高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.9 曲线与方程
高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第八章第8讲圆锥曲线中的热点问题
第八章平面解析几何
第8讲圆锥曲线中的热点问题
1. 定值问题
如果曲线中某些量不依赖于变化元素而存在，则称为定值,
探讨定值的问题可以为解答题，也可以为证明题，求定值的
基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结
果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出
定值，然后再予以证明，因为毕竟是解析几何中的定值问题, 所以讨论的立足点是解析几何知识，工具是代数、三角等知 识，基本数学思想与方法的体现将更明显，更逼真.教材回顾▼夯实基础 课本温故追根求源
2. 最值问题
圆锥曲线中最值问题是高中数学的重要内容，试题把代数、
三角和几何等有机结合起来，问题具有高度的综合性和灵活
性.常用的方法有⑴利用定义求解；⑵构造基本不等式；⑶
利用数形结合；（4）构造函数等.
3. 范围问题
求解析几何中的有关范围问题往往通过类比、联想、转化、
合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决
问题.对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程会引入一些相
互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度及“，b, c, e
之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效.
產D -做一做•
1.直线y=〉+ 3与双曲线器一* = 1的交点个数是
1
解析：因为直线丿=纭+3与双曲线的渐近线y=^x平行，所
以它与双曲线只有1个交点.
2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个 焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正
方形，设P为该椭圆上的动点，C, D的坐标分别是（7,
0）,（边，0）,则PC PD的最大值为& .
2 2
解析：设椭圆的标准方程为》+器=l@>b>0）, C2=a2—b2.
由正方形的对角线性质可得:
b=c,又该正方形面积为4,
则4X；X沪=4,所以b=c=逸,则C, D即为椭圆的焦点,
所以疋喀便仟斗=—心=4 til
要点整食r
1.必明辨的2个易错点
高考理科第一轮复习练习(8.8曲线与方程)
课时提升作业(五十八)
一、选择题
1.(2013·九江模拟)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是( )
(A)一条直线和一条双曲线 (B)两条双曲线
(C)两个点 (D)以上答案都不对
2.(2013·汉中模拟)设P为圆x2+y2=1上的动点,过P作x轴的垂线,垂足为Q,若错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。(其中λ为正常数),则点M的轨迹为( )
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线
3.(2013·铜陵模拟)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )
(A)x2+y2=2 (B)x2+y2=4
(C)x2+y2=2(x≠±2) (D)x2+y2=4(x≠±2)
4.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,错误！未找到引用源。)的轨迹是( )
(A)圆
(B)椭圆的一部分
(C)双曲线的一部分
(D)抛物线的一部分
5.(2013·安庆模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的轨迹方程是( )
(A)(x-1)2+(y+1)2=9
(B)(x+1)2+(y-1)2=9
(C)(x-1)2+(y-1)2=9
(D)(x+1)2+(y+1)2=9
6.已知动点P(x,y),若lgy,lg|x|,lg错误！未找到引用源。成等差数列,则点P的轨迹图象是(
)
7.已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是( )
(A)圆或椭圆或双曲线
(B)两条射线或圆或抛物线
(C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线
8.(2013·合肥模拟)在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B(-错误！未找到引用源。,0),C(错误！未找到引用源。,0)(a>0)且满足条件sinC-sinB=错误！未找到引用源。sinA,则动点A的轨迹方程是( )
高考数学一轮复习第8讲 函数与方程
第8讲 函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈区间D)，把使01f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈区间D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与02x轴有交点⇔函数y＝f(x)有03零点.
(3)函数零点的判定(零点存在定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有04f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间05(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得06f(c)＝0，这个07c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点 08(x1,0)，(x2,0) 09(x1,0) 无交点
零点个数 102 111 120 2 / 21
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．
(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
1．(2020·云南玉溪一中二调)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 B
解析 易知函数f(x)＝2x＋3x在定义域上单调递增，且f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以由函数零点存在定理得，零点所在的区间是(－1，0)．故选B．
高三数学高考一轮复习系列教案第八章 圆锥曲线 大纲版
第八章 圆锥曲线
知识结构
高考能力要求
1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．
2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．
3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．
4．了解圆锥曲线的初步应用．
高考热点分析
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：
1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：
①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．
②圆锥曲线的几何性质的应用．
2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．
3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．
4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．
高考复习建议
1．圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容．复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系．椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为“一个动点P到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹”，当0＜e＜1、e＝1、e＞1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线．复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题．
高考数学一轮复习第8章 第6节 双曲线 (2)
1 / 15 双曲线
[考试要求]
1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
3.理解数形结合思想.
