北京四中初二轴对称

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北京四中初二全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短

全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短编稿：白真审稿：范兴亚责编：高伟经典例题透析类型一：由角平分线想到构造全等不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点（此点作为顶点）组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把角、线段转移达到解题目的．1．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8．求BE的长．图1 图 2 解析：由题意得△BFE≌△DFE，∴BE=DE，在△BDE中，ED=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，即DE⊥BC，在等腰梯形中，AD=2，BC=8，过A作AG⊥BC，交BC于G，如图2，∴△EDG≌△AGD，∴GE=AD=2，在Rt△ABG和Rt△DCE中，AB=DC，AG=DE，∴Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=CE，∴，∴BE=5．2．如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A求证：图3图 4解析：如图4，作∠B的平分线交AC于D，则∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A=∠C∴AD=BD=BC作BM⊥AC于M，则CM=DM．3．如图5，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC，求证：AC＞BD图5图6解析：如图6，作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F，四边形ACDE和四边形BCDF都是平行四边形．∴DE=AC，DF=BC，AE=CD=BF作DH⊥AB于H，根据勾股定理，，∵AD＞BC，AD＞DF∴AH＞FH，EH＞BH，∴DE＞BD，即AC＞BD.4．如图7，已知△ABC中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC．图7解析：设AB、AC、BD、，CD分别为b、c、m、n，则c+n=b+m，c-b=m-n，∵AD⊥BC，根据勾股定理，得，∴，，∵c+b＞m+n，∴c-b=0即c=b，∴AB=AC．类型二：勾股定理的逆定理的运用5．如图8，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到，则点P与点之间的距离为________，∠APB=________．图8 图9 解析：如图9，连结，是由旋转得到的，所以≌所以. .所以三角形是等边三角形，．则在三角形中．所以是直角，．6．如图10，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：．图10 图11解析：如图11，显然△ADC是等边三角形，以BC为边向右侧作等边三角形，则BC=BE，连接AE，则可证明△BCD≌△ACE，所以AE=DB，∠ABC+∠CBE=90°，根据勾股定理有，即．7．如图12，D为等腰△ABC的腰AB上的一点，E为另一腰AC延长线上的一点，且BD=CE，则A．DE=BC B．DE＞BCC．DE＜BC D．DE与BC大小关系决定于∠A的大小．图12 图13解析：如图13，分别过D和E点作到BC边的垂线，交BC及其延长线于G和H．则根据，可得到△BDG≌△ECH. 所以BG=CH．所以BC=GH．显然DE＞GH. 所以DE＞BC.8．如图14，已知等边△ABC内有一点N，ND⊥BC，NE⊥AB，NF⊥AC，D、E、F都是垂足，M是△ABC中异于N的另一点，若，，那么与的大小关系是________．图14图15 解析：如图15，作M到正三角形的各边上的高，根据面积相等的关系，有，，分别化简为所以．而根据直角三角形斜边与直角边的关系有，，．所以有．9．如图16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD=3，BC=4，则CD的长是A．5B．6C．7 D．8图16 图17 解析：如图17，延长CE交DA的延长线于F，则容易证明△BEC≌△AEF，于是可得到∠DCE=∠BCE=∠AFE，所以△FCD是等腰三角形，所以CD=AD+AF=7．10．如图18，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD∥BC，在AD上取一点E，使∠EBC=30°，则BE和BC的大小关系是（）A．BE＞BC B．BE＜BC C．BE=BC D．不确定图18解析：作△ABC的高h，那么BC=2h．而BE=2h．所以BE=BC．11．已知三角形的两条边长分别为a=5，b=4，它们的高分别为，若，那么该三角形的面积是________．解析：根据三角形的面积公式，可知，而根据，可得到，所以．所以或．如果，则结合，可得到，矛盾．所以，结合，得到，所以，所以三角形的面积为．。

北京四中初二轴对称(2)

轴对称(2)编稿老师：李岩审稿老师：龚剑均责编:邵剑英(一)教学目标1、掌握线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，能用它们解决相关问题．2、能利用轴对称变换求解最值问题．(二)知识要点1、线段的垂直平分线的概念垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．2、线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．[符号语言]如图，∵OP垂直平分线段AB，∴PA=PB．[作用]证明线段相等和作图的重要依据之一．3、线段垂直平分线的判定定理到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．[符号语言] ∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．[作用]证明点在线段的垂直平分线上的方法．4、线段垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合．5、三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，这个交点称为三角形的外心。

(三)典型例题1、(1)如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AB，交AB于E，交AC于D，若AB=AC=32，BC=21，则△BCD的周长为________．(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，DE⊥AB交BC于D，若∠1：∠2=1：2，则∠B=________，∠BAC=________．解：(1)∵DE垂直平分线段AB，∴AD=BD．∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC．∵AC=32，BC=21，∴=53．(2)∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线．∴AD=BD，∴∠2=∠B．∵∠C=90°，∴∠1+∠2+∠B=90°．∵∠1：∠2=1：2，∴∠1=18°，∠B=∠2=36°，∠BAC=∠1+∠2=54°．[小结]线段垂直平分线的性质在具体问题中的应用时，多数与等腰三角形性质联系在一起，因此应熟悉等腰三角形的一些基本性质．2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，垂足为H，交AB于E．交BC延长线于F，求证：∠B=∠CAF．证明：∵EF垂直平分AD∴AF=DF∴∠DAF=∠ADF。

北京市第四中学八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(培优)

