⎭⎫a 22类比到空间⎝⎛⎭⎫a 23＝a 38. 16．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ≥－1}.[解析] 假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得{a |－2<a <－1}，所以其补集{a |a ≤－2或a ≥－1}即为所求的a 的取值范围．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac a < 3.[解析] 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， 所以a >0，c <0.要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac <3a 2， 即(a －c )(2a ＋c )>0，因为a －c >0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b >0， 所以(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数． (1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)，∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )， 令f ′(x )＝0得x ＝±b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f (－b )>0，f (b )<0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值． [解析] (1)f ′(x )＝a 2x 2－4ax ＋b ， 由题意f ′(0)＝b ＝3.(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)， x 、 f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)， x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数f (x )在x ＝1处取得极小值，不符合题意． 综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1.20．(本题满分12分)若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3. 又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0， 故只需证3x 2＋3y 2>2xy . 而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立， 所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明：方程f (x )＝0没有负数根．[解析] (1)证法1：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0， 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a x ln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a xln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0，f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1)，①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负数根．22．(本题满分12分)(2019·全国Ⅰ卷理，20)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数．证明：(1)f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点； (2)f (x )有且仅有2个零点． [解析] (1)证明：设g (x )＝f ′(x )， 则g (x )＝cos x －11＋x ，g ′(x )＝－sin x ＋1(1＋x )2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，π2时，g ′(x )单调递减，而g ′(0)＞0，g ′⎝⎛⎭⎫π2＜0，可得g ′(x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2有唯一零点，设为α.则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫α，π2时， g ′(x )＜0.所以g (x )在(－1，α)单调递增，在⎝⎛⎭⎫α，π2单调递减，故g (x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点，即f ′(x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点． (2)证明：f (x )的定义域为(－1，＋∞)．①当x ∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1,0)单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,0)单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1,0]的唯一零点．②当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)单调递增，在⎝⎛⎭⎫α，π2单调递减，而f ′(0)＝0，f ′⎝⎛⎭⎫π2＜0，所以存在β∈⎝⎛⎭⎫α，π2，使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫β，π2时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，β)单调递增，在⎝⎛⎭⎫β，π2单调递减．又f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1－ln ⎝⎛⎭⎫1＋π2＞0，所以当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，f (x )＞0.从而，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，π2没有零点． ③当x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减．而f ⎝⎛⎭⎫π2＞0，f (π)＜0，所以f (x )在⎝⎛⎦⎤π2，π有唯一零点．④当x ∈(π，＋∞)时，ln(x ＋1)＞1.所以f (x )＜0，从而f (x )在(π，＋∞)没有零点．综上，f (x )有且仅有2个零点．。
2022秋高中数学 学业质量标准检测3课时作业(含解析)新人教A版选修2-2
第三章 学业质量标准检测时间120分钟，总分值150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(1＋i)20－(1－i)20的值是( C ) A ．－1024 B ．1024 C ．0D ．51.2[解析] (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 故答案为：C ．2．以下各式的运算结果为纯虚数的是( A ) A ．(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．i(1＋i)2D ．i(1＋i)[解析] 由题意，对于A 中，复数(1＋i)2＝2i 为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数i 2·(1－i)＝－1＋i 不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数i·(1＋i)2＝－2不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数i·(1＋i)＝－1＋i 不是纯虚数，所以不正确，应选A ． 3．假设复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，那么z ＝( A ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 因为z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i. 4．假设a 为实数，且(2＋a i)·(a －2i)＝－4i ，那么a ＝( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] ∵(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解之得a ＝0.5．如果复数z ＝2－1＋i，那么( C ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为－1 D ．z 的共轭复数为1＋i[解析] 因为z ＝2－1＋i＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i ，因此选C ．6．假设复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，那么z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i ＋i －i 2＝4－2i ， ∴z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于第四象限． 7．对于以下四个命题：①任何复数的绝对值都是非负数；②如果复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝－5i ，z 4＝2－i ，那么这些复数的对应点共圆； ③|cos θ＋isin θ|的最大值是2，最小值为0； ④x 轴是复平面的实数，y 轴是虚轴． 其中正确的有( D ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①正确．因为假设z ∈R ，那么|z |≥0，假设z ＝a ＋b i(b ≠0，a ，b ∈R )，|z |＝a 2＋b 2>0.②正确．因为|z 1|＝5，|z 2|＝(2)2＋(3)2＝5，|z 3|＝5，|z 4|＝5，这些复数的对应点均在以原点为圆心，5为半径的圆上．③错．因为|cos θ＋isin θ|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1为定值，最大、最小值相等都是1.④正确．应选D ．8．复数z 1＝(1－i 1＋i )2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，那么向量PQ →对应的复数是( D )A ．10B ．－3－iC ．1＋iD ．3＋i[解析] ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ，∴PQ →对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.应选D ． 二、多项选择题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分)9．z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，假设z 1＋z 2是纯虚数，那么有( AD ) A ．a ＋c ＝0 B ．a －c ＝0 C ．b －d ≠0D ．b ＋d ≠0[解析] z 1＋z 2＝a ＋c ＋(b ＋d )i 为纯虚数，那么需a ＋c ＝0且b ＋d ≠0.应选AD ． 10．i 为虚数单位，z 为复数，那么以下表达不正确的选项是( ABC )A ．z －z 为纯虚数B ．任何数的偶数次幂均为非负数C ．i ＋1的共轭复数为i －1D ．