第六节 二次函数与幂函数PPT课件
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高一数学《幂函数》PPT课件
根据n, m, p的取值不同，图像形状各 异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公 式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公 式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半 径，利用幂函数表示圆的 面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细 菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量 之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函 数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正 方形边长，利用幂函数表 示面积与边长关系。
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
二次函数与幂函数_PPT课件
增增
时，减x∈(－
经 典
∈(－∞，0]
考
∞，0)时，减
题
时，减
课 时
规
定点
(0,0)，(1,1)
范
(1,1)
训
练
【基础自测】
基
础
知
1．已知点
33，3
3 在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是
识 梳 理
聚
焦
()
考 向
透
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x－3
析
感
C．f(x)＝x12
D．f(x)＝x－12
焦 考
向
(1)求f(x)解析式；
透 析
感
(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式．
悟 经
典
【审题视点】 对于(1)，可设二次函数的零点式，再结合最值
考 题
课
求出系数a即得；对于(2)，可通过图象上点的对应关系求g(x)解析
时 规
范
式．
训 练
【解】 (1)由于f(x)有两个零点0和－2，
基
础
知
所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
识 梳
理
这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，
聚
焦
考
由于f(x)有最小值－1，
向 透
析
所以必有－a＞a＝0 －1 ，
感 悟 经 典
考
题
解得a＝1.
课
时
因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.
规 范
训
练
基
础
知
(2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点
高考数学《二次函数与幂函数》公开课优秀课件(经典、完美、值得收藏)
二、双基自测
2. 下列函数是幂函数的序号是__④__⑤___．
① y 2x ； ② y 2x1 ； ③ y x 22 ；
④ y 3 x2； ⑤ y 1 .
x
2
解：y 3 x2 x 3 ， y
1
1
x 2 故 ④⑤为幂函数.
x
二、双基自测
图象关于 y 轴对称.
3. 函数 f (x) (m 1)x2 2mx 3为偶函数，则 f (x) 在区间 5,3 上( D ).
解法三（用“零点式”解题） 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 8， 即4a(－2a4－a 1)－a2＝8.
求二次函数的解析式，一般用待定系数法， 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数 解析式的形式
(A) 先减后增 (B)先增后减 (C)单调递减 (D) 单调递增
解: ∵ f (x) (m 1)x2 2mx 3为偶函数， ∴ 2m 0 ，∴m 0 .
则 f (x) x2 3 在 5,3 上是增函数.
二、双基自测
4. 函数 f (x) x2 2(a 1)x 2 在区间 ,3上是减函数，则
∴n＝8， ∴y＝f(x)＝ax－122＋8.
求二次函数的解析式，一般用待定系数法， 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数 解析式的形式
∵f(2)＝－1， ∴a2－122＋8＝－1，
解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4x－122＋8
＝－4x2＋4x＋7.
考点二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数 f (x)满足 f (2) 1, f (1) 1 ，且 f (x) 的最大值是8， 试确定该二次函数的解析式.
幂函数_PPT
Δ＝k2－8m>0， ∵f(0)＝2，故需满足0<2km<1，
m>0， f1>0
k2>8m m>0， ⇒0m<－k<k2＋m2，>0，
将 k 看做函数值，m 看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，
因为 m，k 均为整数，结合可行域可知 k＝7，m＝6 时，m＋k 最小，最
小值为 13.
答案：D
幂函数
幂函数与性质
+ 二、二次函数的表示形式 + 1．一般式：y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ． + 2．顶点式：y＝ a(x－h)2＋k(a≠0) ，其中 (h，k) 为抛物线的顶
点坐标． + 3．零点式：y＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中x1、x2是抛物线与x轴交
[答案] －21
+ 2．(2013年济南质检)如图是一个二次函数y＝f(x)的图象． + (1)写出这个二次函数的零点； + (2)写出这个二次函数的解析式及x∈[－2,1]时函数的值域．
+ 解析：(1)由图可知这个二次函数的零点为x1＝－3，x2＝1. + (2)可设两点式f(x)＝a(x＋3)(x－1)，又图象过(－1,4)点，代入得a＝
+ (2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1>k在[－3， －1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3， －1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.
+ ∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．
+ 在本例(1)的条件下，若存在x∈[－3，－1]使f(x)>x＋k在[－3，－1] 上成立，试求k的取值范围．
高考数学《二次函数与幂函数》公开课优秀课件(经典、完美、值得收藏)
在 0, 上递增
0, ,0 0,
0,
非奇非 偶函数
增函数
,0 0,
奇函数
在 , 0和
0, 上递减
定点
0, 0 , 1,1
1,1
2.二次函数
（1）二次函数的解析式
ax2 bx c
h, k
（2）二次函数的图象与性质
函数
y ax2 bx c (a 0)
图象
y ax2 bx c (a 0)
例1（2）已知
2,1,
1 2
,
1 2
,1,2,3.
若幂函数
f (x) x为奇函数，
且在 (0,) 上递减，则 =____1____.
解:（2）由题意知 α 可取－1，1，3. 又 y＝xα 在(0，＋∞)上是减函数，
∴α<0，取 α＝－1.
考点二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数 f (x)满足 f (2) 1, f (1) 1 ，且 f (x) 的最大值是8， 试确定该二次函数的解析式.
分析： f (x) x2 2ax 1 a
当 a≥1 时 ymax a
当0 a 1时 ymax a2 a 1
当a ≤0 时 ymax 1 a
根据已知条件得
a≥1 a 2
或
0 a 1 a2 a 1 2
或
a≤0 1 a 2
解之得 a 2 或 a 1
五、总结提升
1.与二次函数单调性有关的问题. 2.求二次函数最值的类型及解法. 3.不等式恒成立问题的解法.
考点二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数 f (x)满足 f (2) 1, f (1) 1 ，且 f (x) 的最大值是8， 试确定该二次函数的解析式.
0, ,0 0,
0,
非奇非 偶函数
增函数
,0 0,
奇函数
在 , 0和
0, 上递减
定点
0, 0 , 1,1
1,1
2.二次函数
（1）二次函数的解析式
ax2 bx c
h, k
（2）二次函数的图象与性质
函数
y ax2 bx c (a 0)
图象
y ax2 bx c (a 0)
例1（2）已知
2,1,
1 2
,
1 2
,1,2,3.
若幂函数
f (x) x为奇函数，
且在 (0,) 上递减，则 =____1____.
解:（2）由题意知 α 可取－1，1，3. 又 y＝xα 在(0，＋∞)上是减函数，
∴α<0，取 α＝－1.
考点二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数 f (x)满足 f (2) 1, f (1) 1 ，且 f (x) 的最大值是8， 试确定该二次函数的解析式.
分析： f (x) x2 2ax 1 a
当 a≥1 时 ymax a
当0 a 1时 ymax a2 a 1
当a ≤0 时 ymax 1 a
根据已知条件得
a≥1 a 2
或
0 a 1 a2 a 1 2
或
a≤0 1 a 2
解之得 a 2 或 a 1
五、总结提升
1.与二次函数单调性有关的问题. 2.求二次函数最值的类型及解法. 3.不等式恒成立问题的解法.
考点二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数 f (x)满足 f (2) 1, f (1) 1 ，且 f (x) 的最大值是8， 试确定该二次函数的解析式.
二次函数与幂函数
������ ������
4 已知函数 f( x) =ax2+x+5 的图象在 x 轴上方, 则 a 的取值范围 是
.
������ -������������
5 幂函数 y=������������
( m∈Z) 的图象如图所示, 则 m 的值为
.
4【 . 解析】 因为 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方, 所以 Δ=1-20a<0 且 a>0, 解得 a>������������. 【答案】
������ , ������������ ������
+∞
������ -������������
5.【解析】∵y=������������ 即 0<m<4.
(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点, ∴m2-4m<0,
又∵该函数的图象关于 y 轴对称, 且 m∈Z, ∴m2-4m 为偶数, ∴m=2. 【答案】2
1 2
2 3
,b=
1 5
2 3
,c=
1 2
1 3
,则 a,b,c 的大小关系
) B. c<a<b D. b<a<c
(2)因为 y=������ (x>0)是增函数,所以 a= a=
1 2 1 2
2 3 2 3
2 3
> <
1 5 1 2
2 3 1 3
=b.因图像
{x|x≥0} {y|y≥0}
{x|x≠0} {y|y≠0} 奇
函数 在 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上 单调递减
奇
函数 在R上
{y|y≥0} 偶
函数 在 (-∞,0) 上 单调递减,
4 已知函数 f( x) =ax2+x+5 的图象在 x 轴上方, 则 a 的取值范围 是
.
