数论1

整除问题与极值问题题型1 数的拆解与数的整除1．在能同时被2，3，5整除的三位数中，最大的数是 。

（2012高新一中）2．四位数23口口能同时被2，3，5整除，那么这个四位数最大是 。

（2012电大附中）3．能同时被3，5，8整除的最大的三位数是 。

（2015工大附中）4．小明将于2017年的3月份参加数学竞赛，这个月有5个星期三、5个星期四、5个星期五，那么这个月的23号是星期 。

（2016交大附中）5．一个数除以9余8，除以6余5，这个数加上1就能被5整除，则符合条件的最小自然数是 （2016铁一中）6. 12口345口能被72整除，则口内两个数的积是 。

7．在1～1000的自然数中，不能被3也不能被5整除的数共有 个（2015交大附中）8.在89，121，135，480，157，483中，是3的倍数的有 个。

（2015工大附中）9．若 是99的倍数，则a+b=10.已知七位数92AB427 能被99整除，那么两位数 =11.已知x+2y （其中x ，y 都是正整数）能被9整除，则2（5x - 8y-4）被9除的余数为 。

（2013远东一中）12.在947后面添上三个不同的数字，组成一个能被2，3，5同时整除的最小的六位数，这个数是 。

（2012工大附中）13. 一个三位数，既能被8整除，又能被9整除，而且5是它的因数，则这个三位数最小是 。

（2015铁一中）14．一个自然数与4的和能被6整除，与4的差能被8整除，则满足上述条件的最小的自 然数是 。

（2013高新一中）15.一个六位数的各位数字都不相同，最左边一位数字是3，且它能被l 1整除，这样的六位数中最小的是____。

（2013高新一中）16. 一个四位数106口，同时可以被2和3整除，那么口内可以填( )。

（2014交大附中）A ．6B ．5C ．4D ．217.已知a 是一个整数，则它的倒数是( )。

（2014铁一中）A ．aB ．a 1 c ．a1或者没有 D ．无法确定 18.下面四个数都是六位数，N 是大于0小于10的自然数，S 是0。

那么一定能被3和5整除的数是( )。

（2013高新一中）久．NNNSNN B.NSNSNS c.NSSNSS D.NSSNSN19.下面四个数都是六位数，其中B 表示0，当A 表示比10小的任何一个非零的自然数时，一定是2，3，5的公倍数的数是( )。

（2013铁一中）A. AABAABB.ABABAB c.ABAABA D.ABBABB题型2 生活应用与数的整除1．李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9口．2口元，已知口处数字相同，那么每支钢笔 元。

（2013师大附中）2．某班有49名同学，其中男同学的52和女同学的83参加了数学小组，那么这个班中没有参加数学小组的同学有 名。

（2012交大附中）3．六个袋子内分别有18个、19个、21个、23个、25个与34个球，其中一个袋内装的都是有裂口的球，其余五个袋内都是没有带裂口的球。

现在小王拿了其中三袋，小丁拿了两袋，只剩下那个装有裂口球的袋。

如果小王得到的球数是小丁的2倍，那么有裂口的那袋球是 个。

（2013工大附中）4．商店里有六箱货物，分别重14千克、17千克、20千克、21千克、22千克、30千克，两个顾客买走了其中五箱，已知一个顾客买走的货物质量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物的质量是 千克。

（2013交大附中）5．某班有一个小图书角，共有300多本图书，从1开始，图书按自然数的顺序编号，即l ，2，3，…小光发现这个图书角里同时能被2，3和8整除的书号共16个，这个图书角里至少有 本图书。

（2014交大附中）题型3 极值分析1．有一架天平，只有5克和30克两个砝码，现在要把300克盐分成三等份，最少得称 次。

（2013高新一中）2．一个盒子中装有黑、白两种颜色的棋子各12颗，那么从中至少摸出 颗才能保证有4颗颜色相同。

（2015师大附中）3．有一幢四层楼，每层房间不少于5间，如果任意三层的房间总数不少于17间，那么这幢楼至少有 间房。

（2014高新一中）4．妈妈让小明给客人沏茶，洗水壶用1分钟，烧开水用10分钟，洗茶壶用1分钟，洗茶杯用1分钟，泡茶用3分钟，那么客人最快要 分钟喝到茶。

（2015师大附中）5．果篮里有苹果、香蕉、梨、橘子、桃五种水果各若干个，每个人可以从中任取两个不同的水果，那么最少需要 个人才能保证至少有2人选的水果是完全相同的。

（2013高新一中）6．电视台要播出一部30集的电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播出( )天。

（2015工大附中）A ．9B ．8C ．7D ．67．小明和爸爸一起锻炼时发现：小明每跑8步而爸爸只能跑5步，但是爸爸跑2步的距离相当于小明跑5步的距离。

如果从同一起点，小明跑了27步后，爸爸才开始追小明，则爸爸追上小明至少需要跑( )步。

（2014铁一中）A ．48B ．40C ．30D ．208．一张圆桌有12个座位，已经有n 个人按某种方式就座，当某人就座时，发现无论他坐在哪个座位，都将与已经就座的人为邻，则n 的最小值是( )。

