深圳中考数学专题 三角函数及应用
三角函数在实际生活中的应用备战2023年中考数学考点微专题
考向 5.9 三角函数在实际生活中的应用【知识要点】1、在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2、如图1，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角3、 如图2，坡面与水平面的夹角叫做仰角 (或叫做坡比)。
用字母i 表示，即tan h i A l ==4、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
5、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角。
如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。
7.测量物体高度的方法：（1）.利用全等三角形的知识 ；（2）利用相似三角形的对应边成比例 ；（3）.利用三角函数的知识例1、如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为153米． （1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D 都在同一平面内．参考数据：tan 7523︒=+，tan1523︒=-．计算结果保留根号）图4 图3图2 hi=h:l A BC图1解：如图1，过D 点作DH ⊥AB ，垂足为点H ，过C 点作CE ⊥DH ，垂足为点E ，可知四边形EHBC 为矩形，∴EH =CB ，CE =HB ，∵无人机测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒，测得操控者A 的俯角为75︒，DM ∥AB ， ∴∠ECD =45°，∠DAB =75°，∴∠CDE =∠ECD =45°，∴CE =DE ，设CE =DE =HB =x ，∴AH =45-x ，DH =DE +EH =x +153在Rt △DAH 中，DH =tan75°×AH =(()2345x -， 即(()1532345x x +=-，解得：x =30，∴DH = 15330∴此时无人机的高度为()15330米；（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F 点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF 刚好经过点C ，过A 点作AG ⊥DF ，垂足为点G ，此时，由（1）知，AG =15330（米），∴°30153===15tan 7523AG DG ++； ∵1533tan =453BC CAB AB ∠==， ∴°=30CAB ∠∵DF ∥AB ，∴∠DF A =∠CAB =30°，∴°30345tan 30GA GF ==+, ∴=30330DF GF DG -=+,因为无人机速度为5米/秒，所以所需时间为30330=6365++（秒）； 所以经过()636+秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．一、单选题1．（2021·广东深圳·二模）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65︒（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）A．100sin65︒B．100cos65︒C．100tan65︒D．100 sin65︒2．（2021·浙江温州·一模）如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60︒角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（）A．6.6 B．11.6 C．531.63+D．1.653+3．（2021·河北唐山·二模）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．4sinα米B．4sinα米C．4cosα米D．4cosα米4．（2021·广东云浮·一模）如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高60mh=，迎水斜坡100mAB=，斜坡的坡角为a，则tan a的值为（）A．43B．34C．35D．455．（2021·重庆市永川区教育科学研究所一模）鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色．周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A观察到瞰胜楼楼底点C的仰角为12°，楼顶点D的仰角为13°，测得斜坡BC的坡面距离BC=510米，斜坡BC的坡度8:15i=．则瞰胜楼的高度CD是（）米．（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）A．30 B．32 C．34 D．36 6．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．30海里B．203海里C．20海里D．302海里7．（2021·河北唐山·一模）如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），若∠CBA＝α，则拉线AC的长度可以表示为（）A ．sin m αB ．cos m αC ．m cosαD ．tan m α8．（2021·江苏无锡·一模）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架32米长的梯子BC 斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B 恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D 处，此时测得梯子AD 与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（ ）A ．3米B ．3米C ．()32-米D ．()33-米 9．（2021·重庆一中三模）如图，小欢同学为了测量建筑物AB 的高度，从建筑物底端点B 出发，经过一段坡度1:2.4i =的斜坡，到达C 点，测得坡面BC 的长度为15.6米，再沿水平方向行走30米到达点D （A ，B ，C ，D 均在同一平面内）．在点D 处测得建筑物顶端A 的仰角为37︒，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）（ ）A ．27.3米B ．28.4米C ．33.3米D ．38.4米10．（2021·江苏南通·二模）如图，某大楼DE 楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD ，小江从楼底点E 向前行走30米到达点A ，在A 处测得宣传牌下端D 的仰角为60°．小江再沿斜坡AB 行走26米到达点B ，在点B 测得宣传牌的上端C 的仰角为43°，已知斜坡AB 的坡度i ＝1：2.4，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，CD ⊥AE ，宣传牌CD 的高度约为（ ）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，3）A ．8.3米B ．8.5米C ．8.7米D ．8.9米11．（2021·重庆八中二模）如图，一棵松树AB 挺立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为52米，坡度为i ＝12：5，小张从与点C 相距60米的点D 处向上爬12米到达观景台DE 的顶端点E ，在此测得松树顶端点A 的仰角为39°，则松树的高度AB 约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A ．16.8米B ．28.8米C ．40.8米D ．64.2米12．（2021·重庆·字水中学三模）白沙镇有一望夫塔，小明在与塔底中心的D 同一水平线的A 处，测得24AD =米，沿坡度0.75:1i =的斜坡AB 走到B 点，测得塔顶E 仰角为37°，再沿水平方向走22米到C 处，测得塔顶E 的仰角为22°，则塔高DE 为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈，）A ．18.3米B ．19.7米C ．20.7米D ．22.3米二、填空题 13．（2021·广东·深圳市南山区太子湾学校二模）如图，一楼房AB 后有一假山，其斜面坡度为i ＝13E 处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，则楼房AB 的高为_____米．14．（2021·广东·广州市第六十五中学一模）小颖家住在甲楼，她所居住的楼房前面有一座乙楼．冬天，阳光入射角是30°，两楼距离20米，小颖家的阳台距地面7米，乙楼高18米，那么影子的顶端距她家阳台还有_________米.（精确到0.1米）15．