【数学】第四章 1.1 定积分的背景——面积和路程问题 课件(北师大版选修2-2)
问题。如何解决这些问题呢？现有知识无法解决，为 此我们需要另寻方法。 接下来我们要学习的定积分，就可以帮助我们解 决这些问题。
y
y f (x )
o
a
b
x
图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样
的平面图形称为曲边梯形，如何求这个面积呢？
曲边梯形定义： 我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲
此时误差不超过： s1 s1 25( m)
若将 5 秒平分成10份，则得到过剩估计值为 s 2 ：
s2 [v(0) v(0.5) v(1) v(4) v(4.5)] 0.5 48.125(m)
s v(0.5) v(1) v(1.5) v(2) v(5) 0.5 35.625(m) 2
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1
训练 2
物体在力 F 的作用下从静止开始运动，力 F 的大小
与位移 s(m)的关系是：F(s)＝3s＋1，试估计物体运动 5 m 的 过程中力 F 所做的功，并写出估计值的误差．
解
将[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个功分成5个小位移
段内的功． 若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分别近似替代F引起的物体 在0～1 m,1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力的 平均大小，则得出功的过剩估计值为 W1＝[(3× 1＋1)＋(3× 2＋1)＋(3× 3＋1)＋(3× 4＋1)＋(3× 5＋1)]×1 ＝50(J)．
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1.1
(3)求和：曲边梯形面积的过剩近似值S＝(f(0.2)＋f(0.4)＋f(0.6) ＋f(0.8)＋f(1))×0.2＝1.44. 曲边梯形面积的不足近似值为s＝(f(0)＋f(0.2)＋f(0.6)＋ f(0.8))×0.2＝1.24.
(4)逼近：在这种情况下，无论过剩近似值还是不足近似值，误 差都不会超过0.20，如果需要，可将区间分得更细，得到更精 确的估计值．
线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。
对曲边梯形概念的理解：
（1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面
图形；
（2）曲边梯形与“直边图形”主要区别在于前者有
一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段。 我们曾经用正多边形逼近圆的方法 (即“以直带曲”
的思想) 求出了圆的面积，能否也能用直边形(如矩形) 来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢？
S 2 (0.12 0.2 2 12 ) 0.1 0.385
不足估计值为
s2 (0 2 0.12 0.2 2 0.9 2 ) 0.1 0.285
y
(4)
二者的差值为 S 2 s2 0.1 ，此时，无 论用 S 2 还是 s 2 来表示 S ，误差都不超过 0.1 。 区间分的越细，误差越小。当所 分隔的区间长度趋于 0 ，过剩估计值 和不足估1]平均分成许多小区间，把曲边梯形拆 即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个
分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲”，
小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边
梯形面积的近似值。
可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦
即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形 的面积。可通过以下几个步骤具体实施： （1）分割； （2）近似代替(过剩和不足估计值)；
小结
＊ 曲边梯形的定义： 我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲 线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。 ＊ 求曲边梯形面积的步骤： 分割区间 过剩估计值 不足估计值
逼近所求面积
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1.1
若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分别近似替代F引起的物体 在0～1 m,1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力 的平均大小，则得出功的不足估计值为 W1＝[(3× 0＋1)＋(3× 1＋1)＋(3× 2＋1)＋(3× 3＋1)＋(3× 4＋1)]×1 ＝35(J)． 无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过15 J.
