数学分析思想在中学数学解题中的应用
高等数学在中学数学中的应用----毕业论文
【标题】高等数学在中学数学中的应用【作者】丁海云【关键词】高等数学中学数学联系应用【指导老师】陈强【专业】数学与应用数学【正文】1 引言近几年来，高等师范院校数学系的不少大学生对学习高等数学存在不少看法，如“现在学的高等数学好像与初等数学没有多大联系”，“学习高等数学对今后当中学数学教师作用不大”，有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本用不上”等等．这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，当然他很快就忘了中学学的知识．但是毕业以后当了老师，他们又突然发现，要他们按老师的教法来教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，对他们对教学毫无影响”．然而在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，可以说是数学发展的一种必然．现在的中学数学教师必须掌握高等数学的基础知识以适应数学发展和教材改革，而高等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了．本文探讨一些高等数学知识和方法在初等数学中的应用．2 初等数学与高等数学的联系一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”)．无论何种方法，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”．理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法：所谓初等数学就是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔(R?Descartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志．而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学．当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别．事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的有机联系，只从学科表面上看，难以看清两者之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点．2.1 知识方面的联系高等代数在知识上是中学数学的继续和提高．它能解释许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等．从以下几个方面说明：首先，中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论；中学代数给出了多项式因式分解的常用方法.高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定；中学代数讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等代数接着讲一元n次方程根的定义，复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，一元n次方程根的近似解法及公式解简介；中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法．高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法、讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子；中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子.其次，中学几何的内容体系主要是由平面几何、立体几何和平面解析几何三部分构成．平面几何研究由点的集合而形成的平面几何图形的性质；立体几何研究空间几何图形的性质诸如直线、平面及旋转体；平面解析几何研究形与数结合的问题，重点是二次曲线理论的研究．侧重研究直线间的合同、相似极度量关系，就二次曲线而言也侧重于定义的直观描述和各自所具有的性质．作为高等几何而言，侧重于对直线形的结合关系、顺序关系及二次曲线一般理论的研究，具有普适性、全面性．中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型.第三，高等数学分支之一数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期，不仅内容上更加丰富，更在思想方法上发生了根本性的变化．它的形成是深深扎根于初等数学基础之上，它的一些基本概念如导数、积分、无穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的．如导数是在运用代数运算求直线斜率这一问题的基础上，发展成为运用极限方法求曲线上的点的斜率而形成的．可以这样讲，数学分析的形成是初等数学发展到一定阶段的必然结果．第四，集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论．它的建立是数学发展史上的一个里程碑，它给数学奠下了坚实的基础，其思想已渗透到数学的各个领域．它是整个数学的基础，它是数学的基本语言，同时也树立了现代数学的传统．我国中学数学中已经渗透了集合论的内容，如集合、映射及分类的思想，并使用了点集、解集合等集合论语言．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高.它不但解释了许多中学数学未能说清楚的如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等问题，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的.2.2 思想方面的联系中学数学思想和方法主要体现为三个层次，第一层次指数学各分科的具体解题方法和解题模式，如代数中的加减消元法、代入消元法、韦达法、判别式法、公式法、非负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等；几何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助面的作法、面积方法、体积方法、图形及几何体的割补方法、三角形奠基法等等；还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式．第二层次指适用面很广的一些“通法”，如配方法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、一般化与特殊化法、参数法、反证法、同一法、观察与实验、比较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类比与联想、抽象与概括等等．第三层次指数学观念，即人们对数学的基本看法和概括认识，如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等．在高等数学教育活动中，上述数学思想和方法将得到进一步强化，高等数学各分支学科中几乎渗透了三个层次的思想和方法，在空间解析几何、高等几何、微分几何等学科中明显渗透着第一层次的思想和方法，第二、第三层次的思想和方法是数学学习和研究的重要方法，在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和方法的训练．