高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2
高中数学 第四章 定积分 4.3 定积分的简单应用教材基础素材 北师大版选修2-2
§3 定积分的简单应用
我们可直接用定积分的定义计算有些定积分的值.但对于有些定积分,如12x1dx,几乎不可能直接用定义计算.那么,有没有更简便的方法求定积分呢?这就是我们本节所要研究的微积分基本定理的主要内容.
高手支招1细品教材
一、路程与路程函数导数的关系
1.条件:运动物体经过的一段路程s关于时间t的函数为s=s(t),且t∈［a,b］;物体从时刻t=a到t=b走过的路程为s(b)-s(a).
状元笔记 1.物体从t=a到t=b所走过的路程就是在每一个小时间段内所走过路程的累积.
2.连续运动的物体在一段时间内的路程等于其路程函数导数在这一段时间内的定积分.
2.问题:物体经过的一段路程与路程函数导数有何关系？
状元笔记 1.物体从t=a到t=b所走过的路程就是在每一个小时间段内所走过路程的累积.
2.连续运动的物体在一段时间内的路程等于其路程函数导数在这一段时间内的定积分.
3.推导
(1)区间分割a=t0
(2)物体在区间［a,b］内的路程与各分割区间内的路程的关系
s(b)-s(a)=［s(t1)-s(t0)］+［s(t2)-s(t1)］+…+［s(tn)-s(tn-1)］=s(t1)-s(t0).
(3)运动物体在各分割区间上走过的路程与其速度函数如右图所示.
因此得出:s(b)-s(a)≈
v(t0)Δt1+(t1)Δt2+…+v(t n-1)Δtn.
(4)积分表示:s(b)-s(a)= abv(t)dt.
(5)推出结论:s(b)-s(a)= abs′(t)dt.
二、微积分基本定理
1.微积分基本定理的内容:设f(x)在区间［a,b］上连续,且F(x)是它在该区间上的一个原函数,则有abf(x)dx=F(b)-F(a).
状元笔记 微积分基本定理建立了积分与导数间的密切关系,可以看出,若要求出某一连续函数的定积分,只需要求出导函数的一个原函数,就可利用牛顿—莱布尼茨公式求出这个函数的定积分,这是求定积分的一个重要方法.
陕西省石泉县石泉中学高中数学选修2-2北师大版教案：4.3.1平面图形的面积
石泉中学课时教案
科目：数学 授课时间：第 周 星期 年 月 日
单元（章节）课题 选修2-2 第四章定积分
本节课题 3.1平面图形的面积
课标要求 初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。
三维目标 （一）知识与能力：
1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；
2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；
3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。
（二）过程与方法：
借助于几何直观定积分的基本思想，感受在其数学中的渗透。
（三）情感态度与价值观：
认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
教材分析 本节的主要内容是展现定积分的实际背景，形成定积分的概念.教材设计了3个实例求曲边梯形面积、根据物体运动的速度求路程、求物体拉力做的功，通过这些问题的解决，总结这些问题的解决思路即通过分割求和、加细、减小误差，然后再研究提高精确度的过程，这个过程是定积分思想的核心，为定积分概念的引人奠定了背景和方法的基础。
学情分析 学生已经学过了求曲边梯形面积、根据物体运动的速度求路程、求物体拉力做的功，为定积分概念的引人奠定了背景和方法的基础。
教学重难点 重点：曲边梯形面积的求法。
难点：曲边梯形面积的求法及应用。
提炼的课题 平面图形的面积的求法。
教学手段运用 专家伴读 教学资源选择
教学过程
1、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？
2、定积分的应用
（一）利用定积分求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线2yx和2yx所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：201yxxxyx及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=11200xdxxdx，所以120S=(x-x)dx32130233xx=13
高中数学第四章定积分4.3.1平面图形的面积教案北师大版选修2-2(2021年整理)
陕西省石泉县高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积教案 北师大版选修2-2
1 / 61 陕西省石泉县高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积教案 北师大版选修2-2
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陕西省石泉县高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积教案 北师大版选修2-2
2 / 62 3。1平面图形的面积
课标要求 初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。
三维目标 （一）知识与能力：
1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；
2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理;
3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。
（二)过程与方法：
借助于几何直观定积分的基本思想，感受在其数学中的渗透.
