2014年广西创新杯高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准

2014年广西“创新杯”数学竞赛高二初赛试卷参考答案及评分标准
一、选择题（每小题6分，共36分）
1、函数x x x y +-=)1(的定义域为（ ）
A.{|0}x x ≥
B.{|1}x x ≥
C.{|1}{0}x x ≥
D.{|01}x x ≤≤ 答案：C
解析：由(1)0,0x x x -≥≥解得：1x ≥或0x =.
2、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A.
B. C.6 D.4
答案：C
解析：几何体为三棱锥P ABC -，底面ABC 为等腰三角形，,4AB BC AC ==，顶点B 到AC 的距离为4，面PAC ⊥面ABC ，且三角形PAC 为以A 为直角的等腰直角三角形，所以棱PB 最长，长度为6。

3、在区域22:(1)4D x y -+≤内随机取一个点，则此点到点(1,2)A 的距离大于2的概率是（ ）
A.13+
B.32π
C.13
D.13-答案：A
解析：如图，因为A 点在圆22(1)4x y -+=上，所以到点(1,2)A 的距离大于2的点构成的区域是区域D 内去除它与区域22(1)(2)4x y -+-≤公共部分剩
下的部分，剩下部分的面积为144242433πππ⎛⎫-⨯⨯-⨯=+ ⎪⎝⎭
，故
所求事件的概率为41343ππ+=+。

4、已知A 为ABC ∆的最小内角，若向量
222211(cos ,sin ),(
,),cos 1sin 2
a A A
b A A ==+-则a b ⋅的取值范围是 ( ) A ．1(,)2-∞ B ．1(1,)2- C ．21[,)52- D ． 2[,)5-+∞ 解：选C. 22222222222cos sin cos sin 1tan 31cos 1sin 22cos sin 2tan tan 2
A A A A A a b A A A A A A --⋅=+===-+-+++，
(0,]3A π∈,tan A ∴∈.21[,)52a b ∴⋅∈- 5、设x x x f +=3)(，R x ∈，当20πθ≤
≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，
则实数m 的取值范围是（ ）
A.)1,0(
B. )0,(-∞
C. )2
1,(-∞ D. )1,(-∞ 解：选D 因为函数)(x f 是奇函数，所以不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立转化为)1()sin (->m f m f θ，又)(x f 是增函数，所以1sin ->m m θ在]2
,0[π
上恒成立。

当0≥m 时，只要10->m ，解得10<≤m ，当0<m 时，不等式等价于
m m 1si n -<θ，只要m m 11-<，此不等式恒成立，此时0<m ，综上所述1<m . 6、函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解：选D.
()0ln |1|3f x x x =⇔-=-，所以()f x 的零点个数即函数ln |1|y x =-与函数3y x =-的图象交点的个数，作图可知有3个交点．
二、填空题（每小题9分，共54分）
7、已知sin
2cos 22αα=，1sin cos 1sin cos αααα
++=+-则____________. 答案：12. 解析：由sin
2cos 22αα=，有tan 22α=. 又1cos sin 1cos sin tan
2sin 1cos sin 1cos ααααααααα--+===+++，故原式=12
.
8、若12lg[()]lg lg 2
a b a b -=+，则b a 的值为—— 解析：原式化为 2)lg()](2
1lg[ab b a =-. ∴21()2a b ab ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
,即2260a ab b -+=. 由已知得0a b >>,两边除以2b 得2610a a b b ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
解得
3a b
=± 同样由0a b >>得1a b
>.
所以3a b
=+
9、已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的
距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是——
解：所作的截面与OE 垂直时，截面圆的面积最小。

设正三角形ABC 的高为3a ，则4142=+a ，即2
3=a ，此时4743122=+=OE ，截面圆半径4947222=-=r ，故截面面积为π4
9 10、函数),)(23
sin(32)2316cos()2316cos()(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=πππ的最小正周期为 .
答案：π。

解析：)23
sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f +π+-π-π++π+π= )23sin(32)23cos(2x x +π++π=x 2cos 4=，所以最小正周期πω
π==2T 。

11、函数x
y -=11的图像与函数()42sin 2≤≤-=x x y π 的图像所有交点的横坐标之和等于—— 解析：由题意可知1
111--=-=x x y 的图像是双曲线，且关于()0,1成中心对称，又x y πsin 2=得周期为22==π
πT ，也关于()0,1成中心对称，故它们的交点也关于()0,1中心对称，画图可知，在给定的定义域内必有8个交点，824...821=⨯=+++x x x ，答案选D
12、在ABC ∆中，若4CA =，5AB =，6BC =，则AB BC BC CA CA AB ++的值为 . 答案：772
-. 解析：AB BC BC CA CA AB ++
=1()()()2
AB BC AB CA BC CA BC AB CA AB CA BC ⎡⎤+++++⎣⎦ =()
22212AB BC CA -++ =772
-. 二、解答题（每题20分，共60分）
13、已知函数b x a x x f lg )lg 2()(2+++=，且2)1(-=-f ，x x f 2)(≥，求实数b a ,。

解：令x x f x g 2)()(-=，则有0)(≥x g 恒成立，且0)1(=-g …………..10分
因此有2)1()(+=x x g .…………..15分
所以2lg =a ，1lg =b ，即10,100==b a .…………..20分
14、已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且30A ∠=，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B
+=，求m 解析：将等式cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B
+=两边同乘以2AO ，得 222cos cos 4sin sin B C AB AC mAO C B
+=，…………..10分 即2222
cos cos sin 4sin 4B AB C AC m C AO B AO =⋅+⋅．…………..15分 由正弦定理，得
m =22cos cos sin sin sin sin B C C B C B
+ ()cos sin cos sin 1s s n in 2i B C C B B A C =++=
==．…………..20分 15、已知圆()()22:122,C x y -+-=点(2,1)P -，过P 点作圆C 的切线,,,PA PB A B
为切点．
（1）求,PA PB 所在直线的方程；
（2）求切线长PA ；
（3）求直线AB 的方程．
解：①设切线的斜率为k ，
切线方程为)2(1-=-x k y ，即,012=---k y kx 又C （1，2），半经2=r 由点到直线的距离公式得：22)1(1
222-+---=k k k ，解之得：7=k 或1-=k ．
故所求切线PA 、PB 的方程分别为：0157,01=--=-+y x y x ．…………..5分 ②连结AC 、PC ，则 AC ⊥PA ，在三角形APC 中,10,2==PC AC
22210=-=∴PA ． …………..10分
③解法1：设()()2211,,,y x B y x A ，则()()()2)2(1,221222
22121=-+-=-+-y x y x ． 因AC ⊥AP ，所以1-=⋅AP CA k k ，12
1121111-=-+⋅--∴x y x y ． 0)1()2(3)2()1(112121=---+-+-∴x y y x ．
2)2()1(2121=-+-y x ，
上式化简为：03311=+-y x ． ………….15分
同理可得：03322=+-y x ．
因为A 、B 两点的坐标都满足方程033=+-y x ．
所以直线AB 的方程为033=+-y x ． …………..20分
解法2：因为A 、B 两点在以CP 为直经的圆上．CP 的中点坐标为（2
1,23），又2
1021=CP 所以以CP 为直经的圆的方程为：
03)2
10()21()23(22222=--+=-+-y x y x y x 即，…………..15分 又圆C 的一般方程为034222=+--+y x y x ，两式相减得直线AB 的直线方程： 033=+-y x ． …………..20分。