除上述所举的思想和方法外，高等数学各分支学科中也渗透着许多新的思想和方法，如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性方程组的矩阵解法、二次型的正负判定法、线性变换法等等．现代中学数学和高等数学教学的一个显著特征就是注重知识形成过程的教学，形成和发展学生的数学思想和方法，会用数学思想和方法来解决问题．3 高等数学在中学数学中的应用用高等数学的观点、原理和方法，认识、理解和解决中学数学问题是我们大多数人的共同目的，也是高等数学价值的一种体现，尤其是在指导教学、指导解题、诠释初等数学问题等方面，体现非常明显．3.1 高等数学在中学数学教学中的作用我们知道，初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别．正因为这个原因，有许多学者就认为：学生不需要懂得什么高等数学知识，教师只要能照本本讲下去就可以了，其实这是一种误解．诚然，我们在课堂上不能把高等数学知识传授给学生，但我们作为一名教师倘若仅仅停留在本本上，那是很不够的，有时甚至连自己对一些初等数学问题也可能会感到费解，这是因为：一方面，高等数学是初等数学的继续和提高；另一方面，初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得以澄清．因此，我们对高等数学在初等数学教学中的作用不能掉以轻心，下面就这个问题谈谈笔者的一些初浅的体会．3.1.1 高等数学原理与中学数学教学首先，注重高等数学对初等数学的指导作用,运用原理，把握本质.多数教育工作者实践中认识到：教师只有深人研究高等数学，才能深刻把握初等数学的本质，使数学课堂教学不失科学性，做到居高临下，把课教活．如有这样一道题目：例1 解方程．解此题若按三次方程求解相当困难．但若将“”看作“未知数”，看作常量，则是一个关于“”的“一元二次方程”，，解之得= ．所以原方程的解为，.可以看出,该题很好的把握了题目的主旨—变量和函数的观点.虽然变量与函数是数学分析研究的对象,中学数学中以常量问题为主,但有时若将这些问题中的字母,甚至常数看作变量,而将字母间的关系看作函数关系,运用变量和函数的观点去考察它,会使一些问题变得容易或为解题提示一种可行的思路.另外,中学数学教材中的数学知识,由于充分考虑到数学的社会性原则和学生的可接受性原则,往往是以教育形态(不是学术形态)的呈现,因此中学数学教材中的一些知识内容不可能严谨透彻,例如高中代数中的指数函数（a> 0且a≠1）,由于中学阶段指数概念仅推广到有理数,而指数函数的定义域是实数集.然而要在中学阶段讲清这个问题是不大容易的,需要涉及极限理论.事实上,指数函数是群(R, +)到群(R+, )的同构映射,且保持序结构.同时,一些重要的数学基本定理,根据其在中学数学中的地位与作用,大都以“公理”的形式直接加以肯定,并予以直观的描述,严格的证明需通过高等数学的知识加以证明和完善.可以说,运用高等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明;反过来,中学数学中的问题也为高等数学的理论提供可靠的背景和模型.因此,教师学习和运用高等数学知识可以加深理解中学数学教学内容的安排意图,更利于提高高师生数学解题能力.其次，在教学中讲解高等数学在初等数学中的渗透，深化对中学知识的掌握高等数学中的概念、思想、方法很多已渗透到中学数学中，在教学中注意这方面的讲解，就能使学生充分地认识到高等数学对中学数学教学的指导意义，也说明教师充分认识到了“居高临下”的重要性．另外在中学数学中，对有些概念和方法没有加以解释和说明，就交给学生应用，虽然使用时能解决问题，但深入理解是不可能的．而作为未来的中学数学教师，对这些概念的理解与掌握就不能只停留在中学时的水平上，而应该更清楚和深刻．如：中学数学中把“形如a+bi(a,b都是实数)的数”叫作复数.这里的“+”是什么意思？a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a与bi连结成一个整体的符号．那么，能不能把这个符号理解为普通实数的加法符号呢？为此，就必须学习了近世代数中复数的构造性理论后才能解答.C是复数集，+，分别表示复数的加法与乘法，则（C；+，）是一个域，叫复数域.在对应关系：（a,0） a之下可证集合与实数域同构，故可把（a,0）看成实数a,即（a,0）=a，从而复数域就是实数域的一个扩域.由复数乘法的定义得.因此复数（0，1）和的性质相同.它是方程的一个根，令（0，1）=i，i为虚数单位.故任意复数（a，b）就可以写成（a，b）=（a,0）+(0,b)=a+bi中的“+”不仅是形式上的符号，它与实数算术运算中的“+”完全一致.3.1.2 高等数学观点与中学数学教学中学数学教学以渗透高等数学思想、观点,使它们相结合．现代高等数学的新思想、新理念、新观点及许多美妙而诱人的技巧和方法,使它更具有魅力．3.1.2.1 数学分析的辩证观点与中学数学教学数学分析不仅继承了初等数学的方法,而且又引进新的思想方法———极限法．运用极限方法,“常量”与“变量”、“直”与“曲”、“均匀”与“非均匀”等可实现相互转化．所以，从方法论的角度来讲，数学分析的有关知识和方法对理解和解决一些中学数学问题会起导向作用．例2 设有三次函数y= (p、q∈R)，用微分方法求函数极值.解所以当>0时，无驻点，因而也无极值点；当=0时，驻点=0，但此时在=0两侧不变号，故=0不是极值点，即=0时无极值点；当 0时，有二驻点，又所以函数在处取得极大值在处取得极小值.这从思想、方法上更有指导性的是数学分析中的辩证观点,运用这样的方法，将会使我们中学数学问题的解决思路大为开阔,方法更加灵活有效,从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境.另外高等数学知识进一步探讨和学习，可增强学生的求知欲，达到培养学生的学习兴趣．教师运用高等数学知识可以提高对学生提出的一些问题的回答的正确性及敏捷性.3.1.2.2 高等几何思想与中学数学教学高等几何对教材内容的安排一般不同于中学几何，它是先给出定义、定理而后直观解释和证明，中学几何一般是先通过实例描述而后给出重要的概念和定理．前者训练抽象思维,后者训练形象思维,出发点不同，对同一问题得出的结论相同．全面了解欧氏几何、仿射几何、射影几何的联系与区别，从本质上认识，从整体上把握，又从局部上深入，才能深刻认识动与静、特殊与一般的辩证关系．就内容而言，高等几何比中学几何丰富，而且分析问题、处理问题的观点新颖，方法独特．如对偶原则，在研究点几何的同时，也研究了线几何的内容，对二次曲线的定义，既有几何定义，又有代数定义，开拓了认识眼界．从方法论来看，高等几何对具体问题处理的方法独特，而且灵活，对解决中学几何的有关命题提供了一种新的模式，也为中学几何的有关问题提供了知识背景．如利用中心射影投影一直线到无穷远来证明中学几何问题：若在平面上给定一个与直线有关的本质上是射影性质的几何命题，则只要恰当选择射影中心和向平面，总可以使直线的象直线是上的无穷远直线．由于无穷远直线的特殊性，有时可以将原命题化成上容易证明的新命题．既然射影变换保持射影性质不变，那么只要证明了新命题,则原命题也得到了证明．3.1.2.3 集合论的观点和方法与中学数学教学集合论是整个数学的基础，它不仅是数学的基本语言，而且树立了现代数学的传统.它蕴含着极其深刻的数学思想和丰富的数学方法，对分析和理解中学数学具有指导意义.映射是集合论的有力研究工具，也是数学中十分重要的化归方法，利用映射可以把不容易研究的集合上的问题转化到容易研究的集合上去，从而实现由未知(难、复杂)到已知(易、简单)的转化.