（2021·山东·郓城县教学研究室一模）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是__km．16．（2021·吉林长春·二模）如图，在A处看建筑物CD的顶端C的仰角为α，且tanα＝0.8，向前行进3米到达B处，从B处看顶端C的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A、B、D三点在同一条直线上，CD⊥AD，则建筑物CD的高度为_____米．17．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：3，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为_____．18．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上，已知楼房AC ＝32米，CD＝16米，则荷塘的宽BD为________米．19．（2021·山东·庆云县渤海中学一模）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．则大楼AB的高度_____．（结果保留根号）20．（2021·湖北咸宁·模拟预测）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53︒，观测旗杆底部B的仰角为45︒，则建筑物BC的高约为_____m（结果保留小数点后一位）．（参考数据sin530.80︒≈）︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33三、解答题21．（2021·贵州六盘水·模拟预测）位于我市的北盘江大桥是世界第一高桥，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如图1），桥长1341.4米，桥面至江面垂直距离565.4米．图2是从图1中抽象出的平面图，测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索DE 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BE 为55米，两拉索底端距离AD 为240米．(1)求DC EC的值；（结果保留根号） (2)求立柱BC 的长．（结果精确到0.1米，3≈1.732）22．（2021·贵州·仁怀市教育研究室一模）如图，两座建筑物AD 与BC ，其地面距离CD 为60m ，从AD 的顶点A 测得BC 顶部B 的仰角30α=︒，测得其底部C 的俯角45β=︒，求建筑物BC 的高（结果保留根号）．23．（2021·河南商丘·三模）在一次实弹演习中，我国参演红军需轰炸蓝军的一个桥梁，如图，红军飞行员驾驶战机飞到A 处时发现桥梁BC 并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°．已知飞机、桥梁BC 与地面在同一水平面上，其桥梁BC 长度为800m ．请求出此时飞机离地面的高度．（结果保留整数．参考数据：sin35°≈712，c os35°≈56，tan35°≈710）一、单选题1．（2021·吉林长春·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A 、B两点间的距离为30米，A α∠=，则缆车从A 点到达B 点，上升的高度（BC 的长）为（ ）A ．30sin α米B ．30sin α米C ．30cos α米D ．30cos α米 2．（2021·福建·中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得60,90,2km A C AC ∠=︒∠=︒=．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 等于（ ）A ．2kmB ．3kmC ．23kmD ．4km3．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米4．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43︒，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35︒，则M ，N 之间的距离为（参考数据：tan 430.9︒≈，sin 430.7︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈，结果保留整数）（ ）A ．188mB ．269mC ．286mD ．312m5．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 6．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在点F 处，看建筑物顶端D 的仰角为32°，向前走了15米到达点E 即15EF =米，在点E 处看点D 的仰角为64°，则CD 的长用三角函数表示为（ ）A ．15sin32︒B ．15tan64︒C ．15sin64︒D ．15tan32︒ 7．（2021·山东日照·中考真题）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点B 处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30，已知斜坡的斜面坡度i 1:3=，且点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是（ ）A ．()320mB ．()310mC ．203mD ．40m8．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ．其中//AD BC ，45ABC ∠=︒，30DCB ∠=︒，斜坡AB 长8m ．则斜坡CD 的长为（ ）A ．62mB ．82mC ．46mD ．3m9．（2021·湖北十堰·中考真题）如图，小明利用一个锐角是30的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）A ．3153m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．53mC ．153mD ．353m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 10．（2021·湖北随州·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米11．（2021·重庆·中考真题）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米12．（2021·山东泰安·中考真题）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D 处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（）（参考数据：1:2.4≈）3 1.732A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米二、填空题13．（2021·广西百色·中考真题）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．14．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）15．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．16．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）17．（2021·贵州遵义·中考真题）小明用一块含有60°（∠DAE ＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB 为1.62m ，小明与树之间的水平距离BC 为4m ，则这棵树的高度约为 ___m ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3≈1.73）18．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C 测一段水平雪道一端A 处的俯角为50°，另一端B 处的俯角为45°，若无人机镜头C 处的高度CD 为238米，点A ，D ，B 在同一直线上，则通道AB 的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19︒≈)19．（2021·广西来宾·中考真题）如图，从楼顶A 处看楼下荷塘C 处的俯角为45︒，看楼下荷塘D 处的俯角为60︒，已知楼高AB 为30米，则荷塘的宽CD 为__________米．（结果保留根号）20．（2021·湖北黄石·中考真题）如图，直立于地面上的电线杆AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ，测得5BC =米，4CD =米，150BCD ∠=︒，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为45︒，则电线杆AB 的高度约为______米．