北京四中初二分式及其性质
10.2分式的基本性质-北京版八年级数学上册教案
10.2 分式的基本性质-北京版八年级数学上册教案一、知识点概述分式在初中数学中是比较重要的一个概念，也是求解代数式、方程和函数的基础。
在本节课中，我们将学习分式的基本性质，包括分式的有理化、相加减、乘除等基本操作规则，以及分式的约分、通分等运算。
二、教学目标1.了解分式的定义及基本概念；2.掌握分式化简、通分、约分等运算方法；3.学会通过分式求解简单方程和实际问题。
三、教学重点和难点教学重点：1.掌握分式的有理化、相加减、乘除等基本操作规则；2.学会分式的约分、通分等运算。
教学难点：1.如何应用分式解决实际问题。
四、教学过程及方法1. 导入新知识1.提问：什么是分式？分式有哪些特点？2.引入概念：分式的定义及基本概念。
2. 分组讨论1.按照学生的不同能力水平分组，让他们互相讨论、合作解决分式的有理化、相加减、乘除等基本操作规则。
2.由老师带领讨论分式的约分、通分等运算。
3. 通过例题讲解基本规则1.参考教材例题，补充和解析其中难点较高的例题。
2.以逐步引导、示范的方式使学生理解基本规则，熟练掌握和运用。
4. 练习和巩固1.编写试卷或提供小组内练习题目，帮助学生巩固和加深学习；2.实时教师互动答疑，让学生相互交流和解决问题。
5. 扩展课程通过扩展课程，让学生应用分式解决在题目中可能遇到具体问题和实际问题。
五、教学评价1.课后作业：让学生用自己的理解，整理和归纳规律，为下一节课做好准备；2.考试：对本节课的知识点进行考试和评价，帮助教学人员及时调整教学进程。
六、教材参考1.北京版八年级上册数学教材，第10章，第2节；2.参考书目：《初中数学》，七年级（下）和八年级（下）；《初中数学辅导》，课外读物。
初二分式知识点总结
初二分式知识点总结一、分式的概念分式是指分母为非零数的两个整数的比值。
在分式中，分子和分母分别表示为a和b，通常表示为a/b。
其中，分子表示为被分的数，分母表示为分的数。
分子分母在分式中扮演着不同的角色，分子代表了分子数量，分母代表了分母数量。
二、分式的性质1. 分数的一般形式分数通常写成a/b的形式，a称为分子，b称为分母。
这里要求b≠0。
2. 相反数分式若a/b≠0，则分式-a/b=(-a)/b。
3. 分式的倒数若a/b≠0，则分式1/(a/b)=b/a。
4. 分式的乘法若a/b、c/d均存在，则a/b✖c/d=(a✖c)/(b✖d)。
5. 分式的除法若a/b、c/d均存在，则a/b÷c/d=(a/b)✖(d/c)。
6. 分式的加法和减法若a/b、c/d均存在，则a/b±c/d=(ad±bc)/(bd)。
7. 分式的消去若分式a/b与c/d相等，且b≠0，d≠0，则ad=bc。
三、分式的化简与扩展分式化简就是把分式用最简形式表示，化简分式有两个问题要关心：①分子，分母是不是能约分；②能约分，约去的公因式是什么。
分式的扩展是指通过乘法将分子或分母扩大到某一倍数。
四、分式的概念1. 添加相同数的分数若分子相同而分母不同，或分子不同而分母相同，则两个分数相加或相减时，只需将他们的分子相加或相减，同时将他们的分母保持不变。
2. 乘法的运算律分数相乘还是原分数，只是分子与分母分别相乘。
3. 除法的运算律分数相除，乘以倒数。
五、分式的应用1. 充分利用分式解决问题2. 通过实例理解分式的意义分式的应用不仅仅是在数学中，还可以应用到日常生活中。
比如在工作中计算利润分配问题、在生活中计算食材比例等。
初中分式知识点总结到此结束，希望对大家有所帮助。
初二数学分式知识点
初二数学分式知识点一、引言分式是初中数学中的重要概念，它在代数运算、方程求解以及后续的高中数学学习中都扮演着关键角色。
本文旨在总结初二数学中分式的基本概念、性质、运算规则以及应用实例，帮助学生掌握分式相关知识点。
二、分式的定义1. 分式：形如 \(\frac{a}{b}\) 的代数式，其中 \(a\) 称为分子，\(b\) 称为分母，\(b \neq 0\)。
2. 条件：分母不能为零，因为除以零没有定义。
三、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
2. 符号规则：分式的符号由分子和分母的符号决定，分子分母同号结果为正，异号结果为负。
3. 约分：通过找出分子和分母的最大公约数并约去，简化分式。
4. 通分：将多个分式转化为具有相同分母的分式，便于进行加减运算。
四、分式的运算规则1. 加减法：- 同分母分式相加减：分子相加减，分母不变。
- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。