映射方法的基本思想是：当处理某问题甲有困难时，可联想适当的映射，把问题甲及关系结构R映成与它有一一对应关系且易于考察的问题及关系结构；在新的关系结构中对问题处理完毕后,再把所得结果通过逆映射反演到R,求得关于问题甲所需的结果.这样启发了解题思路,又可用来指导数学发现.如：数学模型方法. 数学模型方法是指把所考察的实际问题化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法.中学数学中的解应用题是最简单的数学模型方法.过程如下图:图1：运用数学模型方法解题过程框图3.2 高等数学在中学数学解题过程中的作用初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系．将高等数学的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作，是一个值得研究的课题．俗话说，站得高才能看得远．因此，笔者认为,作为中学教师，除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外，还应善于用高等数学方法解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学．下面略几举例说明之：3.2.1 变换角度，化繁为简例3 求满足方程.解如果从中学数学考虑的话那颇费周折.但换种思路从变量和函数的观点来看是两个变量，上面的方程只能确定之间的函数关系，而不能求出其具体的值.茅盾的根源在于：中学数学中求未知数总是方程的个数和未知数的个数相同才能求出，但题目里面却是两个未知数一个方程．可以得出启发：应当设法构造出两个关于的方程.在实数范围内，将一个等式分成几个等式，最常见的方法是利用非负数，即若几个非负数之和为零，则其中每个必须为零.根据此思路，可将方程变形为进而变为，由是锐角知，上式中两项均为负，故都都等于零．从而解得.另外，许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题．如能在教学中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学生的视野，而且可使学生体会到教师所使用的高等数学的原理、方法在解决初等数学问题时的驾轻驭熟的感觉，进而更加有兴趣学习数学．3.2.2 利用函数的单调性证明不等式不等式是数学中不可缺少的工具之一，有许多不等式在数学研究中有着重要的作用.但用初等数学知识证明一些不等式比较困难，下面利用高等数学的原理和方法，就不等式的证明给出证法以帮助理解.我们知道对定义在区间（a，b）内的函数，若>0（或<0），则函数在（a,b）内严格增加（或严格减少），根据函数的单调性，可证明不等式.例4 证明不等式(其中x>0)．证明：先证：.设，则在[0,+ )单调增加，又,当时，，即：.再证：．设，则, 当时，，即：.以上方法体现了用初等数学知识证明比较难的不等式时，可充分利用高等数学的原理和方法思考，进而收到很好的效果．3.2.3 利用高等几何思想解初等几何问题在中学数学教学中往往会碰到一些初等几何问题,欲用传统的综合证法,苦于找不到解决问题的思路,而用解析法却轻而易举,可又不能将此法告知学生,面临如何将它转化为纯几何的证明方法的问题,往往十分棘手．但利用高等几何知识进行思考，可收到很好的效果．例5 过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB弦于P、Q.求证:PM=MQ. (蝴蝶定理)分析:如图2,此题若局限在平面几何范围内去研究，虽能找到多种不同的证法，如：为使、是全等三角形的对应边，宜将沿直线翻折至,则有, ,故知.这样，又将线段相等归结为角的相等，而角的相等关系在圆上又可利用圆周角定理进行转化，即因，故内接于圆.再由内接于圆和、对称得出结论.但以上结论的得出来之不易，如果我们利用高等几何的交比来证明，就非常容易了.证明:如图，E(AF，DB)=C(AF，DB) (1)E(AF，DB)=(AM，QB) (2)E(AF，DB)=(AP，MB) (3)由(1)、(2)、(3)式得(AM，QB)=(AP，MB)(AM,QB)=(AP,MB)即亦即(4)因为 AM=BM,设PM=x，MQ=y，AM=BM=a，则由(4)式得图2所以故 PM=MQ这种证法不仅简单地证明了结论，而且还把结论推广到了二次曲线的情形.即如果把“蝴蝶定理”中的园换成椭圆、双曲线、抛物线，一对平行线或一对相交直线，结论仍成立.高等数学的许多方法和技巧都能直接应用于中学数学解题，常能起到以简驭繁，并能使问题得以深化和拓广的作用．以上只是给出两个实例说明高等数学能指导中学数学解题（初等代数和初等几何），且收到了很好的效果．在教学过程中，结合具体内容，不失时机地介绍给学生，对于丰富学生的解题方法，特别是作为教师在将来的数学教学中用它来预测答案，确定初等解法的路线，构造习题，检验结果都有重要的作用．3.2.4 微积分在中学数学解题中的指导作用微积分在高等数学里占有非常高的地位，它之所以能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因是在初等数学的基础上它引进了一种新的思想方法——极限法．俗话说，站得高才能看得远．笔者认为，作为中学数学教师，利用微积分思想解决中学数学问题特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用微积分思想则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平．例6 分解因式.解把看作变量，看作常量.令,求对的导数得。
数学分析思想在高中数学解题中的应用
数学分析思想在高中数学解题中的应用汤吉龙(江苏省泰兴市第二高级中学㊀２２５４００)摘㊀要:高中数学作为高中三大主科之一ꎬ在难度上呈现出 极差化 ꎬ学习难度大大增加.在学习高中数学的过程中ꎬ应当着重训练解题方法及分析思想.教师应当引导学生运用数学分析思想思考解题思路ꎬ培养自身的学习习惯ꎬ促进思维以及逻辑水平的提高进步ꎬ从而有效解题.本文着重探讨数学分析思想在高中数学解题中的应用ꎬ希望能够为高中数学教师的教学工作提供一些新的思路和想法.关键词:高中数学ꎻ数学分析思想ꎻ数学解题ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)１５－００３１－０２收稿日期:２０２１－０２－２５作者简介:汤吉龙(１９６９.９－)ꎬ男ꎬ江苏省泰兴人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀由于高中数学知识点与难度大幅增加ꎬ再加上课程进度快ꎬ从而导致很多学生因为适应不了课堂进度和难以解题以至于六神无主㊁无从下手.高中数学知识较为复杂ꎬ许多知识点之间相互联系ꎬ有可能因为一部分没有学好而使得接下去的课程无法接受ꎬ致使很多学生学习效率低下ꎬ出现解题步骤没有逻辑等问题.所以在高中数学的学习中ꎬ教师应当注重学生对数学分析思想的培养及运用ꎬ这样才能提高课堂效率ꎬ达到教学有效输出的目的.㊀㊀一㊁数学分析思想对高中数学解题的影响从前学生习惯了套用 解题模板 来进行答题.而高中数学相对复杂ꎬ如果再像之前一样依靠类型题的解题步骤进行照葫芦画瓢是行不通的.唯有掌握好知识点ꎬ多做题ꎬ试图从做题的过程中发现解题思路ꎬ在下一次遇到此类题型时能够马上想到这个知识点ꎬ活学活用ꎬ通过学生的独立思考以及题海战术将所学知识铭记于心ꎬ培养学生的数学分析思想ꎬ这对于高中学生数学解题是很重要的.另外ꎬ教师在教学过程中注重对学生数学分析思想的培养与教育ꎬ可以使得学生在解题过程中养成良好的习惯ꎬ并且具有更加严谨的逻辑思维能力ꎬ对于学生在解题过程中提高效率具有非常关键的作用ꎬ同时教师在进行思想培养教育的过程中ꎬ其实也是对解题方法的一种优化.