（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，结果按四舍五入保留一位小数）21．（2021·湖北荆州·中考真题）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB ，BC 可分别绕点A ，B 转动，测量知8cm BC =，16cm AB =．当AB ，BC 转动到60=︒∠BAE ，50ABC ∠=︒时，点C 到AE 的距离为_____________cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin700.94︒≈，3 1.73≈）22．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 3 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．三、解答题23．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC 的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE 的长是20米，坡角为37︒，斜坡DE 底部D 与大楼底端C 的距离CD 为74米，与地面CD 垂直的路灯AE 的高度是3米，从楼顶B 测得路灯AE 项端A 处的俯角是42.6︒．试求大楼BC 的高度． （参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈，17sin 42.625︒≈，34cos 42.645︒≈，9tan 42.610︒≈）24．（2021·广西河池·中考真题）如图，小明同学在民族广场A 处放风筝，风筝位于B 处，风筝线AB 长为100m ，从A 处看风筝的仰角为30，小明的父母从C 处看风筝的仰角为50︒．（1）风筝离地面多少m ？（2）AC 相距多少m ？（结果保留小数点后一位，参考数据：sin300.5︒=，cos300.8660︒＝，tan300.5774︒＝，sin500.7760︒＝，cos500.6428︒＝，tan50 1.1918︒＝）25．（2021·四川巴中·中考真题）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B 的位置如图所示，已知坡长AC ＝12m ，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C 处，且与地面的夹角为60°，A 、B 、C 、D 在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，3 1.73．）（1）求灯杆AB的高度；（2）求CD的长度．1．A【解析】【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可．【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于C，在Rt △ABC 中，sin B =AC AB， 则AC =AB •sin B =100sin65°（米），故选：A ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据题意可知 1.6BE CD ==米，60ABC ∠=︒．再利用特殊角的三角函数解直角三角形即可求出AC 长，从而求出AD 长．【详解】根据题意可知 1.6BE CD ==米，60ABC ∠=︒．∵60ABC ∠=︒，∴在Rt ABC 中，tan 6053AC BC =︒=米． ∴(53 1.6)AD AC CD =+=米．故选D ．【点拨】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．3．B【解析】【分析】过点A′作A′C ⊥AB 于点C ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：如答图，过点A′作A′C ⊥AB 于点C ．在Rt △OCA′，sinα＝A C A O ''，所以A′C ＝A′O·sinα．由题意得A′O ＝AO ＝4，所以A′C ＝4sinα，因此本题选B ．【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．4．B【解析】【分析】直接利用勾股定理得出BC ，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：过点A 作AC ⊥BD ，垂足为C ，∵坝高h =60m ，迎水斜坡AB =100m ，∴BC 222210060AB AC --=80（m ），则tanα=603804= ． 故选：B ．【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键． 5．D【解析】【分析】由斜坡BC 的坡度8:15i =，设8CE x =、15BE x =，由勾股定理可知17BC x =，BC =510，求得30x =，据此可知AE 、DE 的长，再根据DC DE CE =-可得答案．【详解】由斜坡BC 的坡度8:15i =，设8CE x =、15BE x =，在Rt BCE 中，2222(8)(15)17BC BE CE x x x =+=+=，由17510BC x ==求得30x =，∴240CE =米、450BE =米，在Rt ACE △中，2401200tan tan12CE AE CAE ===∠︒（米）， 在Rt ADE △中，tan 1200tan13276DE AE DAE =∠=⨯︒=（米），则27624036DC DE CE =-=-=（米）．故选：D ．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用能力，注意能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形是解决本题的关键．6．D【解析】【分析】根据时间、速度、距离之间的关系求出AC ，根据等腰直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图：由题意得，AC ＝60×0.5＝30海里，∵CD ∥BF ，∴∠CBF ＝∠DCB ＝60°，又∠ABF ＝15°，∴∠ABC ＝45°，∵AE ∥BF ，∴∠EAB ＝∠FBA ＝15°，又∠EAC ＝75°，∴∠CAB ＝90°，∴2sin 45AC BC ︒=， ∴BC 2＝2故选：D ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据同角的余角相等得∠ACD ＝∠CBD ，由cos ∠ACD ＝CD AC ，即可求出AC 的长度．【详解】解：∵∠ACD +∠BCD ＝90°，∠CBD +∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBD ，在Rt △ACD 中，∵cos ∠ACD ＝CD AC， ∴AC ＝cos cos CD m ACD α=∠． 故选：B ．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．8．D【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出E C 、EB ，根据正切的定义求出DE ，结合图形计算得到答案．【详解】解：在Rt EBC 中，45BCE ∠=︒，3EC EB ∴=（米)， 在Rt BDE △中，tan BE BDE DE ∠=，tan BE DE BDE ∴=∠)，(3CD EC DE ∴=-=米，故选：D ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．A【解析】【分析】延长AB 与DC 相交与点E ，由题意和三角函数可求得EC 的长度，根据37°角的三角函数求得AE 的长度，进而可求出建筑物AB 的高度．【详解】如图，延长AB 与DC 相交于点E ，∵15.6BC =，斜坡BC 的坡度i =1：2.4=512， ∴12cos 13BCE =∠，5sin 13BCE =∠， ∴12cos 15.6=14.413EC BC BCE =•=⨯∠，5sin 15.6613BE BC BCE =•=⨯=∠， ∴==14.430=44.4ED EC CD ++，又∵D ∠=37°，∴=tan37=44.40.75=33.3AE ED •︒⨯，∴33.3627.3AB AE BE =-=-=，故选：A ．【点拨】此题考查了三角函数应用题，仰角和坡度的概念，做出辅助线是解答本题的关键．10．A【解析】【分析】过B 分别作AE 、DE 的垂线，设垂足为F 、G ．分别在Rt △ABF 和Rt △ADE 中，通过解直角三角形求出BF 、AF 、DE 的长，再求出EF 即BG 的长；在Rt △CBG 中求出CG 的长，根据CD =CG +GE -DE 即可求出宣传牌的高度．【详解】解：过B 作BF ⊥AE ，交EA 的延长线于F ，作BG ⊥DE 于G ．