2＋3i 的虚部为3[解析] 当z 为实数时，z －z 不为纯虚数，A 错误；由i 2＝－1，知B 错误；由共轭复数的定义，知1＋i 的共轭复数为1－i ，C 错误；D 正确，应选ABC ．11．以下命题是真命题的是( ABC ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，故A 为真命题；②由复数相等的条件z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 为真命题；③令z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．假设z 1＝z 2，那么有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|，反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如当z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，而z 1≠z 2，故C 为真命题；④不全为实数的两个复数不能比拟大小，但任意两个复数的模总能比拟大小，故D 为假命题．应选ABC ．12．复数z ＝3＋3i 化为三角形式正确的选项是( AD ) A ．z ＝23(cos π6＋isin π6)B ．z ＝23(cos π6－isin π6)C ．z ＝23(cos 76π＋isin 7π6)D ．z ＝23(cos 136π＋isin 13π6)[解析] z ＝3＋3i ＝23(32＋12i) ＝23(cos π6＋isin π6)＝23(cos 13π6＋isin 13π6)，应选AD ．三、填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，那么ω＝__±(7－i)__.[解析] 解法1：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，那么 (1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i. 由题意，得a ＝3b ≠0. ∵|ω|＝|z2＋i|＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510.将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±5. 故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)．解法2：由题意，设(1＋3i)z ＝k i ，k ≠0，且k ∈R ，那么ω＝k i(2＋i )(1＋3i ).∵|ω|＝5 2.∴k ＝±50.故ω＝±(7－i)．14．下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是__①②③__.[解析] ①实数与虚数不能比拟大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有说明x ，y 是否是实数；④假设z ＝b i(b ≠0)为纯虚数，那么z 2＝－b 2<0，①②③均是错误命题，④是正确的．15．(2021·天津卷)i 是虚数单位，复数8－i 2＋i ＝__3－2i__.[解析]8－i 2＋i ＝(8－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝15－10i5＝3－2i.16．复数z ＝2⎝⎛⎭⎫cos π5－isin π5的三角形式是__2⎝⎛⎭⎫cos 9π5＋isin 9π5__. [解析] z ＝2⎝⎛⎭⎫cos π5－isin π5 ＝2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π－π5＋isin ⎝⎛⎭⎫2π－π5 ＝2⎝⎛⎭⎫cos 9π5＋isin 9π5.四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(此题总分值10分)复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z .(2)假设z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值． [解析] (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ， 得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝418．(此题总分值12分)(1)复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，求z ·z 的值；(2)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2021＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6(i 是虚数单位)．[解析] (1) 复数z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝－3＋i4，z ＝－3－i4.∴z ·z ＝14.(2)(21－i )2021＋(1＋i1－i)6 ＝⎝⎛⎭⎫22(1＋i )2021＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i －126 ＝i 1008＋i 6 ＝1－1 ＝0.19．(此题总分值12分)z ＝a －i1－i，其中i 为虚数单位，a >0，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．[解析] ∵z ＝a －i1－i ，代入ω＝z (z ＋i)，得ω＝a －i 1－i (a －i 1－i ＋i)＝(a －i )(a ＋1)(1－i )2＝(a －i )(a ＋1)－2i＝(1＋a i )(a ＋1)2＝a ＋12＋a (a ＋1)2i ，∴ω的实部为a ＋12，虚部为a (a ＋1)2，由得a (a ＋1)2－a ＋12＝32，解得a 2＝4，∴a ＝±2. 又a >0，故a ＝2.|ω|＝|a ＋12＋a (a ＋1)2i|＝|2＋12＋2(2＋1)2i|＝|32＋3i|＝352. 20．(此题总分值12分)复数z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a 的取值范围．[解析] ∵z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ＝1＋ii ＝1－i ，∴|z |＝ 2.又|ωz |＝|ω||z |≤2，∴|ω|≤2.而ω＝z ＋a i ＝(1－i)＋a i ＝1＋(a －1)i ，(a ∈R )， 那么12＋(a －1)2≤2⇒(a －1)2≤3，∴－3≤a －1≤3，1－3≤a ≤1＋ 3.即a 的取值范围为[1－3，1＋3]．21．(此题总分值12分)设O 为坐标原点，向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，a ∈R ，假设z 1＋z 2可以与任意实数比拟大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．[解析] 依题意得z 1＋z 2为实数，因为z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0.所以a ＝3.此时z 1＝38－i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝(38，－1)，OZ 2→＝(－1,1)．所以OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋(－1)×1＝－118.22．(此题总分值12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数〞的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，那么a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，那么b ＝3.依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6， 故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数〞的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表： 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果． 不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。
2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2：第一章章末质量评估检测.含解析
A。
错误!B。
错误!C。
错误!，错误!D.错误!,错误!解析：∵f′(x)＝2x－错误!＝错误!，当0＜x≤错误!时，f′(x)≤0.答案：A5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈［0,1]）的最大值是（)A．1 B.错误!C．0 D．－1解析：f′（x）＝3－12x2，令f′（x）＝0，则x＝－错误!（舍去)或x＝错误!，f（0)＝0，f(1)＝－1，f错误!＝错误!－错误!＝1,∴f（x）在[0，1］上的最大值为1。
答案:A6．函数f（x)＝x3＋ax2＋3x－9,已知f（x)在x＝－3处取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：f′（x）＝3x2＋2ax＋3，∵f′（－3）＝0.∴3×(－3)2＋2a×（－3)＋3＝0，∴a＝5。
答案:D7．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x）＝1＋e x，则质点沿着与F(x)相同的方向,从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F （x)所做的功是( ）A．1＋e B．eC。
错误!D．e－1解析:W＝错误!F(x)d x＝错误!(1＋e x)d x＝(x＋e x)错误!错误!＝（1＋e）－1＝e.答案：B8．设a＜b，函数y＝(x－a)2（x－b）的图象可能是（）A BC D解析：当x＝a或b时，f(x)＝0，f′（x）＝（x－a）(3x－a－2b），令f′(x)＝0得x＝a或x＝错误!，∵a＜b，∴a＜错误!＜b，∴f（x）在(－∞,a）及错误!上是增函数，在错误!上是减函数，x＝a是函数f（x）的极大值点，x＝错误!是函数f（x）的极小值点．故选C。
答案：C9．设函数f(x)＝x e x，则（)A．x＝1为f（x)的极大值点B．x＝1为f(x）的极小值点C．x＝－1为f（x)的极大值点D．x＝－1为f(x）的极小值点解析：利用导数的乘法法则求解．∵f(x）＝x e x，∴f′(x）＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即e x(1＋x)≥0,即x≥－1,∴x≥－1时函数y＝f（x）为增函数，同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x）取得极小值．答案：D10．已知y＝错误!x3＋bx2＋(b＋2）x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是( )A．b＜－1或b＞2 B．b≤－2或b≥2C．－1＜b＜2 D．－1≤b≤2解析:y′＝x2＋2bx＋（b＋2)．由于函数在R上单调递增，∴x2＋2bx＋(b＋2）≥0在R上恒成立，即Δ＝(2b)2－4(b＋2）≤0，解得－1≤b≤2。
人教A版数学选修2-2 综合学业质量标准检测1
