高三数学一轮复习圆锥曲线部分椭圆

高三数学高考第一轮复习——圆锥曲线的定义,基本性质(理)人教实验A版知识精讲

word

1 / 14 高三数学高考第一轮复习——圆锥曲线的定义，基本性质（理）人教实验A版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

圆锥曲线的定义，基本性质

二. 重点、难点：

1. 第一定义

椭圆：aPFPF2||||21

双曲线：aPFPF2||||||21

2. 第二定义

elPdPF),(||

（1）)1,0(e为椭圆

（2）1e为抛物线

（3）),1(e为双曲线

【典型例题】

[例1] 求过)2,3(M且与椭圆14922yx共焦点的（1）椭圆方程（2）双曲线方程。

解：（1）设12222byax

∴10155149222222bababa∴1101522yx

（2）设12222byax

∴235149222222bababa∴12322yx word

2 / 14 另解：14922yx∴14499

∴6∴=6时，双曲线12322yx

6时，椭圆1101522yx

[例2] （1）P为椭圆)0(12222babyax上一点，P不在x轴上，21,FF为焦点，2FPF，求21PFFS；（2）P为双曲线12222byax)0,0(ba上一点，P不在x轴上，21,FF为焦点，21PFF，求21PFFS。

解：（1）221222142aPFPFPFPF

22122214cos2cPFPFPFPF

∴2214)cos1(2bPFPF

∴cos12221bPFPF

∴sin212121PFPFSFPF

2b2tancos1sin2b

（2）221222142aPFPFPFPF

22122214cos2cPFPFPFPF

∴2214)cos1(2bPFPF

2023年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第6讲圆锥曲线的定点问题(含答案)

新高考数学大一轮复习专题：

第6讲定点问题母题已知椭圆C：x24＋y2＝1，点P(0,1)，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为－1，求证：l过定点．

思路分析

❶l斜率k存在时写出l的方程

↓

❷联立l，C的方程，设而不求

↓

❸计算kPA，kPB并代入kPA＋kPB＝－1

↓

❹分析直线方程，找出定点

证明设直线PA与直线PB的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为t，4－t22，t，－4－t22，

则k1＋k2＝4－t2－22t－4－t2＋22t＝－1，得t＝2，不符合题设．

从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.

而k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2

＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2

＝2kx1x2＋m－1x1＋x2x1x2.

由题设k1＋k2＝－1，

故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0，即(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0，

解得k＝－m＋12.

当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－m＋12x＋m，

即y＋1＝－m＋12(x－2)，所以l过定点(2，－1)．

[子题1] 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，O是坐标原点．若点E(－2,0)，直线l不与坐标轴垂直，且∠AEO＝∠BEO，求证：直线l过定点．

证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可设直线l的方程为x＝ny＋b(n≠0)，

由 x＝ny＋b，y2＝4x，得y2－4ny－4b＝0，

高考数学一轮复习专题训练—圆锥曲线的定值问题

圆锥曲线的定值问题

题型一长度或距离为定值

【例1】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的上顶点A与左、右焦点F1，F2构成一个面积为1的直角三角形．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l与椭圆C相切，求证：点F1，F2到直线l的距离之积为定值．

(1)解 ∵椭圆C的上顶点A与左、右焦点F1，F2构成一个面积为1的直角三角形，

∴ b＝c，bc＝1，

∴b＝c＝1，

∴a2＝b2＋c2＝2，

∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1.

(2)证明 ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝±2，

点F1，F2到直线l的距离之积为(2－1)(2＋1)＝1.

②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，

联立 y＝kx＋m，x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝－8(m2－2k2－1)＝0，

∴m2＝1＋2k2，

点F1到直线l：y＝kx＋m的距离d1＝|－k＋m|k2＋1，

点F2到直线l：y＝kx＋m的距离d2＝|k＋m|k2＋1.

∴d1d2＝|－k＋m|k2＋1·|k＋m|k2＋1＝|m2－k2|k2＋1

＝|2k2＋1－k2|k2＋1＝1.