因此ꎬ数学分析思想对于高中数学解题而言ꎬ不仅可以提高学生的解题能力ꎬ还能够提高教师的教学效率及为创新教师的教学方式提供条件.㊀㊀二㊁以 函数 为例介绍数学分析思想在高中数学解题中的应用㊀㊀不等式的证明是高中数学中的一个重要内容ꎬ方法繁多ꎬ思路灵活ꎬ技巧性强.本质上来说用函数思想解决不等式问题ꎬ就是研究相对应函数的零点㊁正负区间㊁单调性的问题ꎬ所以ꎬ通过运用函数思想来解决这类问题ꎬ可以轻松找到解题方向ꎬ进而提高解题效率.例如:已知不等式ｘ２＋ｍｘ＋３>４ｘ＋ｍ恒成立ꎬ同时０ɤｍɤ４ꎬ求ｘ的取值范围.首先在解题之前通过对题目进行详细分析ꎬ我们发现可以将ｍ作为自变量建立相应的函数ꎬ即ｙ＝(ｘ－１)ｍ＋ｘ２－４ｘ＋３ꎬ于是不等式也就转变成为ｙ>０恒成立ꎬ加上题目给出的条件范围０ɤｍɤ４ꎬ对于ｘ的取值范围自然呼之欲出ꎬ再进行解答就变得非常容易.事实上ꎬ对于这一类的题目都可以通过先转换形式ꎬ然后根据题目条件进行分析解题的方式ꎬ在这个过程中ꎬ教师可以让学生体会到学习高中数学并非如他们想象的那么困难ꎬ只要注意掌握思想方法ꎬ所有类似的题目都可以迎刃而解.㊀㊀三㊁通过数列公式对问题进行分析思考递推数列的题型多样ꎬ求递推数列的通项公式的方法也非常灵活ꎬ往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决ꎬ亦可采用不完全归纳法的方法ꎬ由特殊情形推导出一般情形ꎬ进而用数学归纳法加以证明ꎬ因而求递推数列的通项公式问题成为了１３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.高考命题中颇受青睐的考查内容.笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略ꎬ它们是:公式法㊁累加法㊁累乘法㊁待定系数法㊁对数变换法㊁迭代法㊁数学归纳法㊁换元法㊁不动点法㊁特征根的方法.教师可以在课堂上仔细讲解一下递推关系式的特征ꎬ让学生在解题过程中能够辨析题目的特征并准确选择恰当的方法ꎬ进而能够更加迅速求出通项公式.１.利用公式法求通项公式公式法求解通项的前提条件就是学生能够从题目当中发现其中蕴含的知识点ꎬ然后根据这个知识点的具体特征来匹配相对应的公式ꎬ进而根据这个公式求解题目.比如我们来看这样一道例题:已知数列{Ａｎ}满足Ａｎ＋１＝２Ａｎ＋３ ２ｎꎬＡ１＝２ꎬ求数列{Ａｎ}的通项公式.这道题应该算是初学数列的典型例题ꎬ也是高考中位于数列题的第一小题ꎬ相对简单ꎬ也很容易犯错ꎬ但是我们一旦掌握了相对应的思想方法ꎬ我们就很容易能够从中发现错误点ꎬ并且在解题过程中对其进行详细注意ꎬ那解题错误率无疑会减少很多.我们试着用数学分析思想进行解题应用ꎬ首先ꎬ我们要先确定这是求通项公式的哪一种方法ꎬ由题目可知ꎬ这道题要求我们用公式法求通项ꎬ确定了正确的方法以后ꎬ离成功解出这一道题目就只差一半儿了.接下来再继续分析ꎬ本题的关键是把递推关系式Ａｎ＋１＝２Ａｎ＋３ ２ｎ转化为Ａｎ＋１/２(ｎ＋１)－Ａｎ/２ｎ＝３/２ꎬ说明数列{Ａｎ/２ｎ}是等差数列ꎬ再直接利用等差数列的通项公式求出Ａｎ/２ｎ＝１＋(ｎ－１) ３/２ꎬ进而求出数列{Ａｎ}的通项公式.等把思路完全理清后ꎬ我们便可以根据我们的思考思路依次写出步骤ꎬ并求得答案.这样一道题就解出来了.虽然这道题很简单ꎬ但是在学数列过程中ꎬ如果不将最基本的题目搞清楚ꎬ明白其中的来由及思维ꎬ很难循序渐进地攻克难题ꎬ甚至会打击学生学习其他章节知识的自信心.而掌握了基本题目解题思维方式之后ꎬ学生的数学分析能力会相应地增强ꎬ相信学生有足够的信心应对下面的题目ꎬ对于类似的题目更是游刃有余.２.累加法求通项公式的分析前面我们分析了数列的公式法ꎬ现在我们再来看一下累加法求通项公式的题目ꎬ这种方法也是需要学生在进行解题的前期就要先进行深入思考ꎬ能够规划出大体的解题步骤ꎬ然后再一步步地进行正式解题.下面我们来看例题:已知数列{Ａｎ}满足Ａｎ＋１＝Ａｎ＋２ｎ＋１ꎬＡ１＝１ꎬ求数列{Ａｎ}的通项公式.第一步ꎬ我们还是一样先引导学生分析题目ꎬ考虑需要用到求通项公式的哪一种方法才能将此题完整无误地解答出来ꎬ或者是可以先尝试哪种方法比较妥当.我们可以看到题目 Ａｎ＋２ｎ＋１ 是具有一定的规律性ꎬ如果我们将它进行累加ꎬ可以逐步得到答案ꎬ那么ꎬ我们可以确定这一题用累加法就可以求得例题的通项公式.第二步ꎬ我们要考察到本题的关键是把递推关系式Ａｎ＋１＝Ａｎ＋２ｎ＋１转化为Ａｎ＋１－Ａｎ＝２ｎ＋１ꎬ进而将它们累加得出(Ａｎ－Ａｎ－１)＋(Ａｎ－１－Ａｎ－２)＋ ＋(Ａ２－Ａ１)＋Ａ１ꎬ即可得出数列{Ａｎ}的通项公式.最后一步ꎬ再将题目中给出的信息进行代入所求得的式子当中ꎬ即可求出最终答案.通过分析以上题目ꎬ我们可以知道ꎬ在做任何一道题的时候ꎬ做题思路往往比做题更重要ꎬ因为题目是永远做不完的ꎬ但是方法是万变不离其宗ꎬ很多道题目都可能是考察同一个知识点的不同应用ꎬ数学分析思想在高中数学解题就显得极其重要了ꎬ一个正确的思考方向可以让解题进入正确的轨道ꎬ而如果拿到题目没有预先思考ꎬ而是马上动笔的话ꎬ很容易出现连环错误ꎬ高中数学注重考察学生的思考能力和严谨能力ꎬ做题不能想当然也不能套用做题模板.具体来讲ꎬ首先要确定这题考察学生什么知识ꎬ然后再分析这题应该运用哪种方法进行解题ꎬ确认完这些之后ꎬ学生方可进行答题.总之ꎬ数学分析思想的重要性不言而喻ꎬ它可以有助于学生的数学思维能力以及数学涵养的培养ꎬ对高中生而言ꎬ这是学习数学的必备思想之一.在学习数学的过程中ꎬ教师需要培养学生严谨的解题思路及方法ꎬ要引导学生学会自己思考ꎬ也要让学生懂得数学分析思维在高中数学解题的重要性ꎬ从入门时便培养学生的数学分析思维ꎬ能够大大减少错误及盲目做题的方式.培养谨慎㊁细心的做题习惯ꎬ我相信题目再难再复杂ꎬ学生都能很好地攻克.㊀㊀参考文献:[１]杨小敏.探究数学分析思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].甘肃教育ꎬ２０１９(２０):１８７.[２]刘少华.浅谈数学分析思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(０５):１４５.[３]蒋珊珊.数学分析思想在高中数学解题过程中的应用[Ｊ].中学数学ꎬ２０１７(１５):７５－７７.[４]麦康玲.数学分析思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].科教文汇(下旬刊)ꎬ２０１５(０５):１１０－１１１.[责任编辑:李㊀璟]２３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
浅谈高等数学在中学数学中的应用大学论文
浅谈高等数学在中学数学中的应用摘要本文探讨了初等数学和高等数学在知识体系上的差别以及应用上的联系，同时也探讨了他们地位上的差别和各自的重要性。
通过讨论可以得知，高等数学在很大程度上是初等数学的扩展。
本文第三部分重点介绍了微积分，不等式，行列式，以及高等几何等在初等数学中的应用，探讨了应用高等数学的思想方法解决初等数学的有关问题。
另外还探讨了高等数学在高考试题上体现的情况和如何解决相应的问题。
