浅谈导数在高中数学解题中的应用
浅谈导数在高中数学解题中的应用
作者：李剑
来源：《中学生数理化·自主招生》2020年第04期 摘要：在高中数学中，导数知识与函数等问题有着很大关联，在实际解题中，同学们应善于利用导数知识来解决相应的数学问题，以此提高解题的效率，同时也能促进同学们更加深入地理解数学知识。
关键词：导数;高中数学;解题
在高中数学中，函数是一个十分重要的知识点，同时函数问题涉及的范围十分广泛，出题方式多样化，有很多同学面对多种多样的函数问题会感觉十分头疼，不知道如何下手。而导数则是解决函数问题的好途径，与其他方式相比较，用导数解决函数问题会更加简单、便捷。在高中数学解题中，应用导数可以解决很多问题，特别是关于函数的问题、曲线方程问题，通过导数能获得良好的解题效果。因此，在解答高中数学问题时，同学们可以灵活应用导数来解决问题，以此促进同学们数学学科素养的提升。
一、在函数最值问题中的应用
最值问题是高中函数问题中比较常见的问题之一，不管是日常练习，还是在考试中，都会涉及最值问题，在实际解题时，同学们可以利用导数来解决函数最值问题。
二、在函数单调性问题中的应用
函数单调性问题也是高中数学中比较常见的问题之一，在解决函数单调性问题时，主要是通过单调性的定义进行判断，而导数的应用可以为函数的单调性判断提供更加简便的方法。利用导数解决函数单调性问题的主要原理是：对于函数f（x），如果它的导数f'（x）在自变量区间大于0，则函数f（x）呈单调递增，反之则单调递减。
总而言之，在高中数学知识体系中，导数具有十分重要的作用，如果同学们牢固地掌握导数知识，并且能靈活地应用导数知识解决问题，就可以有效提高数学学习效果。因此，在实践中，同学们要充分把握导数的本质，并能很好地利用导数解决数学问题。
参考文献：
[1]王钰涵.导数在高中数学解题中的运用[Jl.中学生数理化（学习研究），2017（1）.
[2]张有建.导数在高中数学解题中的应用研究[Jl.新课程·中学，2019（4）.
作者单位：山东省济南市莱芜第一中学
浅谈导数在高中数学函数中的简单应用
龙源期刊网
浅谈导数在高中数学函数中的简单应用
作者：马武超
来源：《新世纪教育导刊》2013年第09期
【摘要】新课程利用导数求曲线的切线； 判断或论证函数的单调性；函数的极值和最值；证明不等式。
【关键词】导数；函数的切线 ；单调性；极值和最值
导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。
1 用导数求函数的切线
2 用导数判断函数的单调性
方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f（x）的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）
3 用导数求函数的极值
方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′（x）；（2）求f′（x）= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′（x）的符号如何变化，如果f′（x）的符号由正变负，则f（x0）是极大值；如果f′（x）的符号由负变正，则f（x0）是极小值.。注意：如果f′（x）= 0的根x=x0的左右侧符号不变，则f（x0）不是极值。转贴于 中国论文下载中心 http：//。
论导数在高中数学中的应用
理化空间
论导数在高中数学中的应用
周萍
吉林省德惠市德惠实验中学
摘要：在高中数学中导数部分的知识是相当重要的部分，
它是高中数学后继课程的基础也是高考中的热点问题，蕴含
着丰富的数学思想，在数学解题中的运用广泛。在高中数学中
引入导数增添了高中数学的活力，让数学题目的解答变得更
加灵活、简单。本文主要是对导数在高中数学中的应用进行探
索，希望能够在导数的学习和使用中起到一定的作用。 关键词：高中数学导数解题
导数是新课改下新增的内容，这一内容在高中数学的比
重越来越多，导数在数学中的引入加深了学生对于函数的理
