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高三数学一轮复习必备：圆锥曲线方程及性质

- 1 - / 12 ~高三数学（人教版A版）第一轮复习资料

第33讲 圆锥曲线方程及性质

一．【课标要求】

1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；

3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质

二．【命题走向】

本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法

对于本讲内容来讲，预测：

（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；

（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三．【要点精讲】

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数（大于21||FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21||||2MFMFa

椭圆的标准方程为：22221xyab（0ab）（焦点在x轴上）或12222bxay（0ab）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中,ab的大小0ab，其中222cab；

②在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m，0n，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程22221xyab知||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(,)xy在曲线上时，点(,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭

- 2 - / 12 圆的标准方程中，令0x，得yb，则1(0,)Bb，2(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y得xa，即1(,0)Aa，2(,0)Aa是椭圆与x轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段21AA、21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22RtOBF中，2||OBb，2||OFc，22||BFa，且2222222||||||OFBFOB，即222cac；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率。∵0ac，∴01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PFPFa）。

注意：①（*）式中是差的绝对值，在1202||aFF条件下；12||||2PFPFa时为双曲线的一支（含2F的一支）；21||||2PFPFa时为双曲线的另一支（含1F的一支）；②当122||aFF时，12||||||2PFPFa表示两条射线；③当122||aFF时，12||||||2PFPFa不表示任何图形；④两定点12,FF叫做双曲线的焦点，12||FF叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

椭 圆 双 曲 线

定义 1212||||2(2||)PFPFaaFF 1212||||||2(2||)PFPFaaFF

方程 22221xyab 22221xyba 22221xyab 22221yxab

焦点 (,0)Fc (0,)Fc (,0)Fc (0,)Fc

注意：如何有方程确定焦点的位置！

（2）双曲线的性质

①范围：从标准方程12222byax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。即22ax，ax即双曲线在两条直线ax的外侧。

②对称性：双曲线12222byax关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222byax的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线12222byax的方程里，对称轴是,xy轴，所以令0y得ax，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(2aAaA，他们是双曲线12222byax的顶点。

令0x，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的

- 3 - / 12 顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2,aa叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,bb叫做双曲线的虚半轴长

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线12222byax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；

2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy ；（2）渐近线互相垂直

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx ，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上

⑥注意191622yx与221916yx的区别：三个量,,abc中,ab不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（2p,0），它的准线方程是2px ；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方程 22(0)ypxp 22(0)ypxp 22(0)xpyp 22(0)xpyp

图形

焦点坐标 (,0)2p (,0)2p (0,)2p (0,)2p

准线方程 2px 2px 2py 2py

范围 0x 0x 0y 0y o F x y l

o x y

F l x y

o F

l

- 4 - / 12 对称性 x轴 x轴 y轴 y轴

顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)