（3）逼近。
问题1 图中阴影部分由抛物线 y x 2，直线 x 1 及 x 轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的 面积 S 。 y
y x2
o
1
x
将区间[0，1]平均分成 5 份，如图所示。 y
(1)
1 o x 图 (1) 中，所有小矩形面积之和 S1 显然大于所
S1
求曲边梯形的面积，我们称 S1 为 S 的过剩估计值， 则有
不足估计值为 s2 ：
此时，误差都不超过
s2 s2 48.125 35.625 12.5( m)
滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小 时间段长度趋于0，则过剩估计值和不足估计值都趋 于汽车滑行路程。
概括
前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求 曲边梯形的面积的问题，它们的步骤： 分割区间
平面图形的面积S，并写出估计值的误差．
点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边 梯形；
(2)近似替代：若用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这 5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积 f(0.2)· 0.2，f(0.4)· 0.2，f(0.6)· 0.2，f(0.8)· 0.2，f(1)· 0.2. 若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分别表示这5个小曲边梯 形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0)· 0.2，f(0.2)· 0.2， f(0.4)· 0.2，f(0.6)· 0.2，f(0.8)· 0.2；
第四章 定积分 1.1 定积分的背景——面积 和路程问题
引入
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面 “直边图形”的面积；物理中，我们知道匀速直线运动 的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中， 我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面 “曲边
图形 ” 的面积、变速直线运到物体位移、变力做功的
过剩估计值
不足估计值
逼近所求面积
所分区间长度→ 0
估计值→所求值
动手做一做 求直线 x=0,x=2,y=0与曲线 y=x2 所围成的曲边 梯形的面积。
y
8 3
y x2
O
2 i - 1 n
2i n
2
x
1.1
例1
解
求由曲线f(x)＝2x，直线x＝1，直线x＝0及x轴所围成的
(1)分割：将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分
s1 v(0) v(1) v(2) v(3) v(4) 1 55(m)
v v v v 用 v(1)， ( 2)，( 3) ，(4) ，(5) 近似代替汽车在0~1、 1~2、2~3、3~4、4~5s内的平均速度，则滑行距离的 不足估计值为 s1 ：
s1 v(1) v(2) v(3) v(4) v(5) 1 30(m)
1
o
x
问题2 司机猛踩刹车，汽车滑行 5s 后停下，此过
程中汽车的速度 v 是时间 t 的函数：
v(t ) t 10t 25 (0 t 5)
2
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s 。
分析：
v v v 将滑行的 5s 平分成 5 份。用 v(0)，(1) ， ( 2)，( 3) v(4) 近似代替汽车在0~1、1~2、2~3、3~4、4~5s内 的平均速度，则滑行距离的过剩估计值为 s1 ：
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1.1
(3)求和：由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为 S1＝(20.2＋20.4＋20.6＋20.8＋21)×0.2≈1.55， 不足估计值为s1＝(20＋20.2＋20.4＋20.6＋20.8)×0.2≈1.35.
(4)逼近：在这种情况下，无论过剩估计值还是不足估计值，误 差都不超过0.20.如果需要，我们可以将区间分得更细，得到更 精确的估计值．
直线段，将整个曲边梯形分成五个小曲边梯形．
(2)近似替代：用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)表示这5个小 曲边梯形的高，则可得到曲边梯形的过剩近似值； 用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)表示这5个小曲边梯形的 高，可得到曲边梯形面积的不足近似值．
y
(2)
s1
o
1
x
我们可以用 S1 或 s1 近似表示 S ，但是都存在 误差，二者之差为S1 s1 0.2 ，但是无论是用S1 还
是 s1 来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2，
如图(3)所示。 y
(3)
o
1
x
为减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则 所求面积的过剩估计值为
S1 (0.22 0.42 0.62 0.82 12 ) 0.2 0.44
图 (2) 中，所有小矩形面积之和 s1 显然小于所 求曲边梯形的面积，我们称 s1 为 S 的不足估计值，
则有
s1 (02 0.22 0.42 0.62 0.82 ) 0.2 0.24
小结 通过求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似替代、求 和、逼近可以理解定积分的基本思想．
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1.1
训练 1
解
求抛物线 f(x)＝1＋x2 与直线 x＝0，x＝1，y＝0 所
(1)分割：将区间[0,1]5等分，在每个分点处作与y轴平行的
围成的平面图形的面积 S，并写出估计值的误差．
y
y f (x )
o
a
b
x
图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样
的平面图形称为曲边梯形，如何求这个面积呢？
曲边梯形定义： 我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲
此时误差不超过： s1 s1 25( m)
若将 5 秒平分成10份，则得到过剩估计值为 s 2 ：
s2 [v(0) v(0.5) v(1) v(4) v(4.5)] 0.5 48.125(m)
s v(0.5) v(1) v(1.5) v(2) v(5) 0.5 35.625(m) 2
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训练 2
物体在力 F 的作用下从静止开始运动，力 F 的大小
与位移 s(m)的关系是：F(s)＝3s＋1，试估计物体运动 5 m 的 过程中力 F 所做的功，并写出估计值的误差．
解
将[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个功分成5个小位移
段内的功． 若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分别近似替代F引起的物体 在0～1 m,1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力的 平均大小，则得出功的过剩估计值为 W1＝[(3× 1＋1)＋(3× 2＋1)＋(3× 3＋1)＋(3× 4＋1)＋(3× 5＋1)]×1 ＝50(J)．
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(3)求和：曲边梯形面积的过剩近似值S＝(f(0.2)＋f(0.4)＋f(0.6) ＋f(0.8)＋f(1))×0.2＝1.44. 曲边梯形面积的不足近似值为s＝(f(0)＋f(0.2)＋f(0.6)＋ f(0.8))×0.2＝1.24.