2. 乘法：- 分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母。
3. 除法：- 分式的除法：将除数的分式取倒数，然后进行乘法运算。
4. 乘方：- 分式的乘方：分子和分母分别取方。
五、分式的解方程1. 一元一次方程：通过移项和化简分式，求解未知数。
2. 一元二次方程：在解一元二次方程时，要注意分式的化简和检验根。
六、分式的应用题1. 比例问题：利用分式表示比例关系，解决实际问题。
2. 工作问题：通过分式方程解决工作效率和工作时间的问题。
3. 浓度问题：使用分式计算溶液的稀释和浓缩。
七、常见题型与解题技巧1. 化简求值：熟练掌握分式的化简方法，准确求出分式的值。
2. 分式方程：注意检验解的有效性，避免出现除以零的情况。
3. 应用题：理解题意，找出等量关系，建立分式方程求解。
八、总结分式是初中数学的重要内容，掌握分式的性质和运算规则对于提高数学成绩至关重要。
通过不断的练习和应用，可以加深对分式概念的理解，提高解题能力。
分式的概念及性质(3)
分式概念及性质一、知识点聚焦： 1．分式的概念:形如)0(≠B BA 的式子称为分式，A叫做分子，B 叫做分母。
注意： ①B 不为零； ②B 中含有字母 ③A 、B 为整式。
2．题型：（1）分式有意义的条件：分母B 不等于0，即0B ≠时，分式BA 有意义。
（2）分式值为零的条件，当A=0且0B ≠时，分式BA 的值为0.3．有理式:整式和分式统称有理式。
整式与分式的区别：分式含有分母，且分母中必须含有字母，而整式也可以含有分母，但分母中不含有字母。
如：3y 是整式，而y3是分式。
4．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即)0(),0(≠÷÷=≠⋅⋅=M MB M A B A M MB M A B A5．约分：把分式的分子与分母中的公因式约去，就是分式的约分。
）是整式，且0(≠÷÷=C C CB C A B A6．通分：把几个异分母分别化成与原来的分式相等得同分母的分式，叫做分式的通分。
）是整式，且0(≠=C C BCAC B A7． 最简分式：约分后，分式的分子与分母不再有公因式，这样的分式叫最简分式。
二、经典例题：例1．判断下列式子中哪些是整式，哪些是分式0，b a -2，101，502+x ，xx2，131+x例2．当x= 时，分式132-+x x 无意义；当x= 时，分式xx x -2的值为零。
例3．如果分式392--x x 的值为零，那么x= 。
例4. 化简：(1)222a ab a b+- (2)mnm nm +-222答案：例1.整式：0，b a -2，101，502+x 分式：xx2，131+x例2．31， 1例3．-3 例4.(1)ba a- (2)mn m -三、基础演练： 1．下列有理式:①yx y x +-；②132+x ；③xx 13-；④π22yxy x ++；⑤14.3--πba ；⑥xxyxy x 22-+,其中整式有 ,分式有 (只填序号).2.下列说法: ①无论x 取何数,分式()()1112+++x x x 的值不为零; ②无论x 取何数,122+-x x＜0;③abc21-不是分式,是单项式;④55+-x x 的值为零,则x=±5.其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列分式中,当y=-2时,有意义的分式是( ) ①22-+y y ②()222+-y y ③22++y y ④22--y y ⑤()()()()1222-++-y y y y ⑥()()()()1212+--+y y y yA.①②④B.②③⑥C.①⑤⑥D.①③⑥4.已知代数式1872---x x x 的值等于零,则x 的值为( )A.x=±1B.x=8C.x=-1D.x=-1或x=85.填空：(1)axyy ax 322=( ) (2)())(32b a b b a a ++-=( ) (3)22aab =( ) (4)xyzy x 932-=( )6．分式cdb c ab 2532535-的分子与分母的公因式是 ，约分后得 .7．(1)232123abb a -= . (2)()()x y xyy x y x --22122= . (3)()()222x y n y x m --= .答案：1. ④⑤ ①②③⑥2.A3.D4.B5.(1)32x （2）-ba 32 （3）ab 2 （4）-zx 3 6.5b 2c -dabc 5747.(1)-4ab (2)-yx 6 (3)nynx my mx -+四、能力提升： （一）选择题1．下列各式中，最简分式是( ) A.22yx y x -+ B22yx y x -- C.4422yx y x -- D.yx y x -+2．