解，激发了学生的创新思维，并且能够引导学生将数学知识运
用到实际生活中极大地激发了学生对于学习数学的积极性。
但是对于初学者来说，导数的学习还是有一定的难度的，所以
必须弄清导数的定义及其性质，并且慢慢地将其运用到实际 解题中去，这样才能实现对导数的透彻理解。在人教版高中数
学中就有“导数及其运用”一章，在本文中笔者结合着课本内
容对导数在高中数学中的运用进行一个新角度的总结。
一、导数在代数解题中的运用
（一）利用导数求函数单调性
在高中数学的学习中会遇到判断函数单调性或是求函数
单调区间的问题，对于这个问题利用导数是特别容易解决的，
正如人教版高中数学中“导数及其运用”一章中的“导数在研 究函数中的应用”一节就是运用导数来解决函数问题的内容，
这是因为导数有这样的性质，对于函数ｙ＝ｆ（ｘ）在某个区间（ａ，
ｂ）上，如果ｆ （ｘ）＞０，那么函数ｙ＝ｆ（ｘ）在这个区间上是单调递增
的，如果ｆ，（ｘ）＜０，那么函数ｙ＝ｆ（ｘ）在这个区间上是单调递减的，
如果ｆ（ｘ１＝０，那么函数ｙ－－ｉｆ（ｘ）是常数函数，根据导数的这一性
质，对于函数单调性的求解就非常容易了。
例：对于函数 ｘ）＝ｘ３＋３ｘ２＋６ｘ求其单调区间。 分析：对于这一道题目，我们观察发现它的最高次幂是３
次，直接运用函数图像去观察函数的单调区间是十分困难的，
导数在高中数学中的应用
２０１１ ＮＯ ３３ Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔ１ｏｎ ｌｎｎｏｖｅｔＩｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
导数在高中数学中的应用
熊俊 （广东省深圳市坪山新区坪山高级中学 广东深圳 ５１ ８１１ ８） 教育教学方法
摘要：在高中数学中引入导数，不仅增添了高中数学的活力，还使得问题的解决更灵活 简单。导数知识不仅是高中后继课程的基础 还是高考的热点问题，鉴于此，本文就导数在解题的应用方面进了探讨。 关键词：导数 函数 解题 定义 中图分类号：Ｇ ６ ２ ３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６ ７ ３—９７ ９５（２０１１）１ｌ（ｃ）一００６４—０２
近年来，从全国高考新课程的命题趋势来看，导数的应用已经 逐渐成为亮点，与其他章节的联系越来越紧密，因此，要把握好导 数带来的命题变化趋势，而由于高中导数讲的不是很深入，就需要 从实际解题中去发现问题并解决。
１导数的定义在解题时的应用 １．１直接性的应用导数定义 例ｌ：试证可导的周期函数的导数也是周期函数。 分析并证明：周期函数作为一种特殊的函数，是考试的重点，
一般来讲证明中只要找到Ｔ，对任意的 ，有ｆ（ｘ＋ ）＝ｆ（ｘ）即 可。 可设ｆ（ｘ）为周期函数，有ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ （ ）。 由导数定义可得：
ｌ， （ ＋ ）＝ ｌｉ ｍ。 兰 ：＝ｌｉｒａ—ｆ（ｘ＋Ａｘ—）－ｆ（ｘ） ５ｘ－－￣Ｏ ＝ｆ （ ）
让毕。 ． １．２应用导数定义解决综合性的问题 导数是可以反应出原函数的某些性质的。在高考出现的各类 考题中，往往是应用导数来判断函数的单调性等等。而这就限于一 些初等函数，对于抽象函数而言，这种方法不是万能的。下面讲述 一个利用定义来判断函数的单调性的例子。 例２：已知实数集Ｒ上的一可导函数Ｙ：ｆ（ｘ），对任意的Ｘ１，Ｘ２
满足ｆ（ｘｌ＋ｘ：）＝ｆ（ｘ．）ｆ（ｘ２），而存在实数ａ，ｂ且有厂（口）≠０，
ｆ （６）＞０。则证：（１）ｆ（ｘ）＞０；（２）Ｙ＝ｆ（ｘ）在Ｒ上是单调函数。
例谈导数在高中数学中的应用
