高中数学必修4 《三角函数》1.2 任意角的三角函数 课件
x
x
y
﹒ Px, y
O
所以，正弦，余弦，正切都是 以角为自变量，以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数， . A1,0 我们将他们称为三角函数 x
使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.
实例剖析
1 3 例1：如图已知角α的终边与单位圆的交点是 ， P( , ) 2 2
求角α的正弦、余弦和正切值。 解：根据任意角的三角函数定义：
OMP ∽ OM P
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？
若OP r 1 ，则 以原点为圆心,以单位
Y
长度为半径的圆叫做 单位圆.
P(a,b)
MP sin OP
OM cos OP
b
O M X
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义
练一练： (1)若角α是第二象限角，且
则 是第
| cos
2
| cos
2
,
2
象限角；
(2)若θ是第二象限角，则函数值sin(cosθ) · cos(sinθ)是 号.
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
巩固提高
2 2 , ) ，求角α 的 练习1：已知角α 的终边经过点 P( 2 2 正弦、余弦和正切值。
2.利用三角函数的定义求 7 的三个三角函数值
sin 7 1 , 6 2 7 3 cos , 6 2 7 3 tan 6 3
6
练习3. 已知角 的终边过点 P 求
复习回顾 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
a
sin
O
b
cos
tan
M
a c b c a b
新课引入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y
b
M
x
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中 : OM a MP b OP r a 2 b 2
sin cos 250（2）tan( 672)（3） （ 1） 4
练习 确定下列三角函数值的符号 4 17 16
cos
5
sin(
3
)
tan(
8
)
例5 求下列三角函数值：
9 （1） cos 4
11 ) （2） tan( 6
9 2 cos cos( 2 ) cos 解：（1） 4 4 4 2 11 3 tan( ) tan( 2 ) tan tan （2） 6 6 6 6 3
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y)
那么:（1）y 叫做
α的终边
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan 的正切，记作 ，即 tan ( x 0) （3） 叫只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.
1 下列各式为正号的是（ C ）
A cos2 C tan2cos2
B cos2sin2 D sin2tan2
2 若lg(sintan)有意义，则是（ C ） A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴 3 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos<0, sin>0,则a的取值范围是 -2<a<3 。
12,5
52 13
，
的三个三角函数值.
2 2
解：由已知可得：
r x y
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
12
2
x 12 cos r 13
探究：
1.三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域
cos tan
归纳总结
1. 内容总结： ①任意角三角函数的概念. ②三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限 的符号. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 化归的思想，数形结合的思想.
课后作业
课本第20页 习题1.2 A组 3 、 4题.
思考题：求终边落在直线y=x上的三角函数
5 3 所以 sin 3 2
，
y
5 1 cos 3 2
5 tan 3 3
1 3 ( , ) 2 2
，
5 3
o
﹒
A
x
﹒B
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点， 然后再利用定义求三角函数值。
例3 已知角 弦和正切值 . 解:由已知可得
的终边经过点 P (3,4)，求角 的正弦、余
（ （
sin
k , k Z 2
R R
[1,1] [1,1] R
（
（
值域
）
y
2.三角函数值在各象限的符号 y
（
x ）
sin
o ）（
）（ ） cos
o ）（
） （ ）
tan
o ） （ x ）
y
（
x ）
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角.反之也对。
证明：
因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于 第一或第三象限.
sin 0 tan 0
其中
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例4 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan48， 而 48 是第一象限角，所以 tan(672) 0 ； sin （3）因为 是第四象限角，所以 4 0 . 4
P0 3,4
M0P y | MP | 4 0 于是， sin y ; 1 OP OP 5 0
OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP 5 0 y sin 4 tan x cos 3
点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数 值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得 解。
y
1 3 P( , ) 2 2
3 sin 2
tan 3
1 cos 2
O
x
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用 定义求三角函数值。
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作AOB 例2
3
的终边与单位圆的交点坐标为
练习 求下列三角函数值
19 tan 3
3
31 tan( ) 4
1
归纳总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.
课后作业
课本第20页 习题1.2 A组 4 、 5 、 7题.
