空间结构杆系有限元静力分析程序设计及应用
第三章 杆系有限元
单元应力： E EBd 下面应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。
等截面杆单元
虚位移原理
弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹
性体内的虚应变能。——平衡条件
对于杆单元，定义虚位移如下： ui 节点虚位移： d u j 单元虚位移： u Nd
３）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。
等截面杆单元
（四）举例 例1：求图示２段杆中的应力。
解：系统分为２个杆单元，单元之间在节点２连接。
单元刚度矩阵分别为：
等截面杆单元
（四）举例 例：求图示２段杆中的应力。
解：系统分为２个杆单元，单元之间在节点２连接。
单元刚度矩阵分别为：
等截面杆单元
参考弹簧系统的方法，装配系统的有限元方程（平衡方程）：
1 一个弹簧单元 的分析 2 弹簧系统
什么是单元特性？ 弹簧单元的刚度矩阵 弹簧单元的刚度方程 弹簧单元刚度矩阵的特点
弹簧系统的总刚度矩阵 如何求解系统的平衡方程
弹簧单元分析
弹簧是宏观力学特性最简单的弹性元件。下面以平衡弹簧系
统中一个弹簧单元为研究对象进行分析。
2个节点：
i, j
fi , f j
很多工程结构由 杆件组成，这类 结构的设计往往 需要进行有限元 分析。
常见的杆系结构
弹簧
○ ○ ○
○
○
○
○
○
○
梁 拱 刚架
桁架
○ ○ ○ ○ ○
3.1 引言
3.2 弹簧单元和弹簧系统 3.3 杆单元和平面桁架 3.4 梁单元和平面刚架 3.5 刚架分析实例 3.6 ANSYS分析实例
弹簧单元和弹簧系统
注意：总刚度矩阵 就是单元刚度矩阵 扩大后的叠加！
空间杆系有限元法也称空间桁架位移法.
对称面内节点荷载亦应按相同原则取值。在对 称荷载作用下，对称面内网架节点的反对称位 移为零，计算时应在相应方向予以约束。 与对称面相交的杆件，分析时可将该交点作为 一个节点，并在三个方向予以约束。 交叉腹杆或人字形腹杆的交叉点，位于对称面 时，亦应作为一个节点，并在两个水平方向予 以约束。 在反对称荷载作用下，对称面内网架节点的对 称位移应取为零。
整体坐标
图3.25 杆件在整体坐标中
设杆件ij （即 轴）与整体坐标x，y，z轴夹 角的余弦分别为l，m，n。由图25所示的几何关 系可以得出
式中lij——ij杆的长度
奥运会场所
令 分别表示杆件ij在整体 坐标系中的节点力，节点位移和单元刚度矩阵。 在整体坐标系中ij杆节点力和节点位移间的关 系力为：
{Fi} ，{Fj}——分别为杆件ij在整体坐标系下 i，j点的杆端力列阵； {δi}，{δj}——分别为杆件ij在整体坐标系 下i，j点的位移列阵； [Kij]，[Kjj]——分别为杆件ij在i端，j端发 生单位位移时，在i端，j端产生的内力； [Kij]，[Kjj]——分别为杆件ij在j端，i端发 生单位位移时，在i端，j端产生的内力。
(2)边界条件 有限元计算中，边界条件将对网架结构内力及 变形产生较大影响。 网架支承处的边界条件既和支座节点构造有关， 也和支承结构的刚度有关，支座可以是无侧移、 单向可侧移和双向可侧移的铰接支座，支承结 构(柱、梁等)可以是刚性或弹性的。 当支承结构刚度很大可忽略其变形时，边界条 件完全取决于支座构造。
无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线 和法向都无位移。 单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零， 而边界法向为自由。 双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两 个水平方向都为自由。 在网架的四角处，至少一个角上的支座必须是无 侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相对 的角可以是双向可侧移的。 这种做法既防止网架的刚体移动，又提供了不少 于6根的约束链杆数。在工程实践中，如果温度 应力不大，也可考虑四角都用无侧移铰支座。
有限元分析及应用课件
设置材料属性、单元类型等参数。
求解过程
刚度矩阵组装
根据每个小单元的刚度，组装成全局的刚度矩阵。
载荷向量构建
根据每个节点的外载荷，构建全局的载荷向量。
求解线性方程组
使用求解器（如雅可比法、高斯消元法等）求解线性方程组，得到节点的位移。
后处理
01
结果输出
将计算结果以图形、表格等形式输 出，便于观察和分析。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构力学、流体动力学、电磁场等领域，用于预测和优化结构的 性能。
有限元分析的基本原理
离散化
将连续的求解域离散化为有限 个小的单元，每个单元具有特
定的形状和属性。
数学建模
根据物理问题的性质，建立每 个单元的数学模型，包括节点 力和位移的关系、能量平衡等。
求解方程
通过建立和求解线性或非线性 方程组，得到每个节点的位移 和应力分布。
PART 05
有限元分析的工程应用实 例
桥梁结构分析
总结词
桥梁结构分析是有限元分析的重要应用之一，通过模拟桥梁在不同载荷下的响应，评估 其安全性和稳定性。
详细描述
桥梁结构分析主要关注桥梁在不同载荷（如车辆、风、地震等）下的应力、应变和位移 分布。通过有限元模型，工程师可以预测桥梁在不同工况下的行为，从而优化设计或进
刚性问题
刚性问题是有限元分析中的一种 特殊问题，主要表现在模型中某 些部分刚度过大，导致分析结果 失真
刚性问题通常出现在大变形或冲 击等动态分析中，由于模型中某 些部分刚度过高，导致变形量被 忽略或被放大。这可能导致分析 结果与实际情况严重不符。