厂中学教学＿Ｊ教海泛舟 例谈导数在高中数学中的应用 导数在高考中的地位相当重要 其考点包括：导数的概念 及几何意义、以导数为工具研究函数的单调性、极值、最值、导 数的应用等 从命题的发展趋势看．导数高考将进 步围绕三个层次 来考。（１）考查导数的概念，求导公式和法则； （２）导数的简单运用，包括求函数的极值，求函数的单调 区间．证明函数的增减性等： （３）综合考查，包括解决应用、口］题，将导数内容与传统内 容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在 起，设计 综合试题。下面通过例题谈谈导数在这些问题当中的应用。 一、导数在求函数的极值、最值、单调性的应用 导数为我们研究函数的性质（单调性、极值、最值）提供了 个非常便捷的工具和方法 例１已经函 ）－一２ａｘ －＋ａｌ２＋１（ｘＥＲ），￣ｑｌａＥＲ。 （Ｉ）当ａ＝ｌ时，求曲线ｙ ）在点（２ ２））处的切线方程； （ＩＩ）当ｎ≠０时，求函数 ）的单调区间与极值。 分析 此题先求原函数的导数再令导数为０解出相应的 极值点，然后根据极值的定义判定该点是否为极值点。本题还 要注意对０的讨论 解 略 二、导数在不等式中的应用 例２设ａ＜￣Ｏｄ＇（ｘ）＝ｘ－１一ｌｎ２ｘ＋２ａｌｎｘ（ｘ＞Ｏ）。 （Ｉ）令 ）＝ ），讨论Ｆ ）在（０，＋ ）内的单调性并求极 值 （ＩＩ）求证：当ｘ＞ｌ时，恒有ｘ＞ｌｎＺｘ一２ａｌｎｘ＋ｌ。 分析 此题要证明的不等式 ＞ｌｎ 一２ ＋１是由已知函数 ｆ（ｘ）＞０变形而来。所以证明此不等式，我们无需构造新的函数， 只需要通过研究已知函数 ）＝ 一１一Ｉｎ２ｘ＋２ａｌｎｘ的单调性，就可 以使结论获证 解 …略 （ＩＩ）对 ）求导得 ）：１一 ＋ ， ＞０， 故 ）＝ （ｘ）＝ｘ－２１ｎｘ＋２ａ，ｘ＞０， 于是， ）＝１一 －＝ ，因＃３ｘ＞Ｏ，所以，当 ＝２时，Ｆ ）＝０。 因为Ⅱ≥０，所以 ）的极小值 ２）＝２—２１ｎ２＋２ａ＞０。 不难求得，对一切 Ｅ（０，＋。。），恒有 ）＝ ）＞０。 从而当 ＞０时，恒有， ）＞０，故 ）在（０，＋ ）内单调增加。 口杨建国 所以当 ＞ｌ时 ）坝１）＝Ｏ，即 一１一ｌｎ２ｘ＋２ａｌｎｘ＞Ｏ。 故当 ＞１时，恒有ｘ＞ｌｎ２ｘ一２ａｌ眦＋１ 三、导数在实际问题中的应用 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、 最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（１）与几何有关的 最值问题：（２）与物理学有关的最值问题：（３）与利润及其成本 有关的最值问题：（４）效率最值 问题。 例３如图，有一块半椭圆 形钢板．其长半轴长为２ｒ。短半 轴长为，．计划将此钢板切割成 等腰梯形的形状．下底ＡＢ是半 椭圆的短轴．上底Ｃ，Ｊ的端点在椭Ａ 圆上，￥ｇＣＤ＝２ｘ，梯形面积为Ｓ。 （Ｉ）求面积Ｓ以 为自变量的函数式，并写出其定义域： （ＩＩ）求面积５的最大值。 分析 先建立直角坐标系，设出椭圆的方程，表示出梯形 面积的函数关系，利用导数的有关知识解决问题。 解依题意 以 曰的中点 Ｏ为原点建立直角坐标系Ｄ—ｖ （如图），则点Ｃ的横坐标为 ， 点ｃ的纵坐标Ｙ满足方程 ＋ 广 １（ｙ≥０）， 解得ｙ＝２、／ｒ２一 （０ ＜ｒ）。 ｓ 吉（ ＋２ｒ）・２ ＝２（ｘ＋ｒ）．、 ，其定义域为｛ｘｌＯ＜ｘ＜ｒ｝。 ：／ ）＝４（ ＋ｒ） （ｒ２－ｘ ），Ｏ＜ｘ＜ｒ，贝。 ）＝８（ ＋ｒ） （ｒ一２ｘ）。 令／ ）＝０，得 ＝ １ ｒ。因为当０ ＜专时 ）＞ｏ： ｒ ＜ｒ 时 ）ｃ０，所 （÷ｒ）是 ）的最大值。因此，当 ＝｛ｒ时，５也 取得最大值，最大值为 ÷ｒ ｒ２。即梯形面积ｓ的最 大值为三 三ｒ２。◆（作者单位：江西省南昌县莲塘第二中学） ｒ＿］音任编辑．周瑜芽
导数在高考中应用论文
浅谈导数在高考中的应用
自从高中数学中加入导数，我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。当前中学数学中导数的应用主要表现在4个方面：1、切线的斜率（导数的几何意义）；2、函数的单调性与最值；3、三次函数的综合题；4、三角函数和导数。
1 对导数几何意义的考查
例1.已知函数
2 判断函数的单调性
函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。利用在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立（但在的任意子区间内都不恒等于0）。方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。