Rt△ABF中，i=tan∠BAF=BFAF＝12.4，AB=26米，∴BF=10（米），AF=24（米），∴BG=AF+AE=54（米），Rt△BGC中，∠CBG=43°，∴CG=BG•tan43°≈54×0.93=50.22（米），Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米，∴DE=3AE=303（米），∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-303≈8.3（米）．故选：A．【点拨】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．11．B【解析】【分析】延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH＝DE＝12，EF＝DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．【详解】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝AF EF，则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12．B【解析】【分析】连接DE ，作BF ⊥DE 于F ，BG ⊥DA 于G ，设BG =3x m ，则AG =4x m ，BF =DG =24+4x （m ），CF =BF +BC =46+4x （m ），由三角函数定义得出EF =tan 37°（24+4x ），EF =tan 22°（46+4x ），得出0.75（24+4x ）=0.40（46+4x ），解得27x =，求出DF 、EF ，即可得出答案．【详解】解：连接DE ，作BF ⊥DE 于F ，BG ⊥DA 于G ，如图：则DF =BG ，BF =DG =AD +AG ，∵AB =斜坡AB 的坡度0.75BG i AG==， ∴设BG =3x m ，则AG =4x m ，BF =DG =24+4x （m ），CF =BF +BC =24+4x +22=46+4x （m ）， 由题意得：∠EBF =37°，∠ECF =22°，∵tan ∠BEF =244EF EF BF x =+，tan ∠ECF =464EF EF CF x=+， ∴EF =tan 37°（24+4x ），EF =tan 22°（46+4x ），∴0.75（24+4x ）=0.40（46+4x ）， 解得：27x =，∴DF =BG =3x =67（m ）， EF =0.40（46+4x ）=1327（m ）， ∴DE =DF +EF =613213819.7777+=≈； 故选：B ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角分概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（3【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，解直角三角形即可求解．【详解】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i＝EFCF3＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴EF＝12CE＝10米，CF＝3∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC+CF＝（3在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝（3∴AB＝AH+HB＝（3答：楼房AB的高为（3）米，故答案为：（3【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，涉及俯角及坡度的知识，构造直角三角形是解题的关键．14．0.6【解析】【分析】如图，解直角三角形ABC可以求得AB的长，求出乙楼的影子在甲楼上的高度CD，再求影子的顶端距她家阳台的距离.【详解】解：如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=20米，所以AB=BC•tan∠ACB＝20•tan30°＝20×3（米），CD=18-11.55=6.45（米），∴影子的顶端距她家阳台还有7-6.45≈0.6（米）．故答案为0.6.【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形，根据BC求出AB的值是解题的关键．15．3【解析】【分析】根据题意可证得△ABC为等腰三角形，即可求出BC的长，然后再解直角三角形CBD即可求得．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD=90°−60°=30°，∠CBD=90°−30°=60°，∴∠ACB=∠CBD−∠CAD=60°-30°=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=2km，在Rt△CBD中，3sin6023CD BC=⋅︒==，3【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解决本题的关键是证出△ABC是等腰三角形．16．12【解析】【分析】根据∠DBC =45°可得BD CD =，根据tan α＝0.8，可得3810CD CD =+，进而即可求得CD 的长． 【详解】∵∠DBC =45°，∴BD =CD tan 45⨯︒=CD ， tanα=，3AD AB BD CD =+=+,则3810CD CD =+，解得CD =12．经检验：符合题意 故答案为12．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切的意义是解题的关键．17．()633m + 【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于F ，作DG ⊥BF 于G ，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DC 、CG 的长，根据正切的定义解答即可．【详解】解：如图，延长AD 交BC 的延长线于F ，作DG ⊥BF 于G ，∵∠ADE ＝30°，∴∠AFB ＝30°，∵CD ＝6m ，斜坡CD 的坡度i ＝13∴tan ∠DCG ＝DG CG 33 ∴∠DCG ＝30°，∴DG ＝3m ，CG ＝3，∴∠DFC ＝∠DCF ＝30°，∴DF ＝DC ，∵DG ⊥BF ，∴FG ＝CG ＝3，∴FC ＝3，∴FB ＝FC +BC ＝（）m ，∴AB ＝BF ×tan ∠AFB ＝（）m ． 故答案为：（m ．【点拨】本题主要考查了勾股定理，坡比和解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．16【解析】【分析】根据已知条件转化为直角三角形ABC 中的有关量，由锐角三角函数的定义可求出BC ，根据BD =BC -CD 可得出答案．【详解】解：由题意知，∠ABC =30°，∠ACB =90°，AC =32米，tan tan 30,AC ABC BC ︒∠==tan 30AC BC ︒∴=== ∵CD =16米，∴BD =BC -CD=16米．故答案为：16．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形ABC 中的有关元素．19．（【解析】【分析】在直角三角形DCE 中，利用锐角三角函数定义求出DE 的长，过D 作DF 垂直于AB ，交AB 于点F ，可得出三角形BDF 为等腰直角三角形，设BF =DF =x (米)，表示出BC ，BD ，DC ，由题意得到三角形BCD 为直角三角形，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出AB 的长．【详解】解：在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE 12=DC ＝2(米)， 过D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F ，∵∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠FBD ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝（x +2）米，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°， ∴)324cos30333x B AB C +====︒（米）， BD 2=2=米，DC ＝4米，∵∠DCE ＝30°，∠ACB ＝60°，∴∠DCB ＝90°，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：22(24)2163x x +=+ ， 解得：x ＝3则AB ＝（3故答案为：（3【点拨】此题考查了解直角三角形的实际应用--仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键．20．24.2【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得BC CD =，设m BC CD x ==，从而可得(8)m AC x =+，再在Rt ACD △中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：,8m,53,45AC CD AB ADC BDC ⊥=∠=︒∠=︒，Rt BCD ∴是等腰直角三角形，BC CD ∴=，设m BC CD x ==，则(8)m AC x =+，。