下列各式中,不是最简分式的是( ) A.yx y x ++22B.4422yx y x -+ C.3322yx y x ++ D.3322yx y x -+3．下列运算正确的是( ) A.33++=n n xxxB0=--yx y x C.ba xb x a =++ D.1-=-+-yx y x（二）化简 1.2232050mnn m 2.()()5724y x y x -- 3.()()b ac b c b a a ---+1525 4.1642--mm5.2312+++m mm 6.mm m m -+-2223 7.26322715yx y x -- 8.()pq q p 442--答案：（一）1.D 2.B 3.D （二）1．52m 2. 2（x-y ）2 3.-a 5 4.-1 5.1 6.m 2- 7.45y 8.p q -五、个性天地：（1）已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x的值．(2) 已知a 2-4a+9b 2+6b+5=0，求1a-1b的值．(3) 化简:16)(16)(8)(22-+++-+b a b a b a（4)mnm nm +-22239的分子、分母的公因式是 ,约分的结果是 .答案： （1）7 (2)27 (3)44++-+b a b a (4)3m+n,mn m -3。
八年级下册数学分式的基本性质的知识点
八年级下册数学分式的基本性质的知识点
八年级下册数学分式的基本性质的知识点
在学习中，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。
为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺整理的八年级下册数学分式的基本性质的知识点，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。
单项式整式多项项分式
AAMAM
用式子表示为：B=BM=BM，其中M(M≠0)为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：(1)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
(2)如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的.公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：(1)如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分;(3)约分一定要把公因式约完。
【初中数学】初二数学分式的性质重要知识点
【初中数学】初二数学分式的性质重要知识点【—
初中第二天
数学分式的性质知识要领】在代数式的计算中，分式的性质知识要领运用还是很广泛的。
分数的性质
1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式
的值不变。
用式子表示为：a/b=(a*c)/(b*c)，a/b=(a÷c)/(b÷c)(a,b,c为整式，且b、
c≠0)。
2.分数缩减：一个分数的分子和分母的公因式的缩减。
这种变形称为分数缩减。
分数
约化的关键是确定分数中分子和分母的公因子。
3.分式的约分步骤：
（1）如果一个分数的分子和分母都是单个项或多个因子的乘积，则减少它们的公因子。
(2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式提取方法：系数取分子和分母系数的最大公因式，字母取分子和分母共用
的字母，索引取公因式的最小索引，这是它们的公因式。
4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
5.一般分数：将几个不同的分母分数转换成与原始分数相同的分母分数，称为分数的
一般分数。
6.分式的通分步骤：
首先找到所有分数的最简公分母，然后将所有分数的分母转换为最简公分母。
同时，
每个分数根据分母展开的倍数展开其分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数是每个因子系数的最小公倍数、同一字母的最高幂和单个字母的幂的乘积。
分式的约分和通分是一组相反的运算过程，但其的最终目的都是一致的。
分式的定义和基本性质
分式的定义和基本性质分式是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍分式的定义和基本性质，并通过例题详细说明。