例2.已知。（1）求的单调增区间；（2）若在定义域r内单调递增，求的取值范围；（3）是否存在使在上单调递减，在上单调递增？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
分析：本题是关于函数单调性的问题，若用定义来判断函数单调性，在计算方面必遇到一些困难，因此，我们采用导数法解题。函数增区间是恒成立的区间，函数的减区间是恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。 解：（1）令，得 当时，有在r上恒成立；当时，有。
综上情况，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为。
（2）
在r上单调递增，（等号只能在有限个点处取得）恒成立，即，恒成立。
时，，。
（3）由已知在上单调递减，在区间上单调递增可知，是的极值。
，存在满足条件。
3 求函数极值或最值
最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。
导数在高中数学中的应用 2
２０１４生 旦箜 塑（王） Ｑ ， 型！ ： （ ！１１教 技巧
体验与惊喜，调动学生学习积极性，活化课堂，使高三的复习课不再枯燥。
（三）注重交流，培养学生良好的解题习惯。教师要经常与学生进行平
等交谈，
方式是可以多种多样的，比如从其爱好兴趣开始，也可以从其最近的困
惑开始，了解其思想上、学习上存在的问题，帮助其分析原因，制定学习计
划，清除紧张心理，适当鼓励。尽量使其弃掉沉重的思想包袱，轻松自信地
投入到数学学习中。
对文科生而言，良好的学习习惯是高考制胜的关键，根据历年高考试题
难易程度，应重点培养学生立足基础，重视过程，不忽视细节的良好学习品
质。 （四）加强数学学习方式以及思维方式的训练。针对文科生偏重机械记
忆、缺乏独立思考、不求甚解、不愿动笔等学习弊端，教学中有意识地培养 他们独立思考的能力及逻辑思维能力。同时也可充分利用文科生的思维特点 耜国
特点，让他们对一些重要的数学思想方法的运用进行模仿性的学习，熟练后
再进一步提高。多讲通解通法和常用技巧，注意速度训练，分析问题既要“由
因导果”，也要“执果索因”，暴露过程，激活思维；注重数形结合，适当
增加直观教学，训练作图能力，培养想象力；揭示实际问题的空间形式和数
量关系，培养“建模”能力。
课堂教学中对于学案的设计，一定要侧重于例题与练习相结合，即一例
一练，以这样一种循序渐进的方法，逐步提高文科生的数学思维能力。另外，
根据文科生不愿动笔以及容易忘得问题也应进行专项训练，例如复习知识点
的时候要经常“回头”，鼓励学生多动笔多运算。
文科生数学的老大难问题，并不都在于学生本身，进入高中以后教材的抽
象性，以及对逻辑推理和形象思维等各方面要求的提高，是造成文科生数学差
的另一主要原因，因此教师必须要让学生明白这一点，以提升其自信心。
导数在高中数学中的应用
王金凤辽宁省朝阳市喀左县第一高级中学
导数是解决高中数学问题的重要工具之一，很多数学问题如果利用导数
导数在高中数学解题中的应用
导数在高中数学解题中的应用
随着高中数学改革的进一步深化，高中数学教学中更多地突出知识的实用性和简洁性.导数是高中数学新教材中重要的知识
之一，体现了现代数学思想.这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具.将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义.导数知识在研究解决实际问题中有着广泛的应用，主要应用于研究函数的单调区间、最值以及曲线的切线、某些不等式的证明等问题，所以，在高中教学中越来越显现出其重要性.导数对中学数学也有重要的指导作用.下面举例探讨导数在解题中的应用.当然，导数解决的问题还很多，我在这里仅举了其中几个例子.