综上，可知当直线l与椭圆C相切时，点F1，F2到直线l的距离之积为定值1.

感悟升华圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．

【训练1】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.设椭圆C2：4x2＋y2＝

1.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

证明当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝22，则O到直线MN的距离为33，当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx显然|k|>22，则直线OM的方程为y＝－1kx，

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案2 圆锥曲线的综合应用

第二课时圆锥曲线的综合应用

考点一最值范围问题|

(2015·高考浙江卷)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．

(1)求实数m的取值范围；

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．

[解] (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－1mx＋b.

由 x22＋y2＝1，y＝－1mx＋b，消去y，得12＋1m2x2－2bmx＋b2－1＝0.

因为直线y＝－1mx＋b与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋4m2>0，①

设M为AB的中点，则M2mbm2＋2，m2bm2＋2，代入直线方程y＝mx＋12解得b＝－m2＋22m2.②

由①②得m<－63或m>63.

(2)令t＝1m∈－62，0∪0，62，

则|AB|＝t2＋1·－2t4＋2t2＋32t2＋12，

且O到直线AB的距离d＝t2＋12t2＋1.

设△AOB的面积为S(t)，所以

S(t)＝12|AB|·d＝12 －2t2－122＋2≤22，

当且仅当t2＝12时，等号成立．故△AOB面积的最大值为22.

(1)最值问题的求解方法：

①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．

②建立不等式模型，利用基本不等式求最值．

③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．

(2)求参数范围的常用方法：

①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．

②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．

③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．

④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．

1.(2016·宁波模拟)如图，抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点在y轴上，抛物线上的点(x0,1)到焦点的距离为2.

(1)求抛物线C的标准方程；

高三第一轮复习椭圆的定义方程几何性质

椭圆的定义、方程及几何性质

【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）

主干知识归纳

1．椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1) 若ca，则集合P为椭圆；

(2) 若ca，则集合P为线段；

(3) 若ca，则集合P为空集．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 2222byax＝1(a＞b＞0) 2222bxay＝1(a＞b＞0)

图形

性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a

对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)

顶点 A1)0,(a，A2)0,(a，

B1),0(b，B2),0(b A1),0(a，A2),0(a，

B1)0,(b，B2)0,(b

轴长轴A1A2的长为a2，短轴B1B2的长为b2.

焦距 |F1F2|＝c2

离心率 e＝ac，e∈(0,1)

a，b，c的关系 c2＝22ba

3. 椭圆中常见的结论

（1）若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.

（2）若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外，则过0P作椭圆的两条切线切点为1P、2P，则切点弦1P2P的直线方程是00221xxyyab.

（3）椭圆22221xyab (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.

（4）A、B是椭圆22221(0)xyabab长轴的端点，M),(00yx为椭圆上任意一点，则22MAMBbkka，

方法规律总结

高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结

1.椭圆的概念

椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。

2.椭圆的性质

①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。

③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。其中，c表示焦距，a表示长半轴长。

椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。

双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.

双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点只有两个，分别是实轴的两个端点。实轴是线段AA'，长度为2a，叫做双曲线的实轴，a叫做双曲线的实半轴长。虚轴是线段BB'，长度为2b，叫做双曲线的虚轴，b叫做双曲线的虚半轴长。双曲线还有两条渐近线，分别与实轴和虚轴平行，当双曲线的两支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

第4讲+圆锥曲线之张直角弦及应用+讲义——2024届高三数学一轮复习

第4讲圆锥曲线论之张直角弦及其应用

一、知识点

1. 张直角弦

（1）与中心的张角为直角的弦（倾斜角）；

（2）与中心的张角为直角的弦（离心角）；

（3）与顶点的张角为直角的弦（倾斜角）；

（4）与顶点的张角的直角的弦（离心角）；

2. 其他：互相垂直的弦中点所在直线过定点

【题型1 与中心的张角为直角的弦（倾斜角）】

例1 设椭圆E：，过点,两点，O为坐标原点

（1）求椭圆E的方程

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B，且,若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由；

