cosB 2cosC 1cosA 1-=-，求cos 2
C
A -的值 解：∵A+C=2
B ，∴A+C=120°，B=60°
又∵
B C A cos 2
cos 1cos 1-
=+，∴C A C A cos cos 22cos cos -=+ ∴)]cos()[cos(2
1
222cos 2cos
2C A C A C A C A -++⋅-=-+ 即)12
cos 221(22cos
)2
1
(22--+--=-⋅C
A C A
02
2
32cos 2cos 222
=--+-C A C A 令t C A =-2cos
，则上式为022
3222=-+t t
∴2
23,2221-==
t t ∵1|2cos
|≤-C A ，∴2
22cos =-C A
16、已知复数z 1＝2－3x ＋xi ，z 2＝3y —1＋(3－y)i ，x 、y 属于R ，若|z 1|＝|z 2|且argz 1/z 2=90º，求
10
2
12z z ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+的值 解：∵2
arg
|,|||2121π==z z z z
∴i z z 21=
∴i i y y xi x ])3(13[32-+-=+-
i y y )13(3-+-=
∴⎪⎩⎪⎨
⎧-=-=-1
3332y x y x
解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=231231y x
∴i i z 2
3
1231231231321++-=+++⋅
-=， i i z 2
13231)2313(123132-++=+-+-+⋅
=
∴
i i z z 2
321])213231()231231[(21221+=-+++++-=+ 3
sin 3cos
π
+π=i
∴i i z z 2
3
21310sin 310cos )2(
1021--=π+π=+
17、如图，平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AC ＝22，BC ＝AA'＝A'C ＝2，∠ABC ＝90°，点O 是点A'在底面ABCD 上的射影，且点O 恰好落在AC 上. （1）求侧棱AA'与底面ABCD 所成角的大小； （2）求侧面A'ADD'底面ABCD 所成二面角的正切值； （3）求四棱锥C －A'ADD'的体积.
解：（I ）连O A 1，则⊥O A 1平面ABCD 于O
……1分（文1分）
∴AO A 1∠就是侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角
……1分（文2分）
在AC A 1∆中，22,211===AC C A A A
A
B
o
C
D D'
A'
B'
C'
22222121)22(822AC C A A A ===+=+ ∴AC A 1∆是等腰直角三角形
∴︒=∠451AO A ，即侧棱A A 1与底面ABCD 所成角为45°，
（II ）在等腰AC A Rt 1∆中，AC O A ⊥1，∴22
1
1==
AC O A ，且O 为AC 中点， 过O 作AD OE
⊥于E ，连E A 1。∵⊥O A 1平面ABCD 于O ，
由三垂线定理，知AD E A ⊥1，
∴∠
EO A 1是侧面11ADD A 与底面ABCD 所成二面角的平面角。
∵∠ABC =︒90，22)22(2222=-=-=
BC AC AB ，∴底面ABCD 是正方形。
∴OE
12
1
=AB 。 在EO A Rt 1∆中，211==
∠EO
O
A EO A tg 。 即所求二面角的正切值为2。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，,2,1==⊥BC AD AD E A 31)2(222211=+=+=
OE O A E A 。
∴32111=⋅=E A AD S ADD A 。
∵AD OE AD E A ⊥⊥,1，∴EO A AD 1平面⊥。
∵
11ADD A AD 平面⊂，∴平面EO A ADD A 111平面⊥，它们的交线是E A 1。
过O 作E A OH
1⊥，则11ADD A OH 平面⊥。
3
2
32111=
⨯=⋅=
E A O A OE OH 。
又∵AC O 是的中点，∴点C 到平面
11ADD A 的距离3
2
22=
=OH h 。 ∴3243
22323131!11
1
=⋅⋅=⋅=
-h S V ADD A ADD
A C 。
另解：3
242431313111111!111
1
=⋅===---D C B A ABCD ADD A BCC B ADD
A C V V V 。
18、在工厂生产中，若机器更新过早，则生产潜力未能充分发挥而造成浪费；若更新过迟，老机器生产效率低，维修与损耗费用大，也会造成浪费.因此，需要确定机器使用的最佳年限（即机器使用多少年平均费用最小）
某工厂用7万元购买了一台新机器，运输安装费2千元，每年投保、动力消耗固定的费用为2千元；每年的保养、维修、更换易损件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，……，即每年增加1千元，问这台机器的最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值. 解：设使用n 年为最佳年限，则每年的平均费用
{}]1.0)1(2.0(4.03.02.0[2.02.071
⨯-++++++++=n n n
y )05.035.02.7(1
2n n n ++=
35.005.02.7++=n n
35.005.02
.72
+⨯≥n n
55.135.02.1=+=（万元）。
当且仅当n n 05.02.7=，即14405
.02
.72==n ，即12=n 时取等号。 答：这台机器最佳使用年限为12年，且年平均费用的最小值为1.55万元。
19、已知数列{a n }满足a 1＝2，对于任意的n ∈N ，都有a n ＞0，且(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1－na 2
1n +＝0，又知数
列{b n }:b 1＝2
n －1
＋1
(1)求数列{a n }的通项a n 以及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；
(3)猜想S n 和T n 的大小关系，并说明理由. 解：（Ⅰ）∵0)1(),(02
112=-++∈>++n n n n n na a a a n N n a
∴0)())(
1(1
21=-++++n a a
a a n n n n n 。 ∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=++±-=+++±-=+.1
,1)1(2)12(1)1(2)1(4111n n n n n n n a a n n
∴0>n
a ，∴
1
1+=+n n
a a n n 。
即
n
n a a n n 1
1+=+。
∴
1
22332211a a a a a a a a a a n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅----- 。
n n n n n n n =⋅⋅⋅--⋅--⋅-=
1
2
2332211 。 ∴
n a a n
=1
， ∴又21=a ，∴n a n 2=。
∴)321(221n a a a S n n ++++=+++=
n n n n +=+⋅
=22
)
1(2。
（Ⅱ）∵121+=-n n b ，
∴n b b b b T n n n
+++++=++++=-)2222(1210321
n n +--=12)12(20
120-+=n 。
（Ⅲ）12)()12(22--=+--+=-n n n n S T n n n n
当1=n 时，01122111=--=-S T ，∴11S T =； 当2=n 时，011222222<-=--=-S T ，∴22S T <；
当3=n 时，021322333<-=--=-S T ，∴33S T <； 当4=n 时，011422444<-=--=-S T ，∴44S T <；
当5=n 时，061522555>=--=-S T ，∴55S T >； 当6=n 时，027*******>=--=-S T ，∴66S T >。
猜想：当5≥n 时，n n S T >。
即012
2>--n n
。亦即122+>n n 。
下面用数学归纳法证明：
︒1当5=n 时，前面已验证成立；
︒2假设)5(≥=k k n 时，122+>k k 成立，那么当)5(1≥+=k k n 时，
2)1(22222221++=+>⋅=+k k k k k
252++≥k k 222++>k k
1)1(2++=k 。
∴当)5(1≥+=k k n
时，1)1(221++>+k k 也成立。
由以上︒1、︒2可知，当5≥n 时，有n n S T >；当1=n 时，11S T =；
当52<≤
n 时，n n S T <。
20、将两副三角板放成如图所示的形状，使二面角D －AC －B 成直二面角。 已知：BC=CD ，∠ACD=∠ABC=900.求：二面角C －AB －D 的大小。 证：如图∵平面ACD ⊥平面ABC ，CD ⊥AC ，∴CD ⊥平面ABC.