一、利用导数求函数的最值
求函数的最值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简单化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性质.
一般的，函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上的最值求法：
（1）求函数f（x）在（a，b）上的极值点；
（2）计算f（x）在极值点和端点的函数值；
（3）比较f（x）在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.
例1.求函数f（x）=x3-3x在[-3，2]上的最大值和最小值.
分析：先求出f（x）的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[-3，2]上的最大值和最小值.
解：由于f′（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），则，
当x∈[-3，-1）或x∈（1，2]时，f′（x）>0，所以[-3，-1]，[1，2]为函数f（x）的单调增区间；当x∈（-1，1）时，f′（x）<0，所以[-1，1]为函数f（x）的单调减区间.
高中数学中的导数应用
高中数学中的导数应用
导数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中有着广泛的应用。本文将介绍一些高中数学中导数的应用，并探讨这些应用在实际问题中的意义。
1. 方程求解
导数在方程求解中起着重要的作用。考虑一个函数f(x)，我们可以通过求解f'(x)=0来找到函数f(x)的极值点。这个应用在优化问题、最值问题等方面有着广泛的应用。通过求解导数为零的方程，我们可以找到函数的极大值或者极小值点，从而解决一些实际问题。
2. 函数图像分析
导数对于函数图像的分析也是非常关键的。我们可以通过导数的正负性来判断函数的增减性和凹凸性。例如，当导数大于零时，函数是递增的；当导数小于零时，函数是递减的。此外，我们还可以通过导数的凹凸性来确定函数的拐点和临界点。
3. 速度和加速度
导数在物理学中也有着重要的应用，特别是在描述物体的速度和加速度方面。考虑一个物体的位移函数s(t)，通过对位移函数关于时间的导数，我们可以得到物体的速度函数v(t)。进一步地，通过对速度函数关于时间的导数，我们可以得到物体的加速度函数a(t)。这些函数可以帮助我们分析物体在运动过程中的行为。 4. 经济学中的边际量
在经济学中，导数被广泛应用于边际分析。考虑一个经济学模型中的变量y与变量x的关系，我们可以通过求解dy/dx来计算y相对于x的边际变化率。这些边际变化率可以提供给决策者重要的信息，帮助他们做出合理的经济决策。
总结起来，导数在高中数学中有着重要的应用。它在方程求解、函数图像分析、物理学和经济学等领域扮演着重要的角色。通过运用导数的概念和方法，我们可以解决各种实际问题，并推动科学的进步。
需要注意的是，导数的应用不仅仅局限于上述列举的几个方面。在数学和实际生活中，还有许多其他领域利用了导数的概念和方法。因此，了解和掌握导数的应用是高中数学学习中的重要内容之一。
经过以上的讨论，我们可以看到导数在高中数学中具有广泛而重要的应用。通过深入理解导数的概念和性质，并将其应用于实际问题的分析和解决中，我们可以提高数学思维和问题解决能力。希望本文对读者理解和应用导数有所帮助，进而在数学学习中取得更好的成绩。