4.了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)
图形
性 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 质 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±bax y＝±abx
离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)
实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．等轴双曲线及性质
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．
[常用结论]
1．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时最值范围证明问题学案含解析
20211析新人教B版
- 1 - 第九节 圆锥曲线的综合问题
最新考纲 考情分析 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．
2．了解圆锥曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想. 1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点．
2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．
3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。
知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的20211析新人教B版
- 2 - 一元方程．
即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。
（1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
（2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则
|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误!
＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!.
知识点二 圆锥曲线中的最值与取值范围问题
圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：
1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；
2．利用三角函数有界性求最值；
3．数形结合利用几何性质求最值． 20211析新人教B版
- 3 - 知识点三 圆锥曲线中的定值与定点问题
2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章 8.8 抛物线 (含解析)
§8.8 抛物线
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准
方程 y2＝2px
(p>0) y2＝－2px
(p>0) x2＝2py
(p>0) x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形
顶点
坐标 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点
坐标 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2
离心率 e＝1
准线
方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口
方向 向右 向左 向上 向下
焦半径 x0＋p2 －x0＋p2 y0＋p2 －y0＋p2
通径长 2p
概念方法微思考
1．若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？
提示 过点F且与l垂直的直线．
2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？
提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.( × )
(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ )
题组二 教材改编
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则PQ等于( )
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第5讲 椭圆创新教学案(含解析)新人教版-新人教版高三全册数
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- 1 - / 31 第5讲 椭圆
[考纲解读] 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(X围、对称性、顶点、离心率)．(重点)
2．掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2021年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.
1.椭圆的定义
(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的□01和等于□02常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做□03焦距．
(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝□042a，且2a□05>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．
注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)
图形
性 X围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a word
- 2 - / 31 质 对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)；
B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)；
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝ca且e∈(0,1)
a，b，c
的关系 c2＝a2－b2
高考数学(文通用)一轮复习课件：第八章第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程
平面解析几何 第八章平面解析几何
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知识点
1•在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线 位置的几何要素.
2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直 线斜率的计算公式.
3. 掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形 式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数 的关系.
1. 能麻两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂 直.
2/能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会 求两条平行直线间的距离. 直线的
方程
两直线
的位置
关系 第八章平面解析几何
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掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一 般方程.
1•能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的 位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆 的位置关系.
2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
3. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几 何性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 知识点
圆的方
程
直线、
圆的位
置关系 111 第八章平面解析几何
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了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知知识点
双曲线 道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离
心率、渐近线）.
了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知
抛物线 道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离
心率）•
圆锥曲线的 理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应
简单应用 用. 第八章平面解析几何
第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程⑵倾斜角的范围为 [0,兀）
教材回顾▼夯实基础
1. 直线的倾斜角
⑴定义：兀轴正向与直线向上方向之间所成的角叫 做这条直线的倾斜角.当直线与兀轴平行或重合时，规定它
的倾斜角为 __________ 课本温故追根求源
2. 直线的斜率
率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan S倾斜角是90° 的直线没有斜率.
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第8节直线与圆锥曲线的位置关系第2课时范围最值问题教师用书
1 第2课时 范围、最值问题
考点1 范围问题——综合性
(2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋22－1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线MN距离的取值范围．
解：(1)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F2(c,0)，则以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆：(x－c)2＋y2＝a2，
所以圆心到直线x＋y＋22－1＝0的距离d＝|c＋22－1|12＋12＝a．
又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a＝2c，b＝3c，
解得a＝2，b＝3，c＝1，
所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1．
(2)设B(m，n)，设M，N的中点为D，直线OD与椭圆交于A，B两点．
因为O为△BMN的重心，则BO＝2OD＝OA，所以D－m2，－n2，
即B到直线MN的距离是原点O到直线MN距离的3倍．
当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时B在长轴的端点处．
由|OB|＝2，得|OD|＝1，则O到直线MN的距离为1，B到直线MN的距离为3．
当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 x214＋y213＝1，x224＋y223＝1，
两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)4＋(y1＋y2)(y1－y2)3＝0． 2 因为D为M，N的中点，所以x1＋x2＝－m，y1＋y2＝－n，所以k＝y1－y2x1－x2＝－3m4n， 所以直线MN的方程为y＋n2＝－3m4nx＋m2，即6mx＋8ny＋4n2＋3m2＝0，
所以原点O到直线MN的距离d＝4n2＋3m264n2＋36m2．