∵斜线BD 在平面ABD 上的射影为BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥BD.即∠DBC 为二面角
C －AB －
D 的平面角。 ∵BC=CD ，CD ⊥BC ， ∴∠DBC=450
21、正方形ABCD 和正方形ABEF 折成一个二面角,M 、N 分别是对角线AC 和BF 上的点,且AM=FN(如图),求证：MN//平面BEC. 证明：如图，分别过M 、N 作 MP ∥DC 交BC 于P ，NQ ∥EF 交 EB 于Q ，连接PQ ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴MP ∥NQ
又∵AM ＝FN ，∴在正方形ABEF 和正方形ABCD 中，MP=NQ ∴ 四边形 MPQN 为平行四边形
∴MN ∥PQ ，∵EBC MN EBC PQ 平面平面⊄⊂,
∴MN ∥平面EBC 22、矩形ABCD(AB ≤BC)中,AC=22,沿对角线AC 把它折成直二面角B －AC －D 后,BD=5,求AB 、
BC 的长.
P
Q
C
B
解：如图，
分别过B 、D 作BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ， 设∠BAC ＝θ，则AB ＝ACcos θ＝2 2 cos θ， BE ＝DE ＝ABsin θ＝ 2 sin2θ,
AE ＝ABcos θ＝2 2 cos 2
θ∴EF ＝AC －2AE ＝22-2×22cos 2
θ＝－2 2 cos2θ
折叠后，在平面ACD 内过E 作EG ∥FD,且EG=FD,连接DG 、BG 、BD ，则∠BEG 为二面角B －AC －D 的平面角，∴∠BEG ＝90°
于是BG ＝ 2 BE ＝2× 2 sin2θ＝2sin2θ
∴BG 2
＋DG 2
＝BD 2
，即：（2sin2θ）2
＋（－2 2 cos2θ）2
＝5 ∴4（cos2θ）2
＝1,∴cos2θ＝±12 ，
∵AB ≤BC ，∴cos2θ＝－12 ∴cos θ＝1
2 ，
故AB ＝
2，BC ＝.6
23、在三棱锥A －BCD 中,E 、F 分别是线段AD 、BC 上的点,满足2
1
==FC BF ED AE ,AB=CD=3,且AB 与CD 所成的角为60o ,求EF 的长. 解：如图，过E 分别作EG ∥AB 交BD 于G ，EH ∥DC 交AC 于H ， 连接GH 、FH ，由条件，易知 EGFH 为平行四边形。 ∴∠GEH 为异面直线AB 与CD 所成的角或其补角。 ∴∠GEH ＝60°或120°
又EG ＝23 AB ＝2，EH ＝1
3 AB ＝1,
由余弦定理得：
EF ＝22+12±2×2×1×cos60° ＝
3或7
24、如图,△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直 ,AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120o ,求 (1) AD 与平面BCD 的成角; (2) AD 与BC 的成角; (3) 二面角A-BD-C 的正切值.
解：（1）如图，过A 作AE ⊥CB 与CB 的延长线交与E ，连接DE ， ∵平面ABC ⊥平面DBC ∴AE ⊥平面DBC ， ∴∠ADE 即为AD 与平面CBD 所成的角。 ∵AB ＝BD ，∠CBA=∠DBC ，EB ＝EB ∴∠ABE ＝∠DBE ，∴△DBE ≌△ABE ∴DE ⊥CB 且DE ＝AE
∴∠ADB ＝45°∴AD 与平面CBD
A B
C
D
E
F
G H F A
B
E G
H
M
所成的角为45°
（2）由（1）知CB ⊥平面ADE ∴AD ⊥BC 即AD 与BC 所成 的角为90°.
（3）过E 作EM ⊥BD 于M
由（2）及三垂线定理知，AM ⊥BD ，
∴∠AME 为二面角A －BD －C 的平面角的补角. ∵AE ＝BE ＝2ME ，∴tg ∠AME ＝2 故二面角A-BD-C 的正切值为－2.
25、如图：已知平面四边形ABCD,AC 、BD 相交于O,AB=AD,CB=CD, ∠ABC=120°,且PA ⊥平面ABCD. (1)若AB=PA=
6,求P 到直线BC 的距离;
(2)求证平面PBD ⊥平面PAC.
证明(1)延长CB,过A 在平面α内作AE ⊥CB,垂足为E.
∵∠ABC=120°,∴∠ABE=60°,在Rt △ABE 中：AE=AB ·sin60°=6·
23=2
23
∵PA ⊥平面α,AE ⊥EB,∴AE 是PE 在平面α内的射影,
∴PE ⊥EB,∴PE 为点P 到BC 的距离.在Rt △PAE 中：PE=
2
42
429622=
⨯+
=+AE PA .