解决方案：为避免刚性问题，可 以采用多种方法进行优化，如采 用更合适的材料模型、调整模型 中的参数设置、采用更精细的网 格等。同时，可以采用多种方法 对分析结果进行验证和校核，以 确保其准确性。
3 杆系结构有限元法解析
1F
k
弹簧力－位移间关系
当处理比较复杂的铰支杆系统时，要确定系统在力F的作用下，节点B、 C、D和E处的变形。以便计算各杆件的内应力及各杆所受的轴向力，可 假设整个杆件系统也具有像式(4-1)中k值一样的刚度，这样在力F的作用 下各点的位移就可以用类似式(4-1)的公式计算了，不过．这时的系统刚
度应采用一个矩阵来表示，即 K ，同理，各点的位移也应采用一个矩 阵来表示，即 ，再加上矩阵 F ，就构成了
F
F K
K 称为对应于施加在系统上各节点力的刚度矩阵。
问题： 1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？ 2、如何求出？ 3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？
系统的整体刚度矩阵－求出所受外力作 用下各杆件节点处的位移－计算各杆件的 受力和应力
有限元法对杆系结构离散，通常采用自然离散的形式， 也就是把等截面的杆件作为单元。
当单元的两端为铰接，杆件内力只有轴力存在，“杆单元”－“桁架” 和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆。桁杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。
上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
FF12
AE 1 L 1
1
1
uu12
2、坐标变换、整体坐标系下的单元刚度矩阵
知道单个弹簧的刚度矩阵－－直接叠加 出多个串联系统的总刚度矩阵。
知道单个弹簧单元的刚度矩阵，直接叠加出总刚度矩阵
§3杆系结构静力分析程序
§3 杆系结构静力分析程序§3.1简单的平面杆系刚架程序一、单元刚度矩阵设单元的结点位移向量为：{}[]T j j j i i i ,v ,u , ,v ,u θθδ=位移模式取为：{}δ]N [v u =⎭⎬⎫⎩⎨⎧ 式中：[]lxl x N ,l x l x N ,l x N lxl x x N ,l x l x N ),l x(NN N N N N N N 232633222354232233322231211000000653241+-=-==-+-=+-=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 单元内任意位置的应变由两部分组成：轴向拉压应变和横向弯曲应变，而且在分析过程中可以假定轴向拉压应变与弯曲应变不耦合。
则：[]{} B xvy x u b a δεεε022=∂∂-∂∂=+=式中：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232306126121L x L 2y L x L 6y L 1 L x L 4y L x L6y L B 22则单元刚度为：[][][][]dV B D B K TV00⎰=式中：[D]=E令： ydA A⎰=0、 I dA y A2=⎰，则有[K]为：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=L EI LEI LEI L EI L EI L EI L EI L EI L EA LEAL EI L EI L EI L EI L EI L EI L EIL EI L EA LEAK 46026061206120000026046061206120000222323222323二、坐标变换{}[]{}{}[]{}F T F T ee==δδ式中：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000000000000000010000000000ααααααααc o s s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s T 则整体坐标系的单元结点力与结点位移关系为：{}[][][]{}[]{}δδK T K T F e T ==三、总刚形成1、概念：前处理、后处理 先处理、后处理2、自由度编码： IO=(I-1)*3+I JO=(J-1)*3+J3、举例：[K]13 [K]31四、边界条件处理1、先处理方法；2、对角元素充大数法；3、充0置1法。
有限元实验报告
有限元实验报告学院：机械科学与工程学院专业：机械工程及自动化班级：411207班姓名：石承钢学号：41120704目录实验1：杆系结构有限元静力学分析----------------------3 实验4：平面结构有限元静力学分析---------------------7 实验6：空间结构有限元静力学分析--------------------10 作业1：杆系结构有限元分析---------------------------14 作业2：平面问题有限元分析---------------------------20 作业3：空间问题有限元分析----------------------------25 附加作业：工字梁的应力分析----------------------------30实验1：杆系结构有限元静力学分析——订书针1.问题描述：上图所示为订书钉，尺寸见图中标注。
材料弹性模量为E=2.1×105MPa，泊松比为0.3，横截面积尺寸为宽B=0.64mm，高H=0.402mm。
当订书钉被压入纸张时，约需要120N 的载荷，载荷均匀分布在订书钉上部。
就以下两种情况进行有限元分析：(1). 钉入时A、B 为铰支；(2) .钉入时A、B 为固支。