(4)逼近：在这种情况下，无论过剩近似值还是不足近似值，误 差都不会超过0.20，如果需要，可将区间分得更细，得到更精 确的估计值．
线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。
对曲边梯形概念的理解：
（1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面
图形；
（2）曲边梯形与“直边图形”主要区别在于前者有
一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段。 我们曾经用正多边形逼近圆的方法 (即“以直带曲”
的思想) 求出了圆的面积，能否也能用直边形(如矩形) 来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢？
S 2 (0.12 0.2 2 12 ) 0.1 0.385
不足估计值为
s2 (0 2 0.12 0.2 2 0.9 2 ) 0.1 0.285
y
(4)
二者的差值为 S 2 s2 0.1 ，此时，无 论用 S 2 还是 s 2 来表示 S ，误差都不超过 0.1 。 区间分的越细，误差越小。当所 分隔的区间长度趋于 0 ，过剩估计值 和不足估1]平均分成许多小区间，把曲边梯形拆 即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个
分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲”，
小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边
梯形面积的近似值。
可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦
即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形 的面积。可通过以下几个步骤具体实施： （1）分割； （2）近似代替(过剩和不足估计值)；
小结
＊ 曲边梯形的定义： 我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲 线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。 ＊ 求曲边梯形面积的步骤： 分割区间 过剩估计值 不足估计值
逼近所求面积
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1.1
若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分别近似替代F引起的物体 在0～1 m,1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力 的平均大小，则得出功的不足估计值为 W1＝[(3× 0＋1)＋(3× 1＋1)＋(3× 2＋1)＋(3× 3＋1)＋(3× 4＋1)]×1 ＝35(J)． 无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过15 J.
（3）逼近。
问题1 图中阴影部分由抛物线 y x 2，直线 x 1 及 x 轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的 面积 S 。 y
y x2
o
1
x
将区间[0，1]平均分成 5 份，如图所示。 y
(1)
1 o x 图 (1) 中，所有小矩形面积之和 S1 显然大于所
S1
求曲边梯形的面积，我们称 S1 为 S 的过剩估计值， 则有
不足估计值为 s2 ：
此时，误差都不超过
s2 s2 48.125 35.625 12.5( m)
滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小 时间段长度趋于0，则过剩估计值和不足估计值都趋 于汽车滑行路程。
概括
前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求 曲边梯形的面积的问题，它们的步骤： 分割区间
平面图形的面积S，并写出估计值的误差．
点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边 梯形；
(2)近似替代：若用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这 5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积 f(0.2)· 0.2，f(0.4)· 0.2，f(0.6)· 0.2，f(0.8)· 0.2，f(1)· 0.2. 若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分别表示这5个小曲边梯 形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0)· 0.2，f(0.2)· 0.2， f(0.4)· 0.2，f(0.6)· 0.2，f(0.8)· 0.2；
第四章 定积分 1.1 定积分的背景——面积 和路程问题
引入
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面 “直边图形”的面积；物理中，我们知道匀速直线运动 的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中， 我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面 “曲边
图形 ” 的面积、变速直线运到物体位移、变力做功的
过剩估计值
不足估计值
逼近所求面积
所分区间长度→ 0
估计值→所求值
动手做一做 求直线 x=0,x=2,y=0与曲线 y=x2 所围成的曲边 梯形的面积。
y
8 3
y x2
O
2 i - 1 n
2i n
2
x
1.1
例1
解
求由曲线f(x)＝2x，直线x＝1，直线x＝0及x轴所围成的
(1)分割：将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分
s1 v(0) v(1) v(2) v(3) v(4) 1 55(m)