一、选择题1．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（）A ．16B ．32C ．64D ．128C解析：C【分析】根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA 1=B 1A 1=1，OA 2=B 2A 2=2，OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而得出答案．【详解】如图，∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠2=60°，∵∠MON=30°，∴∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1= A 1A 2=1，∵△A 2B 2A 3是等边三角形，同理可得：OA 2=B 2A 2=2，同理；OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，OA 5=B 5A 5=4216=，…，以此类推：所以OA 7=B 7A 7=6264=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA 2=B 2A 2=2， OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而发现规律是解题的关键．2．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个B解析：B【分析】根据∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 可得出BD ＝CD ，利用ASA 判定Rt △DFB ≌Rt △DAC ，从而得出DF ＝AD ，BF ＝AC ．则CD ＝CF +AD ，即AD +CF ＝BD ；再利用ASA 判定Rt △BEA ≌Rt △BEC ，得出CE ＝AE ＝12AC ，又因为BF ＝AC 所以CE ＝12AC ＝12BF ，连接CG ．因为△BCD 是等腰直角三角形，即BD ＝CD ．又因为DH ⊥BC ，那么DH 垂直平分BC ．即BG ＝CG ．在Rt △CEG 中，CG 是斜边，CE 是直角边，所以CE ＜CG ．即AE ＜BG ．【详解】解：∵CD ⊥AB ，∠ABC ＝45°，∴△BCD 是等腰直角三角形．∴BD ＝CD ．故①正确；连接CG ．∵△BCD 是等腰直角三角形，∴BD ＝CD又DH ⊥BC ，∴DH 垂直平分BC ．∴BG ＝CG在Rt △CEG 中，∵CG 是斜边，CE 是直角边，∴CE ＜CG ．∵CE ＝AE ，∴AE ＜BG ．故②错误．在Rt △BEA 和Rt △BEC 中∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ．又∵BE ＝BE ，∠BEA ＝∠BEC ＝90°，∴Rt △BEA ≌Rt △BEC ．∴CE ＝AE ＝12AC ．在Rt △DFB 和Rt △DAC 中，∵∠DBF ＝90°﹣∠BFD ，∠DCA ＝90°﹣∠EFC ，且∠BFD ＝∠EFC ，∴∠DBF ＝∠DCA ．又∵∠BDF ＝∠CDA ＝90°，BD ＝CD ，∴△DFB ≌△DAC ．∴BF ＝AC ，∴CE ＝12AC ＝12BF ， ∴2CE ＝BF ；故③正确；由③可得△DFB ≌△DAC ．∴BF ＝AC ；DF ＝AD ．∵CD ＝CF +DF ，∴AD +CF ＝BD ；故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．3．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个D解析：D【分析】首先根据等边三角形性质得出BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD与△ACE全等、△BCF与△ACG全等以及△DFC与△EGC全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC与△CDE为等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD，在△BCD与△ACE中，∵BC=AC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴AE=BD，即①正确；在△BCF与△ACG中，由①可知∠CBF=∠CAG，又∵AC=BC，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF≌△ACG(ASA)，∴AG=BF，即②正确；在△DFC与△EGC中，∵△BCF≌△ACG，∴CF=CG．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．4．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…，在射线ON 上，点B ，1B ，2B ，3B ，…，在射线OM 上，112A B B ，223A B B △，334A B B △，…，均为等边三角形．若11OB =，则202020202021A B B △的边长为（）A ．20192B ．20202C ．20212D ．20222 A解析：A【分析】先求出∠O=∠OA 1B 1=30°，从而A 1B 1=A 1B 2= OB 1=1，然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，∴∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O=60°，A 1B 1=A 1B 2，∵∠O=30°，∴∠A 2A 1B 2=∠O+∠A 1B 2O=90°，∵∠A 1B 1B 2=∠O+∠OA 1B 1，∴∠O=∠OA 1B 1=30°，∴OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1，在Rt △A 2A 1B 2中，∵∠A 1A 2B 2=30°，∴A 2B 2=2A 1B 2=2，同法可得A 3B 3=22，A 4B 4=23，…，A n B n =2n-1，∴202020202021A B B △的边长=22019，故选：A ．【点睛】本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．5．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=A ．2B ．3C ．4D ．5B 解析：B【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．【详解】解：由作法得，AD 平分∠BAC ，所以①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=12×60°=30°， ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；∵∠B=∠BAD ，∴DA=DB ，∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；在直角△ACD 中，∠CAD=30°，∴CD=12AD ， ∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD ，1124DAC S AC CD AC AD ∆=⋅=⋅． ∴11332224ABC S AC BC AC AD AC AD ∆=⋅=⋅=⋅， ∴13::1:344DAC ABC S S AC AD AC AD ∆∆=⋅⋅=，故④错误．所以，正确的结论有3个故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．6．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】分三种情况：当AB=AC 时，当BA=BC 时，当AC=AB 时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．【详解】当AB=AC 时，点C 与点O 重合；当BA=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有两个交点；当AC=AB 时，作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有一个交点，共有4个点C ，故选：C ．．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．7．如图，在ABC 中，90C =∠，30B ∠=，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则:DAC ABC S S 等于（）A ．1:2B ．2:3C ．3D ．1:3D解析：D【分析】先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD ，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：由作图过程可知：AP 平分∠BAC ，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠1=∠2=∠B=30°，∴CD=12AD ，AD=BD ， ∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD ， S △DAC =12AC•CD=14AC•AD ， ∴S △ABC =12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD ， ∴S △DAC ：S △ABC =1：3，故选D ．【点睛】本题考查的是作图—基本作图，熟知角平分线的作法和性质，30°的直角三角形的性质是解答此题的关键．8．已知点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称，则2020()a b +的值（） A ．3-B ．1-C ．1D ．3C 解析：C【分析】根据关于坐标轴对称的规律，关于谁对称谁不变，另一个坐标变为相反数即可获得a 和b 的值，然后即可得解．【详解】∵点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称∴2a =，3b =-∴()()20182018231a b +=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了在坐标平面直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标的变化规律，点(),x y 关于x 轴对称的点的坐标为()x y -，，熟记规律即可得到正确答案．9．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°A解析：A【分析】由△AEC ≌△BED 可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠ADB 的度数．【详解】解：∵△AEC ≌△BED ，∴EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED ，∴∠BEO=∠CED,∵∠AED=30°，∠BEC=120°，∴∠BEO=∠CED=120302︒-︒=45°，在△EDC 中，∵EC=ED ，∠CED=45°，∴∠C=∠EDC=67.5°，∴∠BDE=∠C=67.5°，∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，故选A ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质．10．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒D 解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键．二、填空题11．如图，已知∠AOB =30°，点P 在射线OA 上，OP =16，点E 、点F 在射线OB 上，PE=PF ，EF =6．若点D 是射线OB 上一动点，当∠PDE =45°时，DF 的长为___________．5或11【分析】过点P 作PH ⊥OB 于点H 根据PE=PF 可得EH=FH=EF=3根据∠AOB=30°OP=16可得PH=OP=8当点D 运动到点F 右侧或当点D 运动到点F 左侧时分别计算可得DF 的长【详解】解析：5或11【分析】过点P 作PH ⊥OB 于点H ，根据PE=PF ，可得EH=FH=12EF=3，根据∠AOB=30°，OP=16，可得PH=12OP=8，当点D 运动到点F 右侧或当点D 运动到点F 左侧时，分别计算可得DF 的长．【详解】如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵PE=PF，∴EH=FH=1EF=3，2∵∠AOB=30°，OP=16，∴PH=1OP=8，2当点D运动到点F右侧时，∵∠PDE=45°，∴∠DPH=45°，∴PH=DH=8，∴DF=DH-FH=8-3=5；当点D运动到点F左侧时，D′F=D′H+FH=8+3=11．所以DF的长为5或11．故答案为：5或11．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是分两种情况画图解答．12．如图：已知在ABC中，90BAC︒∠=，在直线AC上找点P，使∠=，36ACB︒∠的度数为________．