导数在高中数学学习中的应用
５２ ｌｌ｝黯ｓＨｕｘＩ『ＥＩＩＡｏＹｕ 导数在高中数学学习中的应用 摘要：在高中数学的学习中利用导 数的知识，可以解决初等数学中的一些 问题． 关键词：概念单调性极值最 值不等式 中学数学新教材在高中引入了导数 的有关内容，拓展了学生的学习领域，使 学生能以导数为工具，更深入地研究中学 数学的有关问题，加强了对中学数学知识 的深刻理解和直观认识． 一、导数的概念及其几何意义 导数的概念：函数）， ）在 。处 的瞬时变化率是： 且 会｝称为函数ｙ ）￣ｘ＝ｘｏ处的导 数，记作／（靴）或ｙ’ ｏ． 例１已知函数 ）＝２ｘ３＋５， 求 ． 分析：本题很容易这样做： ・．‘厂（ ）＝６ｘ ， ．］ｉｒａＪ１ ２－３△ ）＿，Ｉ ２） ．－ —— ————一 ＝３ ＝３，．（２）＝７２． 其实这种做法是错误的，错因是对导 数的概念理解不深． 正解： ・．・ｆ（ ）＝６ｘ ， ．］１ ． 二兰垒 ３二 至！ 一 ———Ⅲ厶 ——一 ＿＿３ ＝一３厂（２）＝一７２． 导数的几何意义是指：过曲线上的 任一点处的导数即为过该点的切线的 斜率． 二、判断函数的单调性 函数的单调性是函数最基本的性质 之一，是我们研究函数所要掌握的最基本 的知识．它在中学数学中的用处是非常广 泛的，用导数知识来判断函数的单调性既 快捷又容易掌握．函数的单调性是函数 的重要性质之一，有时利用定义对一些函 一山东省东营市教育科学研究院 尚凡青 数的单调性不易做出判断时，可以利用导 数进行判断：即设函数，， ）在某个区间 内可导，若ｆ（ ）＞０，则在这个区间上为增 函数，如果１－（ ）＜０，则在这个区间上为减 函数．但是应用时应注意在区间内，（ ）＞ ０是ｙ＝厂（ ）在此区间上为增函数的充分 条件而不是必要条件．同时，－（ ）＜０也是 在区间上为减函数的充分条件而不是必 要条件．比如厂Ｉ ）＝ 是严格增加的，但厂 （ ）≥Ｏ． 三、求函数极值、最值 极值、最值问题是高中数学的一个重 点，也是一个难点．它涉及到了高中数学 知识的各个方面，用导数解决这类问题可 以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好 掌握．函数的最值与极值是函数的重要内 容之一，它们有区别，又存在一定的联系， 不可分割．现举例说明： 例２已知函数厂（ ）＝ 。＋ ＋ｂｘ＋ｃ， 当Ｎ＝－－ｌ时，取得极大值７，当ｘ＝３时，取 得极小值，求极小值及函数的解析式． 解：由题知，．（ ）＝３ｘ ２似＋６， 又因为 ＝一１，ｘ＝３时，分别取得极大 值，极小值． 所以一１，３是方程 ２ ＋６＝Ｏ的 两根， 所以一１＋３＝一 Ⅱ且一１×３＝ ｊ ｊ 得ｎ＝一３，６＝一９，所以 ）＝ 。一３ｘ 一９ｘ＋ｃ． 而，Ｉ一１）＝一１—３＋９＋ｃ＝７即ｃ＝２ 所以极小值为厂（３）＝３。－３×３２－９× ３＋２一一２５． 函数，Ｉ ） 一 一 ＋２． 四、证明不等式 例３已知 ＞１，求证： ＞Ｉｎ（１ ）． 分析：本题通过导数与函数单调性的 关系，自然地将导数与不等式结合在一 起，灵活考查了学生全面分析解决问题的 能力．先构造函数 ）＝ 一］ｎ（１ ）；再对 ｆＣ ）进行求导，得到ｆ（ ）；然后观察得到， 当 ＞ｌ时，厂（ ）＞０，即，Ｉ ）在 ＞１时是 增函数；最后可得当 ＞１时 ）＞ １） ＞０，即 ） 一］ｎ（１＋ ）＞０，从而得证． 