综合学业质量标准检测(一)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设复数z 在映射f 下的象是z ·i ，则－1＋2i 的原象为( A ) A ．2－i B ．2＋i C ．－2＋iD ．－1＋3i[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ·i ＝(x －y i)·i ＝y ＋x i ＝－1＋2i ， ∴y ＝－1，x ＝2，故z ＝2－i.故选A ．2．k (k ≥3，k ∈N ＋)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( A ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2[解析] 三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．故选A ． 3．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( A ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[解析] 因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，所以y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2， 所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 4．定积分⎠⎛12x 2＋1xd x 的值为( A )A ．32＋ln2B ．34C ．3＋ln2D ．12[解析] ⎠⎛121＋x 2x d x ＝⎠⎛12(1x ＋x )d x ＝⎠⎛121x d x ＋⎠⎛12x d x ＝ln x |21＋12x 2|21＝ln2－ln1＋12×22－12×12＝32＋ln2. 5．如图是某年元宵花灯中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( A )[解析] 观察图形可知，下一个呈现出来的图形是A 选项中的图形． 6．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则( A )A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个大值点，3个极小值点[解析] 根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得最小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值．由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点．7．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( D )A ．32B ．33C ．12D ． 3[解析]因为|(x－2)＋y i|＝3，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx≤ 3.8．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是(A)[解析]∵f′(x)＝2x＋b为增函数，∴排除B、D；又f(x)的顶点在第四象限，∴－b2>0，∴b<0，排除C，故选A．9．曲线y＝x3－3x和y＝x围成图形的面积为(B)A．4 B．8C．10 D．9[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B ． 10．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2018的值为( A )A ．20182019B ．20172018C ．12019D ．12018[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1. 则f (x )＝x 2＋x .于是1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S 2018＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (2017)＋1f (2018)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12017－12018)＋(12018－12019)＝1－12019＝20182019.11．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点个数为( B )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n[解析] 第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点．12．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( C )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(2019·天津卷理，9)i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i [解析] ∵5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ， ∴ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.14．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是(－∞，－53)和(1，＋∞).[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－5x －5，∴y ′＝3x 2＋2x －5， 令y ′＝3x 2＋2x －5>0，解得x <－53，x >1，∴函数的单调递增区间为(－∞，－53)和(1，＋∞)．15．在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n ＝(T 2nT n)3.那么在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是S 3n ＝3(S 2n －S n ).[解析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2nT n )3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n －S n )．16．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝1.[解析] ∵f (1)＝0，∴f (f (1))＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，∴a ＝1.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．[解析] 因为z 1＝－1＋5i 1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ， 所以|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)| ＝|4－a ＋2i|＝(4－a )2＋4，又因为|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， 所以(4－a )2＋4<13，所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. 所以a 的取值范围是(1,7)．18．(本题满分12分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .[证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．20．(本题满分12分)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z －＝1，求z ；(2)已知复数z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1.解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b ＝－32. ∴z ＝12－32i.(2)z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意，m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2.∵2m 2－5m －3≠0.∴m ≠3.∴m ＝－2.21．(本题满分12分)设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.[证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立． 若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，①1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2. ②②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2. ③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)④③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n ) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，由证法1知a 3－a 2＝a 2－a 1，故上式对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．22．(本题满分12分)(2019·全国Ⅲ卷理，20)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b .(1)讨论f (x )的单调性．(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．[解析] (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3. 若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时， f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a 3单调递减． 若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时， f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 3，0单调递减． (2)满足题设条件的a ，b 存在．①当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0,1]单调递增，所以f (x )在区间[0,1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1,2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.②当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0,1]单调递减，所以f (x )在区间[0,1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.③当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a3＋b＝－1，b＝1，则a＝332，与0＜a＜3矛盾．27＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝33或a＝－33或a＝0，与0＜a＜3矛盾．若－a327综上，当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.。
(人教版)高中数学选修2-2检测章末质量评估1 Word版含答案