v v v v 用 v(1)， ( 2)，( 3) ，(4) ，(5) 近似代替汽车在0~1、 1~2、2~3、3~4、4~5s内的平均速度，则滑行距离的 不足估计值为 s1 ：
s1 v(1) v(2) v(3) v(4) v(5) 1 30(m)
1
o
x
问题2 司机猛踩刹车，汽车滑行 5s 后停下，此过
程中汽车的速度 v 是时间 t 的函数：
v(t ) t 10t 25 (0 t 5)
2
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s 。
分析：
v v v 将滑行的 5s 平分成 5 份。用 v(0)，(1) ， ( 2)，( 3) v(4) 近似代替汽车在0~1、1~2、2~3、3~4、4~5s内 的平均速度，则滑行距离的过剩估计值为 s1 ：
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1.1
(3)求和：由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为 S1＝(20.2＋20.4＋20.6＋20.8＋21)×0.2≈1.55， 不足估计值为s1＝(20＋20.2＋20.4＋20.6＋20.8)×0.2≈1.35.
(4)逼近：在这种情况下，无论过剩估计值还是不足估计值，误 差都不超过0.20.如果需要，我们可以将区间分得更细，得到更 精确的估计值．
直线段，将整个曲边梯形分成五个小曲边梯形．
(2)近似替代：用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)表示这5个小 曲边梯形的高，则可得到曲边梯形的过剩近似值； 用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)表示这5个小曲边梯形的 高，可得到曲边梯形面积的不足近似值．
y
(2)
s1
o
1
x
我们可以用 S1 或 s1 近似表示 S ，但是都存在 误差，二者之差为S1 s1 0.2 ，但是无论是用S1 还
是 s1 来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2，
如图(3)所示。 y
(3)
o
1
x
为减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则 所求面积的过剩估计值为
S1 (0.22 0.42 0.62 0.82 12 ) 0.2 0.44
图 (2) 中，所有小矩形面积之和 s1 显然小于所 求曲边梯形的面积，我们称 s1 为 S 的不足估计值，
则有
s1 (02 0.22 0.42 0.62 0.82 ) 0.2 0.24
小结 通过求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似替代、求 和、逼近可以理解定积分的基本思想．
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1.1
训练 1
解
求抛物线 f(x)＝1＋x2 与直线 x＝0，x＝1，y＝0 所
(1)分割：将区间[0,1]5等分，在每个分点处作与y轴平行的
围成的平面图形的面积 S，并写出估计值的误差．
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北师版数学选修2-2讲义：第4章 §1 1.1 定积分的背景——面积和路程问题+1.2 定积分
§1定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分1．了解定积分的实际背景及定积分的概念．2．理解定积分的几何意义及性质．(难点)3．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)[基础·初探]教材整理1曲边梯形的面积阅读教材P75～P78“练习2”以上部分，完成下列问题．1．曲边梯形的概念由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图4-1-1所示)．图4-1-12．求曲边梯形面积的步骤①分割，②近似替代，③求和，④逼近．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为__________．【解析】 每个小区间长度为1－（－1）n＝2n . 【答案】 2n教材整理2 定积分阅读教材P 78“练习2”以下至P 80“练习”以上部分，完成下列问题．1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .第i 个小区间为[x i －1，x i ]，设其长度为Δx i ，在这个小区间上取一点ξi ，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋f (ξ2)Δx 2＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋f (ζ2)Δx 2＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，我们就称A 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )dx ，即⎠⎛a b f (x )dx ＝A ．其中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，x 轴和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质(1)⎠⎛ab 1dx ＝b －a ； (2)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛a b f (x )dx (k 为常数)； (3)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]dx ＝⎠⎛a b f (x )dx ±⎠⎛a b g (x )dx ； (4)⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛c b f (x )dx (其中a <c <b )．。
高中数学第四章定积分本章整合课件北师大版选修22
2(������-1) ������
,
2������ ������
(������
= 1,2, …,n),每个小区间的长度为 Δx=xi-xi-1=
2������.