关键词高等数学中学数学微积分行列式IAbstractThis study of elementary mathematics and higher mathematics in knowledge on the difference between system and application links, also discussed their differences on the status and importance of each. Through discussion can see that higher mathematics is to a large extent is an extension of elementary mathematics. This article focuses on the second part of calculus, inequality, determinants, as well as the application of higher geometry in elementary mathematics, explored the application of higher mathematics thought method to solve problems of elementary mathematics. Discussion also reflected on the college entrance examination in higher mathematics and how to solve the problemKey words advanced mathematics Mathematics calculusII目录摘要 (I)Abstract (II)第一章前言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 课题研究意义 (1)1.3 文献综述 (2)1.4 研究方法 (2)1.5 创新之处 (2)第二章高等数学与初等数学的地位与联系 (3)2.1 初等数学与高等数学的定位 (3)2.2 高等数学与中学数学的联系 (4)2.2.1 中学数学与大学数学的统一性 (4)2.2.2 中学数学与大学数学的连贯性 (4)2.3 高等数学对初等数学的拓展 (5)2.3.1 代数方面 (5)2.3.2 几何方面 (6)第三章高等数学在初等数学中的应用 (8)3.1 高等代数在中学数学中的应用 (8)3.2.1 行列式的应用 (8)3.2.2 柯西—施瓦兹不等式应用 (9)3.2 微积分方法在中学数学的应用 (9)3.2.1 微积分方法在求函数的极值、最值中的应用 (9)3.2.2 用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的 (10)3.2.3 积分在空间立体体积与表面积中的应用 (12)3.2.4 积分在求曲线弧长中的应用 (13)3.3 高等几何在初等几何的应用 (14)3.3.1 仿射变换的应用 (14)3.3.2 射影几何观点在初等几何中的应用 (14)3.3.2.1 仿射变换的应用 (15)3.3.2.2 笛沙格定理的应用 (16)3.3.2.3 点列中四点的交比 (17)3.3.2.4 线束中四条直线的交比的应用 (18)第四章高考试题中的微积分在解题中的应用 (20)4.1 拉格朗日中值定理 (20)4.2 有关级数的应用 (23)总结 (26)参考文献............................................................ 错误!未定义书签。
数学分析在中学数学中的应用
数学分析在中学数学中的应用数学分析是数学的一个分支，它的主要研究对象是实数、复数和函数。
数学分析在中学数学中有着广泛的应用。
它不仅帮助学生理解和掌握中学数学的基础知识，还能培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
首先，数学分析能够帮助中学生深入学习和理解函数的性质和特点。
函数是中学数学的重要内容之一，而数学分析的基础概念和理论恰恰对函数的研究有着重要的作用。
通过数学分析的学习，学生能够更好地理解函数的定义、性质和图像，并能够准确地描述和分析函数的变化规律。
从而帮助学生更深入地学习和理解中学数学的相关知识。
其次，数学分析能够帮助中学生提高问题解决能力。
数学分析的研究对象是实际问题，通过数学分析的学习，学生能够培养抽象思维和推理能力，能够将实际问题转化为数学模型，并利用数学知识解决问题。
在中学数学中，学生常常遇到一些复杂的问题，需要灵活运用数学知识进行分析和解决。
而数学分析的学习可以帮助学生掌握问题解决的方法和技巧，从而提高他们解决问题的能力。
此外，数学分析还能够帮助中学生理解和应用数列和级数的概念。
数列和级数是中学数学中的重要内容之一，而数学分析对数列和级数的研究具有重要的意义。
通过数学分析的学习，学生能够深入了解数列和级数的性质和特点，并能够利用数学分析的方法求解数列和级数的相关问题。
例如，通过数学分析的学习，学生能够学习到级数的和的求解方法、数列的极限和收敛性等重要概念和定理，从而更好地理解和应用数列和级数的知识。
最后，数学分析还能够帮助中学生理解和应用微积分的概念和方法。
微积分是数学分析的重要内容之一，而微积分的学习对于学生进一步深入理解中学数学的基础知识具有重要的作用。
通过数学分析的学习，学生能够学习到导数和积分的定义和计算方法，并能够理解和应用微分学和积分学的基本概念和定理。
例如，通过数学分析的学习，学生能够学习到导数在中学数学中的应用，如求解函数的极值、判断函数的单调性等；同时，学生还能够学习到积分在中学数学中的应用，如求解曲线下面积等。
数学系指导教师提供论文选题题目
数学系指导教师提供论文选题题目理论研究室一．汪义瑞老师备选题目：1．中学数学的高等数学背景研究。
2．关于一道数学分析题的猜想。
3．数学分析中某个问题的探索与研究。
4．点集拓扑中某个问题的探索与研究。
5．一道中学不等式证明题的推广（2010年中考与高考题中某个问题的探索与研究）。
二．石卫国老师备选题目：1．升本院校学生考研现状的调查研究；（如：对我校学生考研现状进行调查（可采用问卷调查并辅之以座谈、个别访谈），对收集的资料进行统计分析，总结分析，提出建议或对策。
）2．立足考研的高等数学研究（可对某一类问题进行研究，如：从一类考研题看不定积分与变限定积分的关系等）；3．数学分析某一内容的研究；（如：数学分析思想在中学数学解题中的应用；浅谈幂指函数的性质与应用；浅谈反例在函数连续性学习中的作用及构造研究；对称性在积分中的应用；等）；4.（中学、大学）数学竞赛某一内容的研究；（如：一道数学竞赛题的简解与推广）；三．邵春芳老师备选题目：1．原函数与定积分的关系；2．对2010年一道高考题的联想；3．泰勒展开式在求解函数极限中的应用；4．新课程下的教师角色的转变。
四．吴苏朋老师备选题目：1数学创新教育的课堂设计（以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则）2推测和猜想在数学中的应用3微分中值定理的再讨论4二阶变系数齐次微分方程的求解问题5利用几何知识求函数最值（不等式证明的若干方法）数学教育研究室李善明推荐1.谈谈反证法2.向量方法在中学几何中的应用研究3.双曲面渐近锥面的一些性质研究4.浅谈数学中的构造法5.数学归纳法教学研究6.初等函数值域的求法浅谈数学教学中“愤”、“悱”情境的创设.数形结合思想及其应用9.中学数学渗透数学史知识的作用与意义10.二次曲面的计算机作图11.数学的文化性研究12.高等数学在中学数学中的应用成波1.导数在初等数学中的应用研究。
2.导数在经济生活中的应用研究。
3.数学分析中的一些重要不等式（如Cauchy，Schwarz不等式等）的证明及应用。
简析数学分析在中学数学教学中的作用
简析数学分析在中学数学教学中的作用作者：盖新宇来源：《科技创新导报》 2015年第11期盖新宇赤峰克什克腾旗经棚镇中心完小内蒙古赤峰 025350摘要：中学时期的数学教学内容都是以课程知识点的掌握作为教学任务核心重点。