ABP△是等腰三角形，则APB72°或18°或108°或36°【分析】分四种情况：①AB＝BP1时②当AB＝AP3时③当AB＝AP2时④当AP4＝BP4时分别讨论根据等腰三角形的性质求出答案即可【详解】∵在Rt△ABC中∠C＝9解析：72°或18°或108°或36°【分析】分四种情况：①AB ＝BP 1时，②当AB ＝AP 3时，③当AB ＝AP 2时，④当AP 4＝BP 4时，分别讨论，根据等腰三角形的性质求出答案即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝36°，∴当AB ＝BP 1时，∠BAP 1＝∠BP 1A ＝36°，当AB ＝AP 3时，∠ABP 3＝∠AP 3B ＝12∠BAC ＝12×36°＝18°，当AB ＝AP 4时，∠ABP 4＝∠AP 4B ＝12×（180°−36°）＝72°，当AP 2＝BP 2时，∠BAP 2＝∠ABP 2，∴∠AP 2B ＝180°−36°×2＝108°，∴∠APB 的度数为：18°、36°、72°、108°．故答案为：72°或18°或108°或36°【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题关键．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．90°45°135°【分析】此题应该分情况讨论以OA 为腰或底分别讨论当A 是顶角顶点时P 是以A 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有1个当O 是顶角顶点时P 是以O 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有2解析：90°，45°，135°【分析】此题应该分情况讨论．以OA 为腰或底分别讨论．当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有1个，当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有2个，若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．【详解】（1）若AO 作为腰时，有两种情况，①当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°；②当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；（2）若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°．综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，故答案是：90°，45°，135°．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 14．如图，ABC 中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E 交CD 于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 交BE 于点G ，考察下列结论：①AC BF =；②2BF CE =；③ADGE GHCE S S =四四边形边形；④DGF △为等腰三角形．其中正确的有___．①②④【分析】只要证明△BDF ≌△CDA △BAC 是等腰三角形即可判断①②正确作GM ⊥BD 于M 只要证明GH ＜DG 即可判断③错误证明可判断④正确【详解】解：①又又∴是等腰直角三角形在和中故①正确；②平分解析：①②④【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，即可判断①②正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断③错误，证明DGF DFG ∠=∠可判断④正确．【详解】解：①CD AB ⊥，90CDA BDF ∠∴∠==︒，18090DBF DFB BDF ︒∠+∠=-∠=︒，又BE AC ⊥，90BEA ∴∠=︒，18090DBF DAC BEA ∠+∠=-∠=∴︒︒，DAC DFB ∠=∠∴，又45ABC ∠=︒，18045DCB ABC BDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，∴BCD △是等腰直角三角形，BD CD ∴=，在ACD △和FBD 中，DAC DFB CDA BDF CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD FBD AAS ∴≅，AC BF ∴=．故①正确；②BE 平分ABC ∠，BE AC ⊥，ABE CBE ∴∠=∠，90BEA BEC ∠=∠=︒，∴在ABE △和CBE △中，ABE CBE BE BEBEA BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ASA ABE CBE ∴≅，AE CE ∴=，2AC AE CE CE ∴=+=，又AC BF =，2BF CE ∴=，故②正确；③如图所示，过G 作GM BD ⊥于点M ，H 为等腰直角BCD △斜边BC 的中点，DH BC ∴⊥，即90GHB ∠=︒，又BE 平分ABC ∠，GM BD ⊥，GM GH ∴=，又BD BH >，BDG BGH SS∴>，又ABE CBE ≅ ABE CBE S S ∴=，ABE BDG ADGE S S S ∴=-四边形，CBE BGH GHCE S S S =-四边形，ADGE GHCE S S ∴<四边形四边形，故③错误；④18090HBG BGH GHB ∠+∠=︒-∠=︒，18090DBF DFG BDF ∠+∠=︒-∠=︒，HBG DBF ∠=∠，∴∠=∠，BGH DFG∠=∠，又BGH DGF∴∠=∠，DGF DFG∴为等腰三角形．DGF∴综上，答案为①②④．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第三个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键．15．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么AOB∠___________COD∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO解析：>【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．【详解】如图，过点B作BE⊥AC于E，∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOE=45︒，过点C作CF⊥OC，使FC=OC，∴∠FCO=90︒，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，∴∠AOB>∠COD，故答案为：>．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．16．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为___________．25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论不合题意的舍去据此即可求解【详解】解：当腰长为10时三边分别为10105构成三角形周长为10+10+5=25；当腰长为5时三边分别为5510∵5+5=1解析：25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解．【详解】解：当腰长为10时，三边分别为10、10、5，构成三角形，周长为10+10+5=25；当腰长为5时，三边分别为5、5、10，∵5+5=10，无法构成三角形，不合题意．故答案为：25【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键．17．如图，在22的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的ABC为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与ABC成轴对称．5【分析】画出所有与成轴对称的三角形【详解】解：如图所示：和对称和对称和对称和对称和对称故答案是：5【点睛】本题考查轴对称图形解题的关键是掌握画轴对称图形的方法解析：5【分析】画出所有与ABC成轴对称的三角形．【详解】解：如图所示：ABC和ADC对称，ABC和EBD△对称，ABC和DEF对称，ABC和DCB对称，ABC和CDA对称，故答案是：5．【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握画轴对称图形的方法．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是______．10°【分析】设∠B＝∠C＝x∠CDE＝y分别表示出∠DAE构建方程解方程即可求解【详解】解：设∠B＝∠C＝x∠EDC＝y∵AD＝AE∴∠ADE ＝∠AED＝x＋y∵∠DAE＝180°−2（x＋y）＝解析：10°【分析】设∠B＝∠C＝x，∠CDE＝y，分别表示出∠DAE，构建方程解方程即可求解．【详解】解：设∠B＝∠C＝x，∠EDC＝y，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x＋y，∵∠DAE＝180 °−2（x＋y）＝180 °−20 °−2x，∴2y＝20 °，∴y＝10 °，∴∠CDE＝10 °．故答案为：10°【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点,A B均在19．右图是44⨯的正方形网格的格点上，且格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此44ABC ∆是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C 的坐标_______；满足条件的点C 一共有_______个．（答案不唯一符合题意即可）8【分析】分别以AB 为圆心AB 为半径作圆弧寻找在圆弧上的格点即可【详解】①如图以A 为圆心AB 为半径作圆弧符合题意的格点有5个；②如图以B 为圆心AB 为半径作圆弧符合题意的格点解析：()2,2--（答案不唯一，符合题意即可） 8【分析】分别以A ，B 为圆心，AB 为半径作圆弧，寻找在圆弧上的格点即可．【详解】①如图，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧，符合题意的格点有5个；②如图，以B 为圆心，AB 为半径作圆弧，符合题意的格点有3个；③如图，在AB 的垂直平分线上时，无符合题意的格点；综上，符合题意的格点共有8个，故答案为：()2,2--（答案不唯一，符合题意即可）；8．【点睛】本题考查在网格中作等腰三角形，根据已知边可作为底边或者腰进行分类讨论，熟练掌握尺规作图方法是解题关键．20．如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A ，点C 均在格点上，点P 为x 轴上任意一点，则PAC △周长的最小值为________．【分析】根据勾股定理可得AC 的长度作点C 关于x轴的对称点C′连接AC′与x 轴交于点P 利用勾股定理求出AP+PC 的最小值从而得出答案【详解】AC=如图作点C 关于x 轴的对称点C′连接AC′与x 轴交于点P 解析：21022【分析】根据勾股定理可得AC 的长度，作点C 关于x 轴的对称点C′，连接AC′，与x 轴交于点P ，利用勾股定理求出AP+PC 的最小值，从而得出答案．【详解】 22222+=如图，作点C 关于x 轴的对称点C′，连接AC′，与x 轴交于点P ，则AP+PC=AP+PC′=AC′，此时AP+PC取得最小值，最小值为22+=，26210+，所以△PAC周长的最小值为21022+．故答案为：21022【点睛】本题主要考查了轴对称－最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．三、解答题21．如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P．（1）如图2，若点P正好落在BC边上．①求∠B的度数；②求证：BC=3PC．（2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．解析：（1）①∠B的度数是30°；②见解析；（2）满足，理由见解析【分析】（1）①由垂直平分线与角平分线的性质证明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的内角和定理即可得到答案；②先利用角平分线的性质证明PC=PD，再用∠B=30°证明BP=2PD，进而即可得到结论；（2）过点P作PE⊥AC于点E，由垂直平分线的性质可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，进而证明PE=CE，由角平分线的性质可知PE=PD，即可证明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用线段的和差性质即可证明AD+PD=BC．【详解】（1）①∵DP是AB的垂直平分线，∴PA=PB ，∴∠PAD=∠B ，又∵AP 平分∠CAB ，∴∠PAD=∠PAC ，∴∠PAD=∠PAC=∠B ，设∠B=x°，则∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，∵在Rt ABC 中，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，即3x=90，x=30，∴∠B 的度数是30°．②∵AP 平分∠CAB ，∠C=90°，DP ⊥AB ，∴PC=PD ，∵在Rt △BDP 中，∠B=30°，∴BP=2PD ，∴BC=BP+PC=3PC ．