解：令 ） 一１ｎ（１ ），则 ／（ ）一卜 奇（ ＞１） （ ） ２０１３・１６ ＞０， ．・． ）在（１，＋。。）上是增函数． ．・．当 ＞１时 ） 一１ｎ（１ ）＞０， 良口当 ＞１时， ＞ｉｎ（１＋ ）． 五、证明恒等式 例４求证：Ｃ ＋２Ｃ：＋３Ｃ：＋…＋ｎＣ： ＝ｎ×２－． 分析：先观察等式左边，很容易联想 到二项式（１＋ ）ｎ；然后对二项式进行求 导，得到ｎ（１ ｃ：＋２Ｃ ｘ＋３Ｃ ｘ２＋… ＋Ｈｃ ，ｒ ；最后令ｘ＝ｌ，就可以得到我们要 证的等式． 证明：（１ ）ｎ＝ｃ：＋ｃ ＋ｃ： ｚ＋ｃ： 。 ＋…＋ｎＣ ， 对上面等式两边求导，得 ｒ￣ｌ＋ｘ Ｙｒ ＝ １＋２ ２ ＋３ ３ ２＋・・・＋ｎ ｎ～， 令ｘ＝ｌ，得ｎ・２ ｃ ＋２Ｃ：＋３Ｃ ＋… ＋ｎＣ 原题得证． 总之，导数的应用问题涉及到很多 内容，例如最优化中的容积最大问题；强 度最大问题；距离最短问题等等，这里不 再一一赘述．在高中阶段学习导数的有 关知识，提供了研究初等数学的一个有 力工具，可以开阔学生的视野，解决许多 实际问题，使学生更加牢固地掌握中学 数学的内容，为学生进一步的学习打下 坚实的基础． 参考文献： ［１］薛金星主编．中学教材全解．选修 ２－２ ［２］人民教育出版社．普通高中课程标 准试验教科书．数学选修２—２．人民教育出 版社 ［３］首都师范大学出版社．５年高考３ 年模拟．２０１０ Ｂ版 ［４］人教版选修２—２．金状元．远方出 版社 ［５］华东师范大学数学系．数学分析． 高等教育出版社．
导数在高中数学中的应用探析
＜数学之友＞ ２０１２年第１２期
解： 索 导数在高中数学中的应用探析
李培建
（山东省定陶县第二中学，２７４１００）
导数是高中数学新教材中新增内容之一，也是 高等数学与初等数学联系的纽带，它的引入给传统 的中学数学内容注入了新的生机与活力，也为高中
数学解题提供了新的途径和方法．导数与函数、不等 式、解析几何、数列等知识结合起来，也使高考命题 的设计更加广阔了，尤其近几年导数成了高考命题 中知识的交汇点之一．
本文通过近几年高考题说明导数在研究函数单 调性、函数最值极值问题、解不等式、求曲线的切线、 解决与数列有关的综合题等方面的应用．
１ 利用导数研究函数的单调性
１．１证明函数的单调性 例１ 已知函数厂（ ）：ｅｈ一２ｔ（ｅ ＋ ）＋ ＋
２ｔ ＋１，ｇ（ｘ）＝ （ ）．证明：当￡＜２ 时，ｇ（ｘ）在 厶 Ｒ上是增函数．
分析：先求导再判断导数的符号． 证明：由题设，得厂（ ）＝２ｅｈ一２ｔ（ｅ ＋１）＋２ ，
贝０ ｇ（ｘ）＝ｅ 一￡（ｅ ＋１）＋ ， ｇ （ ）＝２ｅ 一ｔｅ ＋１．
又由２ｅ ＋ｅ ≥２Ａ－，且ｔ＜２√２，
得ｔ＜２ｅ ＋ｅ一 ，即ｇ （ ）＝２ｅ 一ｔｅ ＋１＞０． 由此可知，ｇ（ ）为Ｒ上的增函数． １．２求函数的单调区间
例２函数 ）＝ 一１５ｘ 一３３ｘ＋６的单调减 区间为 ． 分析：考查利用导数求函数的单调区间．
解 （ ）＝３ｘ 一３０ｘ一３３＝３（ 一１ １）（ ＋１）， 由（ 一１１）（ ＋１）＜０，得单调减区间为（一１，１１）． 亦可填写闭区间或半开半闭区间． １．３ 已知函数在某区间上单调，求参数的取值范围
ｌ 侈０ ３若 ）＝一÷ ＋ｂｌｎ（ｘ＋２）在（一１，＋ 厶 ∞）上是减函数，则ｂ的取值范围是 （ｃ） （Ａ）［一１，＋∞） （Ｂ）（一１，＋∞）
（Ｃ）（一∞，一１］ （Ｄ）（一∞，一１） 分析：先求导数，再解不等式．
解 （ ）＝一 ＋ ≤ｏ在（一ｌ，＋。。）上恒