在整个中学数学课程教学阶段，数学分析方法是中学数学课堂掌握知识点的有力武器，它强调通过定义、运算法则、定理及公式应用等进行教学，故此中学数学教学通过数学分析可以有效提高教学效率，并且可以促使学生提高逻辑推理、数形结合、语言表达等方面的数学分析能力，在课堂教学及学生掌握解题思路等方面具备重要现实意义。
关键词：中学数学数学分析教学微积分三角函数中图分类号：G412文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2015)04(b)-0164-02当前，数学分析不仅属于中学数学课堂教学实践阶段中较为常见的辅助教学方式，同时数学分析也是未来许多学生在学习高级微积分等工科专业的必修课程之一。
因此，在中学数学专业课程学习实践阶段，应用数学分析方法，提高学生逻辑推理等抽象思维能力，就必须对数学分析方法有一个初步了解，从而为三角函数和导数概念的学习打下基础，逐步的提高学生对数学分析的应用。
数学分析是以初等数学为基础，在长期的解决初等数学问题的实践中而逐渐发展形成起来的。
特别是在解决某些初等数学问题时，数学分析提供了新的方法和手段。
通过数学分析，我们可以在一个更高点上去观察初等问题，从而确定解题思路，同时还可以帮助我们了解一些问题的本质。
与此同时，还可以借助高等数学的思想去拟造一些初等问题。
因此，在中学数学教学中，数学分析占有重要的地位。
1 在中学数学教学中，数学分析的重要指导作用1.1 培养能力，增强素质可以说，对于学习中学数学课堂的绝多数学生而言，其数学分析能力高低，也间接决定着其逻辑推理、几何分析、语言表达等抽象思维能力的高低。
换言之，数学分析的一个重要作用就是沉淀和积累所学的数学知识，即数学分析能力的培养和知识积累水平的高低是息息相关的。
波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用
内蒙古师范大学硕士学位论文波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用姓名：***申请学位级别：硕士专业：学科教学·数学指导教师：***20051010中文摘要乔治·波利亚对数学教育的研究麓贡献举世瞩目，他在数学教育上的成就主要包括解题理论、数学教育理论和教师教育理论三个方面，这三个方面的理论对我国的数学谦程与数学教学改蕈、数学教师的培养与培训都有着十分重要的指鼯意义。
本文通过对波翻耍畜关著箨麓磷究，把其中鲶波裂亚关予数学壤嚣思维理论，比较全面系统地整理出来，从宏观和微观两个方丽加以论述，使其形成一个较为完善的体系。
渡利亚的解题理论强调盼是数学憨维的教学，钝把解霪作为一种手段，通过怎样解题的教学，启迪学生的数学思维，达到培养学生分析和解决惩题麓力魏霆鳇。
解题的元认知结构是数学解题认知结构的重要组成部分，波利亚的解题理论给出＿『没有冠以心理学名词的勰题元认知理论体系。
数学解题元认鲡能力盼携高，有赖予解遂学习者善于运霜波翻亚的“穗示语”，以及蒋于提炼具有个人风格的“提示语”。
近年寒，在素质教育滋下，人钔深入｛爨究莠实载波穰亚的解题愚想。
教育创新的提嫩不仅符合时代和社会发展的要求，符合培养全面发展人的需要，而且像符合教育自身发展的客观规律，符合世界教育改革的大趋势，论文遥ｊ建借鉴渡翻驻的数学解遂愚怒，阐述了教学过程孛如俺培养学生良好的思维方式和创新精神。
数学痘发法是波剩亚予１９４５年嚣绕“怎样勰题”提出的一静教学思想。
２０世纪８０年代初期美国提出“问题解决教学思想，给出了数学启发法一种新的解释理论。
另外，本文还对波剁亚著作中的合情推理进行了分析，指出合情推理在数学发现麓创造思维中的重瑟作用，结合我溺的数学谍程改革探讨了合情推理在数学教学中的独特优势。
关键词：波利戏，数学思维，闯题解决，数学教学ＧｅｏｒｇｅＰｏｌｙａ’Ｓｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｄｕｃａｔｉｏｎｗａｓｗｏｒｌｄ－ｆａｍｏｕｓ．Ｈｉｓａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｄｕｃａｔｉｏｎｍａｉｎｌｙｉｎｃｌｕｄｅｄｔｈｅｏｒｙｏｆｐｒｏｂｌｅｍｓｏｌｖｉｎｇ，ｔｈｅｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｅａｃｈｉｎｇａｎｄｔｈｅｏｒｙｏｆｔｅａｃｈｅｒｅｄｕｃａｔｉｏｎ．ＴｈｅｓｅｔｈｒｅｅｋｉｎｄｓｏｆｔｈｅｏｒｉｅｓｈａｄｇｒｅａｔｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｏｎｔｈｅｒｅｆｏｒｍｏｆｍｏｄｅｒｎｃｉｒｒｏｃｕｍｕｌｉｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｔｅａｃｈｅｒｓｔＯｔｅａｃｈｉｎｇ，ｔｈｅｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎａｎｄｔｒａｉｎｉｎｇｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｅａｃｈｅｒｓ幻ｏｕｒｃｏｕｎｔｒｙ．ＴｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆＰｏｌｙａ’ｓｗｏｒｋｓ，ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅｃｌｅａｒｓｕｐｈｉｓｔｈｉｎｋｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｅｓｉｔｆｒｏｍｂｏｔｈｍｉｃｒｏａｎｄｍａｃｒｏｐｈａｓｅｓｔｏｄｅｖｅｌｏｐａｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｌｙｃｏｍｐｌｅｔｅｓｙｓｔｅｍ．ＴｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｓｏｌｖｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓＰｏｌｙａｅｍｐｈａｓｉｚｅｓｉｓａｋｉｎｄｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｉｎｋｉｎｇ，ｗｈｏｒｅｇａｒｄｓｓｏｌｖｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓａｓａｍｅａｎｓａｎｄｔｅｌｌｓｐｅｏｐｌｅｈｏｗｔｏｅｎｌｉｇｈｔｅｎｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｉｎｋｉｎｇｗｈｉｃｈｍａｙａｒｒｉｖｅａｔｔｈｅａｉｍｏｆｅｄｕｃａｔｉｎｇｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ’ａｂｉｌｉｔｙｔｏａｎａｌｙｚｅａｎｄｓｏｌｖｅｐｒｏｂｌｅｍｓ。
2017高中数学论文题目大全
2017高中数学论文题目大全写好高中数学论文是每个高中老师义不容辞的责任，在写高中数学论文之前一定要了解好高中数学论文的题目。
下面店铺给你分享高中数学论文题目大全，欢迎阅读。