（2015工大附中）A ．4B ．5C ．6D ．79．请你参加一种游戏，有1996个棋子，每次允许取其中2个、4个或8个，谁最后把棋子取完，就算谁获胜。

如果你先取，那么第一次你取( )个必胜。

（2010工大附中）A.1 B ．2 C ．3 D ．410. 一箱弹珠有若干颗（不多于500颗）。

如果按2颗一次，或3颗一次，或4颗一次，或5颗一次，或6颗一次取出时，最后箱子里总还剩下1颗。

如果按7颗一次取出时，箱子里就1颗也不剩。

则箱子中原来最多有弹珠 颗。

（2015工大附中）质数、合数、分解质因数题型1 质数与合数1．三个质数的倒数之和为19861661，这三个质数的和是 。

（2015高新一中）2．两个质数的倒数相加的和的分子是31，和的分母是 。

【2014铁一中）3．在1～2015这2015个数中，与21互质的数共有 个。

（2015铁一中）4．三个质数的和为140，则这三个质数乘积的最大值是 。

（2015铁一中）5．有两个质数，它们之和既是一个小于1 00的奇数，又是1 7的倍数，这两个质数的积是 。

（2015工大附中）6．把9l ，85，77，65，51，33六个数分为两组，每组三个数，使两组的积相等，则两组数之差为____。

（2014铁一中）7．一个自然数可以写成两个不同质数相乘的积，这个数的因数共有( )个。

（2014铁一中）A ．4B ．3C ．2D.18．a 是质数，b 是合数，下面的式子中，值不一定是合数的为( )。

（2014交大附中）A ．3a+bB ．ab c ．ab ÷b D ．a b ÷b21 9．在自然数中，凡是5的倍数( )。

（2014交大附中）A ．一定是质数B ．一定是合数C ．可能是质数，也可能是合数10.a ，b 和c 是三个非零自然数，在a=b ×c 中，能够成立的说法是( )。

（2014铁一中）A ．b 和c 是互质数B ．b 和c 都是a 的质因数C ．b 和a 都是口的因数D ．B 一定是c 的倍数题型2 分解质因数1.2月份的一个星期日，有三批学生去看望李老师，这三批学生的人数不等，且没有单独一人去看望李老师的，这三批学生的人数的积恰好等于这一天的日期数，那么2月1日是星期 。

（2014铁一中）2．边长为自然数，面积为105平方厘米的形状不同的长方形共有 种。

（2012铁一中）3. 1008乘一个正整数a ，积是一个完全平方数，则a 的最小值为 。

（2015高新一中）4．若1997111=+B A ,A,B 均是正整数，且A 大于B ，则BA = 。

（2012铁一中） 5．a ，b 是自然数，且756a= b 3,则a 的最小值是 。

（2013高新一中）6．把12，30，42，44, 57，91，95，143这八个数分为两组，使两组数乘积相等，则正确的分组是：其中一组为 ，另一组为 。

（2012铁一中）7．在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字 ， 精英赛×赛精英 =2008×8×8，那么，精英赛 = 。

（2013师大附中）8．十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈循环报数。

如果报1和报109的是同一个人。

那么共有 个小朋友。

（2012交大附中）9．有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄的乘积是5040，这四个同学的年龄和是 。

（2012师大附中）10．M 个连续自然数之和为35 (M>1)，M 的所有可能取的值之和为 。

（2015铁一中）11．两数相除，商4余3，被除数、除数、商、余数四数之和等于135，则被除数是 。

（2015铁一中）12．为b ×b a =452，则a+b 的最小值为( )。

（2014交大附中） A ．70 B ．25 C ．50 D ．315最大公因数与最小公倍数题型1 数字拆解与最大公因数、最小公倍数1．一个三位数，十位上的数字是“2”，这个数既能被2，5整除，又是3的倍数，这个数最小是 。

（2015工大附中）2．如果自然数A 是自然数B 的5倍，A 和B 的最小公倍数是 ，它们的最大公因数是 。

（2015高新一中）3．甲、乙两数的比是5：3，它们的最大公因数与最小公倍数的和是240，这两个数的差是 。

（2015高新一中）4．两个数的最大公因数是6，最小公倍数是84，其中一个数是12，另一个数是 。

（2015师大附中）5．两个正整数的最大公因数为7，最小公倍数为105，这两个整数的和为 。

( 2015工大附中）6.已知两个自然数的和是60，它们的最大公因数与最小公倍数之和是84，两个自然数中较小的自然数是 。

（2015工大附中）7.两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公因数的差是203，则这两个数的和是 。

（2014铁一中）8．两数的最大公因数是75，最小公倍数是450。

若它们的差最小，则这两个数中较小的数是 。

（2015工大附中）9．A 与b 是相邻的两个非零自然数，它们的最大公因数是__，最小公倍数是____。

（2012铁一中）10. a=2×3×m ，b=3×5×m （m 是自然数且不为0），如果a 和b 的最大公因数是21，则m 是a 和b 的最小公倍数是____ 。

（2014铁一中）11.如果a 与b 是连续的奇数，则a ，b 的最大公因数是( )。

（2014交大附中）A ．aB ．bC ．abD ．112A ，B 两个数为互质数，则A ，B 两个数的最小公倍数是( )。