历年深圳中考三角函数专题(有答案)
历年深圳中考三角函数专题17（2019）．计算：()101912cos60 3.148π-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭20（2019）．如图7所示，直线AC ∥DE ,DA ⊥AC ,隧道BC 在直线AC 上。
某施工队要测量隧道BC 的长，在点D 处观测点B ,测得45BDA ∠=,在点E 处观测点C ，测得53CEF ∠=,且测得AD =600米，DE =500米，试求隧道BC 的长。
（参考数据：4sin 535≈，3cos535≈，4tan 533≈）17．（2018）计算：（）﹣1﹣2sin45°+|﹣|+（2018﹣π）0．11（2017）．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60°，然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为20m ，DE 的长为10cm ，则树AB 的高度是（ ）m ．图7 53°45°FC BA ．20B ．30C ．30D ．4017（2017）．计算：|﹣2|﹣2cos45°+（﹣1）﹣2+20.（2016）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从A 初飞行至B 处需8秒，在地面C 处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°.B 处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)17（2015）、计算：01)2015()21(60sin 2|32|-++--o10（2014）．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5:12,的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（ ）A ．6002505- B. 6003250- C. 3503503+ D ．500317（2014）．计算：12－2tan60°＋（2014-1）0－(31)-1参考答案：17【2018】解：原式=2﹣2×++1=3．11【2017】B17【2018】【解答】解：|﹣2|﹣2cos45°+（﹣1）﹣2+，=2﹣﹣2×+1+2，=2﹣﹣+1+2，=3．20（2016））.解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线由题意∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH∴∠ABC=30°, ∠ACB=45°∵AB=4×8=32m∴AD=CD=AB·sin错误！未找到引用源。
中考数学三角函数的基础应用
中考数学三角函数的基础应用数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中三角函数是数学中的重要内容之一。
在中考数学中，三角函数的基础应用也是考试内容的一部分。
本文将探讨三角函数的基础应用，包括角度的表示、正弦、余弦、正切函数的定义与性质，以及在几何图形中的应用等方面，旨在帮助读者更深入地理解和掌握三角函数的应用。
一、角度的表示角度是三角函数中的基本概念之一，它通常用度数来表示。
在三角函数中，常见的度数制表示方法包括度（°）、分（'）和秒（''）三个单位。
其中，1°可以分为60'，1'可以再分为60''。
通过这种度数制的表示方法，我们可以更加准确地描述角度的大小。
二、正弦、余弦、正切函数的定义与性质1. 正弦函数在三角函数中，正弦函数是最常见的一种函数。
它是一个周期函数，周期为360°（或2π弧度）。
正弦函数的定义域是全体实数，值域是闭区间[-1, 1]。
我们可以通过观察其图像来了解正弦函数的性质，例如在第一象限和第二象限中，正弦函数的值大于0；而在第三象限和第四象限中，正弦函数的值小于0。
2. 余弦函数与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期函数，周期也是360°（或2π弧度）。
余弦函数的定义域和值域与正弦函数相同，即定义域是全体实数，值域是闭区间[-1, 1]。
与正弦函数相比，余弦函数在第一象限中的值大于0，而在第二、三、四象限中的值小于0。
3. 正切函数正切函数是另一个常见的三角函数，它的定义域通常是除去所有与余弦函数为零的实数。
正切函数的值域是全体实数。
与正弦、余弦不同，正切函数的图像并没有周期性，我们可以通过观察其图像来了解正切函数的性质。
三、三角函数的应用三角函数的基本应用之一是在几何图形中的应用。
例如，在矩形、三角形等几何图形中，我们可以利用三角函数来求解边长、角度等问题。
在解题过程中，我们可以根据已知条件，利用正弦、余弦、正切等函数来建立方程，进而求解未知量。
2020深圳中考数学一轮复习宝典课件 第1部分 第4章 第6讲 解直角三角形及其应用
4．(2016 年深圳中考第 17 题)计算：|－2|－2cos60°＋16 －1－(π － 3 )0 .
答案：6
5．(2015 年深圳中考第 16 题)计算：|2－ 3|＋2sin60°＋12－1－ ( 2015)0.
答案：3
6．(2014 年深圳中考第 17 题)计算： 12－2tan60°＋( 2014－1)0 －(13)－1.
∴∠CMD＝∠AOC. ∴sin∠CMD＝sin∠AOC. 在 Rt△COH 中， ∴sin∠AOC＝COHC＝45. ∴sin∠CMD＝45.
(3)直线 BM 交直线 CD 于点 E，直线 MH 交⊙O 于点 N，连接 BN 交 CE 于点 F，求 HE·HF 的值．
解：如下图 2，连接 AM， ∴∠AMB＝90°. 在 Rt△AMB 中， ∴∠MAB＋∠ABM＝90°.
对点练习 8：如图，考古队在 A 处测得古塔 BC 顶端 C 的仰角为
45°，斜坡 AD 长 10 米，坡度 i＝3∶4，BD 长 12 米，请问古塔
BC 的高度为( B )米．
A．25.5
B．26
C．28.5
D．20.5
——基于深圳考纲的 2 个中考考点
考点 1 特殊角的三角函数值(6 年 6 考)
在 Rt△EHB 中， ∴∠E＋∠ABM＝90°. ∴∠MAB＝∠E. ∵B︵M＝B︵M， ∴∠MNB＝∠MAB＝∠E. ∵∠EHM＝∠NHF. ∴△EHM∽△NHF
∴HHNE＝HHMF . ∴HE·HF＝HM·HN. ∵AB 与 MN 交于点 H， ∴HM·HN＝HA·HB＝HA·(2r－HA)＝2×(10－2)＝16. ∴HE·HF＝16.
在 Rt△CBE 中，∵∠ACB＝60°， ∴CE＝ 33BE＝10 3(km)， ∴AC＝AE＋CE＝30＋10 3， ∴A，C 两港之间的距离为(30＋10 3)km，
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 第六节 锐角三角函数与解直角三角形的实际应用
模型三：拥抱型
【模型突破】如图①，BF＋FC＋CE＝BE；如图②，BC＋CE＝BE；如图③， AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE.
7．(2015·昆明第 20 题 6 分)如图，两幢建筑物 AB 和 CD，AB⊥BD，CD ⊥BD，AB＝15 m，CD＝20 m，AB 和 CD 之间有一景观池，小南在 A 点测得 池中喷泉处 E 点的俯角为 42°，在点 C 测得 E 点的俯角为 45°(点 B，E， D 在同一直线上)，求两幢建筑物之间的距离 BD.(结果精确到 0.1 m，参 考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
主义教育基地后，先从基地门口 A 处向正南方向走 300 米到达革命纪念 碑 B 处，再从 B 处向正东方向走到党史纪念馆 C 处，然后从 C 处向北偏 西 37°方向走 200 米到达人民英雄雕塑 D 处，最后从 D 处回到 A 处．已 知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东 65°方向，求革命纪念碑与党史纪 念馆之间的距离(cos 37° ≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65° ≈2.14)
模型二：子母型
【模型突破】BC 为公共边，如图①，AD＋DC＝AC； 如图②，DC－BC＝DB.
【模型演变】
【模型突破】如图③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC， AE＋DF＝AC；如图④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE.
