3杆系结构的有限元法
杆系结构有限元
有限单元法
土木工程学院
P-4
1.4.1 坐标转换矩阵
在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向
量可分别表示成
de d dije e ui vi i uj vj
k42② k52② k62②
0
k46①k13② k56①k23② k66①k33②
k43② k53② k63②
0
k14② k24② k34② k44②k44③ k54②k54③ k64② k64③
k15② k25② k35② k45②k45③ k55②k55③ k65② k65③
k16② k26② k36② k46② k56② k66②
有限单元法
土木工程学院
P-27
1.5 按单元定位向量形成总刚度方程
按单元定位向量形成总刚度方程
前面介绍“对号入座”形成总刚的方法，是讲子 块的对号入座，而在计算机程序中必须是将单刚的 每个元素，用赋值语句送给总刚的相应位置，这比 子块对号入座复杂，加上结构各种不同的约束情况， 使其更难处理。因此，在先处理法中，常引进单元 定位向量的概念。利用单元定位向量则可灵活地处 理各种约束情况。
单元② i 端的杆端力 与2，3节点位移相关
根据杆端位移与结点位移之间的谐调关系 ── 代 入几何条件
d 2 ① d 2 ② D 2 d 1 ① D 1 d 3 ② D 3 则 P 2 K 2① 1 D 1 (K 2① 2 K 2② 2 )D 2 K 2② 3 D 3
有限单元法
土木工程学院
0
0
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
3_杆系结构有限元分析
TT 。
杆单元
当用局部坐标系位移表示总体坐标系中的位移时有
T
e
1
'
e
T
T
'
e
利用类似的办法，可以建立起总体坐标系与局部坐标系间结点力 的关系式
F e T T F '
e
(2.12)
将式(2.9)代入式(2.12)，再把式(2.11)代入得
F e T T F ' T T K ' ' T T K ' T e
杆单元
当结构变形之后， i，j 结点的位移通常都不为零，这时单 元内位移按式(2.4)由结点位移和相应的形状函数线性组合求 得，正因为形状函数反映了单元的位移分布状态，矩阵 N 及其
N i , N j 也由此而得名为形状函数矩阵和形状函数。
杆单元
从式(2.4)还可以看出：通过形状函数把两孤立的常值位移
即
（2.8）
K e e F e 0
故
K e e F e
（2.9）
杆单元
式(2.9)即为杆单元的平衡方程。其中杆单元在局部坐标系单元刚 度矩阵的显式为
1 1 K B DBdV E 1 1 Adx V 0 l 1
e T l
EA 1 1 l 1 1
e e e e
令K T
e
T
K '
e
T ，则
F e K e e
(2.13)
杆单元
式(2.11)，(2.12)，(2.13)就是两种坐标系中的全部转换关系，利用式(2.13) 就可以很容易将局部坐标系的刚度矩阵转换为总体坐标系的刚度矩阵。 对于图 2.4 所示的杆单元，其表示式为
3杆系有限元
形函数 自然坐标
x N2 = = ξ l
1
任意点的位移可用形函数表为 u=(1-x／l)u1+ u2x／l=Ｎ1u1＋Ｎ２u２ ／ ／
本点处为1；它点处为 ； 处总和为1 本点处为 ；它点处为0；ξ处总和为
单元位移模式的建立方法
y GJ，l ， 以等直杆扭转为例 m 2 θ2,M2 θ1,M1 1 结构中拆出的单元如图所示。 结构中拆出的单元如图所示。 i x j 右手系 试凑法 由性质试凑得到 为满足“ 设任意点自然坐标为 ξ ,为满足“本1，它0” 为满足 ， 可设 N1=1-ξ ，N2= ξ 。
拉压杆单元列式的讨论
由虚位移原理 δW外 ≡ δW变
l T e
dδu dx (∫ p(x)Ndx + F )δδe ≡ ∫ FNa 0 0 dx 对右端进行分部积分 l l l dFNa dδu ∫0 FNa dx dx = FNaδu 0 −∫0 dx δudx
l
T e l
dFNa = F (δδe ) − ∫ Ndx(δδe ) 0 dx 代回原式，且由虚位移的独立性、任意性， 代回原式，且由虚位移的独立性、任意性， l dF 有 [ Na + p(x)]Ndx = 0 ∫0 dx
0
L
[ N1 N2 ]
T
(
)
0
0
(N N EAN N [ δ] - pN1 N2 )dx = 0 L T EA 1 −1 −1 1 [δ ] − ∫0 p N1 N2 dx = k e [δ ] − FE e = 0 L FE e = 0.5 pl[1 1]T 如果p为常数 为常数， 如果 为常数，则
杆系结构有限元分析
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
有限元第三章杆系结构单元分析
对应的虚应变为：
B δe
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 FdeT δ e
l 0
q(
x)
N
δ
edx
W变
l
0 Adx
l δ eT BT EAB δ edx 0
将上式整理得：
（3-23）
Fde
dx
（3-5）
虚曲率
k d 2 v
dx2
（3-6）
若又设单元任一截面实际的水平和竖向位移为 u (x)、v (x)，
则由材料力学可得与位移对应的截面内力为
FN
EA du dx
（3-7）
M
EI
d 2v dx2
（3-8）
式中EA,EI分别为单元的抗拉（压）、抗弯曲刚度。
有限单元法
在图3-3和上述矩阵说明的情况下，将虚位移原理用于单元， 则单元的虚功方程为
类型单元刚度矩阵相同。
Y
x
y
局部坐标
○
○
X
○○
○
整体坐标
P
大家要熟悉知道单元编号，节点编号，位移编号，以及整体 坐标和局部坐标。
有限单元法
2 1
3
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
图2.1 弯曲杆件系统
1
有限单元法
2
3
4
5
图2.2 截面连续变化杆件系统
结点编号
单元编号
5 (8 9 10) 6
4
3
(2 3 4)
3
1
1 (0 0 0)
设平面杆系结构用结点分成等直杆（单元）集合，其 中某单元e隔离体如图3-3所示，如果建立了单元e的虚位移 原理虚功方程，则整个杆系结构的虚功方程可由对各杆求 和获得。为用矩阵形式写出杆件及杆系结构虚位移原理的 虚功方程，以便于今后推导使用，特引入一下矩阵（向 量）：
第2章杆件结构的有限元法_直接刚度法
对于弹簧2-3（2单元）
F2( 2) 1800 − 1800 u 2 ( 2) = u F3 − 1800 1800 3
对于弹簧3-4（3单元）
F3( 3) 1500 − 1500 u 2 ( 3) = u F4 − 1500 1500 3
上式可以简写为 {F} = [K ]{δ } 上述过程可以用节点力平衡来完成。 为此，先写出单元的节点位移和节点力向 量的关系式： F1( e1 ) k1 − k1 u1 ( e1 ) = u F2 − k1 k1 2 F2( e2 ) k 2 − k 2 u2 ( e2 ) = u F3 − k 2 k 2 3
F 2 = 10 kN
F 3 = 20 kN
F1
F4
1
k1
2
k2
3
k3
4
三弹簧受力系统
解： （1）单元分划 一个弹簧为一个单元，一共3个单元，4个节点。 （2）形成每个单元的刚度矩阵 对于弹簧1-2（1单元）