������ -������������
5 幂函数 y=������������
( m∈Z) 的图象如图所示, 则 m 的值为
.
4【 . 解析】 因为 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方, 所以 Δ=1-20a<0 且 a>0, 解得 a>������������. 【答案】
������ , ������������ ������
+∞
������ -������������
5.【解析】∵y=������������ 即 0<m<4.
(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点, ∴m2-4m<0,
又∵该函数的图象关于 y 轴对称, 且 m∈Z, ∴m2-4m 为偶数, ∴m=2. 【答案】2
1 2
2 3
,b=
1 5
2 3
,c=
1 2
1 3
,则 a,b,c 的大小关系
) B. c<a<b D. b<a<c
(2)因为 y=������ (x>0)是增函数,所以 a= a=
1 2 1 2
2 3 2 3
2 3
> <
1 5 1 2
2 3 1 3
=b.因图像
{x|x≥0} {y|y≥0}
{x|x≠0} {y|y≠0} 奇
函数 在 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上 单调递减
奇
函数 在R上
{y|y≥0} 偶
函数 在 (-∞,0) 上 单调递减,
幂函数与二次函数_课件
1
(6)y＝ x 2 定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数，在(0， ＋∞)上为减函数，对应图(B)．
综上：(1)↔(A)，(2)↔(F)，(3)↔(E)，(4)↔(C)，(5)↔(D)， (6)↔(B)．
【规律方法】
对于幂函数的图象和性质，考纲只要求了解y＝x，y＝
1
x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 2 的图象和性质，其实我们只要知道
(2)若f(x)为反比例函数，则 m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0，解得m＝－1. 所以当m＝－1时，f(x)为反比例函数． (3)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1. ∴m＝－1± 2， 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴m2＋m－1＞0， 即m＞ 52－1或m＜－ 25－1， 所以m＝－1－ 2.
幂函数与二次函数
1.了解幂函数的概念．
考
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝
x
1 2
的图
纲 象，了解它们的变化情况．
解 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 读 4.会求二次函数在闭区间上的最值．
5.能用二次函数、一.
主干知识整合
1．一般式： f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ．
2．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n ，顶点为(m，n) ．
3．两根式： f(x)＝a(x－x1)(x－x2) ＝0的两根．
，x1、x2为方程f(x)
五、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
幂函数在第一象限图象的情况，然后根据函数的奇偶性，幂
函数的图象和性质就迎刃而解了．
【变式训练】
1．幂函数y＝xα，当α取不同的正数
(6)y＝ x 2 定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数，在(0， ＋∞)上为减函数，对应图(B)．
综上：(1)↔(A)，(2)↔(F)，(3)↔(E)，(4)↔(C)，(5)↔(D)， (6)↔(B)．
【规律方法】
对于幂函数的图象和性质，考纲只要求了解y＝x，y＝
1
x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 2 的图象和性质，其实我们只要知道
(2)若f(x)为反比例函数，则 m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0，解得m＝－1. 所以当m＝－1时，f(x)为反比例函数． (3)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1. ∴m＝－1± 2， 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴m2＋m－1＞0， 即m＞ 52－1或m＜－ 25－1， 所以m＝－1－ 2.
幂函数与二次函数
1.了解幂函数的概念．
考
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝
x
1 2
的图
纲 象，了解它们的变化情况．
解 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 读 4.会求二次函数在闭区间上的最值．
5.能用二次函数、一.