6．(2016·昆明第 20 题 8 分)如图，大楼 AB 右侧有 一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼 的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30°，测 得大楼顶端 A 的仰角为 45°(点 B，C，E 在同一水平 直线上)，已知 AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物 B，C 两点间的距离．(结果精确到 0.1 m．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
中考数学三角函数在实际中的应用(九年级下期复习用带答案)汇总
专题3 三角函数在实际中的应用自我诊断１.某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度.已知小亮站着测量,眼睛与地面的距离(ＡＢ）是1.７米,看旗杆顶部E的仰角为３0°;小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（ＣD)是0.7米,看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧(点B、D、F 在同一直线上）.（1)求小敏到旗杆的距离DF．(结果保留根号）（2）求旗杆EＦ的高度.(结果保留整数，参考数据：≈1.4,≈１.７）自我诊断2.如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处,由于点A上方有一些管道,考古人员不能垂直向下挖掘,他们被允许从B处或C处挖掘,从B处挖掘时,最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线ＣA与地面所成的锐角是30°,且BC=２0m,若考古人员最终从Ｂ处挖掘，求挖掘的最短距离.（参考数据：sin56°=０.83,tａn５6°≈1.４8，≈1．73,结果保留整数)跟踪训练1１.年4 月20 日，四川雅安发生里氏7.0 级地震,救援队救援时,利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点 C 处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点Ａ、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和6０°,如图所示,试确定生命所在点C的深度(结果精确到0.１米，参考数据≈1．４１, ≈1.7３)２.一电线杆PQ立在山坡上,从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为４5°，向前走６m到达点Ｂ,又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为6０°和30°，（1）求∠ＢPQ的度数;(２）求该电线杆PQ的高度.（结果精确到１ｍ）3．如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离,飞机以距海平面垂直同一高度飞行,在点C处测得端点A的俯角为6０°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米,在点D测得端点B的俯角为４5°,已知岛屿两端A、Ｂ的距离54１.91米，求飞机飞行的高度．(结果精确到１米，参考数据：≈1.73，≈１.4１）４．如图,某建筑物ＢC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B,C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为4７°,观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DＥ为1.56m，ＥＣ=2１m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据:tan４7°≈1.07，ｔan4２°≈0．90．5．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m.（１）求点Ｂ到AD的距离；（2)求塔高ＣD(结果用根号表示）．6．如图,一楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1:，山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离ＢC=6米，与亭子距离CE=２0米,小丽从楼房顶测得点E 的俯角为４5°．（1)求点Ｅ距水平面BC的高度；（2)求楼房AB的高．(结果精确到0.１米，参考数据≈1.４14,≈1．73２)7.如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为３0°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AＣ的长度．（２)如果需要在货物着地点Ｃ的左侧留出２米的通道,试判断距离B点5米的货物MＮＱP是否需要挪走，并说明理由.参考数据:．8.如图,小岛在港口P的北偏西60°方向,距港口５6海里的A处，货船从港口Ｐ出发，沿北偏东4５°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向．求货船的航行速度．(精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.４１,≈1.７3)自我诊断答案考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析:（１)过点A作AM⊥EF于点M,过点C作CN⊥EＦ于点N.设CN=x，分别表示出ＥＭ、AM的长度,然后在Rt△AEM中,根据taｎ∠EAM=，代入求解即可;（2）根据（1）求得的结果,可得EＦ=DＦ+CＤ，代入求解.解：(１）过点A作AM⊥EＦ于点M,过点C作ＣN⊥EF于点Ｎ，设CN=ｘ,在Rt△ＥCN中,∵∠EＣＮ=4５°，∴EN=CN=x，∴ＥM＝x+0.７﹣１.7=ｘ﹣1,∵ＢD=5，∴AM=BF=5+x，在Rt△AEM中，∵∠EAＭ=30°∴=，∴x﹣1＝(x+5)，解得:x=４+3,即DF=（4+3)(米)；（２）由（1）得:ＥF=x＋0.７=4＋＋0.7≈４＋３×1.7+0．7≈9.８≈10（米).答：旗杆的高度约为10米．点评:本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解.考点:解直角三角形的应用.分析：作ＡＤ⊥BC交ＣB延长线于点D,线段AD即为文物在地面下的深度．设ＡD=x．通过解直角△ABD求得BD＝;通过解直角△ACD求得CD=x,由此列出关于x的方程,通过方程求得ＡD的长度.最后通过解直角三角形ＡBD来求AB的长度即可．解：作AD⊥BC交CB延长线于点D，线段AＤ即为文物在地面下的深度．根据题意得∠CAD＝3０°,∠ＡBD=5６°．设AD=x．在直角△ABD中，∵∠ABＤ＝５6°,∴BＤ＝=．在直角△ＡCD中,∵∠ACB＝30°,∴CD=AＤ=x，∴x＝+2０.解得ｘ≈18.97，∴AＢ=≈≈2３.答:从B处挖掘的最短距离为２３米.点评:此题考查了解直角三角形的应用，主要是正切、余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．