（2）如图，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，∵CD 是AB 的垂直平分线，∴AC=BC ，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°． ∵PE ⊥AC ，∴∠CPE=90°−∠PCE=90°−45°=45°=∠PCE ，∴PE=CE ，又∵AP 平分∠CAB ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，∴PE=PD ，∴在Rt △AEP 和Rt △ADP 中， ,,AP AP PE PD =⎧⎨=⎩∴Rt △AEP ≌Rt △ADP （HL ），∴AE=AD ，∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD ，又∵AC=BC ，∴AD+PD=BC ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、线段的和差性质，解答本题的关键是掌握并熟练运用以上知识．22．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （−4，5），B （﹣3，1），C （−2，3）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点B 1的坐标是________；（2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B 1CM 周长最小时的点M ．解析：（1）图形见解析；B 1（3，2）；（2）见解析【分析】（1）分别找到A 、B 、C 点关于y 轴的对称点，然后连接即可；（2）找C 关于x 轴的对称点C′，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．【详解】解：（1）111A B C △如图所示；根据图形可知B 1(3，2)，故答案为：(3，2)；（2）如图所示：找C 关于x 轴的对称点C′，则C′(-2，-3)，CM C M '=，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．【点睛】本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识．23．如图，△ABC是等边三角形，E、F分别是边AB、AC上的点，且AE＝CF，且CE、BF 交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．（1）求证：∠ACE＝∠CBF；（2）若PG＝1，求EP的长度．解析：（1）见解析；（2）PE＝2【分析】（1）证明△ACE≌△CBF（SAS），即可得到∠ACE＝∠CBF；（2）利用由（1）知∠ACE＝∠CBF，求出∠BPE＝60°，又EG⊥BF，即∠PGE＝90°，得到∠GEP＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP 的长．【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠BCF＝60°，AB＝AC，在△ACE与△BCF中，AC＝BC，∠A＝∠BCF，AE＝CF，∴△ACE≌△CBF（SAS），∴∠ACE＝∠CBF；（2）解：∵由（1）知，∠ACE＝∠CBF，又∠ACE＋∠PCB＝∠ACB＝60°，∴∠PBC＋∠PCB＝60°，∴∠BPE＝60°，∵EG⊥BF，即∠PGE＝90°，∴∠GEP ＝30°，∴在Rt △PGE 中，PE ＝2PG ，∵PG ＝1，∴PE ＝2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△ACE ≌△CBF ．24．已知：如图，MON ∠为锐角，点A 在射线OM 上．求作：射线AC ，使得//AC ON ．小静的作图思路如下：①以点A 为圆心，AO 为半径作弧，交射线ON 于点B ，连接AB ；②作MAB ∠的角平分线AC ．射线AC 即为所求的射线．（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：OA AB =，O ABO ∴∠=∠（__________）．MAB ∠是AOB 的一个外角，MAB ∴∠=∠_________+∠__________．12ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，12BAC MAB ∴∠=∠． ABO BAC ∴∠=∠．//AC ON ∴（__________）．解析：（1）见解析；（2）等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行【分析】（1）按照步骤作图即可；（2）由作法知，OA=AB ，AC 是∠MAB 的平分线，然后根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义说明即可．【详解】解：（1）作图如下：（2）证明：OA AB =，O ABO ∴∠=∠（等边对等角）．MAB ∠是AOB 的一个外角，MAB O ABO ∴∠=∠+∠12ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，12BAC MAB ∴∠=∠. ABO BAC ∴∠=∠.//AC ON ∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，作角的角平分线，以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点坐标分别为()3,3A ，()1,1B ，()4,1C -．（1）画出ABC ，并求出ABC 的面积；（2）在图中作出ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，并写出2B 、1C 两点的坐标．解析：（1）画图见解析；5 （2）画图见解析；()11,1B -，()14,1C --【分析】（1）先根据A 、B 、C 三点坐标描点，再顺次连接即可得到ABC ，再运用割补法即可求出ABC 的面积；（2）分别作出A 、B 、C 三点关于y 轴的对称点，再顺次连接即可，根据作图即可写出2B 、1C 两点的坐标．【详解】解：（1）ABC 如图所示： 111341422235222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△；（2）111A B C △如图所示：()11,1B -，()14,1C --．【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质． 26．在平面直角坐标系中，点(0,)A a ，点(,0)B b ，点(3,0)C -，且a 、b 满足269||0a a a b -++-=．（1）点A 坐标为______，点B 坐标为______，ABC 是______三角形．（2）如图，过点A 作射线l （射线l 与边BC 有交点），过点B 作BD l ⊥于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，过点E 作EF DC ⊥于点F 交y 轴于点G ．①求证：BD AE =；②求点G 的坐标．（3）如图，点P 是x 轴正半轴上一动点，APO ∠的角平分线交y 轴于点Q ，点M 为线段OP 上一点，过点M 作//MN PQ 交y 轴于点N ；若45AMN ∠=︒，请探究线段AP 、AN 、PM 三者之间的数量关系，并证明你的结论．解析：（1）(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①见解析；②点 (0,3)G -；（3）AP AN PM =+，证明见解析．【分析】（1）根据偶次方与绝对值的非负性，解得a b 、的值，即可解得点A 、B 的坐标，继而根据等腰直角三角形的判定方法解题；（2）①由等角的余角相等，解得BAD ACE =∠∠，结合（1）中结论，进而证明AEC BDA ≌△△(AAS)，即可解题；②由AEC BDA ≌△△可证CAE ABD ∠=∠，继而得到GAE CBD ∠=∠，设CF 交y 轴于点H ，根据等角的余角相等，得到HGE OCH ∠=∠，继而证明AGE BCD ≌△△(AAS)解得AG 、OG 的长即可解题；（3）在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，分别解得45AMO α∠=︒+，=45NAM α∠︒-，由角平分线的性质解得2APO α∠=，45HAM α∠=︒-，进而得到NAM HAM ∠=∠，即可证明AMN AMH ≌(SAS)，继而证明PMH PHM ∠=∠，PH PM =即可解题．【详解】（1）269||0a a a b -++-=2(3)||0a a b ∴-+-=3,3a b a ∴===(0,3)A ∴，(3,0)B ，(3,0)C -,AO OB CO AO ∴==90AOB AOC ∠=∠=︒45ACO ABO ∴∠=∠=︒90CAB ∴∠=︒()AOC AOB SAS ∴≅AC AB ∴=ABC ∴为等腰直角三角形，故答案为：(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①BD l ⊥，CE l ⊥90BDA AEC ∴∠=∠=︒90,90BAD CAE CAE ACE ∠+∠=︒∠+∠=︒ BAD ACE ∴∠=∠AC AB =AEC BDA ∴≌(AAS)，∴BD AE =．②AEC BDA ≌ CAE ABD ∴∠=∠45CAO ABO ∠=∠=︒GAE CBD ∴∠=∠，设CF 交y 轴于点HEF DC ⊥90CFG ∴∠=︒90FGH FHG ∴∠+∠=︒90COH ∠=︒90OCH CHO ∴∠+∠=︒∴ CHO FHG ∠=∠HGE OCH ∴∠=∠又∵AE BD =∴AGE BCD ≌△△(AAS) ∴6AG BC ==又∵3AO =，∴3OG =∴点(0,3)G -．（3）AP AN PM =+．证明过程如下：在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，45AMN ∠=︒45AMO α∴∠=︒+，∴()904545NAM αα∠=︒-︒+=︒-，又∵//MN PQ∴QPO NMO α∠=∠=，∵PQ 平分APO ∠∴2APO α∠=∴45245HAM ααα∠=︒+-=︒- ∴NAM HAM ∠=∠又∵AN AH =，AM AM =∴AMN AMH ≌(SAS)∴45AMH AMN ∠=∠=︒ ∴90PMH α∠=︒-，又∵()454590PHM αα∠=︒+︒-=︒- ∴PMH PHM ∠=∠∴PH PM =∴AP AH PH AN PM =+=+．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、角平分线的性质、平行线的性质、绝对值的非负性、偶次方的非负性等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．27．已知：(0,1),(2,0),(4,4)A B C -．（1）在图中所示的坐标系中描出各点，画出ABC ，并求ABC 的面积．（2）若ABC 各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以1-，在同一坐标系中描出对应的点A '，B '，C '，并依次连结这三个点得A B C '''，并写出ABC 与A B C '''有怎样的位置关系？解析：（1）图见解析，3；（2）ABC 与A B C '''关于x 轴对称【分析】（1）根据点坐标确定其在坐标系中的位置，顺次连线即可得到ABC ，利用割补法求面积；（2）根据点A 、B 、C 纵坐标都乘以1-，得到对应的点A '，B '，C '的坐标，再确定各点位置，即可得到两个三角形的关系．【详解】（1）如图，ABC 即为所求，111451245(15)23222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=；（2）∵(0,1),(2,0),(4,4)A B C -，∴A '（0，-1），B '（2,0），C '（4,4），∴ABC 与A B C '''关于x 轴对称．．【点睛】此题考查点坐标的确定，坐标与图形，图形的变换关系，正确根据点的坐标确定其在直角坐标系中的位置是解题的关键．28．如图，在ABC 中，45B ︒∠=，60C ︒∠=，点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF 折叠得到PEF ．（1）如图1，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数．（2）如图2，当PF AC ⊥时，求BEP ∠的度数．解析：（1）90°；（2）60°【分析】（1）证明BE=EP ，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．（2）根据折叠的性质求出∠AFE=45°，根据三角形内角和求出∠BAC ，从而得到∠AEF 和∠PEF ，再根据平角的定义求出∠BEP ．【详解】解：（1）如图1中，∵折叠，∴△AEF ≌△PEF ，∴AE=EP ，∵点E 是AB 中点，即AE=EB ，∴BE=EP ，∴∠EPB=∠B=45°，∴∠PEB=90°，∴∠AEP=180°-90°=90°．（2）∵PF⊥AC，∴∠PFA=90°，∵沿EF将△AEF折叠得到△PEF．∴△AEF≌△PEF，∴∠AFE=∠PFE=45°，∵∠B=45°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，∴∠AEF=∠PEF=180°-75°-45°=60°，∴∠BEP=180°-60°-60°=60°．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角．。