第一章一、选择题(本大题共小题．每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若曲线＝＋＋在点(，)处的切线方程是－＋＝，则( )．＝，＝．＝－，＝．＝，＝－．＝－，＝－解析：∵′＝＋，∴曲线＝＋＋在(，)处的切线方程的斜率为，切线方程为－＝，即－＋＝.∴＝，＝.答案：．函数＝的导数为( )．′＝－．′＝＋．′＝－．′＝－解析：利用求导法则运算．答案：．设()＝，若′()＝，则＝( )．．．．解析：′()＝()′＝＋，′()＝＋＝⇒＝.答案：．函数()的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )．<′()<′()<()－()．<′()<()－()<′()．<′()<′()<()－()．<()－()<′()<′()解析：由′()，′()的几何意义知′()>′()>，设(，())，(，())，则＝，由图象知<′()<<′()．答案：．过曲线＝(>)上横坐标为的点的切线方程为( )．＋－＝．＋－＝．－＋＝．－－＝解析：∵′＝＝，∴该切线的斜率＝′＝＝－，则所求的切线方程为－＝－(－)，即＋－＝，故选.答案：．若函数()在上可导，且()＝＋′()＋，则( )．()<() ．()＝()．()>() ．无法确定解析：′()＝＋′()⇒′()＝＋′()⇒′()＝－.从而()＝－＋，其对称轴为＝，则()>()．答案：．如图，阴影部分的面积是( )．．－．．解析：＝(－－)＝＝.答案：．若函数()的导函数′()＝－＋，则函数(＋)的单调递减区间是( )．() ．(－，－)．() ．()解析：由′()＝－＋＝(－)(－)知，当∈()时，′()<，函数()在()上为减函数，函数＝(＋)的图象是由函数＝()的图象向左平移个单位长度得到的，所以()为函数＝(＋)的单调递减区间．故选.答案：．函数()＝－的极大值为，极小值为，则＋为( )．．．．解析：()＝－⇒′()＝－＝⇒＝±，不难判断＝(－)＝(－)＋＝，＝()＝－＝－，＋＝.答案：．一物体在力()＝－(单位：)的作用下，沿着与力相同的方向，从＝处运动到＝处(单。
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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作选修2－2 全册质量评估检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝( )A ．－3－4iB ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝8－6i 2i ＝－3－4i. 答案：A2．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2·sin2x 2 B ．y ′＝3(sin x 2)2C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin2x 2，故选A.答案：A3．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)．则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2解析：因为f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，f ′(0)＝2f ′(1)．因为f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2，故f ′(0)＝－4.答案：B4．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N ＋)C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2答案：C5．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212. 答案：C6．已知函数f (x )＝a sin2x －13sin3x (a 为常数)在x ＝π3处取得极值，则a 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－12解析：因为f ′(x )＝2a cos2x －cos3x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2a cos 2π3－cosπ＝－a ＋1＝0，得a ＝1. 答案：B7．若f (x )＝ln xx，0＜a ＜b ＜e ，则有( )A ．f (a )＞f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )＜f (b )D ．f (a )·f (b )＞1解析：f ′(x )＝1－ln xx2，在(0，e)上，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，e)上为增函数． ∴f (a )＜f (b )． 答案：C8．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2] B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．[－2,3] D.⎣⎡⎭⎫98，＋∞ 解析：由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1， ∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0， ∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0， ∴b ＝－1.5，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94.当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫98，＋∞.故选D. 答案：D9．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为－427C ．极小值为－527，极大值为0D ．极小值为0，极大值为527解析：由题设条件知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.所以f (x )＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)是极小值，f ⎝⎛⎭⎫13是极大值． 答案：A10．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：∵f ′(x )＝sin θx 2＋3cos θx ，f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， ∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，∴θ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈⎣⎡⎦⎤22，1. ∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈[2，2]． 答案：D11．设m ＝⎠⎛01e x d x ，n ＝⎠⎛1e 1xd x ，则m 与n 的大小关系为( )A ．m ＜nB ．m ≤nC ．m ＞nD ．m ≥n解析：m ＝⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e －1＞n ＝⎠⎛1e 1xd x ＝ln x |e 1＝1.答案：C12．已知函数y ＝f(x)＝x 3＋px 2＋qx 的图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小＝－4，那么p ，q 的值分别为( )A ．p ＝3，q ＝8B ．p ＝6，q ＝8C ．p ＝6，q ＝9D ．p ＝4，q ＝9 解析：令切点为(a,0)，则f(x)＝x(x 2＋px ＋q)＝0有一个实根0和两个相等实根a ，且a ≠0，所以x 2＋px ＋q ＝(x －a)2，所以f(x)＝x(x －a)2.f ′(x)＝(x －a)(3x －a))令f ′(x)＝0，得x ＝a 或x ＝a3.因为x ＝a 时，f(a)＝0≠－4，所以f ⎝⎛⎭⎫a 3＝y 极小＝－4，即427a 3＝－4，a ＝－3. 所以x 2＋px ＋q ＝(x ＋3)2，所以p ＝6，q ＝9. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设f(z)＝z ，且z 1＝1＋5i ，z 2＝－3＋2i ，则f(z 1－z 2)的值是__________． 解析：∵z 1－z 2＝(1＋5i )－(－3＋2i )＝4＋3i ， ∴z 1－z 2＝4－3i .∵f(z)＝z ，∴f(4－3i )＝4－3i ＝4＋3i .答案：4＋3i14．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k(k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为______．解析：函数y ＝ax 2＋bx ＋k(k ＞0)在x ＝0处取得极值，得x ＝0是导函数2ax ＋b ＝0的解，则b ＝0，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，得2a ＋b ＝2，所以a ＝1，a ＋b ＝1.答案：115．由曲线y ＝(x －2)2＋1，横坐标轴及直线x ＝3，x ＝5围成的图形的面积等于__________．解析：S ＝⎠⎛35[(x －2)2＋1]d x＝⎠⎛35(x 2－4x ＋5)d x＝⎝⎛⎭⎫x 33－2x 2＋5x |53＝323. 答案：32316．若函数f(x)＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m 要使f (x )是R 上的单调函数，须使Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.答案：m ≥13三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值．解析：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，1－m ) 1－m (1－m,1＋m ) 1＋m (1＋m ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 －f (x ) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以f (x )在(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m )内是增函数．函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.18．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．(1)求证：P A ⊥底面ABCD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积；(3)对于向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，c ＝(x 3，y 3，z 3)，定义一种运算： (a ×b )·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1.试计算(AB →×AD →)·AP →的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB →×AD →)·AP →的绝对值的几何意义．解析：(1)∵AP →·AB →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB .又∵AP →·AD →＝－4＋4＋0＝0， ∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线， ∴AP ⊥底面ABCD .(2)设AB →与AD →的夹角为θ，则cos θ＝AB →·AD →|AB →|·|AD →|＝8－24＋1＋16·16＋4＝3105.V ＝13|AB →|·|AD →|·sin θ·|AP →|＝23105·1－9105·1＋4＋1＝16. (3)|(AB →×AD →)·AP →|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|(AB →×AD →)·AP →|在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积)．