B1-4.2换元积分法(第2类换元法)

(
)
• 原变量回代所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为：若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有

=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
• 对换元过程的理解
第二换元法可理解为，若积分∫ f( x )d x 难以积出, 可考虑根据 f( x )具体情况选择适当代换 x = ( t )使积
分转化为形如 ∫ f[( t )] ( t )d t 的积分考察。
x = a sec t x
a
t
当 x < a 时，对应有 t ( /2 , )，此时 tan t < 0 ，此时有
x2 − a2 = x a sec 2 t − a 2 = tan t = − tan t . a sec t sec t sec t

x 2 − a 2 d x = − tan t a sec t tan t d t sec t x
2 a 1 a sin ta cos t + C 2 2 a − x d x = t + 2 2 2 a = arcsin x + 1 x a 2 − x 2 + C . 2 a 2
a
t
a2 − x2
x
此例代换可用于求如下形式的无理式的积分：
R( x,
a 2 − x 2 )d x .
例：求积分
dx , (a 0) . 2 2 x +a 对于无理函数的积分常需考虑

通过代换将其转化为有理函数进行积分。对本例，为去掉二次根号，应设法将根
号内部分化为完全平方。
由被积式根号内形式联想到恒等式： 1 + tan 2 t = sec 2 t ，( 2k - /2 < t < 2k + /2 )；故可考虑根据这种函数关系设置相应代换 x = ( t )= a tan t 以去掉二次根。
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1)
( 2)

f ( x , n ax + b ) d x , 令 t = n a x + b
a x +b n , c x+d
f (x
) dx ,
令 t=
n a x +b c x+d
第四节讲
(3) ( 4) ( 5)
f ( x , a 2 − x 2 ) d x , 令 x = a sin t 或 x = a cos t f ( x , a 2 + x 2 ) d x , 令 x = a tan t f ( x , x 2 − a 2 ) d x , 令 x = a sec t
换函数的反函数存在，从可通过原变量回代求出给定积分∫ f( x )d x ，即
( t ) dt f ( ) t f ( x )d x =
t = ( x )
.
(2) 第二换元法的应用从应用角度讲，用第二换元法计算不定积分主要考虑两个问题：
• 代换函数及相应代换区间 x =( t ), t I 的选择；
若该积分易于积出，即可求得函数 ( t )，使得 ∫ f[( t )] ( t )d t = ( t )+ C，则可通过相应的逆代换 t = ( x ) 求出原积分，即有 f ( x ) d x = f ( t ) ( t ) d t = ( t ) + C = ( x ) + C .
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a tan t dx = a sec t tan t d t
a sec t tan t d t = sec t d t ∴ 原式 = a tan t = ln sec t + tan t + C1
x = ln a +
t
x2 − a2
x2 − a2 + C 1 a
(C = C1 − ln a )
当 x − a 时 , 令 x = − u , 则 u a , 于是
= − du u2 − a2
= − ln u + u 2 − a 2 + C1
= − ln − x + x 2 − a 2 + C1
= − ln a2 − x − x2 − a2 + C1
由分项积分法只能求出由基本积分表上的
简单函数的和差所构成的函数的积分，而对于
其它的函数形式，如由这些简单函数乘积或复合构成的函数的积分，分项积分法就显得无能
为力了。因此必需进一步研究积分的方法。
换元积分法是由复合函数微分运算法则导出的积分法则，它是积分运算中应用得最多，
解决问题最多，也是最灵活的积分方法。
从运算角度看，第二换元法的换元过程实际可分
为三个步骤： ∫ f ( x )d x
x = ( t )
选择适当代换及代换区间作代换 x = ( t ),t I 计算积分求出原函数
f ( t ) ( t ) d t
= (t ) + C
= ( x ) + C .
.
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t = −1 ( x ) 是 x = (t ) 的反函数 .
证: 设 f [ (t )] (t ) 的原函数为 (t ) , 令则

(t ) = f [ (t )] (t ) F ( x ) = [ −1 ( x ) ] d dt 1 F ( x ) = = f [ (t )] (t ) = f ( x) d t dx (t ) f ( x ) dx = F ( x ) + C = [ −1 ( x )] + C
(6)

f (a x ) dx , 令 t = a x
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒数代换 2. 常用基本积分公式的补充
例. 求
a −x dx . 例. 求 4 x 1 解: 令x = t ,则
原式ห้องสมุดไป่ตู้=
2
2
a2 −
1 t4
1 t2
1 −1 2 2 2 d t = − ( a t − 1) 2 t d t t
计算代换函数反函数 t = ( x ) 并回代
• 对换元条件的理解第二换元法实际求出的是积分 ∫ f[( t )] ( t )d t = ( t )+ C . 换元条件要求代换函数 x = ( t )在某区间 I t 内是
单调可导的函数，且 ( t ) 0，其意义就在于保证代
y
x = a sec t