跟踪训练答案１．考点：解直角三角形的应用.分析：过点 Ｃ 作 C Ｄ⊥AB 交 ＡB 于点 D ,则∠CAD ＝30°,∠CB Ｄ＝６0°，在 Rt △BD Ｃ 中，C Ｄ=BD ， 在 R t △ＡDC 中，A Ｄ=C Ｄ,然后根据 A Ｂ=AD ﹣BD=４,即可得到 ＣD 的方程,解方程即可.解：如图，过点 C 作 C D ⊥ＡB 交 A B 于点 D .∵探测线与地面的夹角为 ３0°和 60°，∴∠CAD ＝３0°，∠ＣBD=60°，在 Ｒt △BDC 中,tan60°=， ∴ＢＤ= ＝ ，在 R t △AD Ｃ 中，t ａn3０°=, ∴A Ｄ= ＝ ，∵ＡB=A Ｄ﹣ＢＤ=4，∴CD=2 ≈3.5(米)∴．答：生命所在点 C 的深度大约为 3．５ 米．点评:本题考查了解直角三角形的应用，难度适中,解答本题的关键是构造直角三角形,解直角 三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力.4333=-CDCD２.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:（1)作PＱ⊥ＡB交AB的延长线于H，根据三角形的外角的性质计算;（2）设ＰQ=xm,根据正、余弦的定义表示出ＱH、BH,根据等腰直角三角形的性质列式计算即可．解:（1）作PＱ⊥ＡB交AB的延长线于H，由题意得,∠QBH=３0°，∠PBH=60°,∴∠BＱH=60°，∠PBQ=30°，∴∠ＢPQ=∠ＢQH﹣∠ＰBＱ=30°；（2）设ＰQ=xm,∵∠BＰQ=∠PBＱ,∴BQ=PQ=ｘｍ,∵∠QBH=30°，∴QH=BQ=x，BＨ=ｘ，∵∠A＝45°，∴6+x=x x，解得ｘ＝2+6≈9．答:该电线杆PQ的高度约为9m.点评:本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析：过点A作AＥ⊥CD于点Ｅ,过点B作BＦ⊥ＣＤ于点F,设高度为x米,在Rｔ△AEC 中可得CE==,在Rt△BFD中有ＤF=＝ｘ,根据AＢ＝EF=ＣD+ＤF﹣CE列出方程，解方程可求得ｘ的值．解:过点A作ＡＥ⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F，设高度为x米∵AB∥CD，∴∠AＥF=∠EFB=∠AＢＦ=9０°，∴四边形ＡＢFE为矩形.∴AB=EF,AE＝BF．由题意可知:AE=ＢF＝x米，CD=500米．在Rt△AＥC中，∠C=６0°，∴CE=＝(米)．在Rt△BＦD中，∠BDF＝4５°,∴DＦ＝=x（米）．∴ＡB＝EF=CD+DF﹣ＣＥ,即50０+ｘ﹣ｘ=541．91解得:x=99答:飞机行飞行的高度是９９米.点评:此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.4.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据题意分别在两个直角三角形中求得ＡF和BＦ的长后求差即可得到旗杆的高度,进而求得ＢC的高度.解:根据题意得DＥ＝1.５６,EC=21,∠AＣE=９0°,∠DEC=９０°.过点D作ＤＦ⊥AC于点F.则∠ＤFC=90°∠ＡDF=47°，∠BDＦ=42°.∵四边形DECＦ是矩形.∴DＦ=ＥC=２1，FC=DE=1.５6，在直角△DFＡ中,taｎ∠ADＦ=，∴ＡＦ=DF•ｔan４７°≈21×1.０7=２2.47（m）．在直角△ＤFB中,taｎ∠ＢDF＝,∴BF＝DＦ•tan42°≈21×0．90=18．90（ｍ),则ＡB＝AF﹣BF=22.47﹣18.90=３．57≈3.6（m).BC＝BF+FC＝18.9０+1.56=20.４６≈20．5(m)．答:旗杆AB的高度约是3.6m,建筑物ＢＣ的高度约是２0.5米.点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用,解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题,先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解.5.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1)过点B作BE⊥AD于点E,然后根据AＢ=4０m，∠A=3０°，可求得点B到ＡＤ的距离;(２）先求出∠ＥBD的度数，然后求出AD的长度,然后根据∠A＝30°即可求出CＤ的高度. 解：(1)过点B作BE⊥AD于点E，∵AB=4０m，∠A＝30°，∴ＢE=AB=20ｍ，AE==20m,即点B到ＡD的距离为20ｍ；（２)在Rｔ△AＢＥ中，∵∠A＝３0°，∴∠ABE=６0°,∵∠DBＣ=7５°,∴∠ＥBD＝1８０°﹣60°﹣75°＝4５°,∴DE=EＢ=20m,则ＡD＝AE+EB=20+20=2０（+１）（ｍ)，在Ｒt△ＡDC中,∠A＝30°，∴DC==(１0＋10）m.答：塔高CD为(10+10）m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形.６.考点:解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析:（1）过点E作EＦ⊥ＢC于点F.在Rt△CEF中,求出CＦ=EF，然后根据勾股定理解答;(２)过点E作ＥH⊥ＡB于点H.在Ｒt△ＡHE中,∠ＨAE＝４５°,结合（1)中结论得到CF 的值，再根据AＢ=AＨ＋BH,求出AB的值.解:(1）过点Ｅ作EF⊥BC于点F．在Rt△CEＦ中，ＣE=20，,∴ＥF 2+（EF)2＝2０2，∵ＥF>0,∴ＥF＝10．答:点E距水平面BC的高度为1０米.(2)过点E作EH⊥ＡB于点Ｈ.则HE＝BF，BＨ=EF.在Rｔ△AHＥ中，∠HAＥ=45°,∴AH=ＨE,由（1)得ＣF＝EF=10(米)又∵BC=6米，∴HＥ＝6＋10米,∴AB=ＡＨ＋BH＝6+1０+１0=16+１0≈33.3（米）.答：楼房ＡB的高约是33.3米.７．考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析:(1）在构建的直角三角形中,首先求出两个直角三角形的公共直角边,进而在Rｔ△ACD中,求出AC的长．（2)通过解直角三角形，可求出BD、ＣD的长,进而可求出BC、PＣ的长．然后判断PＣ的值是否大于２米即可．解:(１）如图，在Ｒt△ABＤ中,ＡD=ＡBsin４5°=4×=4．在Rt△AＣD中，∵∠ACD=30°∴ＡC=2ＡD=8．即新传送带ＡC的长度约为8米；（２)结论：货物MＮQP不用挪走．解：在Rｔ△ABD中，BＤ＝ABｃos45°=4×=４．在Rt△ACＤ中，CＤ=AＣcoｓ3０°=2．∴CB＝ＣD﹣BＤ＝2﹣4≈0.9.∵PC＝PB﹣ＣB≈4﹣0.9=3.1>2,∴货物ＭNQＰ不应挪走.点评:考查了坡度坡脚问题,应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形.在两个直角三角形有公共直角边时,先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．8.考点:解直角三角形的应用-方向角问题．分析:由已知可得AB⊥PQ，∠ＱAP＝60°，∠A=30°,AP=５6海里，要求货船的航行速度,即是求PＢ的长，可先在直角三角形APＱ中利用三角函数求出PQ，然后利用三角函数求出PB即可.解：设货船速度为ｘ海里/时，4小时后货船在点B处，作ＰQ⊥ＡB于点Q.由题意ＡP=56海里，PB=4ｘ海里，在直角三角形APQ中,∠APＱ=60°,所以PQ=28.在直角三角形PＱB中，∠BPQ=4５°,所以,PＱ=PＢ×cｏｓ45°=２x．所以，２x＝２8,解得：x=７≈9.9．答:货船的航行速度约为９.９海里/时．。