19. (本小题满分12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解析：(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油⎝⎛⎭⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)．即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得：h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)，h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0＜x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120)时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数． ∴当x ＝80时，h (x )取到极小值h (80)＝11.25.∵h (x )在(0,120]上只有一个极值， ∴它是最小值．即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．20．(本小题满分12分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明：已知a ＞b ＞c ，因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c ≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c ＝4， 所以a －c a －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝1x 2－1＋a . (1)若f (x )的一个极值点到直线l ：22x ＋y ＋a ＋5＝0的距离为1，求a 的值； (2)求方程f (x )＝g (x )的根的个数．解析：(1)由f ′(x )＝2xx 2＋1＝0，得x ＝0，故f (x )仅有一个极小值点M (0,0)， 根据题意得： d ＝|5＋a |3＝1.∴a ＝－2或a ＝－8. (2)令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x 2＋1)－1x 2－1－a ，h ′(x )＝2x x 2＋1＋2x(x 2－1)2＝2x ⎣⎡⎦⎤1x 2＋1＋1(x 2－1)2.当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )≥0， 当x ∈(－∞，－1)∪(－1,0)时，h ′(x )＜0.因此，h (x )在(－∞，－1)，(－1,0)上时，h (x )单调递减， 在(0,1)，(1，＋∞)上时，h (x )单调递增．又h (x )为偶函数，当x ∈(－1,1)时，h (x )的极小值为h (0)＝1－a .当x →－1－时，h (x )→－∞，当x →－1＋时，h (x )→＋∞， 当x →－∞时，h (x )→＋∞，当x →＋∞时，h (x )→＋∞. 故f (x )＝g (x )的根的情况为：当1－a ＞0时，即a ＜1时，原方程有2个根； 当1－a ＝0时，即a ＝1时，原方程有3个根． 当1－a <0时，即a >1时，原方程有4个根．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n∈N ＋.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解析：(1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1±3.又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N ＋. 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立．②假设n ＝k (k ∈N ＋)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立． 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝⎛⎭⎫a k 2＋1a k －1 ＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1， 即当n ＝k ＋1时猜想也．综上可知，猜想对一切n ∈N ＋都成立．。
2019-2020学年数学人教A版选修2-2作业与测评：第一章 单元质量测评(一) Word版含解
姓名，年级：时间：第一章 单元质量测评(一)本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若物体的运动规律是s ＝f （t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度可以表示为（ )(1）错误! 错误!； (2)错误! 错误!； （3)f ′(t 0）; (4)f ′（t ）．A ．(1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）(3）D ．(2)（4） 答案 B解析 根据瞬时速度的概念及导数的意义易知(1)（3）正确,故选B. 2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.［］0，π4∪错误! B ．［0，π)C 。
错误!D 。
错误!∪错误! 答案 A解析 y ′＝cos x ，∵cos x ∈［－1,1],∴切线的斜率范围是［－1，1]，∴倾斜角的范围是错误!∪错误!。
3．下列积分等于2的是（ ） A 。
错误!2x d x B.错误!错误!d x C.错误!1d x D.错误!错误!d x 答案 C 解析错误!2x d x ＝x 2错误!错误!＝4;错误!错误!d x＝错误!错误!错误!＝3；错误!1d x＝x错误!错误!＝2；错误!错误!d x＝错误!ln x错误!错误!＝错误!ln 2。
4．若函数f（x）＝错误!x3－f′（1)·x2－x，则f′(3)的值为( ）A．0 B．－1 C．8 D．－8答案C解析f′（x)＝x2－2f′(1）·x－1，则f′(1）＝12－2f′(1)·1－1，得f′（1）＝0，∴f（x)＝错误!x3－x，f′(x）＝x2－1，∴f′(3）＝8.5．函数y＝x2e x的单调递减区间是( )A．（－1,2）B．（－∞，－1）与（1,＋∞）C．(－∞，－2)与（0,＋∞）D．(－2，0)答案D解析y′＝(x2e x）′＝2x e x＋x2e x＝x e x(x＋2）．∵e x>0，∴x e x(x＋2）<0，即－2〈x<0，故函数y＝x2e x的单调递减区间是(－2，0）．6．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f′(x）的图象如图所示，则y ＝f(x)( ）A．在（－∞,0）上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞）上为减函数D．在x＝2处取极大值答案C解析在(－∞，0)上,f′(x)>0，故f(x）在(－∞，0)上为增函数，A 错；在x＝0处,导数由正变负,f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B 错；在(4,＋∞）上，f′（x)<0，f(x）为减函数,C对;在x＝2处取极小值,D错．7．方程2x3－6x2＋7＝0在（0,2）内根的个数为( ）A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析设f（x）＝2x3－6x2＋7,则f′（x)＝6x2－12x＝6x（x－2）．∵x∈（0,2），∴f′（x）〈0.∴f(x)在（0，2）上递减，又f（0)＝7，f（2)＝－1，∴f（x)在（0，2）上有且只有一个零点,即方程2x3－6x2＋7＝0在（0，2)内只有一个根．8．设a∈R，若函数y＝e x＋2ax有大于0的极值点，则( ）A．a＜－错误! B．a＞－错误!C．a＜－错误! D．a＞－错误!答案C解析由y＝e x＋2ax,得y′＝e x＋2a，由题意，得e x＋2a＝0有正数解．当x＞0时,e x＝－2a＞1,即a＜－错误!.9．已知函数f(x）＝错误!x2＋cos x，f′(x）是函数f(x）的导函数，则f′(x)的图象大致是（）答案A解析因为f（x)＝错误!x2＋cos x，所以f′(x）＝错误!x－sin x。
高中数学本册学业质量标准检测2课时作业含解析人教A版选修2_1.doc
本册学业质量标准检测(二)本套检测题仅供教师参考备用，学生书中没有。
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( D ) A ．若x 2≥1，则x ≥1若x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥12．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( A ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3210，4210，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫3210，4210，－22 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，22D ．⎝⎛⎭⎪⎫3210，4210，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，－22 [解析] 所求的单位向量e 与(－3，－4,5)方向相同或相反，且|e |＝1，求得⎝ ⎛⎭⎪⎫3210，4210，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，22.3．已知命题p ：函数f (x )＝2sin(2x ＋π3)的图象关于x ＝π6对称，命题q ：函数f (x )＝2sin(2x ＋π3)向右平移π6个单位，所得函数图象关于原点对称，则下列选项中是假命题的是( D )A ．¬pB ．p ∨qC ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )[解析] ∵f (π6)＝2sin 2π3＝3≠2，∴f (x )的图象不关于x ＝π6对称．故p 为假命题；∵平移后所得函数为y ＝2sin[2(x －π6)＋π3]＝2sin2x ，易知此函数为奇函数．∴函数图象关于原点对称，∴q 为真命题．∴(¬p)∧(¬q)为假命题．4．已知向量a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( A )A．2，12B．－13，12C．－3,2 D．2,2[解析] 已知a∥b，则∃t∈R，使得b＝t a(t≠0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧tλ＋t＝62μ－1＝02t＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t＝2λ＝2μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧t＝－3λ＝－3μ＝12.5．如图，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则AE→·BC→等于( A )A．0 B．1C．2 D．3[解析] ∵AE→·BC→＝12(AB→＋AC→)·(DC→－DB→)＝12(DB→－DA→＋DC→－DA→)·(DC→－DB→)＝12(DB→－2DA→＋DC→)·(DC→－DB→)＝12DB→·DC→－12DB→2－DA→·DC→＋DA→·DB→＋12DC→2－12DC→·DB→∵DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，∴AE→·BC→＝0.故选A．