主干知识整合
1．一般式： f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ．
2．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n ，顶点为(m，n) ．
3．两根式： f(x)＝a(x－x1)(x－x2) ＝0的两根．
，x1、x2为方程f(x)
五、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
幂函数在第一象限图象的情况，然后根据函数的奇偶性，幂
函数的图象和性质就迎刃而解了．
【变式训练】
1．幂函数y＝xα，当α取不同的正数
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考纲要求
考情分析
1.了解幂函数的概念．
1.对幂函数的考查常以基础知
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝ 识为主，考查定义、图象、
x了3，解y它＝们1x的，变y化＝情x12况的．图象，
性质，有时与函数的基本性 质、二次函数、方程、不等
3.理解并掌握一次函数与二次 式结合，多以选择题、填空
函数的定义、图象及性质． 题形式出现，属容易题．
x∈－∞， －2ba 时递
减，x∈ －2ba，＋∞ 时递增
x∈ －∞，－2ba 时递 增，x∈ －2ba，＋∞ 时递减
[小题能否全取]
1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是 ( )
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝5x2
C．f(x)＝－x2
D．f(x)＝x2
解析：形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数．
5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于
直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．
解析：由题意知－a＋2 2＝1， a＋b＝2，
得ab＝ ＝－ 6. 4，
则 f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.
答案：5
1.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会 经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的 奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定 是原点．
2．与二次函数有关的不等式恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是ab>2－0，4ac<0. (2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是ab<2－0，4ac<0. [注意] 当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0 两种情况．
[例1] 已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0， ＋∞)上是增函数，则m＝________.
解析：由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义
域为R，当x>0时，图象是向下凸的，结合选项知选 答案：B B.
(2)(2013·淄博模拟)若a<0，则下列不等式成立的是( )
A．2a>12a>(0.2)a C.12a>(0.2)a>2a
＝1,3.
答案：A
3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴
上方，则a的取值范围是
()
A.0，210
B.－∞，－210
C.210，＋∞
D.－210，0
解析：由题意知aΔ><00，，
即a1>－02，0a<0
得
1 a>20.
答案：C
4．(教材习题改编)已知点 M 33，3在幂函数 f(x)的图象上， 则 f(x)的表达式为________． 解析：设幂函数的解析式为 y＝xα，则 3＝ 33α，得 α ＝－2.故 y＝x－2. 答案：y＝x－2
(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象 限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的 图象下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选 择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个 幂函数的图象和性质是解题的关键．
1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应
正确的是
()
1
1
A．①y＝x3 ，②y＝x2，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
1
D．①y＝x3 ，②y＝x2 ，③y＝x2，④y＝x－1
函数 特征 y＝x 性质
y＝x2
y＝ x3
y＝x
1 2
y＝x－1
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 单调性 公共点
奇
偶
奇 非奇非偶
奇
增
(－∞，0]减 (0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和 (0，＋∞)减
(1,1)
二、二次函数
1．二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ； (2)顶点式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) ； (3)零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ．
答案：D
2．(教材习题改编)设 α∈－1，1，12，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为 ( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
1
解析：在函数 y＝x－1，y＝x，y＝x 2 ，y＝x3 中，只有
函数 y＝x 和 y＝x3 的定义域是 R，且是奇函数，故 α
[自主解答] ∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂 函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0， ＋∞)上是减函数； 当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞) 上是增函数． ∴m＝－1. [答案] －1
1．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较 复杂，一般从两个方面考查：
1．幂函数与指数函数有何不同？ 提示：幂函数的底数是自变量，指数为常数；指数函数的 指数是自变量，底数是常数．
二、幂函数的图象和性质 1．幂函数的图象
[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质
函数 特征 性质
y＝x
y＝x3
y＝x2
y＝x
1 2
y＝x－1
图象
定义域 R
R
R {x|x≥0} {x|x≠0}
4.运用二次函数、一元二次方 2.对二次函数的考查侧重于求
程及一元二次不等式之间的 解析式，求二次函数在闭区
联系去解决有关问题．
间上的最值等，各种题型都
5.掌握数形结合及等价转化的 可能出现，一般涉及到分类
思想.
讨论思想的运用.