一、分式的定义在数学中，分式是指一个数的形式为a/b的表达式，其中a和b都是整数，b不等于0。
其中a称为分子，b称为分母。
分式也可以写成带分数的形式，如n（a/b），其中n是非负整数，a和b都是整数，b不等于0。
分式可以表示一个数，也可以表示一个比率或比例关系。
在代数中，分式可以用来表示一种运算，称为除法。
二、分式的基本性质1. 乘法性质：两个分式相乘，分子和分母分别相乘。
例如，(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)2. 除法性质：一个分式除以另一个分式，相当于将被除分式的倒数乘以除数分式。
例如，(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)3. 加法性质：两个分式相加，要求它们的分母相同，分子相加即可。
例如，(a/b) + (c/b) = (a + c) / b4. 减法性质：两个分式相减，要求它们的分母相同，分子相减即可。
例如，(a/b) - (c/b) = (a - c) / b5. 约分性质：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零整数。
例如，(4/8)可以约分为(1/2)，(12/18)可以约分为(2/3)。
三、例题解析1. 计算下列分式的值：(3/5) + (7/10)解：首先找到两个分式的最小公倍数，即5和10的最小公倍数为10。
将两个分式的分子和分母按照最小公倍数进行扩展，得到：(3/5) + (7/10) = (3 * 2/5 * 2) + (7 * 1/10 * 1) = 6/10 + 7/10 = 13/102. 计算下列分式的值：(2/3) * (4/5)解：直接按照乘法性质相乘，得到：(2/3) * (4/5) = (2 * 4) / (3 * 5) = 8/153. 约分下列分式：(12/18)解：分子和分母同时除以它们的最大公约数，即12和18的最大公约数为6。
分式的基本性质与运算
分式的基本性质与运算1. 分式的基本性质分式是数学中一种特殊的表示形式，由分子和分母组成，分子与分母之间用分数线分隔。
分式在代数运算中有着重要的地位，它具备以下基本性质：1.1. 分式的定义域分式的定义域是指使分式中的分母不为零的实数集合。
因为在分式运算中，分母为零的情况是不合法的，会导致分式无法计算。
所以在定义分式运算时，需要排除分母为零的情况。
1.2. 分式的约束条件分式的约束条件是指对分子和分母的进行约束，使分式保持在最简形式。
一个约束条件是分子与分母的最大公约数为1，即分子和分母没有共同的因子。
另一个约束条件是分式的分子没有负号，而负号只出现在分式的整体前面。
1.3. 分式的唯一性分式在满足定义域和约束条件的前提下，具备唯一性。
即给定一个分式，它的分子和分母确定后，分式的值也就确定了。
这个性质在分式的运算中是非常重要的，保证了分式的计算结果是确定的。
2. 分式的运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
下面分别对这四种运算进行讨论。
2.1. 分式的加法两个分式的加法可以通过通分的方式来实现。
通分是指使两个分式的分母相同，然后将它们的分子相加。
通分的方法是将两个分式的分母取最小公倍数，然后分别将分子乘以相应的倍数。
最后得到的分式就是它们的和。
2.2. 分式的减法分式的减法与加法类似，也可以通过通分来实现。
通分的方法与加法相同，只是将分子相减而不是相加。
最后得到的分式就是它们的差。
2.3. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子相乘，分母相乘来实现。
最后得到的分式就是它们的乘积。
2.4. 分式的除法分式的除法可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的倒数来实现。
倒数是指将分子和分母交换位置得到的新的分式。
最后得到的分式就是它们的商。
3. 分式的简化与展开在分式的运算中，有时需要将分式进行简化来得到最简形式。
分式的简化可以通过约分来实现，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
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分式及其性质
编稿：龚剑钧审稿：李岩责编:高伟
知识要点梳理
要点一：分式的概念
定义
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.