6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( D )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] ∵P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，又ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴D 1C 1⊥侧面BCC 1B 1.∴D 1C 1⊥PC 1，∴PC 1为P 到直线D 1C 1的距离，即PC 1等于P 到直线BC 的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线．7．(浙江丽水市2019－2020学年高二质监)如图，在三棱锥P －ABC 中，PB ＝BC ＝a ，PA ＝AC ＝b (a ＜b )，设二面角P －AB －C 的平面角为α，则( C )A ．α＋∠PCA ＋∠PCB ＞π，2α＜∠PAC ＋∠PBC B ．α＋∠PCA ＋∠PCB ＜π，2α＜∠PAC ＋∠PBC C ．α＋∠PCA ＋∠PCB ＞π，2α＞∠PAC ＋∠PBCD ．α＋∠PCA ＋∠PCB ＜π，2α＞∠PAC ＋∠PBC [解析] 如图(1)，取PC 中点D ，连接AD ，BD ，由PB ＝BC ＝a ，PA ＝AC 易知BD ⊥PC ，AD ⊥PC ，故可得PC ⊥平面ABD ，作PM ⊥AB 于M ，由△ABP ≌△ABC ，可得CM ⊥AB ，∴∠PMC ＝a ，又PM ＝CM ＝h ＜a ＜b ，由图(2)可得a 2＝∠PMC 2＞∠PBC 2＞∠PAC2，∴2a ＞∠PAC ＋∠PBC ，a ＋∠PCA ＋∠PCB ＞∠PBC 2＋∠PAC2＋∠PCA ＋∠PCB ＝∠PBC 2＋∠PCB ＋∠PAC2＋∠PCA ＝π，故选C ． 8．如图，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( C )A ． 3B ． 5C ．7D ．3[解析] 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ， ∵△ABF 2是等边三角形，即|BF 2|＝|AB |， ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°， ∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×(－12)＝28a 2，解之得c ＝7a ，由此可得双曲线C 的离心率e ＝c a＝7.故选C ．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．)9．已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，则以下等式成立的是( ACD ) A ．DA →·PB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PD →·AB →＝0 D ．PA →·CD →＝0[解析] ①⎭⎪⎬⎪⎫DA ⊥AB DA ⊥PA ⇒DA ⊥平面PAB ⇒DA ⊥PB ⇒DA →·PB →＝0，故A 成立；②同①知AB →·PD →＝0，故C 成立；③PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥CD ⇒PA →·CD →＝0，故D 成立； ④若BD →·PC →＝0，则BD ⊥PC ，又BD ⊥PA ，∴BD ⊥平面PAC ，故BD ⊥AC ，但在矩形ABCD 中不一定有BD ⊥AC ，故B 不成立．故选ACD ． 10．下列命题是假命题的是( ABC )A ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题B ．“x ＝－1”是“x 2＋3x ＋2＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0” D ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件 [解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin (x ＋π4)≤2，∴命题p 是真命题，则¬p 是假命题，故A错误；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则“x ＝－1”是“x 2＋3x ＋2＝0”的充分不必要条件，故B 错误，特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋3＜0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故C 错误；当a ＞1时，f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数成立，即充分性成立，若f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数，则a ＞1，即必要性成立，故“a ＞1”是“f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件，故D 正确．故选D ．11.若点P 是以F 1，F 2为焦点的双曲线x 225－y 29＝1上的一点，且|PF 1|＝12，则|PF 2|＝( AB )A ．2B ．22C ．4D ．20[解析] 由双曲线x 225－y 29＝1得a ＝5，b ＝3，c ＝34，由双曲线的定义得||PF 2|－|PF 1||＝10，即|PF 2|＝|PF 1|±10＝12±10＝22或2.12.已知O 是坐标原点，A ，B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点，OA ⊥OB ，下列四个结论中，所有正确的结论是( ABD )A ．|OA |·|OB |≥2 B ．|OA |＋|OB |≥2 2C ．直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点 D ．O 到直线AB 的距离小于等于1[解析] 设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则OA →·OB →＝0，即x 1x 2(1＋x 1x 2)＝0，所以x 2＝－1x 1.对于A ，|OA |·|OB |＝x 211＋x 21·1x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 21＝1＋x 21＋1x 21＋1≥2，当且仅当x 1＝±1时取等号，正确；对于B ，|OA |＋|OB |≥2|OA |·|OB |≥22，正确；对于C ，直线AB 的方程为y －x 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1x1(x －x 1)，不过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，错误；对于D ，原点到直线AB ：⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1x －y ＋1＝0的距离d ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 12＋1≤1，正确．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知p ：x －1x≤0，q ：4x ＋2x－m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是__m ≥6__.[解析] 由x －1x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x x －1≤0x ≠0，得0<x ≤1，由题设知，当0<x ≤1时，4x ＋2x－m ≤0，即4x＋22≤m 恒成立，易知y ＝4x＋2x(0<x ≤1)的最大值为6，所以m ≥6.14．已知点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，则P 点的坐标为__(－1,0,2)__.[解析] 由已知，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，PA →＝(－x,1，－z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧PA →·AB →＝0PA →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋z ＝0－2x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1z ＝2.∴P (－1,0,2)．15.已知点A (－2,0)，B (0,1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则椭圆C 的方程为__x 24＋y 2＝1__；若直线y ＝12x 交椭圆C 于M ，N 两点，则|MN |＝__10__.[解析] 由题意可知，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，由点A (－2,0)，B (0,1)在椭圆上，焦点在x 轴上，则a ＝2，b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ，消去y ，整理得2x 2＝4，则x 1＝2，x 2＝－2，y 1＝22，y 2＝－22，则|MN |＝2＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫22＋222＝10. 16．边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为__1510__. [解析] 如图所示，AD ⊥平面BCD ，AD ＝32， BD ＝CD ＝BC ＝12，∴V A －BCD ＝13×AD ×S △BCD .又∵V A －BCD ＝V D －ABC ＝13×h ×S △ABC ，∴由等积法可解得h ＝1510. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(山东省潍坊市2018－2019学年高二期末)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1和对角线DB 1的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)求直线MN 与直线CB 1所成角的大小． [解析] (1)证明：连接BD ，∵M ，N 分别是棱BB 1和DB 1的中点， ∴MN ∥BD .∵MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴MN ∥平面ABCD .(2)设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1的方向分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，∴M (1,1，12)，N (12，12，12)，B 1C →＝(－1,0,1)，MN →＝(－12，－12，0)，∴cos 〈MN →，B 1C →〉＝MN →·B 1C →|MN →||B 1C →|＝1212·2＝12. ∴直线MN 与直线CB 1所成角为π3.18．(本小题满分12分)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.求椭圆的标准方程．[解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 2|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1|·|F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22. 由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.19．(本小题满分12分)(福建省南平市2019－2020学年高二期末)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝PA ＝2，AB ＝1，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PDC ； (2)求二面角P －BC －D 的余弦值．