定义推广： 设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x 2 y 2 0 y y sin 那么① 叫做 的正弦，即 r r
x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y ③ x 叫做 的正弦，即 tan x 0 x 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
0
设角 的终边与单位圆交于 P( x, y) ， M 0 P0 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP、
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
OM x MP y OM0 3 OMP ∽ OM 0 P0
M 0 P0 4
M0
M
O
P x, y
x
y
MP b sin OP r
OM a cos OP r
﹒Pa, b
MP b tan OM a
o
﹒
M
x
诱思探究 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
﹒
M
O
M
x
M P OP OM OM cos OP OP MP M P tan OM OM MP sin OP
x
y
﹒ Px, y
O
所以，正弦，余弦，正切都是 以角为自变量，以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数， . A1,0 我们将他们称为三角函数 x
使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.
实例剖析
1 3 例1：如图已知角α的终边与单位圆的交点是 ， P( , ) 2 2
求角α的正弦、余弦和正切值。 解：根据任意角的三角函数定义：
OMP ∽ OM P
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？
若OP r 1 ，则 以原点为圆心,以单位
Y
长度为半径的圆叫做 单位圆.
P(a,b)
MP sin OP
OM cos OP
b
O M X
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义
练一练： (1)若角α是第二象限角，且
则 是第
| cos
2
| cos
2
,
2
象限角；
(2)若θ是第二象限角，则函数值sin(cosθ) · cos(sinθ)是 号.
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
巩固提高
2 2 , ) ，求角α 的 练习1：已知角α 的终边经过点 P( 2 2 正弦、余弦和正切值。
2.利用三角函数的定义求 7 的三个三角函数值
sin 7 1 , 6 2 7 3 cos , 6 2 7 3 tan 6 3
6
练习3. 已知角 的终边过点 P 求
复习回顾 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
a
sin
O
b
cos
tan
M
a c b c a b
新课引入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y
b
M
x
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中 : OM a MP b OP r a 2 b 2
sin cos 250（2）tan( 672)（3） （ 1） 4
练习 确定下列三角函数值的符号 4 17 16
cos
5
sin(
3
)
tan(
8
)
例5 求下列三角函数值：
9 （1） cos 4
11 ) （2） tan( 6
9 2 cos cos( 2 ) cos 解：（1） 4 4 4 2 11 3 tan( ) tan( 2 ) tan tan （2） 6 6 6 6 3
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y)
那么:（1）y 叫做
α的终边
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan 的正切，记作 ，即 tan ( x 0) （3） 叫只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.
1 下列各式为正号的是（ C ）
A cos2 C tan2cos2
B cos2sin2 D sin2tan2
2 若lg(sintan)有意义，则是（ C ） A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴 3 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos<0, sin>0,则a的取值范围是 -2<a<3 。
12,5
52 13
，
的三个三角函数值.
2 2
解：由已知可得：
r x y
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
12
2
x 12 cos r 13
探究：
1.三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域
cos tan
归纳总结
1. 内容总结： ①任意角三角函数的概念. ②三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限 的符号. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 化归的思想，数形结合的思想.
课后作业
课本第20页 习题1.2 A组 3 、 4题.
思考题：求终边落在直线y=x上的三角函数
5 3 所以 sin 3 2
，
y
5 1 cos 3 2
5 tan 3 3
1 3 ( , ) 2 2
，
5 3
o
﹒
A
x
﹒B
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点， 然后再利用定义求三角函数值。
例3 已知角 弦和正切值 . 解:由已知可得
的终边经过点 P (3,4)，求角 的正弦、余
（ （
sin
k , k Z 2
R R
[1,1] [1,1] R
（
（
值域
）
y
2.三角函数值在各象限的符号 y
（
x ）
sin
o ）（
）（ ） cos
o ）（
） （ ）
tan
o ） （ x ）
y
（
x ）
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角.反之也对。
证明：
因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于 第一或第三象限.
sin 0 tan 0
其中
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例4 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan48， 而 48 是第一象限角，所以 tan(672) 0 ； sin （3）因为 是第四象限角，所以 4 0 . 4
P0 3,4
M0P y | MP | 4 0 于是， sin y ; 1 OP OP 5 0
OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP 5 0 y sin 4 tan x cos 3
点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数 值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得 解。
y
1 3 P( , ) 2 2
3 sin 2
tan 3
1 cos 2
O
x
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用 定义求三角函数值。
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作AOB 例2
3
的终边与单位圆的交点坐标为
练习 求下列三角函数值
19 tan 3
3
31 tan( ) 4
1
归纳总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.
课后作业
课本第20页 习题1.2 A组 4 、 5 、 7题.