（3）求的取值范围；

（4）求的取值范围；

【题型2 与中心的张角为直角的弦（离心角）】

（1）例2 已知椭圆,过原点的两条直线和分别与椭圆交于A,B和C,D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S，设和的斜率之积为，求面积S的值。

（2）已知椭圆C：的离心率为,短轴长为2，若A,B是椭圆上两个动点，O为坐标原点，OA,OB的斜率分别为,问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由。

（3）已知椭圆C：的右顶点为N，长轴长为，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，且重心的横坐标为，的面积为，直线与椭圆C交于A,B两点，以OA,OB为邻边作平行四边形OAMB，且，试判断是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由。

例3 已知椭圆C：,动圆P：(圆心P 为椭圆C上异于左右顶点的任意一点)，过原点O作两条射线与圆P相切，分别交椭圆于M,N两点，且切线长的最小值为

（1）求椭圆C的方程

（2）求证：的面积为定值

（3）求证：为定值

例4 已知直线与椭圆C:交于两不同点，且的面积，其中O为坐标原点。

（1）证明：和均为定值；

（2）设线段PQ的中点为M，求的最大值

（3）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得，若存在，判断三角形DEG的形状，若不存在，请说明理由。

高三数学第一轮复习椭圆的定义、性质及标准方程知识精讲

高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程

【本讲主要内容】

椭圆的定义、性质及标准方程

椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质

【知识掌握】

【知识点精析】

1. 椭圆的定义：

⑴第一定义：平面内与两个定点12FF、的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数)10(ee，则动点M的轨迹叫做椭圆。

定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段12FF。

②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：

标准方程 )0(12222babyax中心在原点，焦点在x轴上 )0(12222babxay

中心在原点，焦点在y轴上

图形

范围 xayb， xbya，

顶点 12120000AaAaBbBb，、，，、， 12120000AaAaBbBb，、，，、，

对称轴 x轴、y轴；

长轴长2a，短轴长2b；

焦点在长轴上 x轴、y轴；

长轴长2a，短轴长2b；

焦点在长轴上

焦点 1200FcFc，、， 1200FcFc，、，

焦距 )0(221ccFF )0(221ccFF 离心率 )10(eace )10(eace

准线 2axc 2ayc

参数方程与普通方程 22221xyab的参数方程为

cossinxayb为参数 22221yxab的参数方程为

cossinyaxb为参数

3. 焦半径公式：

椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设12FF、分别是椭圆的左、右焦点，00Pxy，是椭圆上任一点，则10PFaex，20PFaex。

高三数学高考一轮复习系列教案第八章圆锥曲线大纲版

第八章圆锥曲线

知识结构

高考能力要求

1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．

2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．

3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．

4．了解圆锥曲线的初步应用．

高考热点分析

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：

1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．

②圆锥曲线的几何性质的应用．

2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．

3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．

4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．

高考复习建议

1．圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容．复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系．椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为“一个动点P到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹”，当0＜e＜1、e＝1、e＞1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线．复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题．

椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

1 / 19 专题9.3 椭圆（知识点讲解）

【知识框架】

【核心素养】

1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．

2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．

【知识点展示】

一．椭圆的定义及其应用

1.椭圆的概念

(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

(2)代数式形式：集合

①若，则集合P为椭圆； 1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.ac 2 / 19 ②若，则集合P为线段；

③若，则集合P为空集．

2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，

二．椭圆的标准方程

1. 椭圆的标准方程：

（1）焦点在轴，；

（2）焦点在轴，.

2．满足条件：

三．椭圆的几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质条件

图形

标准方程

范围

对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称

顶点长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点

焦点 acacx2222=1(a>b>0)xyaby2222=1(a>b>0)yxabx2222+=1(a>b>0)xyaby2222y+=1(a>b>0)xab22222000acabcabc＞，＝＋，＞，＞，＞22222000acabcabc＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)xyab2222y+=1(a>b>0)xabxayb,xbya,,xy,xy,0a0,b0,a,0b,0c0,c 3 / 19 焦距

离心率，其中

通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为

四．直线与椭圆的位置关系

1.直线与椭圆位置关系的判断

(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．