[解析] (1)以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，B (1,0,0)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，则E (1,1,1)．∴BE →＝(0,1,1)，PC →＝(2,2，－2)，DC →＝(2,0,0)，∴BE →·PC →＝0，BE →·DC →＝0， ∴BE ⊥PC ，BE ⊥DC 且PC ∩DC ＝C ， ∴BE ⊥平面PDC .(2)平面BDC 的法向量m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵DP →＝(0，－2,2)，DB →＝(1，－2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0DB →·n ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2z ＝0x －2y ＝0，取得一个法向量n ＝(2,1,1)． ∴cos m·n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m·n |m|·|n|＝16＝66.∴二面角P －BD －C 的余弦值为－66. 20．(本小题满分12分)(2019－2020学年房山区期末检测)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当抛物线C 过点M (1，－2)时，求抛物线C 的方程； (2)证明：OA →·OB →是定值．[解析] (1)因为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点M (1，－2)， 所以4＝2p ，p ＝2，所以抛物线C 的方程y 2＝4x ；(2)证明：当直线l 斜率存在时，F (p 2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x －p2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －p 2 ①y 2＝2px ②，将(1)代入(2)得，⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －kp 22＝2px ，化简得kx 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p4＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，因为点A ，B 都在抛物线y 2＝2px 上，所以y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以y 21y 22＝2p 2x 1x 2，所以y 21y 22＝p 4，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以y 1y 2＜0， 所以y 1y 2＝－p 2，所以OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－34p 2是定值．当直线l 无斜率时，F (p 2，0)，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＝x 2＝p2，代入抛物线方程y 2＝2px 得，y 21＝p 2，y 22＝p 2，所以y 21y 22＝p 4，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以y 1y 2＜0， 所以y 1y 2＝－p 2，所以OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－34p 2，是定值．综上，OA →·OB →＝－3p 24是定值．21．(本小题满分12分)(福建厦门市2019－2020学年高二质检)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠ACD ＝π2，∠BAC ＝π3，PC 与平面ABCD 所成的角为π6，又PA＝CD ＝2.(1)证明：平面PAC ⊥平面PCD ； (2)求二面角B －PC －D 的余弦值． [解析] (1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又因为AC ⊥CD 且PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC ， 因为CD ⊂平面ABCD ， 所以平面PAC ⊥平面PCD . (2)因为PA ⊥平面ABCD ，所以AC 为PC 在平面ABCD 内的射影， 所以∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成角，故∠PCA ＝π6， 在Rt △PAC 中，因为PA ＝2，所以AC ＝23， 在Rt △ACD 中，因为AC ＝23，CD ＝2，所以AD ＝4，∠CAD ＝π6， 又因为∠BAC ＝π3， 所以∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝π2，即BA ⊥AD . 在Rt △ACD ，因为AC ＝23，∠BAC ＝π3，所以AB ＝3，BC ＝3. 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系：则B (3，0,0)，C (3，3,0)，D (0,4,0)，P (0,0,2)， 得PB →＝(3，0，－2)，BC →＝(0,3,0)，PD →＝(0,4，－2)，CD →＝(－3，1,0)， 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0n ·BC →＝0⇒⎩⎨⎧ 3x －2z ＝03y ＝0， 令x ＝2，得n ＝(2,0，3)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎨⎧ 4y ′－2z ′＝0－3x ′＋y ′＝0， 令x ′＝3，得m ＝(3，3,6)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n| ＝23＋6322＋32·32＋32＋62 ＝837×43＝277， 观察可知，二面角B －PC －D 为钝角，所以二面角B －PC －D 的余弦值为－277.22．(本小题满分12分)(2019－2020 学年深圳高级中学期末测试)设椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0 )，F 1，F 2是椭圆的左右焦点，以F 1，F 2及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为3的正三角形．(1)求椭圆方程；(2)过F 1分别作直线l 1，l 2，且l 1⊥l 2，设l 1与椭圆交于A ，C 两点，l 2与椭圆交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值．[解析] (1)由题设可得：⎩⎨⎧ a ＝2c bc ＝3， ∵a 2－b 2＝c 2，∴a 2＝4，b 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1；(2)由(1)可知椭圆x 24＋y 23＝1的焦点F 1(1,0) 当其中一条直线斜率不存在时，令|AC |＝4，则|BD |＝2b 2a＝3. ∴S ＝12|AC ||BD |＝6 当直线斜率存在时，设直线l 1：y ＝k (x ＋m )，代入椭圆方程得：(3＋4k 2)x 2＋8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－－8k 2m 3＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2m 2－123＋4k2； 所以弦长＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2m3＋4k 22－4·4k 2m 2－123＋4k 2 ＝431＋k 24k 2－k 2m 2＋33＋4k 22， 设直线AC 的斜率为k ，不妨设k ＞0，则|AC |＝12k 2＋14k 2＋3，|BD |＝12k 2＋14＋3k 2， ∴S ABCD ＝12·12k 2＋14k 2＋3·12k 2＋14＋3k2 ＝72k 2＋1212＋25k 2＋12k4 ＝72k 2＋12k 2＋12k 2＋12＝72k 2k 2＋12＋12 ＝721⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12∈[28849，6) 因为k ＞0，∴k ＋1k ≥2k ·1k ＝2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2≥4,0＜1⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2≤14， 12＜1⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12≤494， 28849≤721⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12＜6 ∴721⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12∈[28849，6) 综上，四边形ABCD 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤28849，6.故(S ABCD )min ＝28849.。
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则 ω＝ ( A )
A．2
3 B．2
C．1
1 D．2
[解析 ] 由题意及函数 y＝ sin ωｘ的图象与性质可知，
1 3π π
2π
2T＝ 4 － 4，∴ T＝π，∴ ω＝ π，∴ ω＝ 2.
故选 A ．
4． (2019 ·青岛高二检测 )下列函数中， x＝ 0 是其极值点的函数是 ( Hale Waihona Puke )A ． f(x)＝－ x3
左侧区间 (－ π，0)内单调递减，在其右侧区间 (0， π)内单调递增，所以 x＝ 0 是 f(x)的一个极
小值点；对于 C，f ′ (x)＝ cosx－ 1≤ 0 恒成立，在 R 上单调递减，没有极值点；对于
1
＝ x在 x＝ 0 没有定义，所以 x＝0 不可能成为极值点，综上可知，答案选
B．
x2 5．函数 f(x)＝ x－ 1( B )
第一章 学业质量标准检测
时间 120 分钟，满分 150 分．
一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中
只有一个是符合题目要求的 )
1．若物体的运动规律是 s＝f (t)，则物体在时刻 t0 的瞬时速度可以表示为 ( B )
f t0＋ Δｔ－ f t0
C．x＝－ 1 为 f(x)的极大值点 D． x＝－ 1 为 f(x)的极小值点
[解析 ] 由于 f (x)＝ xex，可得 f ′ (x)＝ (x＋ 1)ex，
令 f ′ (x)＝ (x＋ 1)ex＝ 0 可得 x＝－ 1，
令 f ′ (x)＝ (x＋ 1)ex＞ 0 可得 x＞－ 1，即函数在 (－ 1，＋ ∞ )上是增函数；
f
(
x)
＝
ax3＋
12 a ln
x，且
f
′ (1)的最大值为－
12 ，则实数
a 的值为－ 2.
[解析 ]
f
′
(x)
＝
3ax2＋
12 ax ，则
f
12 ′(1) ＝3a＋ a .
∵a<0，
12 ∴f ′ (1) ＝－ [( －3a)＋ ]≤ － 2
－a
12 － 3a × ＝－ 12.
－a
12 当－ 3a＝ ，即 a＝－ 2，取 “ ＝”．
A． 5
B．2 5
C．3 5
D．2
[解析 ] 设曲线上的点 A(x0， ln(2 x0－ 1))到直线 2x－ y＋3＝ 0 的距离最短，
则曲线上过点 A 的切线与直线 2x－ y＋ 3＝ 0 平行．
1
2
因为 y′＝
·(2x－ 1)′ ＝
，
2x－ 1
2x－ 1
2
所以 y′|x＝ x0＝
＝ 2，解得 x0＝ 1.
