高考高分策略 导数压轴题备考策略(镇海中学 周海军)
导数压轴题的教学策略
导数压轴题的教学策略
导数压轴题的教学策略可以按照以下步骤进行：
1.深入理解导数概念：导数是微积分中的重要概念，它描述了函数值随自变量变化的速率。
只有深入理解了导数的概念和性质，才能更好地解决导数问题。
2.掌握常见题型及其解法：导数压轴题通常涉及多种知识点和方法，例如极值、单调性、不等式证明等。
学生需要掌握这些题型的特点和解法，以便能够快速找到解题思路。
3.强化训练：通过大量的练习和模拟考试，提高学生的解题能力和技巧。
在训练中，可以采取一题多解、一解多题等方式，帮助学生拓展思路，提高解题效率。
4.反思总结：在解题过程中，学生需要不断地反思和总结，分析错题的原因和解决方法，并加以改进。
同时，也需要总结解题技巧和思路，形成自己的知识体系。
5.合作交流：鼓励学生之间的合作和交流，共同探讨解题方法和思路。
通过合作交流，可以相互启发、补充和促进，提高学习效果。
6.教师指导：教师需要给予学生适当的指导和帮助，解决学生在学习中遇到的问题。
同时，教师也需要不断更新教学方法和策略，根据学生的实际情况进行调整和完善。
以上是导数压轴题的教学策略，希望对您有所帮助。
如何攻克导数压轴题
如何攻克导数压轴题作者：高荣丽来源：《读写算》2020年第05期摘要;在每年的高考数学试卷中都会有一道非常典型题目作为压轴题，压轴题的出现为学生解决数学难题提高自己的数学成绩，造成了极大的困扰。
甚至有的学生在参加高考时直接忽略这一道题目把解决这道题目的时间用在其它题目上。
高考数学压轴题一般都是以圆锥曲线或导数部分的知识为基础的。
圆锥曲线中部分的题目解答逻辑并不困难，只是计算量非常复杂。
而导数部分的知識就不一样了，因此在本文中笔者将详细阐述如何攻克导数压轴题目。
关键词导数题目;高考;数学中图分类号：C931.1 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2020）05-0155-01长期以来，导数和圆锥曲线一直占据着高考数学题目的压轴位置。
圆锥曲线解题思路清晰但计算复杂，与此对应的导数部分就不相同了。
导数题目的逻辑梳理难度比圆锥曲线部分更高，而且计算量也比较大。
这就导致了一旦出现导数压轴题，很多学生都会饮恨考场。
一、教育学生分析题目分析题目是完成题目阅读之后要做的第一项工作，也是解答一道数学题目所必备的一项基本技能。
如果学生阅读完题目以后不经过一定的分析就立刻开始解答，那么学生的正确率会受到影响。
高考数学的压轴题同样也是如此，虽然在每年有很多学生都会被高考压轴题难倒，但是高考压轴题的基本解题思路与其他题目是没有巨大差别的。
因此教师要教育学生首先要静下心来分析题目，不要一看到导数题目是一道压轴题就手忙脚乱、战战兢兢。
以2019年山西省高考数学一卷第二十题为例，解决这道题目的第1步就是要分析这道题目：“已知函数f（x）=sin x-ln（1+x），f'（x）为f（x）的导数，请证明（1）f'（x）在区间（-1，π/2）上存在唯一的极大值点;（2）函数f（x）有且仅有两个零点”。
关于如何分析这道题目，教师可以向学生做出如下讲述：“同学们，首先阅读这道题目我们就会明白它考察的是导数部分的知识，而第1项的证明是和导数的零点有关的，那么在学习导数这一部分的知识时，关于函数极大值的证明所采用的方法就是求导。
压轴题型10-导数压轴大题的处理策略(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题10导数压轴大题的处理策略目前虽然全国高考使用试卷有所差异，但高考压轴题目题型基本都是一致的，几乎没有差异，如果有差异只能是难度上的差异，高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是:切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。
导数解答题是高考数学必考题目，然而学生由于缺乏方法，同时认识上的错误，绝大多数同学会选择完全放弃，我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分的夸大。
掌握导数的解体方法和套路，对于基础差的同学不说得满分，但也不至于一分不得。
为了帮助大家复习，今天就总结倒数7大题型，让你在高考数学中多拿分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题。