分式有意义
分式的分母不为0.
分式的值为0
分式的分母不为0且分子等于0.
要点二：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
即.
要点三：分式的变形
变符号法则
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变.
通分
利用分式的基本性质，不改变分式的值，把两个分式化成相同分母的分式，这样的分式变形称为通分.
约分
利用分式的基本性质：不改变分式的值约去分式的分子和分母的公因式，使分式最简洁，这样的分式变形称为约分.
显然约分和通分是一种互逆的分式变形，在进行这种变形之前，要先将分式的分子和分母进行因式分解.
最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，称为最简公分母.
经典例题精析
类型一：分式的概念
分式定义
1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，
思路点拨：区别整式和分式的关键是看分母中是否会含有字母.特别地，是常数.
解析：整式有：，
分式有：，，
分式有意义
2 为何值时，下列分式有意义
（1）（2）（3）（4）
思路点拨：分式有意义就是在分式分母不等于0的条件下，求字母的取值.
解析：（1）∵∴
（2）∵∴
（3）∵∴为任何数
（4）∵∴且
分式的值为0
3为何值时，下列分式的值是零.
（1）（2）（3）（4）
思路点拨：分式的值为0，需满足两个条件：
①分式的分母不等于0 ，②分式的分子等于0，且二者缺一不可.
解析：（1）∵∴
（2）∵∴
（3）∵∴
（4）∵∴
类型二：分式的基本性质
4不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项的系数化为整数.
(1)(2)(3)(4)
思路点拨：（1）利用分式的基本性质.
（2）分子、分母同乘以各系数分母的最小公倍数.
解析：(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
类型三：分式的变形
变符号法则
5 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号.
(1)(2)(3)(4)
思路点拨：在，，中，三者变其一的符号，结果为原分式的相反数，三者变其二的符号，结果与原分式相等.
解析：(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
6 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数.
(1)(2)(3)
思路点拨：用变符号法则时，若分子、分母为多项式时，则它们的符号指的是多项式的符号.
解析：(1)原式
(2)原式
(3)原式
总结升华：(1)根据分式的意义，分数线代表除号，又起着括号的作用.
(2)一般地，分子、分母为多项式时，要按降幂排列.
通分
7 把下列各组分式通分：
(1)，，
(2)，,
思路点拨：先确定最简公分母，再利用分式的基本性质化为同分母.
解析：(1)最简公分母为
(2)最简公分母是
约分
8 化简下列分式：
(1)(2)(3)(4)
思路点拨：先对分子、分母进行因式分解，再根据分式的基本性质，对分式进行约分.
解析：(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
类型四：综合应用
9 已知分式，当时值为0，时无意义，求、.
解析：∵时，分式无意义
∴∴
∵时分式的值为0
∴∴
∴，
10．不改变分式的值，把分式中分子和分母的多项式各项系数化为整数且使最高次项系数为正.
解析：原式
11．(1)已知，求的值.
(2)已知，求的值.
(3)已知，求的值.
思路点拨：此类题的解法：一种是由已知条件变形，通过代入来求分式的值；另一种根据分式的基本性质对所求的分式作变形，再把已知条件整体代入，从而求出分式的值.
解析：(1)原式
∵，即
∴原式=
另解：∵∴即
∴原式
(2)∵∴
∴原式
(3)∵∴，即
∴原式
12．某文具专柜以每支(为整数)元的价格购进一批笔，决定每支加价2元销售。
结帐时，售货员发现这批笔的销售总额为元.根据以上信息求出：
(1)文具专柜共购进了多少支笔？
(2)每支笔的进价是多少元？
思路点拨：由于购进的笔支，且是整数，这是解题的关键.
解析：设文具专柜共购进支笔，则有：
∵且为整数，为整数
∴是7的约数
∴或
∴或(舍)
∴时
答：文具专柜共购进400支笔，每支进价5元.。