F1(1) 1200 − 1200 u1 (1) = u F2 − 1200 1200 2
用下，发生与杆长垂直方向的位移。
（3） 局部坐标系和总体坐标系的关系 为了根据节点的力平衡条件建立杆系总体刚度矩 阵，必须将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换到 总体坐标系下。
y
(e Fy(e ) 2
F
(e) y1
2
Fx(1e )
o
o
ϕ
F22 = (k1 + k 2 )u 2
F12 = −k1u2
F32 = −k 2u2
杆系结构的有限元法分析
杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。
杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。
利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。
首先，进行前期准备工作。
这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。
这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。
接下来，建立有限元模型。
将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。
常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。
然后，确定单元刚度矩阵。
对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。
对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。
接着，组装全局刚度矩阵。
将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。
在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。
然后，应用边界条件。
根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。
这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。
接下来，求解结构的位移和应力。
通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。
位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。
最后，进行后处理。
在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。
通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。
综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。
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3杆系结构的有限元法
有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构
问题。
其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性
的有限元分析方法。
本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。
有限元法的基本原理:
有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析
方法。
它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的
子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的
问题合并起来，得到整个结构的解。
有限元法可以将连续问题转化为一个
线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结
构的变形、应力等信息。
杆系结构的有限元剖分:
杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。
在进行有限元分析时，需要
将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。
杆系结构的剖分方式
可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。
线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长
度相等。
线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。
非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不
规则剖分。
这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。
非线性剖分
的好处是结果更准确，但计算量相对较大。
杆单元的刚度矩阵计算:
一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位
移法。
力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的
刚度矩阵。
力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，
即σ=Eε=F/A。
其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。
位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-
应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。
杆单元的应力计算:
在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。
一般来说，
可以采用两种方法进行杆单元的应力计算：解析法和应力平均法。
解析法是指通过解析的数学公式，计算出杆单元中任意位置的应力。
解析法需要考虑杆单元的几何形状、载荷情况和材料性质等因素，计算量
较大，但计算结果较为准确。
应力平均法是指将杆单元划分为若干个小单元，然后根据每个小单元
的变形情况计算出其内部的应力，最后将各个小单元的应力进行平均，得
到整个杆单元的应力。
应力平均法的好处是计算简单，但是结果相对较为
粗糙。
总结:
杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构的分析方法，可以准确
地描述杆系结构的变形和应力情况。
有限元法的基本原理是将结构离散化
为有限个独立几何单元，然后在每个单元上建立适当的求解方程和函数，
最终求解整个结构的变形、应力等信息。
进行杆系结构的有限元分析时，需要进行剖分、刚度矩阵计算和应力计算等步骤。