定义推广： 设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x 2 y 2 0 y y sin 那么① 叫做 的正弦，即 r r
x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y ③ x 叫做 的正弦，即 tan x 0 x 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
0
设角 的终边与单位圆交于 P( x, y) ， M 0 P0 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP、
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
OM x MP y OM0 3 OMP ∽ OM 0 P0
M 0 P0 4
M0
M
O
P x, y
x
y
MP b sin OP r
OM a cos OP r
﹒Pa, b
MP b tan OM a
o
﹒
M
x
诱思探究 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
﹒
M
O
M
x
M P OP OM OM cos OP OP MP M P tan OM OM MP sin OP
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人教版高一数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系(课件)
知识探究（一）：基本关系
思考1：如图，设α是一个任意角，它
的终边与单位圆交于点P，那么，正弦
线MP和余弦线OM的长度有什么内在联
系？由此能得到什么结论？
y P
1
MO
x
思考2：上述关系反应了角α的正弦和 余弦之间的内在联系，根据等式的特点， 将它称为平方关系.那么当角α的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？
y P
P Ox
思考3：设角α的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
，
，
，
由此可得sinα，cosα，tanα满足什
么关系？
思考4：上述关系称为商数关系，那么商 数关系成立的条件是多么？
思考5：平方关系和商数关系是反应同一 个角的三角函数之间的两个基本关系， 它们都是恒等式，如何用文字语言描述 这两个关系？
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切.
知识探究（二）：基本变形 思考1：对于平方关系 可作哪些变形？
sin2 cos2 1
思考2：对于商数关系 哪些变形？
可作
思考3：结合平方关系和商数关系， 可得到哪些新的恒等式？
思考4：若已知sinα的值，如何求cosα 和tanα的值？
思考5：若已知tanα的值，如何求sinα 和cosα的值？
理论迁移
例1 求证：
例2 已知
,求
若α是第三象限角，则
若α是第四象限角，则
， 的值.
，
.
，
.
例3 已知tanα=2，求下列各式的值.
（1）
；（2）
5 2
例4 已知 求
， 的值.
小结作业
1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 应用中具有灵活、多变的特点.
《任意角的三角函数》说课 课件
概 念
归 纳
布课 置后
过 引 形 深 小 作反
程 入 成 化 结 业思
锐角
任意角（角放入坐标系）
问题1：初中锐角三角函数能否推广到任意 角三角函数？
斜边
对
边
α
邻边
设计意图 共同回顾，点明主题
问题2：将一个锐角放入坐标系中，你能用角终边上给定
的一个点坐标来表示锐角三角函数吗？
P
y
P (x,y)
斜边
问题4：把锐角放入坐
ox
标系中，用
坐
y
标比来表示
ox
比
P(x,y)
值有什么好
处 呢设？计意图
y P(x,y)
o
x
y
o
x
P(x,y)
让学生体会定义的发生发展过程，从而理 解长度比到坐标比的本质变化，突破难点。
设角 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x2 y2 0
3.三角函数是以实数为自变量的函数，这也是 角度选择弧度制的主要原因。
4、三角函数值只与角的终边位置有关，而与 终边上P点位置选择无关，因为比值不变。这 也正是可以利用单位圆来定义三角函数，用三 角函数线来表示三角函数的理论依据。
5、例题的选择和变式训练的选择，既是解题 训练、题型训练，更是为了强化理解定义，做
角 为第三象限角. sin 0 ①
tan
0
②
证明：
因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三
或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
又因为②式tan 0 成立，所以角 的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
2014年人教A版必修四课件 1.2 任意角的三角函数
r= x + y , a | MP | y sina = = , o M x | OP | r | OM | x cosa = = , | OP | r | MP | y tana = = . 于是得 | OM | x
【终边上一点的坐标定义三角函数】 点P(x, y)是角 a 终边上任一点(除原点), r 是点P y 到原点的距离, 即 r = |OP| = x 2 + y 2 , 1 P(x, y) y 正弦: sina = , r 余弦: cosa = x , -1 o x r y 正切: tana = , x 当点P(x, y)取角 a 终边与单位圆的交点时, r =1, 则a 的三角函数为: y 正弦: sina = = y, 余弦: cosa = x = x. r r
【终边在坐标轴上的角的三角函数】 终边在 x 轴非负半轴上时, (如图)
y 0 =0, sina = = r r cosa = x = r =1, r r y 0 =0. tana = = x x
终边与其它半轴重合时同理.
y
a的终边
o
P
x
练习: (课本15页) 3. 填表: 角a 角 a 的弧度数 sin a cos a 0º 0 90º 180º 270º 360º 3 2 2 2 -1 0 0 1 0
问题1. 在直角三角形中, 锐角的三角函数是怎 样定义的? 在直角坐标系中, 如果知道锐角 a 终边 上一点的坐标, 你能求出 a 的三角函数吗?