北京市第四中学2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷

北京市第四中学2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（）A. B. C. D.2.下列运算正确的是（）A. B. C. D.3.下列变形属于因式分解的是（）A. B.C. D.4.在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），则点A的坐标为（）A. （4，4）B. （﹣2，﹣2）C. （2，4）D. （3，4）5.电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于（）A. B. C. D.6.已知，则a2+4b2的值是（）A. 110B. 120C. 125D. 1307.图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )A. B. C. D.8.如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA9.我们利用尺规作图可以作一个角等于已知角，如下所示：（1）作射线；（2）以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；（3）以为圆心，为半径作弧，交于；（4）以为圆心，为半径作弧，交前面的弧于；（5）连接作射线则就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是（）A.（2）B.（3）C.（4）D.（5）10.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A. △ABC的周长B. △AFH的周长C. 四边形FBGH的周长D. 四边形ADEC的周长二、填空题（共10题；共13分）11.分解因式：________．12.在正方形网格中，的位置如图所示，则点中在的平分线上是________点．13.若3x+2y﹣2=0，则等于________．14.如图,在△ABC中,点D在BC上,将点D分别以AB、AC为对称轴,画出对称点E、F,并连接AE、AF.根据图中标示的角度,则∠EAF=________°.15.已知关于的代数式，设代数式的值为，则．下表中列出了当分别取…，…，…时对应的值．··· -1 0 1 2 3 4 5 ········· 10 5 2 1 2 5 ······（1）表中n的值为________；（2）当________时，有最小值，最小值是________；（3）________ ．（填）16.已知等腰三角形一个外角的度数为108°，则顶角度数为________.17.已知锐角如图⑴在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接；⑵分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点连接；⑶作射线交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是________；；；；18.如图，已知每个小方格的边长为两点都在小方格的顶点上（即为格点），请在图中找一个格点，使为等腰三角形，则这样的格点有________个．19.若为正奇数，则________ (底数中含k个k)；若为正偶数，则________ (底数中含k个k)；20.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为________（用含a，b的代数式表示）．三、解答题（共9题；共85分）21.分解因式：（1）；（2）．22.计算：（1）（2）；（3）；（4）．23.先化简，再求值：，其中24.如图，，和相交于点，．求证：．25.小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到________．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到________．若连接AD，由________．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．________26.阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数.小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数.延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数，可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：（1）计算所得多项式的一次项系数为________.（2）计算所得多项式的一次项系数为________.（3）若是的一个因式，求、的值.27.如图1，点是等腰三角形外一点，过点作于点．（1）依据题意，补全图形．（2）求证：．（3）如图2，与交于点，当是的中点时，翻折得到，连接求证：两点到直线的距离相等．28.小明同学研究如下问题：从，…，为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？他采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．他进行了如下几个探究：（1）探究一：从这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？所取的2个整数 1,2 1,3 2,32个整数之和 3 4 5如上表，所取的2个整数之和可以为，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3最大是5所以共有3种不同的结果．（2）从这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？所取的2个整数 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,42个整数之和 3 4 5 5 6 4如上表，所取的2个整数之和可以为，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从这个整数中任取个整数，这个整数之和共有_________种不同的结果．（4）从，…，为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有__________种不同的结果．（5）探究二：从这个整数中任取个整数，这个整数之和共有________种不同的结果．（6）从，…，为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有________种不同的结果．（7）探究三：从，…，为整数，且这个整数中任取个整数，这个整数之和共有________种不同的结果．归纳结论：从，…，为整数，且这个整数中任取个整数，这个整数之和共有________种不同的结果．拓展延伸：从，…，这个整数中任取________个整数，使得取出的这些整数之和共有种不同的结果？（写出解答过程）29.如图，中，，将线段绕点逆时针旋转得到点，点与点关于直线对称，连接．（1）依题意补全图形；（2）判断的形状，并证明；（3）请问在直线上是否存在点，使得成立？若存在，请用文字描述出点的准确位置，并画图证明：若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】（1）C10.【答案】A二、填空题11.【答案】3m（a2-b）12.【答案】Q13.【答案】414.【答案】13415.【答案】（1）10（2）2；1（3）＜16.【答案】72°或36°17.【答案】②③④18.【答案】819.【答案】；20.【答案】三、解答题21.【答案】（1）解：4x2-9，=（2x）2-32，=（2x+3）（2x-3）；（2）解：，=-b（4a2-4ab+b2），=-b（2a-b）2．22.【答案】（1）解：（x-3y）（-6x）=-6x2+18xy；（2）解：（6x4-8x2y）÷2x2=3x2-4y；（3）解：（x-1）（x+2）=x2+2x-x-2=x2+x-2；（4）解：（x+y-3）（x-y+3）=[x+（y-3）][x-（y-3）]=x2-（y-3）2=x2-y2+6y-9．23.【答案】解：原式=a2-b2+a2-2ab+b2-2a2+3ab=ab，当a= ，b=1时，原式= ．24.【答案】解：，，，在和中，，，25.【答案】BC；DC；线段的垂直平分线的判定；26.【答案】（1）19（2）1（3）解：由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，则（x2-3x+1）（x2+mx+2）=x4+ax2+bx+2，解得：27.【答案】（1）解：如图3所示即为所求：（2）证明：如图4，过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，∵AE⊥BD，AH⊥DH，∴∠AED＝∠H＝90°．∴∠EDH＋∠EAH＝180°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＋2∠ABC＝180°．又∵∠BDC＝2∠ABC，∴∠BDC＋∠BAC＝180°．∴∠BAC＝∠EAH．∴∠BAC-∠CAE＝∠EAH-∠CAE．即∠BAE＝∠CAH．在△ABE和△ACH中，∠AEB＝∠H，∠BAE＝∠CAH，AB＝AC，∴△ABE≌△ACH（AAS）．∴AE＝AH，BE＝CH．在Rt△AED和Rt△AHD中，AE＝AH，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL）．∴DE＝DH．∴DE＝BE＋CD；（3）证明：如图5，过点A作AG⊥BC于点G，连接GD交BC的延长线于点N，∵翻折△BCD得到△BCG，∴BN⊥GD，GN＝DN，∵F是AD的中点，∴AF＝DF，在△AGF和△DNF中，∠AFG＝∠DFN，∠AGF＝∠DNF，AF＝DF，∴△AGF≌△DNF（AAS）．∴AG＝DN．∴AG＝GN．∴A，G两点到直线BC的距离相等．28.【答案】（1）解：根据探究一：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；（2）解：从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；（3）7（4）（2n-3）（5）4（6）（3n-8）（7）（4n-15）；（an-a2+1）；7或2929.【答案】（1）解：补全图形如图1：（2）解：△CDE为等边三角形，理由如下：连接BD，设BC与DE交于F，如图2：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，∴AD=AB=AC，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∠ACD=∠ADC，∴∠ABD=∠ADB=60°，∴∠ABC+∠DBC=60°，∴∠ACB+∠DBC=60°，在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ADC+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ACD+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ACB+∠DCB+∠DCB=180°，即60°+60°+2∠DCB=180°，∴∠DCB=30°，∵点E与点D关于直线BC对称，∴∠ECF=∠DCB=30°，CD=CE，∴∠DCE=60°．∴△CDE是等边三角形；（3）解：存在，作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点即为点P，理由如下：延长AG、CD交于点Q，连接QB，BD，由（2）可知，∠PCQ=60°，点P与Q关于BC对称，∴PC=QC，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°，∴∠APC=120°，∵AG⊥BC，AC=AB，∴AG垂直平分BC，PG=QG，∴PB=PC=QB=QC，∴四边形PBQC是菱形，∴CP=BQ=CQ=PB，∠PBQ=∠PCQ=60°，∠DQB=120°=∠APC，∵QB=QC，∴∠QBC=∠QCB，∴∠ABQ=∠ACQ，由（2）得：△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°=∠PCQ，∴∠ABQ-∠ABD=∠ACQ-∠PCQ，∴∠DBQ=∠ACP，在△ACP和△DBQ中，，∴△ACP≌△DBQ（ASA），∴AP=DQ，∵PB=CQ，CQ-DQ=CD，∴PB-AP=CD即PB-PA=CD成立．。