(2)在四边形ABCD 中,取BD 中点O,连AO 、CO, ∵AB=AD,CD=CB,BO=OD, ∴AO ⊥BD,CO ⊥BD,
∴A 、O 、C 共线,∴AC ⊥BD. 又PA ⊥α,∴PA ⊥BD,
∴BD ⊥平面PAC,∵BD ⊂平面PBD, ∴平面PBD ⊥平面PAC.
26、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为8cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点；（1）画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线以及与平面BB 1C 1C 的交线；（2）设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长；
解：（1）设M、N、P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设，
则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，设，则直线PQ就是所要画的平面α与平面BB1C1C 的交线；
（2）正方体的棱长为8cm，B1R=BM=4cm，，故B1Q=4=（cm），在Rt△PB1Q
中，B1P=4cm，B1Q=cm，（cm）
27、如图，四棱锥V-ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，又∠BCV=∠BAV=90°，求证：VD⊥AC；
证明：∠BCD=∠BAD=90°BC⊥CD，BA⊥AD
∠BCV=∠BAV=90°BC⊥CV，BA⊥AV
∴BC⊥平面VCD，BA⊥平面VAD
∴BC⊥VD，BA⊥VD
∴VD⊥平面ABC，∴VD⊥AC
28、过点S引三条长度相等不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，
求证：平面ABC⊥平面BSC。
证明：作AO⊥平面SBC，O为垂足，
∵SA=SB，∠ASB=60°，∴AB=AS，同理AS=AC，∴AB=AS=AC，∴O为△BSC的外心，又∠BSC=90°，故O为BC中点，即AO在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BSC。
29、三棱锥P-ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，三侧面面积分别为S1、S2、S3，底面积为S，三侧面与底面分别成角α、β、γ，（1）求S（用S1、S2、S3表示）；（2）求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1；
解：设PA=a，PB=b，PC=c，则S1=ab ，S2=bc，S3=ca，
作PD⊥BC于D，连AD，
易证BC⊥平面PAD，
于是BC⊥AD；
S△ABC=BC×AD，
在Rt△APD中，AD2=a2+PD2，
在Rt△BPC中，PD2=，
∴AD2=a2+
∴S△ABC2=（BC×AD）2=（a2b2+b2c2+c2a2）=
∴
证明：由（1）知，PD⊥BC，AD⊥BC，∴∠PDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，不妨设∠PDA=α，PD2=，AD2=
∴cos2α=；
同理cos2β=；
cos2γ=
；
∴cos2α+cos2β+cos2γ=1
30、如图，四棱锥P-ABCD的侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∠DAB=∠C BA=90°，又AD=AB= BC，∠APB=arcsin，试求侧面APB与侧面CPD所成的角。
解：设AD=AB=BC=3a，由Rt△PAB≌Rt△PAD，∠APB=arcsin，得PD=PB=5a，PA=4a，
延长CD、BA交于E，连PE，作BF⊥PE于F，连CF，可证BC⊥平面PBE，则CF⊥PE（三垂线定理），
从而∠BFC是二面角B-PE-C的平面角，设其为θ；
显然AD是△EBC的中位线，∴EA=AB=3a，即EB=6a，可得PE=PB=5a
在△PBE中，用面积关系得：PE×BF=BE×PA
∴BF=
由Rt△BCF，，∴；
本题还可以用射影面积法。
31、多面体表面积为S，外切于表面积为36π（平方单位）的球，求这个多面体的体积；
分析：可仿照平面几何类似问题，连结三角形的内切圆圆心和各个顶点的线段，将三角形面积分为三个部分，且有S=r（a+b+c）；
解：球的半径R=3，连结球心和多面体各个顶点，得到的锥体体积之和就是多面体的体积，这些锥体的高都是半径R，
故V==S（立方单位）。
32、给定一个圆锥和两个平面α、β，其中α∥β，且它们与圆锥底面平行，若平面α把圆锥侧面分成面积相等的两部分，平面β把圆锥分成体积相等的两部分，求夹在α、β间的几何体的体积与圆锥体积之比。
分析：本题涉及到截锥性质：截面积与底面积的比为对应元素的平方比，截得的圆锥的体积与原圆锥的体积之比是对应元素的立方比。
解：设给定圆锥的底面半径为R，高为H，则V圆锥=πR2H；
设平面α、β与圆锥侧面相交所得两圆半径分别为r1和r2，
由截锥性质得：
显然r2>r1，即平面β比平面α离圆锥底面近些，又设截得的两圆锥的高分别是h1和h2，则夹在α、β间的
圆台的高h，有：
h= h2-h1=；
V圆台=π××（）=×πR2H
∴V圆台：V圆锥=
33、在一个每边长均为１的正三棱锥内部有１３个点，其中任三点不共线，任四点不共面，试证：其中至少有一个以这些点中的四个点为顶点的三棱锥，其体积V
证明：设棱长均为1的正三棱锥为A-BCD ，AO 是它的高，今在AO 上取一点O 1，使O 1A=O 1B=O 1C=O 1D ，可求得
OB=，AO=，
进而求得O 1A=O 1B=O 1C=O 1D=；
以O 1为点，以A-BCD 得四个面为底面的四个三棱锥显然等积，
且V'=；
在三棱锥内部的13个点，因为其中任三点不共线，任四点不共面，由抽屉原理，至少有四点落在以O 1为顶
点的四个小三棱锥的同一个三棱锥内，那幺这四点为顶点的三棱锥的体积V 。
34、进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，问售价应为多少时所获得利润最大？
解：设售价为x +
90元时利润为y ，此时售量为.20400x -
].