−π
x2 − a2 dx x
a
−π 2
x (−, − a ) (a, + )
O
−a
π 2
π
x
用第二换元法去根号 • 选择代换形式及代换区间令：x = ( t )= a sec t，t 0 , π 则 d x = d( asec t )= a sec t tan t d t .
• 计算相应的积分

a 2 − x 2 d x = ( a cos t ) ( a cos t d t ) = a 2 cos 2 t d t
2 2 a a 1 sin 2 t + C ( ) = d t = t + 1 + cos 2 t 2 2 2 2 a = t + 1 a sin ta cos t + C = ( t ) + C . 2 2
原式 = − 1 2
2a

1 ( a 2t 2 − 1) 2
3 2
d( a 2 t 2 − 1)
( a t − 1) =− +C 2 3a
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
2 2
例. 求
1 dx 解: 原 = 2 d( x + 1) 2 ( x + 1) + ( 22 ) 式 x +1 1 +C = arctan 2 2

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高数B 4.2-换元积分法(2)

第二节换元积分法
定理2 设 f (x) 连续. 又
的导数也连续, 且
则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
第二节换元积分法
1.简单无理函数的不定积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换化为有理函数的积分. 例如:
R(x , n ax b ) dx ,
令 txb c xd
) dx
,
令
t

n
a xb c xd
R(x , n ax b , m ax b) dx , 令 t p ax b ,
p为m, n的最小公倍数.
例1 求
1

dx 3x

2
.
例2 求
例3 求

1 x
1 x dx . x
第二节换元积分法
例4 求 a2 x2 dx (a 0) .
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
例5 求
例6 求
例7 求
(x2
1 1)2
dx
.

1 2
(arctan
x

x x2 1
)

C
第二节换元积分法
3. 被积函数中含有 ax ,且凑微分法不易应用,
第二节换元积分法
少年中国说—梁启超
红日初升，其道大光。河出伏流，一泻汪洋。潜龙腾渊，鳞爪飞扬。乳虎啸谷，百兽震惶。鹰隼试翼，风尘翕张。奇花初胎，矞矞皇皇。
第二节换元积分法
少年中国说—梁启超
干将发硎，有作其芒。天戴其苍，地履其黄。纵有千古，横有八荒。前途似海，来日方长。美哉我少年中国，与天不老！壮哉我中国少年，与国无疆！

4.2 换元积分法

解：
(1)
a2
1
x2
dx

1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a

C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx

arcsin
x a

C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分

f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)

dx x 1
解：令 x 1 u 则 dx du，于是

dx x 1

du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x

ln
1
x

C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)

ln x x
dx
解：
(2)

4.2_换元积分法

x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习：求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt

第二类换元积分法公式大全

第二类换元积分法公式大全第二类换元积分法是求解不定积分中常用的一种方法，也被称为反三角函数法。

该方法适用于被积函数含有形如$f'(x)/f(x)$的因式，换元后将该因式化为常数，从而简化积分运算。

以下是第二类换元积分法中常用的公式：1. $\int f'(x)f(ax+b)dx=\dfrac{1}{2a}f^2(ax+b)+C$2. $\int \dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$3. $\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\sin^{-1}\dfrac{x}{a}+C$4. $\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C$5. $\int \dfrac{1}{ax^2+bx+c}dx=\dfrac{1}{\sqrt{4ac-b^2}}\tan^{-1}\left(\dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)+C$6. $\int \dfrac{1}{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{a}\tan^{-1}\dfrac{x}{a}+C$以上公式中，$f(x)$是反函数$f^{-1}(x)$的导数。