对边 sina = 斜边 邻边 cosa = 斜边
对边 tana = 邻边
作PM⊥x 轴于M, 设 |OP| = r, 则
2 2
y (x, y) P ·
本章内容
人教版高中数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系优质课件
cos2 a =
1,
1 + tan2 a
sin2 a
=
tan2 a 1 + tan2 a
.
思考4：若已知sinα 的值，如何求cosα 和tanα 的值？
cos a = ? 1 sin2 a , tan sin .
cos
思考5：若已知tanα 的值，如何求sinα 和cosα 的值？
cos a = ?
sin2 cos2 1
y P
P Ox
思考3：设角α 的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
s由in此可 得y s，icnoαs，coxsα，t，antanxyα(x
0) ， 满足什
么关系？
sin tan cos
思考4：上述关系称为商数关系，那么商 数关系成立的条件是多么？
cos
4 ，tan
5
3.
4
例3 已知tanα =2，求下列各式的值.
（1） sin
a
1 ×cos
a
；（2）1 -
1+ 1 sin a 1 + sin a
5 2
例4 已知 sin q + cos q = 1，
2
求 sin4 q + cos4 q 的值.
小结作业 1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 应用中具有灵活、多变的特点.
1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
问题提出
1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别
是如何定义的？
sin y cos x tan y (x 0)
高一数学必修4课件：1-2-0-1任意角的三角函数的定义
2π 3 2π 1 2π 所以sin ＝ ，cos ＝－ ，tan ＝－ 3. 3 2 3 2 3
第一章
1.2
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
已知角α的终边经过点P(3,4)，求sinα，cosα，tanα. [分析] 分别写出x，y，r的值，应用定义求得．
第一章
1.2
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1.2
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
α 的三角函数 正弦
定义
b AB sinα＝OB＝ r
a OA cosα＝ ＝ r OB b AB tanα＝ ＝ a OA
余弦
正切
第一章
1.2
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
(3)任意角的正弦、余弦、正切：如图所示，α是任意角， 以α的顶点O坐标原点，以α的始边为x轴的非负半轴，建立平 面直角坐标系． 设P(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则有：
第一章
1.2
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
α的三角函数 正弦 余弦
定义
y x
y x (x≠0)
记法 sinα cosα
形式 sinα＝y cosα＝x y tanα＝x(x≠0)
正切
tanα
第一章
1.2
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[知识拓展] 利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函 数如下： 设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(除原点外)的坐 标是(x，y)它与原点的距离是r(r＝ x2＋y2)，那么： y y ①比值r 叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝r . x x ②比值r 叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝ r . y y ③比值 叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝ .(x≠0) x x
人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数.ppt
cos
2
3 2
6， 4
tan
3
15 3
.
(3) 当 y 5 时，P（ 3 ， 5），r 2 2 ，
cos 6 ，tan 15 .
4
3
综上所述：
(1) 当 y 0 时，cP（os 3，1， 0）ta，nr 03.
(2) 当 y 5 时 ，coP（s 3 ，6 ，5 ）tan，r2 125，.
sin 5 3 ,
3
2
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当 时，在直角坐标系中， y 角 的终边与单位圆的交点坐标为 P(1, 0).
sin 0, cos 1, tan 0.
y
(1)正弦:sinα=y ;
P(x,y)
α
(2)余弦:cosα=x ;
0
A(1,0) x (3)正切:tanα= (yx≠0).
x
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们 统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
|
OP0
|5
P0(-3,-4)
x cos 3
三角函数的坐标定义 ：(见教材13页)
一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)的距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.
人教高中数学必修四 1.2.1三角函数线 课件(共30张PPT)
α的
(Ⅳ) 终边
二、单位圆中的三角函数线 带方向的线段称为有向线段。
规定：有向线段与坐标轴同向时数量为 正，反向时数量为负。
如图，单位圆与角α的终边交于点P(x,y)，与x轴交于点A；
，过P点作PM⊥x轴，垂足为M；
注意：正弦线、余弦线、正切线
过A点作AT⊥x轴，与OP的延长线交于点T。 都是有向线段，有正负之分.