225)5([20)10)(20(2080)20400()20400)(90(2+--=+-=⨯---+=x x x x x x y
当5=x
时，4500max =y （元）。
答：售价为95元时获利最大，其最大值为4500元。
35、20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花、水稻。这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表。应怎样计划才能使每亩地都能种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高？
解：设种x 亩水稻（0y 亩棉花（0)](50[6.05.03.0y x y x h +-++=∴且x 、y 满足
.20)](50[2
1
314=+-++y x y x 即.,504,2720
3
N x x x h
∈≤≤+-
= 欲使h 为最大，则x 应为最小，故当4=x
（亩）时，4.26max =h 万元，此时24=y （亩）。
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数学分析课后习题答案
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所 以有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0数学专业参考书整理推荐
数学专业参考书整理推荐 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 7《数学分析新讲》张筑生 公认是一本新观点的书，课后没有习题。材料的处理相当新颖。作者已经去世。8《数学分析教程》常庚哲，史济怀著 中国科学技术大学教材，课后习题极难。 9《数学分析》徐森林著 与上面一本同出一门，清华大学教材。程度好的同学可以试着看一看。书很厚，看起来很慢。 10《数学分析简明教程》邓东翱著 也是一本可以经常看到的书，作者已经去世。国家精品课程的课本。 11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社
高等数学辅导教材推荐
高等数学辅导教材推荐 高等数学是大学阶段的重要学科之一，对于理工科、经济学等专业的学生来说，它是必修课程。好的辅导教材可以帮助学生更好地理解和掌握高等数学的概念和方法。本文将为大家推荐几本适合高等数学辅导的教材。 一、《高等数学（上、下册）》（同济大学版） 同济大学出版社的《高等数学》是一套经典的高等数学教材。该教材从基础概念出发，逐步深入，内容结构合理，逻辑严谨。它既包含了数学原理的讲解，又涵盖了大量的例题和习题，可以帮助学生巩固所学知识。该教材通俗易懂，注重培养学生的实际运算能力，是高等数学学习的首选教材之一。 二、《高等数学导学与习题解析》（高等教育出版社） 《高等数学导学与习题解析》是高等教育出版社出版的一本辅导教材。该教材以导学方式呈现知识点，每个知识点都附带大量习题。通过讲解和解题过程的详细分析，学生可以更清晰地理解和掌握数学概念和方法。该教材注重思维方法的培养，凸显数学的应用，对于理解高等数学的思维逻辑起到了积极的辅助作用。 三、《高等数学分析习题解法详解》（清华大学出版社） 清华大学出版社的《高等数学分析习题解法详解》是一本专门针对高等数学分析课程的辅导教材。它选取了一些经典的高等数学分析习题，详细解析了解题的方法和技巧。该教材旨在帮助学生更好地理解
和运用高等数学分析的基本概念，强化学生的问题解决能力。它的解题思路独特，注重方法的总结和推广，对于数学分析课程的学习具有较高的参考价值。 四、《高等数学习题精选与解析》（人民邮电出版社） 《高等数学习题精选与解析》是人民邮电出版社出版的一本高等数学辅导教材。该教材以习题为主线，选取了一些典型的难题，通过详细解析和分析，帮助学生理解习题的解题技巧和思路。该教材的解析过程详细，习题数量较多，对于提高学生的解题能力和应对考试有一定的帮助。 以上是本文为大家推荐的几本适合高等数学辅导的教材。需要强调的是，教材只是辅助学习的工具，学生在选择教材时应根据个人的学习特点和需求来进行选择。同时，辅导教材只是学习的一部分，学生还应注重课堂上的理论学习和实际应用能力的培养，通过不断的练习和思考，才能真正掌握高等数学的知识和方法。希望以上推荐对大家有所帮助，祝愿大家在高等数学学习中取得好成绩！
数学分析习题解答
§17.1 多元函数微分学 1．求下列函数的偏导数： (1) 22,;x y z xy z x == (2)cos z y x = sin ,cos ;x y z y x z x =-= (3) 3 322222 2 ,;() () x y x y z z x y x y --= = ++ (4)22ln()z x y =+ 2222 22,;x y x y z z x y x y = =++ (5) ,;xy xy x y z ye z xe == (6)arctan x z y = 22222 21 . ,;1()x y y y x z z y x x y x y x --= ==+++ (7) sin()2sin()sin()sin() cos()[1cos()],[1cos()]; xy xy xy x xy y z ye xy e xy ye xu xy z xy xy xe =+=+=+ (8) y x x u x y z = +- 222 111,,;x y z y z x u u u x z x y y z =- -=-=+
(9) 11(),(),()ln();z z z x y z u zy xy u zx xy u xy xy --=== (10) z y u x = 1 1,ln ,ln ln ;z z z z y z y y z x y z u y x u zy x x u x y x y --=== 2. 设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x 解法1 ：(,1)1f x =+ 则(,1)1f x = 解法2 ：(,1)0,(,1)1x f x x x f x =+?= 3．设2222 221sin ,0,(,)0,0 y x y x y f x y x y ì??+ ?+=í???+=??，考察函数f 在原点（0，0）的偏导数。 解： 因为 0 0(0,0)(0,0)00 lim lim 0,x x x x x f f D 瓺 +D --==D D 2 0(0,0)(0,0) 1 lim lim ()y y y y y f f D 瓺 +D -=D D 不存在. 所以，(,)f x y 在原点关于x 的偏导数为0，关于y 的偏导数不存在。 4．证明函数 在点（0，0）连续但偏导数不存在 . 证明： 记cos ,sin ,x y y r q q ==则(,)(0,0) 0.x y r 而(0,0)0.f = (,)0 lim lim 0.x y r r = 所以 (,)lim 0(0,0),x y f ?== 即z = 在点(0,0)连 续. 然而，00(,0)(0,0) lim x x x x x f f D D -=D 不存在，即(0,0)x f 不存在，同理(0,0)y f 不存在. 5．考察函数 在点（0，0）处的可微性