离心率 1e 1e 1e 1e

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。

四．【典例解析】

题型1：椭圆的概念及标准方程

例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2)，并且椭圆经过点35(,)22；

（3）焦点在x轴上，:2:1ab，cb；

（4）焦点在y轴上，225ab，且过点(2,0)；

（5）焦距为b，1ab；

（6）椭圆经过两点35(,)22，(3,5)。

解析：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为22221xyab（0ab），

∵210a，4c，∴2229bac，

所以，椭圆的标准方程为221259xy。

（2）∵椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为22221yxab（0ab），

由椭圆的定义知，

22223535312()(2)()(2)1010210222222a，

∴10a，又∵2c，∴2221046bac，

所以，椭圆的标准方程为221106yx。

（3）∵6c，∴2226abc，①

又由:2:1ab代入①得2246bb，

∴22b，∴28a，又∵焦点在x轴上，

所以，椭圆的标准方程为22182xy。

（4）设椭圆方程为22221yxab，

∴221b，∴22b，

又∵225ab，∴23a，

- 5 - / 12 所以，椭圆的标准方程为22132yx．

（5）∵焦距为6，∴3c，

∴2229abc，又∵1ab，∴5a，4b，

所以，椭圆的标准方程为2212516xy或2212516yx．

（6）设椭圆方程为221xymn（,0mn），

由2235()()221351mnmn得6,10mn，

所以，椭圆方程为221106yx．

点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系

例2．（1）（06山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 。

（2）（06天津理，8）椭圆的中心为点(10)E，，它的一个焦点为(30)F，，相应于焦点F的准线方程为72x，则这个椭圆的方程是（ ）

Ａ．222(1)21213xy Ｂ．222(1)21213xy

Ｃ．22(1)15xy Ｄ．22(1)15xy

解析：（1）已知222222242,23161164(23,0)babcyxaabcF为所求；

（2）椭圆的中心为点(1,0),E它的一个焦点为(3,0),F

∴ 半焦距2c，相应于焦点F的准线方程为7.2x

∴ 252ac，225,1ab，则这个椭圆的方程是22(1)15xy，选D。

点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。

题型2：椭圆的性质

例3．（1）（06山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）

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高三数学一轮复习教案：圆锥曲线

高三数学一轮复习教案：圆锥曲线

圆锥曲线复习

【复习指导】

1、掌握椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程及几何性质；

2、圆锥曲线的应用。

【重点难点】

重点：椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程及几何性质

难点：圆锥曲线的应用

【教学过程】

一、知识梳理

1、焦点在x轴上的椭圆、双曲线、抛物线的定义、图像和性质：

椭圆 双曲线 抛物线

几何条件 与两个定点的距离和等于定值

标准方程

图形

对称轴 x轴，实轴长2a

y轴，虚轴长2b

顶点坐标

焦点坐标

渐近线 无

离心率

同样，类比得到焦点在y轴的椭圆、双曲线、抛物线的图像和性质。 xyF1F2O1M小试牛刀：

（1）已知椭圆1162522yx上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离（ ）

A 2 B 3 C 5 D 7

（2）已知双曲线19-2522yx上一点P到椭圆的一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离（ ）

A 2 B 22 C 2或22 D 4或22

（3）如果方程222kyx表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 （ ）

A.（0，+∞） B.(0,2)C.(1,+∞)

D.(0,1)

（4）方程12--422tytx所表示的曲线为C，有下列命题：

①若曲线C为椭圆，则4t2；

②若曲线C为双曲线，则2t4t或；

③曲线C不可能为圆；

④若曲线C为焦点在y轴的双曲线，则4t。

以上命题正确的是 。

（5）抛物线的焦点是双曲线369-422yx的左顶点，则抛物线的标准方程为

。

二、典例示范

类型一 圆锥曲线的定义及其应用

例一 求与圆1)3(22yx及9)3(22yx都外切的动圆圆心M的轨迹方程.

2018届高三数学一轮复习模拟试题精选：圆锥曲线与方程 含答案

2018届高三数学一轮复习模拟试题精选：圆锥曲线与方程 含答案

圆锥曲线与方程

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知抛物线的焦点为F,过F的直线与该抛物线相交于两点,则的最小值是( )

A． 4 B． 8 C． 12 D． 16

【答案】B

2．已知圆O的半径为定长r，A是圆O外一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相较于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线一支

【答案】D

3．若直线mx- ny = 4与⊙O: x2+y2= 4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆22194xy 的交点个数是( )

A．至多为1 B．2 C．1 D．0

【答案】B

4．椭圆222210xyaab＞b＞的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )

A．（0，22） B．（0，12）

C．[21，1] D．[12，1]

【答案】D

5．已知双曲线E的中心为原点，(3,0)F是E的焦点，过F的直线l与E相交于,AB两点，且AB的中点为(12,15)N,则双曲线E的方程为( )

A．22136xy B． 22163xy C．22145xy D．22154xy

【答案】C

6．抛物线22 ypx 的焦点为F，点ABC在此抛物线上，点A坐标为（1,2）.若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为( )

A． 0xy B． 210xy C． 0xy D． 210xy

【答案】B 7．已知F是椭圆12222byax(a>b>0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PF⊥x轴, OP∥AB(O为原点),

则该椭圆的离心率是( )