对于一般情况，我们可以通过合理的换元使得原函数变为上述公式中的一种形式，从而便于求解不定积分。

例如： $\int \dfrac{1}{2x+1}\ln(2x+1)dx$。

这里$f(x)=\ln(x)$的导数为$f'(x)=\dfrac{1}{x}$，而被积函数中含有$(2x+1)$的因式，因此我们可以尝试使用第一类换元积分法：$u=2x+1$，则$du=2dx$，积分变为：$$\begin{aligned}\int \dfrac{1}{2x+1}\ln(2x+1)dx&=\int \dfrac{1}{u}\ln u\cdot\dfrac{du}{2}\\&=\dfrac{1}{2}\int \ln u\cdot\dfrac{du}{u}\\&=\dfrac{1}{2}\ln^2(2x+1)+C\end{aligned}$$由此可知，使用第二类换元积分法可以更加灵活地求解各种类型的不定积分，为我们的微积分研究提供了便利。

§4.2 换元积分法(第二类换元法)

§4。

2 换元积分法（第二类)Ⅰ授课题目（章节)：§4。

2 换元积分法（第二类换元积分法） Ⅱ教学目的与要求:1。

了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰时,如果函数g (x ）可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式,那么()()[()]()[()]()()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰()F u C =+[()]F x C ϕ=+所以第一换元积分法体现了“凑”的思想。

把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来。

对于某些函数第一换元积分法无能为力,例如⎰-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。

第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。

即()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰，然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。

定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ,则⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1分析要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dt dx=证明 )(t x ψ= 单调、可导,∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且)(11t dtdx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.第二换元法,常用于如下基本类型类型1：被积函数中含有22x a -(0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-)则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1 求⎰-dx x a 22)0(>a解令t a x sin = ，(,)22t ππ∈-,则t a x a cos 22=-tdt a dx cos = 22cos cos a x dx a ta tdt ∴-=⎰⎰22211(cos 2)sin 22224a a a t dt t t C =+=++⎰22222sin cos arcsin 2222a a a x x t t t C a x C a =++=+-+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.例2 求⎰-dx xx 224解令t x sin 2=,(,)22t ππ∈-,则t x cos 242=-，tdt dx cos 2=2224sin 1cos22cos =42cos 24t t tdt dt t x-∴=⋅-⎰⎰ =(22cos2)2sin 2t dt t t C -=-+⎰222sin cos 2arcsin 422x xt t t C x C =-+=--+类型2:被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22t ππ∈-，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec =；可将原积分化为三角有理函数的积分。

第二类换元法

令u =
ex
−1,
则
d
x
=
1
2u + u2
d
u
∫ = 2x ex −1− 4
u22+u12 − 1+ u2
1
d
u
− 4(u − arctan u) + C
= 2x ex −1 − 4 ex −1 + 4arctan ex −1 + C
方法2 (先换元,再分部)
令 u=
ex
−1,
则
x
=
ln(1 +
u2),
积分得: uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx 分部积分公式
或 ∫uv′dx =∫udv = uv − ∫ vdu
选取 u 及 v′(或dv) 的原则: 1) v’ 容易积，u求导简单 ;
2) ∫ u′v dx 比 ∫ u v′ dx 容易计算 .
2
2
∫ 2. 求 I =
dx . 4x2 + 9
解:
I
=
1 2
∫
d (2x) = 1 ln 2x + (2x)2 + 32 2
4x2 + 9 + C
∫ 3. ∫ x2
1 dx x3 +1
=1 3
1 d (x3 +1) x3 +1
= 2 x3 +1+ C 3
∫ 4.
∫
2x + 3 dx 1+ 2x+ a2 = a2 tan2 t + a2 = a sect
dx = a sec2 t d t

第二类换元积分法-精品

第三章一元函数积分学
(三)
如何求 a2x2 dx?
当被积函数f(x)不能用第一类换元法(凑微分法)时,就要用一种相反的代换.
Hale Waihona Puke 2.第二类换元积分法
通过变量代换x (t) (一般要求 (t) 是单调的 , 且有连续的导数 (t) 0) ,
把积分 f (x)dx转化为一个易于计算的积分 f [ (t)] (t)dt , 这种换元的
例35
求1
xdx 1x2
.
例36
求
1+x x 1-x2
dx
小结
两类换元积分法：
（一）凑微分（二）三角代换、根式代换、倒数代换
三角代换常有下列规律
(1) a2x2 可令xasitn ; (2) a2x2 可令 xatat;n (3) x2a2 可令 x a se t. c
* * 1 . 简单无理函数的积分 , 一般直接令根式为一新变量；
例 26.求a2x2dx (a0)
例 27.求 dx (a0).
a2x2
例 28.求 dx (a0).
x2a2
形如“ f( x2 a2 , a2 x2 )dx”的积分，
一般用三角代换。 **以上三个结果实际为积分公式
三角代换常有下列规律
(1) a2x2 (2) a2x2 (3) x2a2
2.被积函数为异次根式的mx, l x时 ,令 xtn(其中n为各根指数的最小公倍数)；
3.形如 dx ,
dx
的积分
xm x2 a2 xm ax2 bxc
(m为正整数)一般采用倒代换,令x= 1t