2.建模过程：2-1.选择单元类型：单元类型选择为Beam188.2-2.定义单元截面：2-3.定义材料属性：弹性模量E=210E3,泊松比为0.3.2-4建模并划分网格：创建关键点、利用lines建立beam单元，划分网格。
2-5.施加载荷：2-6.施加约束：3.求解及后处理：3-1.求解：3-2.后处理：各种应力、位移图：3-2-1：铰接的后处理图：3-2-2.固定的后处理图：实验4：平面结构有限元静力分析1.问题描述：这是一个简单的角支架结构静力分析，如其所示：左上角的销孔的有一约束，右下销孔有一约束。
2.建模过程:2-1.创建平面、圆弧面，并用布尔操作连接为以整体：2-1.对直角处进行倒角：2-3.创建两个孔：先创建两个圆，再利用布尔操作去除3.单元选择、材料选择、划分网格、施加约束和载荷等，得到如下图的模型：4.后处理：求解后，查看后处理图形：实验6：空间结构有限元静力学分析——轴承座1.问题描述：熟悉Ansys的建模操作过程，分析轴承座的受力。
杆系结构静力分析有限单元法
杆系结构静 力分析有限
单元法
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.3 向量表示
在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相 应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和 力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一 致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标 轴方向的分量。
(a) 刚架结构示意图 (b)
单元e结点力列向量为
Fe F F ije e U i V i M i U j V j M j eT
杆系结构静 力分析有限
单元法
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2 位移函数及单元的刚度矩阵
3.2.1 轴向拉压杆单元的位移的函数
有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不 同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建 的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构 的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算 精度及解的收敛性。
P 2 . P 2 x P 2y 1 M 2T
P 3 . P 3x1 P 3 y M 3T
P 4 . P 4x P 4y M 4T
图3-9 载荷向量示意图
cos sin
sin cos
0ui
0vi
i 0
0 1i
对于梁单元如图3-8(b)所示，则有
ui
cos
vi
i
sin
0
u
j
0
v
j
0
j
0
可简写为
sin 0 0 cos 0 0
0 10
0 0 cos 0 0 sin
0 00
eTe
0 0 0
sin cos
0
培训教程(有限元仿真分析 )(4)
五 载荷与边界条件
惯性载荷
1．加速度：Acceleration
2．重力加速度：Standard earth Gravity
♣施加在整个喂型上，单位是长度比上时间的平方。 ♣加速度可以定义为分量或矢量的形式。 ♣物体运动方向为加速度的反方向。
3．角加速度：Rotational Velocity
♣根据所选的单位制系统确定它的值。 ♣重力加速度的方向定义为整体坐标系或局部坐标系的其中一个坐标轴方向。 ♣物体运动方向与重力加速度的方向相同。 ♣整个模型以给定的速率绕轴转动。 ♣以分量或矢量的形式定义。 ♣输入单位可以是弧度每秒(默认选项)，也可是度每秒。
与面正交的方向施加在面上，指向面内为正，反之为 负。单位是单位面积的力。
2．静水压力：Hydrostatic Pressure
在面(实体或壳体)上施加一个线性变化的力，模拟结构 上的流体载荷。流体可能处于结构内部或外部，另外还需 指定：加速度的大小和方向、流体密度、代表流体自由面 的坐标系。壳体则需要指定顶面/底面。
四 连接关系
接触类型
对于理想无限大的Knormal , 零穿透. 但对于罚函数法， 这在数值计算中是不可能，但是只要Xpenetration 足够 小或可忽略，求解的结果就是精确的。
四 连接关系
接触类型
Pure Penalty 和Augmented Lagrange 公式使用积分点探测，Normal Lagrange 和MPC 公式 使用节点探测(目标法向)。节点探测在处理边接触时会稍好一些，但是，通过局部网格细化， 积分点探测也会达到同样的效果。
四 连接关系
信息检查
四 连接关系
连接矩阵图
信息检查
颜色标签
五 载荷与边界条件
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空间结构杆系有限元静力分析程序设计及应用
陈嵘
【摘要】VB6.0 is used to design the program that can analyze the spatial construction and give a graphic result.Many problems of spatial force can be illuminated,such as tall building,spatial influence factor of single-story factory buildings and transversal distribution factor of bridges.%以VB6.0为开发工具,自编程序对空间杆系结构进行静力分析,图形显示计算结果.使用本程序能更好地讲解空间受力问题,说明多高层建筑平面布置的规定,单层厂房的空间影响系数,桥梁计算中横向分布系数的概念.