A．22 B．42 C．21 D． 23

上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练

圆锥曲线

一、选择、填空题

1、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）方程22121xymm表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______

2、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）已知F是椭圆C：221204xy的右焦点，P是C上一点，A（-2，1），当△APF周长最小时，其面积为______

3、（2019届崇明区高三二模）已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过点(0,2)，则该椭圆的标准方程为

4、（2019届黄浦区高三二模）椭圆2212xy的焦距长为

5、（2019届闵行松江区高三二模）抛物线22yx的准线方程为

6、（2019届闵行松江区高三二模）过点(1,0)与双曲线2214xy仅有一个公共点的直线有（ ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

7、（2019届浦东新区高三二模）焦点在x轴上，焦距为6，且经过点(5,0)的双曲线的标准方程

为

8、（2019届青浦区高三二模）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2214xy经过抛物线22ypx（0p）的焦点，则p

9、（2019届杨浦区高三二模）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点(,0)Aa，(,0)Ba，动点P满足||||PAPB（其中a和是正常数，且1），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为

10、（2019届宝山区高三二模）过点2,4A，且开口向左的抛物线的标准方程是___________

11、（2019届宝山区高三二模）已知双曲线22221(0)xyabab的右焦点为(,0)Fc，直线()ykxc与双曲线的右支有两个交点，则（ ） A.||bka B.||bka C.||cka D.||cka

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2017-2018年上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线

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高 中 数 学

上海历年高考经典真题专题汇编

专 题： 圆锥曲线

姓 名 ：

学 号 ：

年 级 ：

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专题：圆锥曲线

一、填空、选择题

1、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_______________

2、（2015年上海高考）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= ．

3、（2014年上海高考）若抛物线22ypx的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，

则该抛物线的准线方程为 .

4、（虹口区2016届高三三模）若双曲线2221yxb的一个焦点到其渐近线的距离为22，

则该双曲线的焦距等于________.

5、（浦东新区2016届高三三模）抛物线214yx的准线方程是

6、（杨浦区2016届高三三模）已知双曲线22214xya*()aN的两个焦点为1F、2F，P为该双曲线上一点，满足21212||||||FFPFPF，P到坐标原点O的距离为d，且59d，则2a

7、（虹口区2016届高三三模）过抛物线28xy的焦点F的直线与其相交于A，B两点，O为坐标原点．

若6,AF则OAB的面积为

8、（浦东新区2016届高三三模）直线1ykx与抛物线22yx至多有一个公共点，则k的取值范围是

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2017-2018年上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线

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上海历年高考经典真题专题汇编

专 题： 圆锥曲线

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专题7：圆锥曲线

一、填空、选择题

1、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_______________

2、（2015年上海高考）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= ．

3、（2014年上海高考）若抛物线22ypx的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，

则该抛物线的准线方程为

.

4、（虹口区2016届高三三模）若双曲线2221yxb的一个焦点到其渐近线的距离为22，

则该双曲线的焦距等于________.

5、（浦东新区2016届高三三模）抛物线214yx的准线方程是

6、（杨浦区2016届高三三模）已知双曲线22214xya*()aN的两个焦点为1F、2F，P为该双曲线上一点，满足21212||||||FFPFPF，P到坐标原点O的距离为d，且59d，则2a

7、（虹口区2016届高三三模）过抛物线28xy的焦点F的直线与其相交于A，B两点，O为坐标原点．

若6,AF则OAB的面积为 2017-2018年上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线

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8、（浦东新区2016届高三三模）直线1ykx与抛物线22yx至多有一个公共点，则k的取值范围是

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2017-2018年上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线

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专 题： 圆锥曲线

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专题7：圆锥曲线

一、填空、选择题

1、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_______________

1、【答案】255

【解析】试题分析：

利用两平行线间距离公式得122222|cc||11|25d5ab21

2、（2015年上海高考）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= ．

2、解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，

所以=1，所以p=2．故答案为：2．

3、（2014年上海高考）若抛物线22ypx的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，

则该抛物线的准线方程为 .

3、【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x

4、（虹口区2016届高三三模）若双曲线2221yxb的一个焦点到其渐近线的距离为22，

则该双曲线的焦距等于________.