数学分析试题库--计算题、解答题--答案
数学分析题库（1-22章） 四．计算题、解答题 求下列极限 解：１。∞=+=--+=--∞→∞→∞→)2(lim 2 ) 2)(2(lim 24lim 2n n n n n n n n n ２． 11 1 lim(1)1223 (1) n n n →∞ + +++ ⋅⋅+ 1111 11 lim(1)1223 1 1 lim(1)11 n n n n n →∞→∞=+-+-++ -+=-=+ ３．11 1cos lim cos 1lim 00===-→→x e x e x x x x ４.这是 型,而 )1() 1ln()1()1(]111)1ln(1[)1(][])1[(21 2 1)1ln(1 1x x x x x x x x x x x e x x x x x x +++-+=+⋅++- +=' ='++ 故 原极限＝12 (1)ln(1) lim(1) (1) x x x x x x x x →-++++ 2 001ln(1)1lim 2311 lim 261x x x e x x e x x →→-+-=⋅+-=⋅⋅=∞ ++ 5 3)1(lim ) 1()1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→n n n n n n n n n n n 6 2 11lim(1)n n n n →∞ + +
22 (1)121lim(1)1 n n n n n n n n +⋅+→∞ =+ + 因1) 1(lim 2=+∞→n n n n ， ∞=+∞→1lim 2n n n 故原极限＝e e =1 . 7． 用洛必达法则 33 3sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim 6 6 =--=-→→x x x x x x ππ 8。 00111lim()lim 1(1) x x x x x e x x e x e →→---=-- 0011lim lim 122 x x x x x x x x e e xe e xe e →→-===+-+ 9。 x x x x x sin tan lim --→； 解法1： 200tan sec 1 lim lim sin 1cos x x x x x x x x →→--=-- 2201cos lim cos 1cos x x x x →-=-（） 201cos lim cos 2 x x x →+== 解法2： 2002030tan sec 1lim lim sin 1cos 2sec tan lim sin 2 lim cos 2 x x x x x x x x x x x x x x →→→→--=--=== 10． 10 lim(sin 2cos )x x x x →+
鸡兔同笼问题小学生解法
鸡兔同笼问题小学生解法 鸡兔同笼问题，是小学阶段一个非常重要的数学模型。解决这类问题可以极大的拓宽 孩子的解题思路，帮其拓宽解题思路，加深对所学知识的理解。今天除了常规解法之外， 我也提供另外几种非常规的解法,下面来一起看看吧。 01极端假设法 假设40个头都就是鸡，那么理应肢2×40=80(只)，比实际太少-80=20(只)。这就是 把兔看做鸡的缘故。而把一只兔看作一只鸡，足数就可以太少4-2=2(只)。因此兔存有 20÷2=10(只)，鸡存有40-10=30(只)。 02任意假设 假设40个头中，鸡存有12个(0至40中的任一整数)，则兔存有40-12=28(个)，那 么它们一共蕨科肿足2×12+4×28=(只)，比实际多-=36(只)。这表明存有一部分鸡看做兔了，而把一只鸡看作一只兔，足数就可以多4-2=2(只)，因此把鸡看作兔的只数就是 36÷2=18(只)。那么鸡实际存有12+18=30(只)，兔实际存有28-18=10(只)。通过比较第 一类和第二类数学分析，我们不难看出：任一假设就是极端假设的通常形式，而极端假设 就是任一假设的特定形式，也就是方便快捷数学分析。 03除减法 用脚的总数除以2，也就是÷2=50(只)。这里我们可以设想为，每只鸡都就是一只脚 东站着;而每只兔子都用两条后腿，像是人一样用两只脚东站着。这样在50这个数里，鸡 的头数反正一次，兔子的头数相等于反正两次.因此从50乘以总头数40，剩的就是兔子头数10只。存有10只兔子当然鸡就存有30只。 这种解法其实就是《孙子算经》中记载的：做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单!这也是文章前面这个数学段子中趣解的由来，我也课堂当中也经常喜欢给学 生讲解这种解法。 04第四类数学分析：盈亏法 把总足数看作标准数。假设鸡有25只，兔则有40-25=15(只)，那么它们有足 2×25+4×15=(只)，比标准数盈余-=10(只);再假设鸡有32只，兔则有40-32=8(只)，那 么它们有足2×32+4×8=96(只)，比标准数不足-96=4(只)。根据盈不足术公式，可以求出鸡的只数。即鸡有(25×4+32×10)÷(4+10)=30(只)，兔则有40-30=10(只)。 05比例分配 40个头一共只足，平均每个头有足÷40=2.5(只)。而一只鸡比平均数少(2.5-2)只足，一只兔比平均数多(4-2.5)只足。根据平均问题的“移多补少”思想：超出总数等于不足
一次函数常见重点综合应用题
一次函数常见重点综合应用题 在数学的学习过程中，一次函数是一个非常重要的概念。它不仅在各种基础数学问题中有广泛应用，还在现实生活中有着广泛的应用。因此，掌握一次函数常见重点综合应用题的类型和解决方法，对于提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。 一次函数作为一种常用的数学工具，被广泛应用于各个领域。在物理学、工程学、经济学等科学领域中，一次函数都被广泛使用来解决各种问题。例如，物理学中的速度-时间关系、经济学中的成本-收入关系等都可以通过一次函数来表示。 最大值和最小值问题：这类问题在日常生活中非常常见，例如，如何在保证利润的前提下，使成本最小或使销售量最大。解决这类问题通常需要用到一次函数的单调性和最值定理。 生活中的优化问题：这类问题主要涉及到如何在有限的资源下，做出最优的决策。例如，如何在固定预算下，购买最优质的商品；或者如何在固定时间内，完成最多的工作。这类问题通常需要用到一次函数的极值概念。 方案选择问题：这类问题通常涉及到多个方案的选择，而每个方案的
效果又与一次函数有关。例如，如何选择一个合适的投资策略，使得未来的收益最大。这类问题通常需要用到一次函数的比较方法。 建立数学模型：首先需要明确问题的数学本质，并建立相应的数学模型。在模型中，通常会用到一次函数或其复合形式。 确定变量和参数：根据问题的具体情况，确定模型中的变量和参数。这通常需要对问题的背景有深入的理解。 求解模型：根据建立的模型，运用适当的数学工具进行求解。这可能涉及到方程的解法、图形的分析和最优化方法等。 整合答案：将求解的结果整合为对实际问题有指导意义的答案。 一次函数作为数学的一个重要组成部分，不仅在学术领域有广泛的应用，在现实生活中也有着广泛的应用。通过学习和掌握一次函数的重点综合应用题，我们能够更好地理解和解决生活中的各种问题，提高我们的数学思维能力和解决实际问题的能力。因此，我们应该在学习过程中重视一次函数的应用题训练，以便更好地理解和应用这一重要的数学工具。 a.请解释一次函数的概念，并举出两个一次函数的例子。