－a
三、解答题 (本大题共 6 个大题， 共 70 分， 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 ) 17． (本题满分 10 分)已知函数 f(x)＝ x3－ 2ax2＋ bx＋c， (1)当 c＝ 0 时， f (x)在点 P(1,3)处的切线平行于直线 y＝ x＋ 2，求 a，b 的值； (2)若 f (x)在点 A(－ 1,8)， B(3，－ 24)处有极值，求 f (x)的表达式． [解析 ] (1)当 c＝ 0 时， f(x)＝ x3－ 2ax2＋ bx.
2x0－ 1
所以点 A 的坐标为 (1,0)．
|2× 1－ 0＋3| 5
所以点 A 到直线 2x－ y＋3＝ 0 的距离为 d＝
＝ ＝ 5.
22＋ － 1 2 5
9． (2019 ·沈阳一模 )设函数 f(x)＝ xex＋ 1，则 ( D )
A ． x＝ 1 为 f(x)的极大值点
B．x＝ 1 为 f(x)的极小值点
[解析 ] 观察导函数 f ′ (x)的图象可知， f ′ (x)的函数值从左到右依次为小于 0，大于 0， 小于 0，大于 0，
∴对应函数 f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．
观察选项可知，排除 A ， C．
如图所示， f ′ (x)有 3 个零点，从左到右依次设为 x1， x2， x3，且 x1， x3 是极小值点，
当 0<x<1 时， h′ (x)>0 ，当 x>1 时， h′ (x)<0 ，可得当 x＝ 1 时，函数 h(x)＝x－ xln x 取得最
大值 1，要使不等式 a≤ x－xln x 在(0，＋ ∞ )上有解，只要 a 小于等于 h( x)的最大值即可，即
a≤ 1.所以选 C．
二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上 ) 13．若曲线 y＝ e－x 上点 P 处的切线平行于直线 2x＋ y＋ 1＝ 0，则点 P 的坐标为 (－ ln2,2). [解析 ] 设 P(x0，y 0)，∵y＝e－ x，∴y′ ＝－ e－x，
所以 f ′ (x)＝ 3x2－ 4ax＋ b.
依题意可得 f(1) ＝3， f ′ (1)＝ 1，
1－ 2a＋ b＝ 3，
a＝ 2，
即
解得
3－ 4a＋ b＝ 1，
b＝ 6.
(2)f(x)＝ x3－ 2ax2＋ bx＋c， 所以 f ′ (x)＝ 3x2－ 4ax＋ b.
由题意知－ 1,3 是方程 3x2－ 4ax＋ b＝ 0 的两根，
x2是极大值点，且 x2>0，故选项 D 正确，故选 D．
7．已知 y＝f (x)是定义在 R 上的函数，且 f(1) ＝ 1，f ′( x)>1 ，则 f(x)>x 的解集是 ( C )
A ． (0,1)
B． (－ 1,0)∪ (0,1)
C．(1，＋∞ )
D． (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )
[解析 ] 不等式 f(x)>x 可化为 f(x)－ x>0，
∴点 P 处的切线斜率为 k＝－ e－ x0＝－ 2，
∴－x0＝ ln2，∴x0＝－ ln2 ， ∴y0＝ eln2＝ 2，
∴点 P 的坐标为 ( － ln2,2) ． 14． (2019 ·南开区二模 )已知 f(x)＝ x(2016＋ lnx)，f ′( x0)＝ 2017，则 x0＝ 1. [解析 ] f ′ (x)＝ 2016＋ lnx＋ 1＝ 2017＋ln x，
(1)lΔimｔ→ 0
Δｔ ；
f t0 － f t0＋ Δｔ
(2)lΔimｔ→ 0
Δｔ ；
(3)f ′ (t0)；
(4)f ′ (t)．
A ． (1)(2)
B． (1)(3)
C．(2)(3)
D． (2)(4)
2．下列积分等于 2 的是 ( C )
A ． 22xdx
0
B．
2(
1 2x＋
1)dx
0
C． 21dx
B． f( x)＝－ cosx
C．f (x)＝ sinx－ x
1 D． f(x)＝ x
[解析 ] 对于 A ，f′( x)＝－ 3x2≤ 0 恒成立， 在 R 上单调递减， 没有极值点； 对于 B ，f′( x)
＝sin x，当 x∈ (－π， 0)时， f′ (x)<0 ，当 x∈ (0， π)时， f′ (x)>0 ，故 f(x) ＝－ cosx 在 x＝ 0 的
(1)当 a＝ 1 时，求 f(x)的单调区间；
(2)若 f (x)在 (0,1] 上
的最大值为
1，求 2
a 的值．
[解析 ] 函数 f (x)的定义域为 (0,2)，
11
f′
(x)＝
x－
2－
＋ x
a，
－ x2＋ 2
(1)当 a＝ 1 时，f′ (x)＝
，∴当 x∈ (0， 2)时，f′ (x)>0 ，当 x∈ ( 2，2)时，f′ (x)<0 ，
是( C )
A ． a>2
B． a<3
C．a≤ 1
D． a≥ 3
a [解析 ] 函数 f (x)的定义域是 (0，＋ ∞ )，不等式 x－ 1＋ln x≤ 0 有解， 即 a≤ x－ xlnx 在 (0，
＋∞ )上有解， 令 h(x)＝ x－ xlnx，可得 h′ (x)＝ 1－ (lnx＋ 1)＝－ lnx，令 h′ (x)＝ 0，可得 x＝ 1，
0
D． 221xdx
1
[解析 ]
22xdx＝ x2|20 ＝4；
0
2
1 (2
x＋
1)dx＝
(
1 4
x2＋
x)|20＝
3
；
0
2 1dx＝x|20＝ 2；
0
2
1 2xd
x＝
1 2
ln
x|21＝
1 2ln2.
1
π
3π
3． (2019 ·全国Ⅱ卷文， 8)若 x1＝ 4， x2＝ 4 是函数 f(x)＝sin ωｘ(ω>0) 两个相邻的极值点，
设 g(x)＝ f( x)－ x，则 g′ (x)＝ f ′ (x)－ 1，
由题意 g′ (x)＝ f ′ ( x)－1>0，
∴函数 g(x)在 R 上单调递增，又 g(1) ＝f(1)－ 1＝ 0，
∴原不等式 ? g(x)>0? g(x)>g(1) ．
∴x>1，故选 C．
8．曲线 y＝ ln(2x－ 1)上的点到直线 2x－y＋ 3＝ 0 的最短距离为 ( A )
令 f ′ (x)＝ (x＋ 1)ex＜ 0 可得 x＜－ 1，即函数在 (－ ∞ ，－ 1)上是减函数，
所以 x＝－ 1 为 f(x) 的极小值点．
故选 D ．
10．(2019 ·全国Ⅲ卷理， 6)已知曲线 y＝ aex＋ xln x 在点 (1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋ b， 则( D )