4、[答案]6

5、（浦东新区2016届高三三模）抛物线214yx的准线方程是

5、【答案】1y

【解析】22144yxxy，则其准线方程为1y

6、（杨浦区2016届高三三模）已知双曲线22214xya*()aN的两个焦点为1F、2F，P为该双曲线上一点，满足21212||||||FFPFPF，P到坐标原点O的距离为d，且59d，则2a

高三数学一轮复习圆锥曲线方程及性质教案

圆锥曲线方程及性质

教学目标 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；

3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。

命题走向 本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。

对于本讲内容来讲，预测2013年：

（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；

（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

教学准备 多媒体课件 教学过程

要点精讲

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数（大于21||FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21||||2MFMFa。

椭圆的标准方程为：22221xyab（0ab）（焦点在x轴上）或12222bxay（0ab）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中,ab的大小0ab，其中222cab；

②在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m，0n，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程22221xyab知||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；

2020届高三一轮数学复习专题：圆锥曲线常见结论总结

圆锥曲线常见推论

1.距离和差，轨迹椭双

定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆

定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线

定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线

2.距离定比，三线统一

动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆

动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线

动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1，则动点的轨迹是抛物线

3.切线焦半径，准线作法

椭圆上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线

双曲线上的一点出的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线

抛物线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线

4.焦点切线，射影是圆

焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆

焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆

焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆）

5.焦半径圆，切大于圆 以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆（此圆与椭圆内切简称为“大圆”）相切

以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆（此圆与双曲线外切简称为“小圆”）相切

以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线（此圆无穷大（实为顶点处的切线）与曲线外切）相切

2014届高三数学一轮复习导学案：椭圆的标准方程与几何性质(2)

1 课题：椭圆的标准方程和几何性质（2） 班级 姓名：

一：学习目标

会判断直线与椭圆的位置关系，能解决与弦有关的问题.

二：课前预习

1、由222222ykxmbxayab得'2'''2''0,4axbxcbac，

（1） 0（ ）直线与椭圆相交（切、离）；

（2）相交时，弦AB中点坐标为 ；弦长AB=

2、椭圆221123xy的焦点为12FF和，点P在椭圆上，若线段P1F的中点在y轴上，则P1F是P2F的 倍.

3、若椭圆22221(0)xyabab的离心率为512，A为左顶点，F是右焦点，B为短轴的一个端点，则AFB=

4、椭圆2212516xy上点P到直线x+2y+9=0的距离的最大值为 ，最小值为 。

5、当k变化时，直线y=kx+1与椭圆2215xym总有公共点，则m的取值范围是

三：课堂研讨

例1、 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线x-y+1=0与椭圆

相交于点A、B，且OAOB,102AB,求椭圆的方程.

例2、已知椭圆22221(0)xyabab与过点A（2，0），B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率为32. 备 注

2 （1）求椭圆的方程；（2）设12FF、分别是椭圆的左、右焦点，M为线段2AF的中点，求证2122ATAFAF.

例3、已知椭圆22143xy上有两点A、B.

（1）若AB的中点为1(,1)2P,求直线AB的方程；

（2）若A、B关于直线y=4x+m对称，求实数m的取值范围.

3 课堂检测——椭圆的标准方程和几何性质（2） 姓名：

1、设椭圆22221(0)xyabab的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M，若过点P2(,0)ac所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为

2023年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第3讲椭圆双曲线抛物线

第3讲　椭圆、双曲线、抛物线

[考情分析]　高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭

圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一　椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．

(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．

(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.

2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”

所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法

求出方程中的a2，b2，p的值．

例1　(1)(2020·广州四校模拟)若椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为( )

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

答案　D

解析　椭圆＋＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周

长为16，可得2a＋2c＝16，

椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，可得＝，解得a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆C

的方程为＋＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上

且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )A.B．3C.D．2

答案　B

解析　方法一　由题意知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，

如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，

1所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，

则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.

由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，

所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，

所以|PF1||PF2|＝6，

所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.

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