§4.2换元积分法(第二类换元法)

§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)u (x) f(u)duF(u) C F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如f[ (x)] (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2 dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。

第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t)将无理函数f (x)的积分f (x)dx化为有理式f[ (t)] (t)的积分f[ (t)] (t)dt。

即f(x)dx f[ (t)] (t)dt若上面的等式右端的被积函数f[ (t)] (t)有原函数(t)，则f[ (t)] (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成1 (x)，所以需要一开始的变量代换x (t)有反函数。

定理2设x (t)是单调、可导的函数，且(t) 0,又设f[ (t)] (t)有原函数(t)，则1f(x)dx f[ (t)] (t)dt (t) C [ (x)] C分析要证明f(x)dx [ 1(x)] C，只要证明[1(x)]的导数为f(x),d 「1,、■, d dt dt[(x)] , ?dx dt dx dx可将原积分化作三角有理函数的积分x2例2求 . 2 dx4 x,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost，dx 2costdt(2 2cos2t)dt 2t si n2t C2 2证明x (t)单调、可导，x (t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q —dx-J -JI A[1(x)]頁匸f[ (t)]⑴飞f(x)1 (x)］是f (x)是一个原函数f (x)dx [-(x)]第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有..a2x2( a 0) ,可令x asint (并约定例1求a2x2dx (a 0)解令x asint acost dx acostdt.a2x2dx a costa costdt a2 (21-cos2t)dt2at22 a sin 2t42at22a sin tcost2a2x x —C arcs in a2 a 2把sin t，cost用x表示.借助下面的辅助三角形2t 2sin tcost解令x 2sint，4—^dt2C 2arcsi n ——44x2 C2 2类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令x ata nt 并约定t ( ,)，则2 2asect ；dx 2a sec tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分dx(a 0)解令x atant，t ( , )，^V .”.：x a2 22asect, dx a sec tdtsectdt In sect tant C例4求解令xdxx 2 \ 42ta ntdxx2.4 x21 cost ,,2 dt4 sin t-^^dsi nt sint.4 x2 21 sect4 2dtant1 1 cC1dt414 sin t,)，则2 22sec t24tan t 2sectdx(x2 9)2（分母是二次质因式的平方23sec tdt2dx 2 sec tdt1萼dtsin2tcos t4 x2Cdx 3sec21 工 127cos2 tdt(x29) 2481sec1 t 1 t—(1 cos2t)dt ——cos 2tdt —54 54 54 54t 1 t 1—sin 2t —一sin t cost C54 2 54 54 54解令x 3tant,贝U x2 9 9sec21, dx12 54cos2td2t3x（第二换兀积分法分）(x 2x 5)1x 1 arcta n —2 2解(x 2x 5)2 2 2[2 (x 1)]，令x 1 2ta ntt (i ，2)则dx 2 2(x 2x 5)笄壬水1 (12 sec t 16cOs2t)dt1sin t cost C161 x 1 arcta n — 16 21 x 1 8 x 22x 类型3 被积分函数中含有(a 0)，当 x a 时，可令x asect ，并约定I 2 2t （0,—），贝U x a ata nt , 将原积分化为三角有理函数的积分。

4.2第二类换元积分法

t 1

6
(t 2

t
1
t
1 )dt 1
2t3 3t 2 6t 6 ln t 1 c
2 x 33 x 66 x 6 ln 6 x 1 c
例3
求
1 dx. 1 ex
解令 t 1 e x e x t 2 1, x lnt 2 1,
ex f (ex 1)dx.
4.2 换元积分法
思考题

x2

1 2x

dx 4

3

1 (1
x)2
dx

1
1 u2
du

arctanu

c

1 3

1

1 1
x
2

dx
3
1 3
3

1

1 1
x
2
d

1
x 3

3
1 arctan 1 x c
(u 1)u10du
x u 1
(u11 u10)du
基本积分表(续)
tan xdx ln cosx C;
cot xdx ln sin x C;
secxdx ln secx tan x C;
cscxdx ln cscx cotx C;
2
a2
x asin t 作直角三角形
t arcsin x a
t
a2 x2
sin 2t 2sin t cost 2 x
a
a2 x2 a

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