高中数学高等代数和数学分析题目
高中数学高等代数和数学分析题目在高中数学课程中，高等代数和数学分析是两个重要的学习内容。以下是一些典型的高中数学高等代数和数学分析的题目，帮助同学们巩固知识和提高解题能力。 第一题：高等代数 已知函数 $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 2$ ，求 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$。 解法： 根据导函数的定义，导函数 $f'(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导数。对于多项式函数，可以使用幂函数的导数规则进行求导。 首先，对每一项进行求导： $\frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2$ $\frac{d}{dx}(-4x^2) = -8x$ $\frac{d}{dx}(3x) = 3$ 将求导结果相加，得到： $f'(x) = 6x^2 - 8x + 3$ 因此，函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 为 $6x^2 - 8x + 3$。 第二题：高等代数 已知函数 $g(x) = \frac{x^2 + 3x - 2}{x + 1}$ ，求 $g'(x)$。
为了求 $g'(x)$，我们需要使用除法的求导法则。 首先，对分子的每一项进行求导： $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ $\frac{d}{dx}(3x) = 3$ 然后，对分母进行求导： $\frac{d}{dx}(x + 1) = 1$ 对于除法的求导法则，我们可以使用以下公式： $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ 将求导结果带入公式，得到： $g'(x) = \frac{(2x)(x + 1) - (x^2 + 3x - 2)(1)}{(x + 1)^2}$ 化简上式，得到： $g'(x) = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 3x + 2}{(x + 1)^2}$ $g'(x) = \frac{x^2 - x + 2}{(x + 1)^2}$ 因此，函数 $g(x)$ 的导函数 $g'(x)$ 为 $\frac{x^2 - x + 2}{(x + 1)^2}$。 第三题：数学分析 已知函数 $h(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$ ，求 $h'(x)$。
2023高考数学2卷圆锥曲线题多种解法
2023高考数学2卷圆锥曲线题多种解法 近年来，高考数学2卷中的圆锥曲线题目备受考生和教师关注。圆锥曲线是数学中重要的概念，其在几何、代数和应用数学中都有着广泛的应用。掌握圆锥曲线的相关知识和多种解题方法是提高学生数学成绩的关键之一。本文将针对2023年高考数学2卷的圆锥曲线题目，围绕不同的解题方法展开讨论，帮助考生深入理解、掌握相关知识，并提高解题的灵活性和准确性。 一、圆锥曲线的基本概念 1.1 圆锥曲线的定义 圆锥曲线是平面上一类重要的几何曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。它们都可以由一个圆锥面与一个平面交线而成。在坐标系中，圆锥曲线可以通过方程表示，分别为： 圆：x^2 + y^2 = r^2 椭圆：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 双曲线：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1 抛物线：y^2 = 2px 1.2 圆锥曲线的性质
圆锥曲线具有多种性质，例如椭圆的焦点性质、双曲线的渐近线性质、抛物线的焦点和准线性质等。掌握这些性质有助于理解圆锥曲线的特 点和解题方法。 二、2023年高考数学2卷圆锥曲线题目分析 2.1 题目类型和难度 2023年高考数学2卷的圆锥曲线题目主要涉及圆、椭圆和双曲线，涵盖了曲线方程、焦点、离心率、渐近线等知识点。题目难度适中，但 需要考生对相关知识有基本的掌握和灵活运用能力。 2.2 典型题目解析 （1）椭圆的离心率问题 题目描述：已知椭圆的长轴为6，短轴为4，求椭圆的离心率。 解析：根据椭圆的定义和离心率的计算公式，可求得椭圆的离心率为 e=√(1 - (b^2/a^2))，带入长短轴的值计算即可得到答案。 （2）双曲线渐近线问题
数学分析精选习题
数学分析精选习题 数学分析是一门基本学科，是其他大多数数学分支学科的基础 和突破口。学习数学分析时，除了理论知识的掌握，习题的做法 与解法也是非常重要的一部分。下面我将介绍一些精选的数学分 析习题。 一、一元积分学 1、计算定积分 $\int_{1}^{2}(x-1)^{2} dx$ 分析：将 $(x-1)^{2}$ 展开后，进行积分，得到 $\int_{1}^{2}x^{2}-2x+1dx$，计算可得 $\frac{1}{3}$。 2、计算定积分 $\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x+1)^{2}}$ 分析：利用换元法可得到$\int\frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C$，代回原式，得到$\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$。 二、多元积分学
1、计算二重积分 $\iint_{D}xydxdy$，其中 $D=\{(x,y)|1\leq x\leq 2,0\leq y\leq1\}$ 分析：直接进行积分即可得到 $\frac{3}{4}$。 2、计算三重积分 $\iiint_{\Omega}xe^{x}\sin y dxdydz$，其中$\Omega=\{(x,y,z)|0\leq x\leq 1,0\leq y\leq\pi,0\leq z\leq2\}$ 分析：先对 $x$ 进行积分，得到 $\frac{1}{2}(e-e^{0})$，然后对 $y$ 进行积分，得到0，最后对 $z$进行积分，得到 $2(e-1)$。 三、微分方程 1、求解微分方程 $\frac{dy}{dx}+y=1-x$，$y(0)=0$。 分析：通过对变量分离的方法，得到 $y=1-x-Ce^{-x}$，代入初始条件，得到 $y=1-(x+1)e^{-x}$。 2、求解微分方程 $\frac{dy}{dx}-y=x^{2}$。
三线一面计算题及答案