○热○点○题○型1分类讨论与极值点偏移问题○热○点○题○型2恒成立问题的处理策略○热○点○题○型3凹凸反转问题的处理策略1．已知函数()e 3xf x a x =--有两个零点．(1)求实数a 的取值范围．(2)函数()()()ln 1g x f x x x =+-+，证明：函数()g x 有唯一的极小值点．【答案】(1)2(0,e )(2)证明过程见解析【分析】(1)对函数()f x 求导，求出函数()f x 的单调区间，再利用函数图像，从而得出()f x 的最小值小于零，进而求出结果.(2)通过函数的极值点的定义，将问题转化成导函数的零点问题，通过对函数()g x 求导，得出导函数()g x '严格单调，进而再利用零点存在性原求出()0g x '=的零点，从而得到证明.2．已知2()e 2xf x x x =--.(1)若()f x 在x =0处取得极小值，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有两个不同的极值点12,x x （12x x <），求证：1202x x f +⎛⎫''< ⎪⎝⎭（()f x ''为()f x 的二阶导数）.【答案】(1)(),1-∞3．已知函数()2e a f x x=，0a ≠.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()ln ln x xf x a -≤恒成立，求实数a 的取值范围.(1)当12a =时，讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；(2)当a<0时，求曲线()y f x =与()y g x =的公切线方程.【答案】(1)在R 上单调递增.(2)21y x =+【分析】（1）先求函数()F x 的导函数()F x '，再利用导数证明()0F x '≥，由此判断函数()F x 的单调性；()()0,,0x x ∞ϕ∈+>，又e 0x >得，所以()(),0,0x m x ∞∈-'<，()()0,,0x m x ∞∈+'>，所以()m x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，所以()()00m x m ≥=，因此函数()y m x =只有一个零点，即()11121e4e 42e 410x x x ax a a -+--+=只有一个解10x =，此时切线方程为21y x =+，所以曲线()y f x =与()y g x =的公切线方程为21y x =+.【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于利用导数的几何意义确定切点的坐标满足的关系，再通过利用导数研究方程的解，确定切点坐标，由此求出切线方程.5．已知()()222ln 2a f x x a x x =-++.(1)讨论()f x 的单调性；(2)确定方程()22a f x x =的实根个数.(]0,e x ∈时，()g x 取值范围是⎛-∞ ⎝()e,x ∈+∞时，()g x 取值范围是0,⎛ ⎝所以当112e a +>，即22ea >-时，方程当112e a +=或102a +≤，即22e a =-当1012e a <+<，即222e a -<<-时，方程【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数()f x '的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照()0f x '=是否有根，根的大小进行分类求解的．6．已知函数()()()13ln 3R f x a x ax a x=---∈，ln 3 1.1≈.(1)当a<0时，试讨论()f x 的单调性；(2)求使得()0f x ≤在()0,∞+上恒成立的整数a 的最小值；(3)若对任意()4,3a ∈--，当[]12,1,4x x ∈时，均有()()()12ln 43ln 4m a f x f x +⋅>-+成立，求实数m 的取值范围.离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．7．已知函数()ln 2f x x ax =-.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.是自然对数的底数，函数e ln ．(1)若2m =，求函数()()2e 422xx F x x f x =+-+-的极值；(2)是否存在实数m ，1x ∀>，都有()0f x ≥若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．∴()F x 的极大值为()22ln 26F =-；()F x 的极小值为()34ln22F =-．（2）因为0m >，由0mx m ->得1x >，即()f x 的定义域为()1,+∞．当0,1m x >>时，由()()e ln 0xf x m m mx m =+--≥可得，()()e ln ln ln 1x m m mx m m m m x +≥-=+-，不等式两边同时除以m 可得，()1e 1ln ln 1x m x m +≥+-，即()1e ln ln 11x m x m-≥--可得()ln e ln ln 11x mm x --≥--所以()()()()()ln 1ln eln ln 11eln 1x x mx m x x x --+-≥-+-=+-．设()e xh x x =+，则ln ln(1)e (ln )e ln(1)x m x x m x --+-≥+-即()()ln ln 1h x m h x -≥-⎡⎤⎣⎦．易得()e 10xh x '=+>，所以()h x 为单调递增函数．由()()ln ln 1h x m h x -≥-⎡⎤⎣⎦，可得()ln ln 1x m x -≥-，所以()ln ln 1m x x ≤--设()()ln 1H x x x =--，则()12111x H x x x -=-=--'．