高中数学论文题目(一)对原函数存在条件的试探分块矩阵的若干初等运算函数图像中的对称性问题泰勒公式及其应用微分中值定理的证明和应用一元六次方程的矩阵解法‘数学分析’对中学数学的指导作用“1”的妙用“数形结合”在解题中的应用“数学化”及其在数学教学中的实施“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用《几何画板》与数学教学《几何画板》在圆锥曲线中的应用举例Cauchy中值定理的证明及应用Dijkstra最短路径算法的一点优化和改进Hamilton图的一个充分条件HOLDER不等式的推广与应用变量代换在数学中的应用不变子空间与若当标准型之间的关系不等式的几种证明方法及简单应用不等式的证明方法探索不等式证明的若干方法不等式证明中导数有关应用不同型余项泰勒公式的证明与应用猜想，探求，论证彩票中的数学常微分方程的新的可解类型常微分方程在一类函数项级数求和中的应用抽奖活动的概率问题抽屉原理及其应用抽屉原理及其应用抽屉原理思维方式的若干应用初等变换在数论中的应用初等数学命题推广的几种方式传染病模型及其应用从趣味问题剖析概率统计的解题技巧从双曲线到双曲面的若干性质推广从统一方程看抛物线、椭圆和双曲线的关系存贮模型的若干讨论带peano余项的泰勒公式及其应用单调有界定理及其应二次曲线方程的化简二元函数的单调性及其应用二元函数的极值存在的判别方法二元函数极限不存在性之研究反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系反循环矩阵和分块对称反循环矩阵范德蒙行列式的一些应用方差思想在中学数学中的应用及探讨方阵A的伴随矩阵放缩法及其应用分块矩阵的应用分块矩阵行列式计算的若干方法分析近年三角各种题型，提高学生三角问题解决能力分形几何进入高中数学课程的尝试辅助函数的应用辅助函数在数学分析中的应用辅助元法在中学数学中的应用复合函数的可测性概率的趣味应用概率方法在其他数学问题中的应用概率论的发展简介及其在生活中的若干应用概率论在彩票中的应用概率统计在彩票中的应用概率统计在实际生活中的应用概率在点名机制中的应用概率在中学数学中的应用高等几何知识对初等几何的指导作用高等数学在不等式证明中的应用高观点下的中学数学高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用高中数学教学中的类比推理高中数学开放题及其编制问题高中数学实践“问题解决”的几点思考高中数学研究性学习教学及其设计给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用构建数学建模意识培养创新思维构造的艺术关联矩阵的一些性质及其应用n阶矩阵m次方幂的计算及其应用R积分和L积分的联系与区别Schwarz积分不等式的证明与应用Taylor公式的几种证明及若干应用Taylor公式的若干应用Taylor公式的应用Taylor公式的证明及其应用Vandermonde行列式的应用及推广把数学和生活融合起来伴随矩阵的秩和特殊值高中数学论文题目(二)函数的一致连续性及其应用函数定义的发展函数级数在复分析中与在实分析中的关系函数极值的求法函数幂级数的展开和应用函数项级数的收敛判别法的推广和应用函数项级数一致收敛的判别函数最值问题解法的探讨蝴蝶定理的推广及应用化归中的矛盾分析法研究环上矩阵广义逆的若干性质积分中值定理的再讨论积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性基于高中新教材的概率学习基于集合论的中学数学基于最优生成树的海底油气集输管网策略分析级数求和的常用方法与几个特殊级数和级数求和问题的几个转化级数在求极限中的应用极值思想在图论中的应用集合论悖论几个广义正定矩阵的内在联系及其区别几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用几个学科的孙子定理几个重要不等式的证明及应用几个重要不等式在数学竞赛中的应用几何CAI课堂教学软件的设计几何画板与圆锥曲线几何画板在高中数学教学中的应用几类数学期望的求法几类特殊线性非齐次微分方程的特殊解法几种特殊矩阵的逆矩阵求法假设检验与统计推断简单平面三角剖分图拉格朗日中值定理n元上推广立体几何的平面化思考利用导数解题的综合分析与探讨利用级数求极限连锁经营企业效益模型邻接矩阵在判断Hamilton性质中的一些应用人口性别比例的统计和概率分析若干问题的概率解法若干问题的概率论解法的探索三对角行列式及其应用三角函数的解题应用三角函数最值问题的研究高中数学论文题目(三)三种积分概念的极限式定义和确界式定义的比较山核桃造林及管理的数学模型上、下极限的定义、性质及其应用实变方法在经典微积分中的应用实分析计算中的几种方法实际问题解决中数学语言能力的培养实数完备性定理的等价性证明及其应用数学猜想及其培养途径数学的对称美及其在中学数学解题中的应用数学分析中的化归思想数学分析思想在中学数学解题中的应用数学分析在初等数学中的应用数学分析中求极限的方法数学高考内容分布及命题趋向数学归纳法的初探数学归纳法的七种变式及其应用数学归纳法的原理推广及应用数学归纳法及其一些非常见形式和归纳途径数学建模在生物领域的应用(没做)数学建模中的排队论模型数学竞赛的解题策略数学竞赛中的抽屉原理数学竞赛中的图论问题数学开放题的设计与教学建议数学开放性问题的编拟与解决数学课程改革和教师观念的转变数学模型方法在教学中的应用及其价值数学模型在人口问题中的应用数学认知结构与数学教学数学史对数学教育的启示数学史上对方程求根公式的探索及其现代意义数学史在中学数学教学中的运用数学文化在中学数学教学中的渗透数学问题提出与CPFS结构关系的研究数学游戏及其价值数学中的游戏因素及其对于数学的影响四面体中不等式的探究试论四分块矩阵试以斐波那契数列为例谈谈中学生数学兴趣的培养输电阻塞模型的灵敏度分析及算法的改进树在数据结构中的简单应用数理统计在教育管理中的应用数理统计在生产质量管理中的两个应用数列求和问题的探讨交错级数收敛性判别法及应用交通问题中的数学模型解题教学换元思想能力的培养解析几何中的参数观点经济学中蛛网模型的数学分析极限的求法与技巧极值的分析和运用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学分析思想在中学数学解题中的应用
摘要：观察数年来无论是全国试卷还是各省自主命题的中考数学试卷，可以
清楚地发现其中的一个重要信息，对数学思想的考查始终贯穿于数学试卷命题的
核心主题．其中转化思想是数学思想方法中的一个重要部分，它是指把未知解的
问题转化在已有的知识范围内可解的问题的一种思想方法．通过不断转化，把不
熟悉、困难的问题化为熟悉、简单的问题，从而解决问题．在学习数学内容和探
究数学性质的过程中，转化思想起到了非常重要的作用．学好转化思想，对我们
进一步学习数学这门学科有很大的帮助，有助于提高我们的解题能力和逻辑思维
能力．主要研究了等价转化的主要内容、使用范围、等价转化在解题中的应用．
关键词：转化思想；数学问题；解题方法
1引言
在数学中，数学思想方法是了解数学本质和内容的基石，想要学好数学，用
以解决将实际生活中的问题转化为数学模型，进而解决问题，数学思想方法是不
可或缺的重要一步．本文主要讨论转化思想在解题中的应用，目的在于提倡在数
学教学中融入数学思想方法，促进对数学思想方法的深入研究，这也是新课程标
准中的一项重要内容。
在以往的教学大纲中强调双基，即是基本知识和基本技能，主要是在代数和几何的领域中。
而新课程标准则是强调基本知识、基本技能、基
本的数学思想方法和数学活动的经验。
提倡的是数学的实用性，而不是理论性。
希望通过用自己学习的数学知识来解决日常生活与其他科学中的一些问题，增强
应用数学意识．
2数学分析思想中的转化思想
转化是数学的基本思想，在数学解题中通常称它为化归思想．
2.1转化的含义
转化，就是通过问题的转化解决问题的一种方法，它是数学工作者广泛采用
的最具思维特色的一种]．事实上，它已成为多种数学方法的指导思想和原则．
2.2转化的基本特征
数学史上，曾有不少学者对转化原则进行论述．美国著名教育家G·波利亚
在《数学的发现》艺术中给出了下述解决问题的方法：在面临所要解决的问题时，我们应当考虑：“这是什么类型的问题？它与每个已知问题有关吗？它像某个已
知问题吗？”
可以看出，化归具有如下几个基本特征：
1.