不查表，比较大小。
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
2π 3 4π 5
y 1
o 1x
题型五：利用三角函数线比较三角函数值的大小
不查表，比较大小。
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
2π 3 4π 5
y 1
tan 2π < tan 4π
2
规律方法：
3
3
-1
利用三角函数线解三角不等式的步骤：
第一步：在直角坐标系内，以原点为圆心作出单位圆；
第二步：作出三角函数值对应的三角函数线；
第三步：作出三角函数线对应的两个角；
第四步：根据不等式的范围，写出角的取值范围.
“三角函数线法”是解三角不等式最好的方法，需牢固掌握.
x1 2
y
1
3
1
O
x
(2k , 2k 5 )k Z
6
6
6
-1
2 sin 1
2
[2k 7 , 2k ]k Z
6
6
y
1
6
y
1
2
O 1x
(Ⅳ) 终边
二、单位圆中的三角函数线 带方向的线段称为有向线段。
规定：有向线段与坐标轴同向时数量为 正，反向时数量为负。
如图，单位圆与角α的终边交于点P(x,y)，与x轴交于点A；
，过P点作PM⊥x轴，垂足为M；
注意：正弦线、余弦线、正切线
过A点作AT⊥x轴，与OP的延长线交于点T。 都是有向线段，有正负之分.
不查表，比较大小。
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
2π 3 4π 5
y 1
o 1x
题型五：利用三角函数线比较三角函数值的大小
不查表，比较大小。
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
2π 3 4π 5
y 1
tan 2π < tan 4π
2
规律方法：
3
3
-1
利用三角函数线解三角不等式的步骤：
第一步：在直角坐标系内，以原点为圆心作出单位圆；
第二步：作出三角函数值对应的三角函数线；
第三步：作出三角函数线对应的两个角；
第四步：根据不等式的范围，写出角的取值范围.
“三角函数线法”是解三角不等式最好的方法，需牢固掌握.
x1 2
y
1
3
1
O
x
(2k , 2k 5 )k Z
6
6
6
-1
2 sin 1
2
[2k 7 , 2k ]k Z
6
6
y
1
6
y
1
2
O 1x
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?
人教版数学必修4第一章1.2.1《任意角的三角函数》课件
公式作用：可以把求任意角的三角函数值，
转化为求 0 到 2 或 0 到 角3 的三 6 角函0数值 .
例3 求下列三角函数值：
（1） cos9
4
（2） tan( 11)
6
解：（1）co 9 4 sco 4 s 2 ( ) co 4 s2 2
（2）ta 1 n )1 ( ta n 2 ) (ta n ta n 3
A.4 3
B.4 3
C.4 3
D. 3
例2、已知角 的终边经过点P0(3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解：由已知可得：
rx2y2 3 2 ( 4 )2 5
于是，sin y 4 r5
cosx 3 r5
tan y 4 x3
合作 演练
变式1、已知角 的终边过点 P1,2 5 ，
求 的三个三角函数值.
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(67)2（3）sin
4
解：（1）因为 250是第三象限角，所以co 2s5 0 0；
（2）因为 tan(67)2= ta 2 n 3 ( 6 4 ) 0 8 ta 4 ，n 8
r
第 二 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 r x 为 负 值 ； o
x
第 三 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 负 值 ； r
第 四 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 正 值 ； r
三角函数在各象限内的符号：
交叉正负
第 3一 、 象 正 限 切 ： 函 x 数 0 ,值 y t0 a,n 故 y 为 x y 正 值 ； y x
转化为求 0 到 2 或 0 到 角3 的三 6 角函0数值 .
例3 求下列三角函数值：
（1） cos9
4
（2） tan( 11)
6
解：（1）co 9 4 sco 4 s 2 ( ) co 4 s2 2
（2）ta 1 n )1 ( ta n 2 ) (ta n ta n 3
A.4 3
B.4 3
C.4 3
D. 3
例2、已知角 的终边经过点P0(3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解：由已知可得：
rx2y2 3 2 ( 4 )2 5
于是，sin y 4 r5
cosx 3 r5
tan y 4 x3
合作 演练
变式1、已知角 的终边过点 P1,2 5 ，
求 的三个三角函数值.
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(67)2（3）sin
4
解：（1）因为 250是第三象限角，所以co 2s5 0 0；
（2）因为 tan(67)2= ta 2 n 3 ( 6 4 ) 0 8 ta 4 ，n 8
r
第 二 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 r x 为 负 值 ； o
x
第 三 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 负 值 ； r
第 四 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 正 值 ； r
三角函数在各象限内的符号：
交叉正负
第 3一 、 象 正 限 切 ： 函 x 数 0 ,值 y t0 a,n 故 y 为 x y 正 值 ； y x
高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.