（三）情感态度与价值观：
认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
教材分析 本节的主要内容是展现定积分的实际背景，形成定积分的概念。教材设计了3个实例求曲边梯形面积、根据物体运动的速度求路程、求物体拉力做的功，通过这些问题的解决，总结这些问题的解决思路即通过分割求和、加细、减小误差,然后再研究提高精确度的过程，这个过程是定积分思想的核心,为定积分概念的引人奠定了背景和方法的基础。
(北师大版)上海市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)
一、选择题
1．已知22214axexdx，若201620121axbbxbx 20162016bx（xR），则12222bb 201620162b的值为（ ）
A．1 B．0 C．1 D．e
2．已知函数2ln2fxmxxx在定义域内存在单调递减区间，则实数m的取值范围是（ ）
A．12m B．12m C．1m D．1m
3．若曲线lnykxx在点1,k处的切线平行于x轴，则k（ ）
A．2 B．1 C．0 D．1
4．曲线xye在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A．12 B．1 C．2 D．3
5．如图，设D是途中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数1(0)yxx图象下方的
阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（ ）
A．ln2 B．1ln2 C．2ln2 D．1ln2
6．已知1(1)1xfxxe，则函数()fx在点(0,(0))f处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为
A．14 B．12 C．1 D．2
7．已知10(31)()0axxbdx，,abR，则ab的取值范围为（ ）
A．1,9 B．1,1,9 C．1,[1,)9 D．1,
8．由直线,1yxyx，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A．101yydy B．1201xxdx
C．1201yydy D．101xxdx
9．若向区域,|0101xyxy，内投点，则该点落在由直线yx与曲线yx围成区域内的概率为（ ）
A．18 B．16 C．13 D．12
高中数学：4.1.2定积分(一)教案(北师大选修2-2)
高中数学：4.1.2定积分(一)教学设计(北师大选修2-2)
定积分
1. 复习
不定积分的观点 .
2. 讲解新课
2.1 两个引例
引例 1 曲边梯形的面积
由连续曲线 y f ( x) （ f x 0 ）和 x a, x b 及 y 0围成的平面图形 AabB 称
为曲边梯形（如图 5-1 ）．
因为曲边梯形在底边上各点处的高 f ( x) 在区间 a,b 上是不停变化的， 因此它的面积
不可以由公式
A 底×高
求得 . 为了计算曲边梯形的面积，我们能够先将它切割成若干个小曲边梯形，在小曲边梯
形中 f ( x) 的变化很小，能够用相应的小矩形近似取代，用全部小矩形的面积之和近似代
替整个曲边梯形的面积 . 明显，切割的越细，近似程度就越高，当无穷细分时，全部小矩
形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精准值 .
依据以上剖析，我们按下边的方法求曲边梯形的面积 .
设函数 f (x) 在区间 a, b 上连续，且 f x 0 .
在 [ a, b] 上任取 n 1 个内分点：
a x0 x1 x2 xn 1 xn b ， 将区间 a, b
切割为 n 个小区间 : 图 1
[ x0 , x1],[ x1, x2 ], K ,[ xn 1 , xn ] ，
记每一小区间长度为 i i i 1 ，过分点
xi (i 1,2, , n) 作 x 轴的垂线，将曲边梯形
x x x
AabB 分 割 为 n 个 小 曲 边 梯 形 ； 设 Ai 表 示 第 i 个 小 曲 边 梯 形 的 面 积 ， 则 曲 边 梯 形
AabB AabB 的面积为 A n
. 在每个小区间
xi , xi 1
i ，以 xi 为底边， Ai 上随意取一点
k 1
f ( i ) 为高作小矩形，则小矩形的面积为 f ( i ) xi ，当 xi 很小时，有
(北师大版)北京市高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(包含答案解析)
一、选择题
1．已知71()xx展开式中，5x的系数为a，则62axdx（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．4片叶子由曲线2||yx与曲线2||yx围成，则每片叶子的面积为（）
A．16 B．36 C．13 D．23
3．直线4yx与曲线3yx在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A．22 B．42 C．2 D．4
4．三棱锥DABC及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,ABCD均在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A．32 B．36 C．128 D．144
5．由23yx和2yx围成的封闭图形的面积是（ ）
A．23 B．923 C．323 D．353
6．已知函数f(x)=x2+1的定义域为[a,b](a
A．8 B．6 C．4 D．2
7．已知1(1)1xfxxe，则函数()fx在点(0,(0))f处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为
A．14 B．12 C．1 D．2
8．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．
A．44 B．46 C．48 D．50
9．使函数322912fxxxxa图象与x轴恰有两个不同的交点，则实数a可能的取值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2 10．由直线,1yxyx，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ）
A．101yydy B．1201xxdx C．1201yydy D．101xxdx
11．曲线sin0πyxx与直线12y围成的封闭图形的面积是
(北师大版)天津市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(有答案解析)
一、选择题
1．一物体作变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在1s~6s2间的运动路程为（
）m．
A．1
B．43
C．494 D．2
2．12201xdx（ ）
A．12 B．3128 C．368 D．364
3．已知函数22(1),10()1,01xxfxxx则11()dfxx（ ）
A．3812 B．4312 C．44 D．4312
4．已知10axdx， 120bxdx， 10cxdx，则a， b， c的大小关系是（ ）