问题转换性：将待求的问题转化为相对于求解者来说已经解决的问题，问题
的转换是转化的关键．
2.
间接性：因为问题已经转化，常常表现为不是对原问题直接求解，而是间接
求解．
3.
后瞻性：在一个问题序列中，往往不是由旧问题的求解逻辑地演进到新问题
的求解，而是从新问题出发，逆向转换，寻求与旧问题的通路．
4.
简捷性：只要在待求问题与解决问题之间搭上桥，问题便可解决．
2.3转化的基本原则
要利用转化思想解决数学问题，一定要注意一下几条原则：
（1）熟悉化原则
就是将不熟悉的问题化归为比较熟悉的问题，从而充分调动已有的知识和经
验用于解决新问题．
（2）简单化原则
就是将复杂的问题化归为比较简单的问题，从而使问更加容易解决．
（3）和谐化原则
就是将问题的表现形式变形为更加符合数学内部固有的和谐统一的特点。
这
样做常常有利于揭示问题所涉及的各种数学对象之间的本质联系．
3数学分析思想中转化思想在中学数学解题中的应用
数学上的每个问题都是相互联系的问题，它们有的是相互等价，有的是相互
矛盾，在解决问题的过程中无不在一定条件下相互转化：已知与未知、不同与相同、复杂与简单、一般与特殊，它们之间都存在一定的转化，下面就以上几个问
题深入研究讨论．
3.1已知与未知的转化
当人们面临一些从来没有遇到过的问题时，用常规的思维方法不能解答时，
就需要转化为我们熟知的已经解决的问题，从而使未解决的问题变得熟悉和简单，这就体现了转化思想的熟悉化原则．
（1）借助函数进行转化
有些数学问题，本身并无明显的函数关系，但经仔细分析后，可以找到一个
函数，通过对此函数的研究，运用函数的有关性质，打通解题思路.
（2）借助命题进行转化
对于某些数学命题，在求解是，如果缺乏现成的依据，不能由问题的条件简
捷地推出结论那么我们不妨构造或借用一个辅助命题作为依据，只要证明了这个
辅助命题是真命题，以它为依据，就可以是原问题迎刃而解.这就直线了由未知
到已知的转变．
3.2不同与相同的转化
求“相同”寻“不同”是非常重要的思想方法，化“不同”为“相同”同样
也很重要，在数学问题中较为广范应用，尤其是在三角函数与方程之间的关系中
的应用得到很好的体现.中学数学中三角函数的问题是一个难点，我们学习的时
候只针对特殊角、、、、进行正弦、余弦、正切、余切的求值，而想要求出一般角的三角函数就需要查表，这样无疑比较麻烦，如果根据三
角函数自身的特征将不同的三角函数问题划归到同一个三角函数问题上就可能使
问题迎刃而解.
3.3复杂与简单的转化
复杂与简单是一对矛盾，在一定条件下同样能发生转化.在代数中，高次方
程通过因式分解、因式变形，达到降次的目的；多元方程通过消元，转化为一元
方程；解析几何里常用曲线的参数方程表示曲线上点的坐标，以减少变量的个数；立体几何中，常将三维空间问题转化为二维平面几何问题，达到降维的目的.对
于含有较多条件的命题往往抓住主要条件，突破一点推动全局，其目的都是使问
题化繁为简、化难为易.而在数形结合的问题上将代数问题转化到几何中解决同
样也是将复杂问题简单化.在转化的过程中要注意问题的本质和所涉及各个方面
的内在联系，逐步迫近目标直至获解．
（1）借助方程（组）进行转化
方程（组）是数学解题中的一个极为重要的工具，在解决某些数学问题时，
可先设定一些未知数，根据题设本身各数量之间的制约关系，列出方程，求得未
知数.所设未知数沟通了变量之间的关系，使原问题转化为我们熟悉的、已知的
问题.
（2）借助等价变换进行转化
等价变换实质上是把待解决或难解决的问题，通过某种转化归结为已解决或
较容易解决的问题，最终求得原问题的解决，这也是转化思想中常用的一种思考
方法．
3.4一般与特殊的转化
由“一般”向“特殊”的转化是一种具有方法论意义的思维形式，是人类认
识世界的普遍规律.在数学中有着十分广泛的应用，“一般”与“特殊”总是相
对的，对于“一般”问题来说“特殊”问题的解决往往是比较容易的，可利用
“特殊”问题中蕴含的本质联系通过归纳思维来引出“一般”问题的解法.
（1）转化思想在选择题、填空题中的应用
在解选择题、填空题时，当选择题、填空题结论唯一或题设条件中提供的信
息暗示答案是一个值时，可采用特殊化法.特殊化法一般可取特殊值、特殊位置、特殊数列、构造特殊图形或几何体等.
（2）转化思想在数学定理探究中的应用．
４.结束语
转化思想具有多向性、层次性和重复性的特征．为了实施有效的化归，既可
以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可
以问题的外部形式，这就是多向性；转化思想既可以用于沟通数学各分支学科的
联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法和技术，从微观上就是多
种具体问题，这是层次性；而解决问题时可以多次使用转化思想，使问题逐次达
到规范化，这是重复性．掌握解题思想可以帮助同学们快速找到解题思路，节约
思考时间.
参考文献
[1]刘俊,付本路,姚玉平.初等数学解题方法教学研究[M].东营：中国石油大
学出版社,2010.
[2]黄忠裕.中学数学思想方法选讲[M].2006.116.
[3]朱成杰.数学思想方法教学研究导论[M].1998.258-260.
[4]庞子坦.常用数学解题思维方法[M].重庆:重庆大学出版社,1988.
2。