②近似代替,求和:取
ξi=
2������ ������
(������
=
1,2,
…,n),
������
则 S1= ∑ ������
������=1S=Fra bibliotek������ ������
[������2(������) − ������1(������)]d������.
专题一 专题二 专题三
应用1 将一根弹簧从自然长度压缩x cm,需要用4x N的力,将它从
自然长度压缩5 cm,需要做多少功?
提示先由公式F(x)=kx求出力 F(x),再求力F(x)所做的功.
专题一 专题二 专题三
解:如图,由
������ ������
= =
3, ������,
得
������ = 3, ������ = 3.
由
������ = 3, ������������ = 1,
得
1 ������ = 3 ,
������ = 3.
由
������������ = 1, ������ = ������,
取
μi=
2(������-1) ������
(������
=
1,2,
…,n),
������
则 s1= ∑ ������
������=1
2(������-1) ������
������
Δ������ = ∑
������=1
4.1.1 定积分的背景面积和路程问题 同步课件(北师大版选修2-2)
课前探究学习
课堂讲练互动
解
将区间[0,1] 5等分，如图
如图(1)中，所有小矩形的面积之和(记为S1)，显然为过剩估计
值，
S1＝(0.23＋0.43＋0.63＋0.83＋13)×0.2＝0.36，
如图(2)中，所有小矩形的面积之和(记为s1)，显然为不足估计 值， s1＝(03＋0.23＋0.43＋0.63＋0.83)×0.2＝0.16， 因此，该曲边梯形的面积介于0.16与0.36之间．
2 2 2 2
(2)1 ＋2 ＋3 ＋„＋n
3
3
3
3
nn＋1 2 ＝ 2
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 估计曲边梯形的面积
【例1】 估计直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x3所围成的曲
边梯形的面积． [思路探索] 可先将 [0,1] 等分，分别计算其过剩估计值与 不足估计值即可．
§1 定积分的概念
1．1 定积分的背景——面积和路程问题
【课标要求】 1．了解定积分的实际背景．
2．了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．
3．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
课前探究学习
课堂讲练互动
【核心扫描】
1．“以直代曲”，“以不变代变”的思想的运用．(难点)
2．正确求出曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．(重点)
积，只要判断准函数v(t)的单调性，就不难得出不足估计值
和过剩估计值．
课前探究学习
课堂讲练互动
【解题流程】 分割 → 以直代曲 → 求和 → 近似估计 → 估计误差
[规范解答] 将行驶时间1 h平均分成10份．
分别用v(0)、v(0.1)、v(0.2)、v(0.3)、v(0.4)、v(0.5)、v(0.6)、v(0.