【期刊名称】《北京建筑工程学院学报》
【年(卷),期】2011(027)003
【总页数】4页(P12-14,52)
【关键词】空间结构;有限元;横向分布系数;VB6.0
【作者】陈嵘
【作者单位】北京建筑工程学院土木与交通工程学院,北京100044
【正文语种】中文
【中图分类】TU323
随着计算机的发展，土木工程专业中大量计算都由软件来完成，市面上有很多结构计算、设计软件，如PKPM、SAP、ANSYS、MIDAS等等.这些软件都能很好地
解决空间结构内力分析问题.但商业软件均不提供源代码，用户仅仅按照程序设置的步骤输入模型、计算得到结果，对其内部的过程完全不清楚.
本文以VB6.0为开发工具，自编程序对空间杆系结构进行静力分析，并动态演示结构在静力作用下的变形.通过编制程序，教师不仅更深入地了解空间结构的计算步骤和过程，还能使用本程序向同学演示空间结构的变形过程，培养同学的空间概念，尤其能说明规范中结构不对称，以及其导致结构扭转效应的各项规定.
1 《空间结构杆系有限元程序》简介
1.1 界面
本程序的目的是让学生将基础知识(结构力学)与应用知识(规范)融会贯通，因此数据输入界面与结构力学的“矩阵位移法”紧密联系.程序应用VB6.0的SSTAB控件建立三个分页界面，根据矩阵位移法计算的七个步骤[1]，将整个数据输入界面设计为三页：结构数据、单元荷载输入、结点数据输入.
1.1.1 结构数据
如图1“结构数据”界面采用MSFlexgrid表格控件，应用控件的keypress和keydown事件输入键盘信息，输入的信息用于①对结点和单元进行编号，选定整体坐标系和局部坐标系；②计算各杆的单元刚度；③形成结构原始刚度矩阵.因此需要输入总体“单元数”、“结点总数”、“杆件两端编号”和“截面参数”.编程中需对应编写“单刚矩阵”、“方程编号”、“单元定位向量”、“形成总体刚度矩阵”模块，逐步形成最后的总体刚度矩阵.
图1 结构数据输入界面
1.1.2 单元荷载输入
④计算固端力、等效结点荷载及综合结点荷载，需要输入单元荷载及单元荷载作用的单元编号.本程序考虑两种形式的单元荷载：a.均布荷载；b集中荷载，三种单元形式：两端刚结点；一端铰结点一端刚结点；两端铰结点.在模块“固端力”中将
上述荷载等效为节点荷载，形成等效节点荷载向量.
1.1.3 结点数据输入
“结点坐标”用于计算单元长度和角度，“结点荷载”用于形成荷载向量，“支座结点号”用于⑤引入支座条件，根据支座条件确定“单元定位向量”模块中λ为
零的项，然后修改结构原始刚度方程，即确定整体刚度矩阵中位移为零的量，最后形成整体刚度矩阵.
1.1.4 计算内力及图形显示
确认数据输入无误后，点击“计算”-“内力计算”调用“逐列LDLT解方程”、“计算内力”模块，完成⑥计算结构刚度方程，求出结点位移，⑦计算各单元杆端力.