A．abc B．acb C．bac D．cab
5．曲线3yx在点1,1处的切线与x轴、直线2x所围成的三角形的面积为（ ）
A．83 B．73 C．53 D．43
6．如图，设D是途中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数1(0)yxx图象下方的
阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（ ）
A．ln2 B．1ln2 C．2ln2 D．1ln2 7．已知10(31)()0axxbdx，,abR，则ab的取值范围为（ ）
A．1,9 B．1,1,9 C．1,[1,)9 D．1,
8．已知幂函数ayx图像的一部分如下图，且过点(2,4)P，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．163 B．83 C．43 D．23
9．已知402cos2dtxx，执行下面的程序框图，如果输入的,2atbt，那么输出的n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．20ln1()231mxxfxxtdtx，，，且10ffe，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．1 D．2 11．若2221111,,,xaedxbxdxcdxx则a，b，c的大小关系是（ ）
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(含答案解析)(2)
一、选择题
1．222024xdxxdx( )
A．2 B．12 C．4 D．
2．设2012axdx,则二项式6212axx的常数项是（ ）
A．240 B．240 C．60 D．60
3．定积分220[4(2)]xxdx的值为（ ）
A．24 B．2 C．22 D．48
4．曲线xye，xye和直线1x围成的图形面积是（ ）
A．1ee B．1ee C．12ee D．12ee
5．已知10(31)()0axxbdx，,abR，则ab的取值范围为（ ）
A．1,9 B．1,1,9 C．1,[1,)9 D．1,
6．使函数322912fxxxxa图象与x轴恰有两个不同的交点，则实数a可能的取值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．曲线sin0πyxx与直线12y围成的封闭图形的面积是
A．3 B．23 C．π23 D．π33
8．20ln1()231mxxfxxtdtx，，，且10ffe，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．1 D．2
9．由曲线1xy，直线,3yxy所围成的平面图形的面积为（ ）
A．2ln3 B．4ln3 C．4ln3 D．329
10．由曲线4yx，1yx，2x围成的封闭图形的面积为( ) A．172ln22
B．152ln22
C．15+2ln22 D．17+2ln22
11．二维空间中圆的一维测度（周长）2lr，二维测度（面积）2Sr，观察发现()Srl：三维空间中球的二维测度（表面积）24Sr，三维测度（体积）343Vr，观察发现()VrS.则由四维空间中“超球”的三维测度38Vr，猜想其四维测度W（ ）.
(北师大版)上海市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)
一、选择题
1．一物体作变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在1s~6s2间的运动路程为（
）m．
A．1 B．43 C．494 D．2
2．已知函数22(1),10()1,01xxfxxx则11()dfxx（ ）
A．3812 B．4312 C．44 D．4312
3．如图，由曲线21yx直线0,2xx和x轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A．1 B．23 C．43 D．2
4．若函数32nxfxxx在点1,6M处切线的斜率为33ln3，则n的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
5．已知二次函数()yfx的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为：
A．2π5
B．32 C．43 D．π2
6．设若20lg,0()3,0axxfxxtdtx，((1))1ff，则a的值是( )
A．1 B．2 C．1 D．-2
7．已知1(1)1xfxxe，则函数()fx在点(0,(0))f处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为
A．14 B．12 C．1 D．2
8．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．
A．44 B．46 C．48 D．50
9．使函数322912fxxxxa图象与x轴恰有两个不同的交点，则实数a可能的取值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
10．已知402cos2dtxx，执行下面的程序框图，如果输入的,2atbt，那么输出的n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力单位：N，位移单位：m)作用力下，沿与力F(x)相同的方向由x＝5 m直线运动到x＝10 m处做的功是( )．
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)
一、选择题
1．已知函数22(1),10()1,01xxfxxx则11()dfxx（ ）
A．3812 B．4312 C．44 D．4312
2．给出以下命题：
（1）若()0hafxdx，则()0fx；
（2）20|sin|4xdx；
（3）()fx的原函数为()Fx，且()Fx是以T为周期的函数，则：0()()aaTTfxdxfxdx
其中正确命题的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若20(sincos)2xaxdx，则实数a等于（ ）
A．1 B．1 C．3 D．3
4．若连续可导函数Fx的导函数'Fxfx，则称Fx为fx的一个原函数.现给出以下函数Fx与其导函数fx：①2cosFxxx， 2sinfxxx；②3sinFxxx， 23cosfxxx，则以下说法不正确．．．的是（ ）
A．奇函数的导函数一定是偶函数 B．偶函数的导函数一定是奇函数
C．奇函数的原函数一定是偶函数 D．偶函数的原函数一定是奇函数
5．设若20lg,0()3,0axxfxxtdtx，((1))1ff，则a的值是( )
A．1 B．2 C．1 D．-2
6．等比数列na中,36a,前三项和3304Sxdx,则公比q的值为（ ）
A．1或12 B．1或12 C．12 D．1
7．设2012axdx,则二项式6212axx的常数项是（ ）
A．240 B．240 C．60 D．60 8．由曲线2yx与直线2yx所围成的平面图形的面积为（ ）
A．52 B．4 C．2 D．92
9．已知二次函数yfx的图像如图所示 ，则它与x轴所围图形的面积为（ ）