三线一面计算题及答案 1.奶牛场平均每头牛每天吃12千克草。照这样计算，25头牛3天一共吃多少千克草？（用两种方法解答。） 2.缝纫组有18人，平均每人每天做3套衣服，四月份工作25天，一共可以做多少套 衣服？ 3.某工厂去年与今年的平均值产值为92万元，今年比去年多10万元，问今年与去年 的产值各就是多少万元？ 4.小华家养了35只母鸡，4个月一共生了个蛋．平均1只母鸡1个月生多少个蛋（用两种方法分析解答） 5.少年宫美术组存有45个同学，3个月共创做出幅画，平均值每人每月创作了多少 幅画？ 6.个同学分两批参观美术展览．第一批分成5个小组，第二批分成4个小组，每组人 数相等．每一批去了多少个同学？ 7.4台碾米机3小时碾米千克，1台碾米机8小时碾米多少千克？ 参考答案 1. 分析： 第一种数学分析：先求25头牛1天喝多少千克草，Ploudalm25头牛3天喝多少千克草。 解：25头牛1天吃多少千克草？12×25＝（千克） 25头牛3天喝多少千克草？×3＝（千克） 综合算式：12×25×3＝×3＝（千克） 请问：25头牛3天一共喝千克草。 第二种解法：先求1头牛3天吃多少千克草，再求25头牛3天吃多少千克草。 求解：1头牛3天喝多少千克草？12×3＝36（千克） 25头牛3天吃多少千克草？36×25＝（千克） 综合算式：12×3×25＝36×25＝（千克）
答：25头牛3天一共吃千克草。 2.分析：先求出来18人一共工作多少天，Ploudalm18人四月份一共搞多少套衣服。 综合算式解：3×（25×18）＝（套） 请问：一共可以搞套衣服。 3.分析：因为今年比去年多10万元，所以今年产值应比平均产值多（10÷2）万元，去年的产值应比平均产值少（10÷2）万元。 求解：今年的产值：92＋10÷2＝97（万元） 去年的产值：92－10÷2＝87（万元） 求函数：97－87＝10（万元）合乎题意 答：今年的产值是97万元，去年的产值是87万元。 4.分析： 第一种解法：先求出平均每只母鸡4个月一共生多少个蛋？再求出一只母鸡一个月生多少个蛋？ 求解：每只母鸡4个月一共生多少个蛋？ ÷35＝（个） 每只母鸡1个月生多少个蛋？÷4＝26（个） 综合算式：÷35÷4＝26（个） 请问：平均值1只母鸡1个月26个蛋． 第二种解法：先求35只母鸡1个月生多少个蛋？再求一只母鸡一个月生多少个蛋？ 求解：35只母鸡1个月生多少个蛋？÷4＝（个） 1只母鸡1个月生多少个蛋？÷35＝26（个） 综合算式：÷4÷35＝26（个） 答：平均1只母鸡1个月生26个蛋． 检验应用题答疑与否恰当，常用的检验方法存有两种： 1．按照原来的题意，依次检查每一步列式和计算，看是不是正确．
数学专业毕业论文推荐题目大全
数学课程与教学论
第二部分基础数学 序号 论文题目内容提要、所用知识推荐理由 10 抽屉原则在数学竞赛中的应用。离散数学Ramsey定理 16 对偶原理在二次曲线的应用高等几何对偶原理 20 二阶曲线上的对合及其应用高等几何对合 23 反例在高等数学教学中的作用。高等数学典型反例 25 非初等函数的表示方法数学分析探讨 39 古典概型中样本空间的选取的研讨概率论其中存在似是而非 的问题 40 关于二阶曲线切点切线的方法探讨高等几何重要概念 64 频率对概率的偏差的估计概率论重要概念 68 浅谈不定方程的求解数论方法不定 70 浅谈导数的应用数学分析应用广泛 79 浅谈几何画板在中学数学的应用几何画板
100 儒歇（Rouche）定理的推广及应用。复变函数重要定理114 数学史上三次数学危机的分析数学基础的问题124 微分中值定理及其应用数学分析应用广泛 第三部分基础数学 一、常微分方程
七、近世代数 第四部分（使用过的题目） 序号论文题目内容提要、所用知识推荐理由 11 π的两种新的快速逼近算法数学分析π 22 实数完备性定理的等价证明及应用数学分析实数完备性定理的 等价定理很多 33 浅谈数e 数学分析 e 82 浅谈cantor集实变函数cantor集90 判别式在中学数学中的应用判别式 116 一元二次方程判别式在解题中的应用探究判别式 119 在数学游戏中激发小学生学习兴趣的探讨数学兴趣127 几何画板的教学功能研究几何画板130 数列求和初探 131 浅谈行列式的计算方法高等代数 185 非线性方程求解的三类Newton法的比较数学分析Newton法187 matlab图形功能在解析几何教学中的应用解析几何matlab 189 求解非线性方程的几类新迭代法的构造及应用数学分析非线性方程
2021全国2卷第21题五种解法赏析
+ = ( ≠ ± ) 2 2 ⎩ 2021 全国 2 卷第 21 题五种解法赏析 21. x 2 【解析】（1）椭圆的第三定义可得 y 2 1 x 2 ，椭圆除去左右两个端点。 （2）（i ）法一： 4 2 ⎧⎪x 2 + 2 y 2 = 4 法二：（点差法）设 P (x , y ), Q (-x , - y ), G (x , y ) ，由 ⎨ 1 1 得： 1 1 1 1 2 2 ⎪⎩x 2 + 2 y 2 = 4 x 2 - x 2 + 2( y 2 - y 2 ) = 0 ，即 x 2 - x 2 + 2( y 2 - y 2 ) = 0 ，所以 y 2 - y 1 ⋅ y 2 + y 1 = - 1 ， 2 1 2 1 2 1 2 1 x - x x + x 2 要证明 k ⋅ k = y 1 ⋅ y 2 - y 1 = -1，需证明 y 1 = 2 ⋅ y 2 - y 1 ， 2 1 2 1 PQ PG x x - x x x - x 1 2 1 注意到 P , G , E 三点共线，由 k = k 得 1 2 1 y 1 = y 2 + y 1 ,故结论显然成立。 QE QG 2x x + x 1 2 1 1 法三：由题知（椭圆第三定义）k GP ⋅ k GQ = - 2 ，要证明 k PQ ⋅ k PG = -1，只需说明 k PQ = 2k GQ ， 显然。 【点评】前两问在 201 年江苏和 2012 年湖北都考查过，在淘宝博约书斋店铺《解析几何系统性突破》（唯一正版销售书店）的运算部分中恰好都给出了这两个例题。 （ii ）法一：（参考答案改进）（基于直线 PQ : y = kx 简单，所以 P , Q 坐标易求，注意到 P 在曲 线 上 ， 可 由 韦 达 定 理 求 出 G 坐 标 ， 这 是 参 考 答 案 的 思 路 ， 如 果 注 意 到 PG = x - x ，只需要找出 x - x ，联立方程，韦达定理可得。） 2 1 2 1 k 设直线 PQ : y = kx ，直线QG : y = (x - x ) ， 2 1 ⎧ y = kx 2 4 联立 ⎨x 2 + 2 y 2 = 4 得 x 1 = ， 1+ 2k 2 1+ 1 k 2
物理学科网
物理学科网 江西省南昌市2022-2022学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立
意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知A,B,C是单位圆上互不相同的三点，且满足ABAC，则ABAC的最小值为（） 41B． 23C． 4D．1 A． 【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等 知识，是向量与三角的典型综合题。解法较多，属于较难题，得分率较低。 【易错点】1．不能正确用OA，OB，OC表示其它向量。 2．找不出OB与OA的夹角和OB与OC的夹角的倍数关系。 【解题思路】1．把向量用OA，OB，OC表示出来。 2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。 22 【解析】设单位圆的圆心为O，由ABAC得，(OBOA)(OCOA)，因为 ，所以有，OBOAOCOA则OAOBOC1 ABAC(OBOA)(OCOA) 2