1.1定积分背景——面积和路程问题
《4.1.1定积分背景——面积和路程问题》教学设计课件《4.1.1定积分背景——面积和路程问题》是选用的北师大版高中数学选修2-2第四章第一节的内容。
教学过程:一、问题引入师：1.求湖泊的面积：师：对于哪些图形的面积，大家会求呢？（学生回忆，回答）师：对于曲边围成的图形（曲边梯形）的面积如何来求呢？（一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲）今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。
二、学生活动与意义建构先提问：问题1、我们古代的数学家是怎样计算圆的面积的？圆周率是如何确定的？1、让学生自己回忆，探求，讨论（3—4分钟）2、让学生说出自己的想法希望学生说出以长方形的面积近似代替曲边梯形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？希望学生讨论得出将曲边梯形进行分割，形成若干个曲边梯形。
（在讨论的过程中渗透分割的思想）师：如何计算每个曲边梯形的面积呢？（通过讨论希望学生能出以下二种方案，在讨论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的机会） 方案一 方案二方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。
方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
（对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会）师：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边梯形面积的近似值，（求和），并且分割越细，面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求的湖泊的面积。
如何求这个湖泊的面积，以方案一为例：⑴分割细化将区间[a.b]等分成 n 个小区间,每个区间的长度为多少 （学生回答），过各个区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作i S ∆。
高中数学 第四章第1.1节定积分的背景 面积和路程问题 北师大版选修2-2
6
1
=
1 3
1
1 n
1
1 2n
从而得到 S 的近似值
S
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
x
把区间 0 ,1 分成许多个1 小x 区间，进而把区边梯形拆为一些
小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的
面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面
积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的
近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限 变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积 S．也
即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯
形的面积．
解：1．分割
在区 间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个点，将区间
0 ,1等分成 n 个小区间：
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n
1 n
,
1
y
记第
i
个区间为
i
1 , n
i n
(i
1,
2,
, n) ，其长y 度x 2 为
x i i 1 1 。 nn n
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？ （2）能否将求这个曲边梯形面积 S 的
问题转化为求“直边图形”面积的问题？。
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有
一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直
代曲”的思想的应用．
y
y
y
y
y x2
x
x
x
1x
1x
O
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
=
1 3
1
1 n
1
1 2n
从而得到 S 的近似值
S
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
x
把区间 0 ,1 分成许多个1 小x 区间，进而把区边梯形拆为一些
小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的
面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面
积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的
近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限 变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积 S．也
即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯
形的面积．
解：1．分割
在区 间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个点，将区间
0 ,1等分成 n 个小区间：
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n
1 n
,
1
y
记第
i
个区间为
i
1 , n
i n
(i
1,
2,
, n) ，其长y 度x 2 为
x i i 1 1 。 nn n
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？ （2）能否将求这个曲边梯形面积 S 的
问题转化为求“直边图形”面积的问题？。
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有
一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直
代曲”的思想的应用．
y
y
y
y
y x2
x
x
x
1x
1x
O
0.2 0.4 0.6 0.8 1
数学课件第4章 1.1、1.2 定积分的概念
一、功和能的关系
1．能量 (1)概念：一个物体能够对其他物体___做__功_______，我们就 说这个物体具有能量．
(2)形式：能量有各种不同的形式，如机械能、内能、光能、 化学能、核能等，不同的运动形式对应于不同形式的能．
2．功与能的关系 做功的过程就是__能_量__转__化_____的过程，做了多少功，就有 多少___能_________发生转化，所以功是能量转化的量度．
估计误差不会超过 S－s＝1.32－1.02＝0.3.
利用定积分的几何意义求定积分
用定积分的几何意义求下列各式的值．
1
(1)－1
4－x2dx；
(2) (1＋sin x)dx.
b
[思路点拨] 定积分af(x)dx 的几何意义是介于 x＝a，x＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中 x 轴 上方部分的面积为正，x 轴下方部分的面积为负．
2
∴ 0
f(x)dx＝32＋1＝52.
b
1．由定义可得定积分af(x)dx 是一个常数，它的值仅取决
b
于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即af(x)dx
b
b
＝af(t)dt＝af(u)du.
2．性质 3 对于有限个函数(两个以上)也成立，性质 4 对于
0f(x)dx－0g(x)dx＝－5.
1
两式相加，得 20f(x)dx＝－2.
1
故0f(x)dx＝－1.
b
b
(2)由a2f(x)dx＝2af(x)dx＝5，
得baf(x)dx＝25.
故13ba[2－f(x)]dx＝31ab2dx－abfxdx＝
所以估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与7.72
【步步高】高中数学 第4章 1.1定积分的背景 面积和路程问题课件 北师大版选修2-2
(3)求和：由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为 S1＝(20.2＋20.4＋20.6＋20.8＋21)×0.2≈1.55，
研一研·问题探究、课堂更高效
不足估计值为s1＝(20＋20.2＋20.4＋20.6＋20.8)×0.2≈1.35.