北京四中重点中学2024届中考数学全真模拟试题含解析

北京四中重点中学2024年中考数学全真模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A ．平行四边形B ．圆C ．等边三角形D ．正六边形3．3-的倒数是（）A ．13-B ．3C ．13D ．13± 4．已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是反比例函数y ＝(k≠0)图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，那么一次函数y ＝kx －k 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．336．如图所示的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．7．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A ．12B ．13C ．14D ．348．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A ．310B ．15C ．12D ．7109．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．123y y y ＞＞B ．213y y y ＞＞C ．231y y y ＞＞D ．312y y y ＞＞10．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>；230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．八位女生的体重（单位：kg ）分别为36、42、38、40、42、35、45、38，则这八位女生的体重的中位数为_____kg ．12．因式分解：3a 2-6a+3=________．13．如图，在一次数学活动课上，小明用18个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后他请小亮用其他棱长为1小明所搭几何体的形状）．请从下面的A 、B 两题中任选一题作答，我选择__________．A 、按照小明的要求搭几何体，小亮至少需要__________个正方体积木．B 、按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为__________．14．某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，则商品的定价是______元.15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =可通过平移变换向__________得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是__________．16．小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s （单位：米）与他所用的时间t （单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的序号是_____．17．如图，点A 的坐标为（3，7），点B 的坐标为（6，0），将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定的角度后得到△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN 的长），直线MN 垂直于地面，垂足为点P ．在地面A 处测得点M 的仰角为58°、点N 的仰角为45°，在B 处测得点M 的仰角为31°，AB ＝5米，且A 、B 、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN 的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.1，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.1．）19．（5分）计算：（-13）-2 – 234）+ 112 20．（8分）如图，抛物线21y x bx 2c =-++与x 轴交于A ，B ，与y 轴交于点C （0，2），直线1x 22y =-+经过点A ，C .（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接PO ，交AC 于点E ，求PE EO的最大值； ②过点P 作PF ⊥AC ，垂足为点F ，连接PC ，是否存在点P ，使△PFC 中的一个角等于∠CAB 的2倍？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21．（10分） (1)解方程组31021x y x y +=⎧⎨-=⎩(2)若点A 是平面直角坐标系中坐标轴上的点，( 1 )中的解 , x y 分别为点B 的横、纵坐标,求AB 的最小值及AB 取得最小值时点A 的坐标.22．（10分）如图，菱形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 边的中点．求证：AE AF =.23．（12分）先化简再求值：2()(2)x y y y x -++，其中2x =3y =24．（14分）学了统计知识后，小红就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查，图（1）和图（2）是她根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：（1）补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数．（2）若由3名“喜欢乘车”的学生，1名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动，现欲从中选出2人担任组长（不分正副），求出2人都是“喜欢乘车”的学生的概率，（要求列表或画树状图）参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】试题解析：A. 是轴对称图形但不是中心对称图形B.既是轴对称图形又是中心对称图形；C.是中心对称图形，但不是轴对称图形；D.是轴对称图形不是中心对称图形；故选B.2、C【解题分析】根据中心对称图形的定义依次判断各项即可解答.【题目详解】选项A、平行四边形是中心对称图形；选项B、圆是中心对称图形；选项C、等边三角形不是中心对称图形；选项D、正六边形是中心对称图形；故选C．【题目点拨】本题考查了中心对称图形的判定，熟知中心对称图形的定义是解决问题的关键.3、A解：3-的倒数是13-．故选A ．【题目点拨】本题考查倒数，掌握概念正确计算是解题关键．4、B【解题分析】试题分析：当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，可判定k ＞0，所以﹣k ＜0，即可判定一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限，故答案选B ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系．5、D【解题分析】根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【题目详解】∵ED 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴∠C=∠DBC ，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CD=6，∴故选D ．【题目点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.6、D分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选D ．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．7、C【解题分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可得.【题目详解】画树状图如下，共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为14．故选C ．8、A【解题分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【题目详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是310．故选：A ．【题目点拨】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．9、C【解题分析】首先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴x=2b a-=2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A （2，1y ）中x=2，知1y 最小，再由B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞．总结可得231y y y ＞＞．故选C ．20y ax bx c a =++≠（）的图象性质． 10、D【解题分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【题目详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【题目点拨】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

北京市北京四中数学轴对称填空选择单元复习练习(Word版含答案)

北京市北京四中数学轴对称填空选择单元复习练习(Word版含答案)一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．则下列四个结论：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝14BC2．其中正确结论是_____（填序号）．【答案】①②【解析】分析：根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，∠CAD=∠B=45°，故①正确；根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“ASA”证明△ADE≌△CDF，判断出②，根据全等三角形的对应边相等，可得DE=DF=AF=AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得BE+CF＞EF，判断出③，根据全等三角形的面积相等，可得S△ADF=S△BDE，从而求出四边形AEDF的面积，判断出④.详解：∵∠B=45°，AB=AC∴点D为BC的中点，∴AD=CD=BD故①正确；由AD⊥BC，∠BAD=45°可得∠EAD=∠C∵∠MDN是直角∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°∴∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF（ASA）故②正确；∴DE=DF，AE=CF，∴AF=BE∴BE+AE=AF+AE∴AE+AF＞EF故③不正确；由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE∴S四边形AEDF=S△ACD=12×AD×CD=12×12BC×12BC=18BC2，故④不正确.故答案为①②.点睛：此题主要查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系，关键是灵活利用等腰直角三角形的边角关系和三线合一的性质.2．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和36，求△EDF的面积________.【答案】6【解析】【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，∵DE=DG，∴DG=DM，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵DG=DM， DN⊥AC，∴MN=NG，∴△DMN≌△DNG，∵△ADG和△AED的面积分别为48和36，∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=48-36=12，∴S△DEF=12S△MDG=1212=6，故答案为：6【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求是解题关键．3．在ABC中给定下面几组条件：①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．若根据每组条件画图，则ABC能够唯一确定的是___________（填序号）.【答案】①③④【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，错误；③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.故答案为：①③④．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．4．如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A 时，点F运动的路径长是________．【答案】8【解析】【分析】作FG ⊥BC 于点G ，DE’⊥AB 于点E’，易证E 点和E’点重合，则∠FGD=∠DEP=90°；由∠EDB+∠PDF=90°可知∠EDP+∠GFD=90°，则易得∠EPD=∠GDF ，再由PD=DF 易证△EPD ≌△GDF ，则可得FG=DE ，故F 点的运动轨迹为平行于BC 的线段，据此可进行求解.【详解】解：作FG ⊥BC 于点G ，DE’⊥AB 于点E’，由BD=4、BE=2与∠B=60°可知DE ⊥AB ，即∠∵DE’⊥AB ，∠B=60°，∴BE’=BD×12=2， ∴E 点和E’点重合，∴∠EDB=30°，∴∠EDB+∠PDF=90°，∴∠EDP+∠GFD=90°=∠EDP+∠DPE ， ∴∠DPE=∠GFD∵∠DEP=∠FGD=90°，FD=GP ，∴△EPD ≌△GDF ，∴FG=DE ，DG=PE ，∴F 点运动的路径与G 点运动的路径平行，即与BC 平行，由图可知，当P 点在E 点时，G 点与D 点重合，∵DG=PE ，∴F 点运动的距离与P 点运动的距离相同，∴F 点运动的路径长为：AB-BE=10-2=8，故答案为8.【点睛】通过构造垂直线段构造三角形全等，从而确定F 点运动的路径，本题有一些难度.5．如图，ABC ∆中，090,,2ACB AC BC AB ∠===G 为AC 中点，连接BG ，CE BG ⊥于F ，交AB 于E ，连接GE ，点H 为AB 中点，连接FH ，以下结论：①ACE ABG ∠=∠；②5CF =；③AGE CGB ∠=∠；④FH 平分BFE ∠。

北京四中八年级第一学期期末数学试题(附答案) 2

北京四中八年级第一学期期末数学试题（附答案）作者：学大教育编辑整理来源：网络一、选择（本题共30分，每小题3分） 1．下列说法正确的是（）．A ．4的平方根是2B ．9的算术平方根是C ．8的立方根是D ．的立方根是2．计算的结果是（）．A ．B ．C ．21D ．3．下列图形中，轴对称图形的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．4 4．下列变形正确的是（）．A ．B ．C ．D ．5．若函数（k≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式≤0的解集在数轴上表示正确的是（）．6．如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（）．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL7．若将直线(k≠0)的图象向上平移3个单位后经过点(2，7)，则平移后直线的解析式为（）．A．B．C．D．8．如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（）．A ．2B ．4C ．6D ．12 9．已知一次函数，其中，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（）．A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限10．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A ＝∠ABD ，若AC ＝5，BC ＝3，则BD 的长为（）．A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5二、填空（本题共18分，第15题4分，其余每小题各2分） 11．函数2-=x y 中，自变量x 的取值范围是_________．12．在，，，327这四个实数中，无理数是_________．13．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，AD ＝BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠CBD ＝_____．14．若直线（k ≠0）经过点（1，3），则该直线关于x 轴对称的直线的解析式为____15 . Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，P 为AC 边上一点，PC ＝2，∠PBC ＝30°．（1）若PD ⊥AB 于D ，在图中画出线段PD ；（2）点P 到斜边AB 的距离等于_________．16．下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n 个图形中的个数为_____．（n 为正整数）17．如图，钝角三角形纸片ABC 中，∠BAC ＝110°，D 为AC 边的中点．现将纸片沿过点D 的直线折叠，折痕与BC 交于点E ，点C 的落点记为F ．若点F 恰好在BA 的延长线上，则∠ADF ＝_________°．18．对于三个数a 、b 、c ，用}c b min{、、a 表示这三个数中最小的数，例如，，那么观察图象，可得到的最大值为_________．三、（本题共17分，第19、21题各5分，第20题3分，第22题4分） 19．因式分解：（1）；（2）．20．计算：．21．先化简再求值：，其中x=3．22．解分式方程：．四、（本题共11分，第23题6分，第24题5分）23．已知：如图，D为△ABC内一点，AC=BC，CD平分∠ACB．求证：∠ABD＝∠BAD．24．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．解：（1）画法：（2）答：AM＋AN_________BM＋BN．（填“＞”、“＝”或“＜”）五、（本题共12分，每小题6分）25．在平面直角坐标系xOy中，一动点从点出发，在由，四点组成的正方形边线上（如图①所示），按一定方向匀速运动．图②是点P运动的路程s与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是点P的纵坐标y与点P运动的路程s之间的函数图象的一部分．请结合以上信息回答下列问题：（1）图②中，s与t之间的函数关系式是_________（t≥0）；（2）与图③中的折线段相对应的点P的运动路径是→_________→_________→_________；（填“A”、“B”、“C”、“D”、“M”或“N”）（3）当4≤s≤8时，直接写出y与s之间的函数关系式，并在图③中补全相应的函数图象．26．某中学初二年级300名同学在“爱心包”活动中，集资购买一批学习用品（书包和文具盒），捐赠给灾区90名学生，所买的书包每个54元，文具盒每个12元．现每名同学只购买一种学习用品，而且每2人合买一个文具盒，每6人合买一个书包．若x名同学购买书包，全年级共购买了y件学习用品．（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若捐赠学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，问：同学们如何设计购买方案，才能使所购买的学习用品件数最多？学习用品最多能买多少件？六、解答题（本题共12分，每小题6分）27．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为，，P为y轴上B点下方一点，PB＝m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM＝PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示M点的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．28．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．（1）证明：（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为_________．证明：北京四中八年级第一学期期末数学试题（附答案）参考答案一、选择（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B B D A C B A二、填空（本题共18分，第15题4分，其余每小题各2分）11．x≥2．12．．13．20．14．．15．（1）答案见图1；（2）2．16．．17．40．18．1．三、计算（本题共17分，第19、21题各5分，第20题3分，第22题4分）19．（1）解：．（2）解：．20．解：．21．解：．当x= 3时，原式=．22．解：去分母，得．2x=2．x=1．经检验，x=1是原方程的解．所以，原方程的解为x=1．四、认真做一做（本题共11分，第23题6分，第24题5分）23．证法一：如图2-1．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2．在△ACD与△BCD中，∴△ACD≌△BCD．∴AD＝BD．∴∠ABD＝∠BAD．证法二：如图2-2．延长CD交AB于点E．∵AC＝BC，CD平分∠ACB，∴CE垂直平分AB．∵点D在CE上，∴AD＝BD．∴∠ABD＝∠BAD．24．解：（1）答案图如图3所示．画法：1．作点M关于射线OP的对称点，连结交OP于点A．2．作点N关于射线OQ的对称点，连结交OQ于点B．（2）＝．五、仔细想一想（本题共12分，每小题6分）25．（1）（2）M→D→A→N；（3）26．解：（1）．（2）由题意得解得＜x≤180．又因为x为6的倍数，所以x等于168，174，180．因为随x的增大而减小，所以当x等于168，即168名同学购买书包，132名同学购买文具盒时，所购买的学习用品件数最多．因为时，，所以最多可买94件学习用品．此时168名同学购买书包，132名同学购买文具盒。