中考数学三角函数的基本特性归纳与应用
中考数学三角函数的基本特性归纳与应用三角函数是数学中重要且广泛应用的一个分支，它在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用。
了解三角函数的基本特性及其应用，对于中考数学的学习和考试至关重要。
本文将对三角函数的基本特性进行归纳和探讨，并对其应用进行简要的概述。
一、正弦函数的基本特性正弦函数是三角函数中最基础、最常用的函数之一。
对于任意角θ，其正弦值sinθ满足如下特性：1. 值域：-1 ≤ sinθ ≤ 1，即正弦值的范围在闭区间[-1, 1]内。
2. 周期性：sin(θ+2π)=sinθ，即正弦函数以2π为一个完整的周期。
3. 奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，即正弦函数是奇函数。
二、余弦函数的基本特性余弦函数是另一个重要的三角函数，它在数学、物理、工程等领域中广泛应用。
对于任意角θ，其余弦值cosθ满足如下特性：1. 值域：-1 ≤ cosθ ≤ 1，即余弦值的范围在闭区间[-1, 1]内。
2. 周期性：cos(θ+2π)=cosθ，即余弦函数以2π为一个完整的周期。
3. 偶性：cos(-θ)=cosθ，即余弦函数是偶函数。
三、正切函数的基本特性正切函数是三角函数中最常用的函数之一，它在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
对于任意角θ，其正切值tanθ满足如下特性：1. 定义域：θ≠(2k+1)π/2，其中k为整数，即正切函数在除了(2k+1)π/2的整数倍处的角度处无定义。
2. 周期性：tan(θ+π)=tanθ，即正切函数以π为一个周期。
四、三角函数的应用1. 几何应用：三角函数在几何中有广泛的应用，如利用正弦函数、余弦函数可以求解三角形的边长、角度等问题。
2. 物理应用：三角函数在物理学中有着重要的应用，如利用正弦函数、余弦函数可以分析机械波的传播规律、电路中的交流信号等。
3. 工程应用：三角函数在工程领域中也有诸多应用，如利用正弦函数、余弦函数可以计算物体的运动轨迹、建筑物的高度等。
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锐角三角函数
【知识梳理】
【思想方法】
1. 常用解题方法——设k 法
2. 常用基本图形——双直角
【例题精讲】
例题1.在△ABC 中，∠C=90°．
（1）若cosA=
12，则tanB=______;（•2）•若cosA=45
，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cos α=23，则锐角α的取值范围是（ ） A ．0°<α<30° B ．45°<α<60°
C ．30°<α<45°
D ．60°<α<90°
（2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（ ）
A ．tanθ>cosθ>sinθ
B ．sinθ>cosθ>tanθ
C ．tanθ>sinθ>cosθ
D ．sinθ>tan θ> cosθ
例题3.（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，∠CAB=60°，•
，
，求AC ，AB 的长．
例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC ，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？
例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∠A=60°，AB=200m ，CD=100m ，•求AD 、BC 的长．
【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ）
A.300
B.450
C.600
D.不能确定
2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ）
B A D
C 第2题图
A.63
8 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ）
A.213+
B.13-
C.2
3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ；
5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，
则底角∠B= ；
6.若∠A 是锐角，且cosA=5
3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA=
23，求tanA ，BC ．
8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长．
9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？
第28课时 锐角三角函数的简单应用
【知识梳理】
1. 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切值．
2. 仰角：仰视时，视线与水平线的夹角．
俯角：俯视时，视线与水平线的夹角．
【思想方法】
1. 常用解题方法——设k 法
2. 常用基本图形——双直角 A
B C D C A B 第8题图 第9题图
【例题精讲】
例题1.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A ．sin A 的值越大，梯子越陡
B ．cos A 的值越大，梯子越陡
C ．tan A 的值越小，梯子越陡
D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关
例题1图
例题2.如图，
一束光线照在坡度为1被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束与坡面的夹角α是 度．
例题2图 例题3图
例题3.如图，张聪同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到该建筑的水平距离BE
＝6米，旗杆台阶高1米，求旗杆顶部A 离地面的高度（结果保留根号）
【当堂检测】
1.一个钢球沿坡角31的斜坡向上滚动了5米，则钢球距地面的高度是(单位：米)（ ）
A ．5cos31
B ．5sin 31
C ．5cot 31
D ．5tan 31 第1题图
2.某渔船上的渔民在A 处观测到灯塔M 在北偏东60o 方向处，这艘渔船以每小时28海里的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处观测到灯塔M 在北偏东30o 方向处．问B 处与灯塔M 的距离是多少海里？
3.如图所示，小明家住在32米高的A 楼里，小丽家住在B 楼里，B 楼坐落在A 楼的正北面，已知当地冬
A B M 东
北 60 30
至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30．
，两楼相距A楼落在B楼上的影子有多长？（1）如果A B
（2）如果A楼的影子刚好不落．在B楼上，那么两楼的距离应是多少米？（结果保留根号）。