(4)逼近：在这种情况下，无论过剩估计值还是不足估计值，误 差都不超过0.20.如果需要，我们可以将区间分得更细，得到更 精确的估计值． 小结 通过求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似替代、求 和、逼近可以理解定积分的基本思想．
s1＝[v(0)＋v(1)＋v(2)＋v(3)＋v(4)]× 1＝55(m)，
由于v是下降的，所以显然s1大于s，我们称它为汽车在5 s内滑 行距离的过剩估计值．
研一研·问题探究、课堂更高效
如果用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分别近似替代汽车在0～1 s,1～2 s,2～3 s,3～4 s,4～5 s内的平均速度，求出汽车在5 s内滑 行距离的不足估计值s1′：
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练1 求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围 成的平面图形的面积S，并写出估计值的误差． 解 (1)分割：将区间[0,1] 5等分，在每个分点处作与y轴平行的 直线段，将整个曲边梯形分成五个小曲边梯形． (2)近似替代：用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)表示这5个小 曲边梯形的高，则可得到曲边梯形的过剩近似值； 用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)表示这5个小曲边梯形的 高，可得到曲边梯形面积的不足近似值． (3)求和：曲边梯形面积的过剩近似值S＝(f(0.2)＋f(0.4)＋f(0.6) ＋f(0.8)＋f(1))×0.2＝1.44. 曲边梯形面积的不足近似值为s＝(f(0)＋f(0.2)＋f(0.6)＋ f(0.8))×0.2＝1.24. (4)逼近：在这种情况下，无论过剩近似值还是不足近似值，误 差都不会超过0.20，如果需要，可将区间分得更细，得到更精 确的估计值．
1.1-定积分的背景——面积和路程问题PPT课件
不足估计值为
s 2 ( 0 2 0 . 1 2 0 . 2 2 0 . 9 2 ) 0 . 1 0 . 2 8 5 .
y
二者的差值为S2-s2=0.1，此时，无论用
S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1.
(4)
o
结论：区间分得越细，误差越 小.当被分割成的小区间的长度 趋于0时，过剩估计值和不足估 1 x 计值都会趋于曲边梯形的面积.
图 (2) 中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1) 显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足 估计值，有
s 1 ( 0 2 0 . 2 2 0 . 4 2 0 . 6 2 0 . 8 2 ) 0 . 2 0 . 2 4 .
y
s1
o
1x
（2）
思考：我们可以用S1或s1近似表示S，但是都存在 误差，误差有多大呢？
我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4) 近似替代汽车
在0～1s、1～2s、2～3s、3～4s、4～5s内的平均速 度，求出滑行距离s1：
s 1 v ( 0 ) v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v ( 4 ) 1 5 5 ( m )
由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽
提示：二者之差为S1-s1=0.2 如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边 梯形的面积，误差都不会超过0.2.
y
o
1x
（3）
为了减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则
所求面积的过剩估计值为
S 2 ( 0 .1 2 0 .2 2 1 2 ) 0 .1 0 .3 8 5 .
s 2 [ v ( 0 ) v ( 0 . 5 ) v ( 1 ) v ( 4 ) v ( 4 . 5 ) ] 0 . 5 4 8 . 1 2 5 ( m )
s 2 ( 0 2 0 . 1 2 0 . 2 2 0 . 9 2 ) 0 . 1 0 . 2 8 5 .
y
二者的差值为S2-s2=0.1，此时，无论用
S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1.
(4)
o
结论：区间分得越细，误差越 小.当被分割成的小区间的长度 趋于0时，过剩估计值和不足估 1 x 计值都会趋于曲边梯形的面积.
图 (2) 中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1) 显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足 估计值，有
s 1 ( 0 2 0 . 2 2 0 . 4 2 0 . 6 2 0 . 8 2 ) 0 . 2 0 . 2 4 .
y
s1
o
1x
（2）
思考：我们可以用S1或s1近似表示S，但是都存在 误差，误差有多大呢？
我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4) 近似替代汽车
在0～1s、1～2s、2～3s、3～4s、4～5s内的平均速 度，求出滑行距离s1：
s 1 v ( 0 ) v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v ( 4 ) 1 5 5 ( m )
由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽
提示：二者之差为S1-s1=0.2 如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边 梯形的面积，误差都不会超过0.2.
y
o
1x
（3）
为了减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则
所求面积的过剩估计值为
S 2 ( 0 .1 2 0 .2 2 1 2 ) 0 .1 0 .3 8 5 .