北京市第四中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

北京市第四中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系中，点()32-，关于x 轴对称点的坐标是（）A ．()32，B ．()32--，C ．()32-，D ．()32-，3．已知等腰三角形有一个角是20︒，则其顶角的度数为（）．A ．20︒B ．140︒C ．36︒D ．20︒或140︒4．下列各式计算正确的是（）A ．2510a a a ⋅=B ．()326a a -=C ．()()22x y x y x y ---+=-D ．()222a b a b -=-5．下列命题正确的是（）．A ．三个角分别相等的两个三角形全等B ．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上D ．三角形的外角等于两个内角之和6．如图，在ABC V 和BDE V 中，AB BD =，再添一个条件不能使ABC V 和BDE V 全等的是（）A ．AE DC=B ．DE AC =C ．E C ∠=∠D ．EAF CDF∠=∠7．三条公路将A ，B ，C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）．A ．三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边垂直平分线的交点8．如图，在ABC V 中，BD 是AC 边上的高，CE 是ACB ∠的平分线，BD ，CE 交于点F ．若80AEC ∠=︒，128BFC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A ．28︒B ．38︒C ．42︒D ．62︒9．在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①10．如图，边长为4的等边ABC V ，F 是边AC 的中点，点D 是线段BF 上的动点，连接AD ，在AD 的右侧作等边ADE V ，连接CD ，CE ，EF ，给出如下结论：①BF AC ⊥；②DEC DCE ∠=∠；③AE CD =；④ADE V 的周长最小值为6；⑤当AEF △周长最小时，60AFE ∠=︒；⑥ACE ∠的大小随着点D 的移动而变化；上述结论中正确的有（）个．A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题11．若一个三角形两边长分别为2、5，则此三角形的周长c 的取值范围为．12．若正多边形的每一个内角为135 ，则这个正多边形的边数是．13．若2320x y +-=，则48x y ⋅= ．14．如图所示，有一根高为18米的松树（垂直于地面）在A 处断裂，松树顶部落在地面C 处，通过测量可知30ACB ∠=︒，则松树断裂处A 离地面的距离AB 的长为米．15．如图，在ABC V 中，点D 在边BC 上，AB AD DC ==，36C ∠=︒，则BAC ∠= ．16．若244230a a b +++-=，则a b += ．17．如图所示，点A 、B 、C 、D 均在正方形网格格点上，则ABC ADC ∠+∠= ．18．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“π节”．某校今年“π节”策划了五个活动，规则见下图：小云参与了所有活动．（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为；（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“π币”数量的所有可能取值为．三、解答题19．化简：(1)()23332xy x y xy -；(2)()42322261233x y x y x y x y +-÷；(3)()()33a b a b +-；(4)()()22a b a b -+++．20．已知22770x x --=，求代数式()()()223321x x x ---+的值．21．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点()1,4A -，B (−2,1)，()4,3C -．(1)已知ABC V 与111A B C △关于y 轴对称，111A B C △与222A B C △关于x 轴对称，请在坐标系中画出111A B C △和222A B C △；(2)在y 轴有一点P ，使得12PA B △周长最短，请画出点P 的位置（保留画图的痕迹）．22．已知，如图，AC BC BD AD AC ⊥⊥，，与BD 交于点O ，且AC BD =．求证：OA OB =．23．数学课上，李老师提出了如下问题：尺规作图：作ABC V 中边BC 上的高线．已知：如图，ABC V ．求作：ABC V 中BC 边上的高线AD ．下面是小婷设计的“作ABC V 中BC 边上的高线”的尺规作图过程．作法：如图，①以点B 为圆心，以BA 长为半径作弧，以点C 为圆心，以CA 长为半径作弧，两弧在BC 下方交于点E ；②连接AE 交BC 于点D ，则线段AD 是ABC V 中BC 边上的高线．李老师肯定了小婷的作法，请你根据她设计的尺规作图过程，完成下列问题．(1)使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）(2)小齐和小郭两位同学对小婷的作法给出了证明，请将证明过程补充完整．小齐证明：连接BE CE ，．∵BE BA =，CE CA =，∴点B ，C 分别在线段AE 的垂直平分线上．（______①______）∴BC 垂直平分线段AE ．∴线段AD 是ABC V 中BC 边上的高线．小郭证明：连接BE CE ，．∵BE BA =，CE CA =，BC BC =，∴ABC EBC ≌△△．∴ABC EBC ∠=∠．又∵BE BA =，∴BD AE ⊥．（______②______）线段AD 是ABC V 中BC 边上的高．(3)若AB BC =，40ABC ∠=︒，则CAE ∠的度数为______．24．在ABC V 中，AD 平分,BAC E ∠是BC 上一点，,//BE CD EF AD =交AB 于F 点，交CA 的延长线于,//P CH AB 交AD 的延长线于点H ．（1）求证：APF 是等腰三角形；（2）猜想AB 与PC 的大小有什么关系？证明你的猜想．25．如图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形()m n >，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．(1)请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：______；方法二：______；(2)观察图2，直接写出代数式()2m n +，()2m n -，mn 之间的关系：_______(3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题：①已知7m n +=，6mn =，则()2m n -的值为______；②已知：()()456x x --=，求()292x -的值；(4)两个正方形ABCD AEFG ，如图3摆放，边长分别为x ，y ，若22x y 34+=，2BE =，求图中阴影部分面积和．26．已知，平面内线段AB ，点C ，M ，N ，满足：180CAM CBN ∠+∠=︒，AC AM =，BC BN =，连接MN ，D 为MN 的中点，连接AD 、BD ．(1)如图1，当点C 在线段AB 上时，直接写出AD 与BD 的位置关系．(2)如图2，当点C 在线段AB 上方时，若2AB BD =，求MAC ∠的度数．(3)线段AC 从图2的位置出发，绕着点A 顺时针转到线段AB 下方，且使线段AB 同时落在CAM ∠和CBN ∠的内部，在AC 运动的过程中，下列说法始终正确的有______．AD BD ⊥①AD ②平分MAB ∠ABD ADM BDN S S S ≤+③ 2NBC DBA∠=∠④27．数表操作：设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．(1)数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表；1-3-416-023-表1第一次操作后的数表第二次操作后的数表→(2)数表A 如表2所示，若该数表必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负数，则实数a 的取值范围是______．表221a +1a -1a 13a -1-a -28．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为过点()2,0且和y 轴平行的直线，对于点P 和正方形ABCD ，给出如下定义：记点P 关于直线l 的对称点为P '，若点P '到正方形ABCD 的边所在直线的最大距离是最小距离的k 倍，则称点P 是正方形ABCD 的“k 倍距离点”．已知：点(),A a a --，(),B a a -，(),C a a ，其中0a >．(1)当2a =时，①点D 的坐标是______；②在()13,1P ，()21,1P -，()34,0P 三个点中，______是正方形ABCD 的“3倍距离点”；(2)当3a =时，点()5,P n 是正方形ABCD 的“2倍距离点”，求n 的取值范围；(3)点()6,2M -，()1,3N ，若线段MN 上至少存在3个点是正方形ABCD 的“2倍距离点”，直接写出a 的取值范围．。