中考数学专题复习 专题42 中考数学史类试题解法(教师版含解析)
中考专题42 中考专题数学史类试题解法 初中阶段了解一些著名的中外数学家的事迹及其贡献，可以激发学生学习数学的积极性和主动性，通过学习数学家研究问题的思想，提升学生数学观念、科学思维、科学探究、科学态度等核心素养的是十分重要的举措。 1.秦九韶 秦九韶(1208年－1261年)南宋官员、数学家.著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。他在1247年著成《数书九章》十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。在世界数学史上占有崇高的地位。 2.杨辉 杨辉，字谦光，中国南宋(1127～1279)末年钱塘(今杭州市)人。其生卒年月及生平事迹均无从详考。据有关著述中的字句推测，杨辉大约于13世纪中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过苏州、台州等地。是当时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题。 杨辉一生编写的数学书很多，被称为《杨辉算法》。杨辉继承中国古代数学传统，他广征博引数学典籍，引用了现已失传的宋代的许多算书，使我们才得知其部分内容。其中，刘益的“正负开方术”，贾宪的“增乘开方法”与“开方作法本源”图(即误传为“杨辉三角”)，就是极其宝贵的数学史料。 3.刘徽 三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一。他是魏晋时代山东邹平人。终生未做官。他在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和
专题42 中考数学史类试题解法(解析版)
专题42 中考数学史类试题解法 初中阶段了解一些著名的中外数学家的事迹及其贡献，可以激发学生学习数学的积极性和主动性，通过学习数学家研究问题的思想，提升学生数学观念、科学思维、科学探究、科学态度等核心素养的是十分重要的举措。 1.秦九韶 秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家.著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。他在1247年著成《数书九章》十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。在世界数学史上占有崇高的地位。 2.杨辉 杨辉，字谦光，中国南宋（1127～1279）末年钱塘（今杭州市）人。其生卒年月及生平事迹均无从详考。据有关著述中的字句推测，杨辉大约于13世纪中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过苏州、台州等地。是当时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题。 杨辉一生编写的数学书很多，被称为《杨辉算法》。杨辉继承中国古代数学传统，他广征博引数学典籍，引用了现已失传的宋代的许多算书，使我们才得知其部分内容。其中，刘益的“正负开方术”，贾宪的“增乘开方法”与“开方作法本源”图（即误传为“杨辉三角”），就是极其宝贵的数学史料。 3.刘徽 三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一。他是魏晋时代山东邹平人。终生未做官。他在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和
高等数学中极限问题的解法详析
高等数学中极限问题的解法详析(总 18页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--
数学分析中极限的求法 摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则 求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。 关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件. 极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。 1：利用两个准则求极限。 (1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则 有 lim n x y a →∞ = . 利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。 例[1] n x = + 求n x 的极限 解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项
【精品】级数与积分的关系
附页 课题论证： 1、课题研究的目的、意义。积分和级数看似相距甚远，实则同出一源，本质上都是求和运算，只不过是对不同形式变量的求和；又同时是一个极限运算，一个是对函数求极限，一个是对数列求求极限。本课题想通过对反常积分和数项级数以及它们的含参量形式这两对概念的定义、性质、收敛判别法等方面加以比较，列出相平行的结论，得出它们之间确实有着本质的联系这一事实，进而找到这一联系；意义是根据它们的联系，就可以通过离散的形式的理论或研究方法探索得到相应的连续形式的结论，或反过来由连续的形式探究离散形式的理论方法，从而学会知识的迁移，解决更多的问题。 2、课题研究的主要内容。数学分析中蕴含着丰富的哲学思想,包括离散与连续的相互转化思想,积分和级数正是这一矛盾在数学中的体现,它们在理论和研究方法上存在很多相似之处,比较二者的概念、敛散性、性质及判别法等,可以发现它们有很多平行的结论,这不是偶然的,因为它们之间有着内在的联系,而由矛盾的对立性,又存在着一些差别.因此将积分和级数加以比较,找出它们的关系,通过一类问题的方法探究另一类问题的解法,学会数学知识的迁移很有必要。 本文从概念、性质及收敛判别法等方面对积分和级数加以比较,列出了很多平行的理论,从而指出了二者有着本质的联系,进而找出了这种联系,印证了积分和级数是离散和连续在数学分析中的体现, 并根据这种联系,利用一类问题的解法得到另一类问题的求解.在每章最后又简单地列举了一下区别，提出了一些新的问题。 3、本课题国内外研究现状、预计有哪些突破。本课题中涉及到积分和级数的本质联系的事实很明显，相关研究也已经很成熟，当前的研究主要集中在通过一类问题的解法寻求另一类的相关理论，提出了一些新的判别法等，如函数项级数的积分判别法以及莱布尼茨判别法等。本文想通过列举积分和级数的平行的结论，加深对二者本质的理解，有助于更多的探索新的理论。如类似于数项级数的比式判别法，能否找到反常积分的相关的推广结论。 4、完成本课题的条件分析。课题研究人系数学与应用数学专业本科四年级学生，知识水平和能力结构尚存在着一定的局限，课题研究主要参考本科数学分析教材和相关的书籍，另外参阅了中国知网上收录的一些相关文章，了解了一些比较前沿的研究成果并加以借鉴。另外请资深的老师进行指导，历时大概三个月，最终完成整篇论文。