∴当()1,2x ∈时，()201x H x x '-=<-，即()H x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()201x H x x '-=>-，即()H x 单调递增．即()1,x ∈+∞时，()()min 22H x H ==；由题意可得()min ln 2m H x ≤=，即2e m ≤．∴存在实数m ，且m 的取值范围为(20,e ⎤⎦．【点睛】方法点睛：不等式恒成立求解参数取值范围时，常用的方法是通过构造函数将问题转化成求解函数最大值或最小值问题，即可求得参数取值范围.9．已知函数()()ln ,e e x x f x x g x -=-=-.(1)若[]()()0,1,x g x f a ∃∈>成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：()()πcos 2e x h x f x =+有且只有一个零点0x，且20π1e cos e 2e x g -⎛⎫<< ⎝⎭，f x 的导函数为f x 3πππ,π22n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内的零点为n x ，n *∈N .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)证明：1πn n x x +-<.11．已知函数()ln f x m x x x=++．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当1m =时，证明：()23e x x f x x <+．12．已知函数()()()211R 2f x x m x m =+--∈.(1)求函数()f x 在区间[]1,2上的最大值；(2)若m为整数，且关于x的不等式()ln≥恒成立，求整数m的最小值.f x x(1)讨论()f x 在()0,∞+的单调性；(2)是否存在01,,a x x ，且10x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线？证明你的结论.【答案】(1)答案见解析(2)不存在，证明见解析【分析】（1）对()f x 求导，讨论10a -->和10a --≤时，()f x '的正负即可得出答案；（2）假设存在，求出()f x 在()()00,x f x 和()()11,x f x 处的切线方程，建立等式，将等式化简，减少变量，从而构造新的函数，研究新函数的单调性，即可证明.【详解】（1）()()1e x f x x a '=++，故1x a >--时，()0f x ¢>；1x a <--时，()0f x '<，当10a -->，即1a <-时，()f x 在()0,1a --单调递减，在()1,a --+∞单调递增；14．已知函数23()ln f x x x x =+-．(1)若0a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若12,x x （12x x <）是()f x 的两个极值点，证明：()()121234f x f x x x a-<-．轴上的射影分别为D ，C ，当AB 平行于x 轴时，四边形ABCD 的面积为4．(1)求p 的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍．已知点P 在抛物线E 上，且E 在点P 处的切线平行于AB ，根据上述理论，从四边形ABCD 中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率的取值范围．16．已知函数()()1ln e ,xxf xg x m x==-.()m ∈R (1)证明：()1f x x ≥+；(2)若()()f x g x ≥，求实数m 的取值范围；(3)证明：11e e 1knk k =⎛⎫< ⎪-⎝⎭∑.()N n +∈【答案】(1)证明见解析(2)1m ≥-(3)证明见解析17．设函数1e 2,R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若当[2,)x ∈-+∞时，不等式()()213e f x m x x -≥+-恒成立，求m 的取值范围．18．已知函数.(1)当12a =-时，讨论函数()f x 在()0,∞+上的单调性；(2)当0x >时，()1f x <，求实数a 的取值范围．19．讨论函数()()212ln f x ax x a x =+-+的单调性.么称函数()f x 在区间D 上可被()g x 替代.(1)若()()1,14f x x g x x ==-，试判断在区间13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()f x 能否可被()g x 替代？(2)若()()()2sin ,ln cos f x x g x a x ==+，且函数()f x 在x ∈R 上可被函数()g x 替代，求实数a 的取值范围.综上，满足条件的实数a 的取值范围是[]1,e 1-【点睛】思路点睛：常规函数求导问题中，涉及到三角函数的思路一般为两种：一、正常利用求导公式进行计算；二、利用换元法将三角函数换元进行计算。