为了显示空间结构，需根据《计算机图形学》[2]的“7.3.2 三维图形的几何变换”调整picturebox控件的坐标，根据“7.4.6 用户坐标系到观察坐标系的变换”编
写“用户坐标_观察坐标”模块将空间结构投影到picturebox控件上,如图2.
图2 无山墙单层厂房在单位力作用下的计算简图
2 算例
1) 在砌体结构的“混合结构房屋的静力计算方案”课程中[3]，学生较难理解空间
性能影响系数η，究其原因是没有空间概念，不理解计算单元和横墙之间的空间作用.以单层厂房有、无山墙为例，程序可以直观的将有、无山墙对厂房变形的影响
显示出来，让同学更好地理解厂房的空间变形.
根据《有限单元法及程序设计》[4]的形函数编写“变形图”模块，分别计算局部
坐标系下oxy平面的x,y坐标和oxz平面的z坐标，得到每一个点变形后的位置(x，y，z)，编写“局部坐标_观察坐标”模块，将变形后的图形投影到picturebox控
件上，如图3所示.由于没有山墙，所以单层厂房可采用弹性方法计算内力，且每
一榀框架的变形都一样，可任取一榀为计算单元，简化为平面问题计算内力.
图3 俯视变形图
当在两端设置山墙时(山墙用斜撑代替)，在单位荷载作用下各榀框架均受到山墙的空间影响，变形不一致，如图4.因此简化为平面计算时需考虑山墙对框架的影响，采用刚弹性或者刚性方案计算.
图4 俯视变形图
2) 多层框架平面布置不规则，对抗震不利，因此《抗震抗震设计规范》[6]、《高
层建筑混凝土结构技术规程》[7]、《高层民用建筑钢结构技术规程》[8]均有相关规定.同样由于缺乏空间概念，学生对平面布置不规则的理解不深刻.本算例L型框
架在水平力作用下，结构不仅仅产生侧向变形，还会发生扭转(图5,图6)，图形可说明平面布置规则的重要性，加强同学抗震设计的概念.
图5 轴侧变形
图6 俯视变形图
3) 桥梁课程中“荷载横向分布计算”属于空间问题，但一般将复杂的空间问题简
化为平面问题，以影响线为工具，采用“杠杆原理法”、“偏心压力法”、“考虑主梁抗扭刚度的修正偏心压力法”、“铰接板(梁)法”计算横向分布系数[5].本程
序不用影响线，而采用模拟车辆在桥上横向移动的方法计算横向分布系数，比传统方法更直观.模拟计算更好地解释了传统手算方法，可说明手算计算采用了哪些简
化假定.
如图7,图8，将桥梁的主梁、桥面板(等效为梁)输入计算模型，将汽车两个轮子简化为p=0.5的集中荷载作用在横梁上.应用timer控件，依据计算机的计算速度设置interval属性，让荷载在横梁上逐步移动并计算每一步的内力图，动态显示每
步的计算结果，可得到桥梁横向分布系数.
图7 弯矩图
图8 剪力图(横向分布系数)
3 在教学中的效果评价
本程序已在本科混凝土与砌体结构课程中使用，说明单层厂房的静力计算方案，有助于同学理解单层厂房空间影响系数的意义.在毕业设计中向学生演示L型框架在侧向力作用下的空间扭转效应，使学生深刻理解平面布置规则、对称的重要性. 在教学过程中，尽量使课本、规范知识图形化，可以使同学加深认识，进而对规范的规定有更深刻的理解.同时，同学将手算结果和计算机计算结果进行对比，体会了计算机在设计中的优势，有了学习程序设计的兴趣.
参考文献：
[1] 李廉锟.结构力学[M].北京：高等教育出版社， 2004: 253
[2] 孙家广.计算机图形学[M].北京：清华大学出版社， 2005: 362-386
[3] 东南大学，同济大学，郑州大学.砌体结构[M].北京：中国建筑工业出版社，2010: 146
[4] 刘尔烈.有限单元法及程序设计[M].天津：天津大学出版社， 2004
[5] 东南大学，同济大学，天津大学.混凝土结构:下册[M].北京：中国建筑工业出版社, 2005: 53-71
[6] GB 50011—2010, 建筑抗震设计规范[S]
[7] JGJ3—2002, 高层建筑混凝土结构技术规程[S]
[8] JGJ99—98, 高层民用建筑钢结构技术规程[S]
[9] 何淅淅，黄林青.高层建筑结构设计[M].武汉：武汉理工大学出版社， 2007。