一、幂函数的定义
形如 y＝xα 的函数叫做幂函数，其中
x
是自变量，
α
是常数．
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3．二次函数的图象和性质
[动漫演示更形象，见配套课件]
a>0
a<0
图象
图象 特点
①对称轴：x＝－2ba；
②顶点：－2ba，4ac4－a b2
定义域
a>0
a<0
x∈R
值域
y∈4ac4－a b2， ＋∞ y∈－∞，4ac4－a b2
性 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数
质
单调性
考情分析
1.了解幂函数的概念．
1.对幂函数的考查常以基础知
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝ 识为主，考查定义、图象、
x了3，解y它＝们1x的，变y化＝情x12况的．图象，
性质，有时与函数的基本性 质、二次函数、方程、不等
3.理解并掌握一次函数与二次 式结合，多以选择题、填空
函数的定义、图象及性质． 题形式出现，属容易题．
x∈－∞， －2ba 时递
减，x∈ －2ba，＋∞ 时递增
x∈ －∞，－2ba 时递 增，x∈ －2ba，＋∞ 时递减
[小题能否全取]
1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是 ( )
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝5x2
C．f(x)＝－x2
D．f(x)＝x2
解析：形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数．
5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于
直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．
解析：由题意知－a＋2 2＝1， a＋b＝2，
得ab＝ ＝－ 6. 4，
则 f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.
答案：5
1.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会 经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的 奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定 是原点．
2．与二次函数有关的不等式恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是ab>2－0，4ac<0. (2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是ab<2－0，4ac<0. [注意] 当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0 两种情况．
[例1] 已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0， ＋∞)上是增函数，则m＝________.
解析：由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义
域为R，当x>0时，图象是向下凸的，结合选项知选 答案：B B.
(2)(2013·淄博模拟)若a<0，则下列不等式成立的是( )
A．2a>12a>(0.2)a C.12a>(0.2)a>2a
＝1,3.
答案：A
3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴
上方，则a的取值范围是
()
A.0，210
B.－∞，－210
C.210，＋∞
D.－210，0
解析：由题意知aΔ><00，，
即a1>－02，0a<0
得
1 a>20.
答案：C
4．(教材习题改编)已知点 M 33，3在幂函数 f(x)的图象上， 则 f(x)的表达式为________． 解析：设幂函数的解析式为 y＝xα，则 3＝ 33α，得 α ＝－2.故 y＝x－2. 答案：y＝x－2
(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象 限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的 图象下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选 择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个 幂函数的图象和性质是解题的关键．
1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应
正确的是
()
1
1
A．①y＝x3 ，②y＝x2，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
1
D．①y＝x3 ，②y＝x2 ，③y＝x2，④y＝x－1
函数 特征 y＝x 性质
y＝x2
y＝ x3
y＝x
1 2
y＝x－1
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 单调性 公共点
奇
偶
奇 非奇非偶
奇
增
(－∞，0]减 (0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和 (0，＋∞)减
(1,1)
二、二次函数
1．二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ； (2)顶点式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) ； (3)零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ．
答案：D
2．(教材习题改编)设 α∈－1，1，12，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为 ( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
1
解析：在函数 y＝x－1，y＝x，y＝x 2 ，y＝x3 中，只有
函数 y＝x 和 y＝x3 的定义域是 R，且是奇函数，故 α
[自主解答] ∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂 函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0， ＋∞)上是减函数； 当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞) 上是增函数． ∴m＝－1. [答案] －1
1．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较 复杂，一般从两个方面考查：
1．幂函数与指数函数有何不同？ 提示：幂函数的底数是自变量，指数为常数；指数函数的 指数是自变量，底数是常数．
二、幂函数的图象和性质 1．幂函数的图象
[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质
函数 特征 性质
y＝x
y＝x3
y＝x2
y＝x
1 2
y＝x－1
图象
定义域 R
R
R {x|x≥0} {x|x≠0}
4.运用二次函数、一元二次方 2.对二次函数的考查侧重于求
程及一元二次不等式之间的 解析式，求二次函数在闭区
联系去解决有关问题．
间上的最值等，各种题型都
5.掌握数形结合及等价转化的 可能出现，一般涉及到分类
思想.
讨论思想的运用.
一、幂函数的定义
形如 y＝xα 的函数叫做幂函数，其中
x
是自变量，
α
是常数．
超链接
3．二次函数的图象和性质
[动漫演示更形象，见配套课件]
a>0
a<0
图象
图象 特点
①对称轴：x＝－2ba；
②顶点：－2ba，4ac4－a b2
定义域
a>0
a<0
x∈R
值域
y∈4ac4－a b2， ＋∞ y∈－∞，4ac4－a b2
性 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数
质
单调性