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轴对称撰稿：龚剑钧审稿：李岩责编：邵剑一．知识要点：1.轴对称图形（1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（2）常见的轴对称图形。

①线段：有 2 条对称轴，它的对称轴是线段本身所在直线和线段的垂直平分线。

②角：有 1 条对称轴，它的对称轴是角平分线的所在直线。

③等腰三角形（除等边三角形）：有 1 条对称轴，它的对称轴是顶角平分线的所在直线（或底边上的中线所在直线，或底边上的高线所在直线，或底边的垂直平分线所在直线）。

④等边三角形：有 3 条对称轴，它的对称轴是角平分线的所在直线。

⑤长方形（除正方形）：有 2 条对称轴，它的对称轴是对边中点确定的直线。

⑥正方形：有 4 条对称轴，它的对称轴是两组对边中点确定的直线和两条对角线所在的直线。

⑦正n边形：有 n 条对称轴，它的对称轴是过其中心和顶点的直线。

⑧圆：有无数条对称轴，它的对称轴是过圆心的任一条直线。

2.轴对称：把一个图形沿着条一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

3.轴对称与轴对称图形的区别和联系：（1）区别：轴对称是指两个图形的对称关系，只有 1 条对称轴；轴对称图形是指一个图形的对称特性，不一定只有一条对称轴，可能有多条。

（2）联系：成轴对称的两个图形看成一个整体，就是一个轴对称图形。

4.对称轴的做法：对称点所连线段的垂直平分线5.轴对称的性质：（1）关于某直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；（3）关于某直线对称的两条线段如果相交或延长后相交，那么这个点一定交在对称轴上。

（4）在对称轴上的点的对称图形为其本身。

6.关于坐标轴对称的点的坐标的特点点P（x，y）关于x轴的对称点是（x，－y）；关于y轴的对称点是（－x，y）7.利用轴对称变换求解最值问题。

（1）河边供水；（2）将军饮马。

二．例题分析（一）识别轴对称图形及轴对称1．下列“表情”中属于轴对称图形的是（ C ）A．B． C． D.2. 下列图形中有一条对称轴的是_______；有两条对称轴的是_________；有三条对称轴是_________；有四条对称轴的是__________；有五条对称轴的是___________；有无数条对称轴的是__________.A.正方形B.长方形C.等腰三角形D.等腰梯形E.等边三角形F.角G.线段H.圆I.正五角星（分析）有一条对称轴的是C，D，F；有三条对称轴是E；有四条对称轴的是A；有两条对称轴的是B，G；有五条对称轴的是I；有无数条对称轴的是H.小结（1）对称轴是一条直线；（2）轴对称图形的对称轴至少有1条.3. 两个大小不同的圆可以组成图中的五种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同的特点.（分析）因为对于一个圆来说，它有无数条对称轴，每条对称轴都是经过圆心的直线，而对于由两个圆组成的图形来说，它的对称轴就是同时经过两个圆圆心的直线，因此图14-12中五个图形都是轴对称图形，并且每个图形都只有1条对称轴.（因为两点确定一条直线而且只确定一条直线）解：对称轴略.它们五种图形的对称轴都是经过两圆心的直线，即直线O1O2是对称轴.4．如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 5 个．（二）轴对称的有关作图及性质5. 如图所示，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称.则∠B′＝___________，AB＝___________，A′C′＝___________.（分析）由轴对称变换的性质可知，对称线段相等，对称角相等.解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∴∠B′=∠B=135°，AB=A′B′=20cm，A′C′=AC=30cm.6. 已知△ABC和直线MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）答案：（分析）△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要作的图形.作法：以图（3)为例，（1）过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线l的对称点；（2）类似地，可以分别作出点B、点C关于直线l的对称点B′，C′；（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，得到△A′B′C′即为所求.7. 如下图所示，已知半圆和△ABC及直线l，作出这个图形关于直线l的对称图形.（不要求写作法）分析这个图形由一个半圆和一个三角形组成，作出三角形关于直线l的对称图形方法与上题相同，而作出半圆关于直线l的对称图形，就要注意到组成这个半圆的要素是：直径DA.在画它的对称图形时，首先画出直径DA关于直线l的对称图形，再在半圆弧上找一点E，作出E关于l的对称点，即可画出原图的对称图形.解：如图所示.小结几何图形都可以看作由点组成，我们只需分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连接这些点的对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.8. 如图所示,EFGH是一个台球桌面,有黑白两球分别置于A、B两点位置上，试问怎样撞击白球B，经桌面HE、EF连续反弹后，准确击中黑球A？（写作法并作图）答案：9. 如图所示，图A、图B分别是6×6正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为S A，S B（网格中最小的正方形面积为一个平方单位），请观察图形并解答下列问题.（1）填空：S A∶S B的值是___________.（2）请在图C中的网格上画上一个面积为8个平方单位的轴对称图形.（分析）（1）S A=14×1+8×=14+4=18（平方单位），S B=16×1+12×=16+6=22（平方单位）.∴S A∶S B=18∶22=9∶11（或）.（2）这是一个图案设计题，方案有很多，如图14－50所示.解：（1）9∶11（或）（2）自行设计，符合题意即可.（三）操作问题10. 如图所示，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，拼成标号为P，Q，M，N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个轴对称图形”的对应关系填空：A与___________对应；B与___________对应；C与___________对应；D与___________对应.答案：M P Q N11. 如图所示，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB 边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为( )A.4B.6C.8D.10（分析）关于图形的折叠实质上就是轴对称的一种变形应用，解题时，①应抓住折叠前后的图形全等；②应注意折叠前后的对应关系.画出折叠前后的对比图，找出对应关系.如图所示，从折叠前后的图形中可知，DE=BC=AD=6，∴△ADE是等腰直角三角形.∴∠AED=45°.∴∠FEC=45°.又∵∠C=90°∴△EFC是等腰直角三角形.∴EC=DC-DE=AB-DE=4.∴S△CEF=×4×4=8.答案：C12．如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（C ）13. 为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植不同的花草，现将这块空地按下列要求分成四块：（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；（2）四块图形形状相同；（3）四块图形面积相等，现已有两种不同的分法：①分别作两条对角线（图①），②过一条边的四等分点作该边的垂线段（图②），（图②中的两个图形的分割看作同一种方法）.请你按照上述三个要求，分别在图③的三个正方形中，给出另外三种不同的分割方法.（只画图，不写作法）答案：（四）用坐标表示轴对称14. 若点M（2，a）和点N（a+b，-3）关于x轴对称，试求a，b的值.（分析）由于M，N关于x轴对称，所以它们横坐标相同，纵坐标互为相反数.解：由题意可知，∴∴a=3，b=-1.15. 若点P（a，b）和点Q（2，1）关于y轴对称，求a+b的值.答案：由题意可知，a=-2，b=1，∴a+b=-1.16. 如图所示，分别作出△PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=-1（记为n）对称的图形。

答：关于x=1对称，则点P，Q，R的对称点坐标分别为P′(3，3)，Q′(6，5)，R′(6，1).关于y=-1对称，则点P，Q，R的对称点坐标分别为P″(-1，-5)，Q″(-4，-7)，R″(-4，-3)17. 欣赏下面对联，感悟轴对称在文学中的踪影.（1）秀山青雨青山秀，香柏古风古柏香；（2）雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天.观察上述对联，你也试一试，作出一幅类似的对联.答：略。

18. 如图所示的是在一面镜子里面看到的一个算式，该算式的实际情况的怎样的？（分析）从镜子里面看东西，左右正好相反.解：实际的算式情况如图所示.。