s 2 [ v ( 0 ) v ( 0 . 5 ) v ( 1 ) v ( 4 ) v ( 4 . 5 ) ] 0 . 5 4 8 . 1 2 5 ( m )
【高中课件】高中数学北师大版选修22第4章1定积分的概念课件ppt.ppt
4．对定积分及性质的理解： (1)定积分bf(x)dx 是一个常数．
a
(2)一般情况下(如图)，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x a
轴、函数 f(x)的图像以及直线 x＝a、x＝b 之间各部分面积的代 数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号．
(3)性质 3 对于有限个函数(两个以上)也成立．性质 4 对于 把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立．
i＝1
其中 Δx 为小区间的长度．那么和式 Sn 的大小( ) A．与 f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数 n 和 ξi 的取法
无关
B．与 f(x)、区间[a，b]和分点的个数 n 有关，与 ξi 的取法 无关
a
(4)b f(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
a
c
1.求曲边梯形面积的步骤 设由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，直线 x＝b(a<b)及 x 轴围成 的曲边梯形的面积为 S.其求解步骤是： (1)分割：将区间[a，b]n 等分．
(2)计算：过剩估计值 S1＝[f(a＋b－n a)＋f(a＋2bn－a)＋… ＋f(a＋nbn－a)]×1n；
在这个小区间上取一点 ξi，使 f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最 小，设 s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.
如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0，那么 S 与 s
的差也趋于 0，此时，S 与 s 同时趋某于一_个__固__定__的__常__数__A_____，我
• 4．能够利用定积分的定义对一些简单的定积分进行 计算．
• 本节重点：定积分的概念及性质． • 本节难点：以直代曲的思想.
a
(2)一般情况下(如图)，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x a
轴、函数 f(x)的图像以及直线 x＝a、x＝b 之间各部分面积的代 数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号．
(3)性质 3 对于有限个函数(两个以上)也成立．性质 4 对于 把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立．
i＝1
其中 Δx 为小区间的长度．那么和式 Sn 的大小( ) A．与 f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数 n 和 ξi 的取法
无关
B．与 f(x)、区间[a，b]和分点的个数 n 有关，与 ξi 的取法 无关
a
(4)b f(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
a
c
1.求曲边梯形面积的步骤 设由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，直线 x＝b(a<b)及 x 轴围成 的曲边梯形的面积为 S.其求解步骤是： (1)分割：将区间[a，b]n 等分．
(2)计算：过剩估计值 S1＝[f(a＋b－n a)＋f(a＋2bn－a)＋… ＋f(a＋nbn－a)]×1n；
在这个小区间上取一点 ξi，使 f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最 小，设 s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.
如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0，那么 S 与 s
的差也趋于 0，此时，S 与 s 同时趋某于一_个__固__定__的__常__数__A_____，我
• 4．能够利用定积分的定义对一些简单的定积分进行 计算．
• 本节重点：定积分的概念及性质． • 本节难点：以直代曲的思想.
北师大版高中数学选修2-2：第四章 定积分 复习课件
则称������(������), ������(������)为区间[−1,1]上的一组正交函数. 给出三组函数:
①f(x)=sin
1 2
������,
������(������)
=
cosBiblioteka 1 2������;②������(������)
=
������
+
1, ������(������)
=
������
第四章 定积分 复习课件
定积分的背景——面积和路程问题 定积分的概念
定积分 微积分基本定理 定积分的简单应用 平面图形的面积
简单几何体的体积
专题一 专题二 专题三
专题一：定积分的概念。 用分割、近似代替、求和、取极限来求曲边梯形的面积
和变速运动物体在某段时间内的路程体现了无限细分和无穷累 积的思维方法。
4(2015·湖南高考)
2 0
(������ − 1)d������ = ______.
解析：
2 0
(������ − 1)d������ =
1 2
������
2-������
2
= 0.
0
答案：0
1 2 3 4 567 8
5(2015·天津高考)曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积
������=1
2(������-1) ������
3
·���2���
=
������
∑
������=1
���2���44·(i-1)3=
16 ������4
×
[03
+
13
+
⋯+(n-1)3]=