数学高考压轴题的特征及应对策略
数学高考压轴题的特征及应对策略江苏省姜堰中学 张圣官（225500）以能力为立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。
由于高考的选拔功能，近年来的数学高考的压轴题中出现了不少以能力立意为目标、以增大思维容量为特色，具有一定深度和明确导向的创新题型，使数学高考试题充满了活力。
本文准备结合近几年高考实例来谈谈数学高考压轴题的特征及应对策略。
一．数学高考压轴题的特征1．综合性，突显数学思想方法的运用近几年数学高考压轴题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法、能力综合型尤其是创新能力型试题。
压轴题是高考试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。
例1．（06年福建（理）第21题）已知函数f (x )=－x 2+8x ，g (x )=6ln x+m ； （Ⅰ）求f (x )在区间[t ，t +1]上的最大值h (t )；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：（I ）f (x )=－x 2+8x=－(x －4)2+16；当t +1<4，即t <3时，f (x )在[t ，t +1]上单调递增，h (t )=f (t +1)=－(t +1)2+8(t +1)=－t 2+6t +7； 当t ≤4≤t +1，即3≤t ≤4时，h (t )=f (4)=16；当t >4时，f (x )在[t ，t +1]上单调递减，h (t )=f (x )=－t 2+8t ；综上，2267, 3;()16, 34;8, 4;t t t h x t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩（II ）函数y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点，即函数 x g (x )－f (x )的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．从而有：2()816ln x x x x m ϕ=-++，(0)x >∵ 262862(1)(3)'()28 (0),x x x x x x x x x xϕ-+--=-+==> 当x ∈(0,1)时，'()0x ϕ>，()x ϕ是增函数；当x ∈(1,3)时，'()0x ϕ<，()x ϕ是减函数； 当x ∈(3,+∞)时，'()0x ϕ>，()x ϕ是增函数；当x =1，或x =3时，'()0x ϕ=； ∴()x ϕ极大值=(1)7,m ϕ=-()x ϕ极小值=(3)ϕ=m+6ln 3－15；当x 充分接近0时，()0,x ϕ<当x 充分大时，()0.x ϕ>∴要使()x ϕ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，当且仅当()70,()6ln 3150,x m x m ϕϕ=->⎧⎪⎨=-<⎪⎩极大值极小值＋ 即7156ln3m <<-， 所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7, 156ln3)-．点评：本小题主要考查函数的基本知识和运用导数研究函数能力；第一小问考查分类与整合等数学思想，第二小问考查函数与方程、数形结合及转化与化归数学思想。
解决一类函数与导数压轴题的基本策略——以２０２１年浙江省高考压轴题解析为例
用思维导图解答压轴题㊀从通法到秒杀讲课比赛获奖作品系列之十六解决一类函数与导数压轴题的基本策略以２０２１年浙江省高考压轴题解析为例◉杭州第七中学㊀刘富裕摘要:本文中主要以构造函数㊁参变分离㊁数形结合㊁分析法㊁放缩法等基本方法,探析２０２１年浙江卷压轴题函数与导数的解法,并对试题难点及所考查的核心素养进行再反思和归纳,为新一轮高考复习的师生寻找一个解决这类问题的突破口,提供一个探究解法㊁启发教学的视角．关键词:函数零点;放缩法;分析法;双变量含参不等式１引言２０２１年浙江省压轴题表述简洁,立意新颖,知识交汇丰富,多层次多角度地考查了学生的数学思维和素养[１]．该题将函数㊁导数㊁函数的零点与不等式知识结合,考查学生灵活运用导数工具分析和解决问题的能力,对逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养要求较高,为高校选拔和学生进一步学习所需掌握的技能㊁思想㊁方法创造条件[２]．２原题设a ,b 为实数,且a ＞１,函数f (x )＝a x －b x ＋e２(x ɪR )．(１)求函数f (x )的单调区间;(２)若对任意b ＞２e ２,函数f (x )有两个不同的零点,求a 的取值范围;(３)当a ＝e 时,证明:对任意b ＞e ４,函数f (x )有两个不同的零点x １,x ２(x １＜x ２),且满足x ２＞b l n b２e２x １＋e ２b．(注:e ＝２．７１８２８ 是自然对数的底数)３题目剖析第(１)小题比较常规,主要考查函数单调性的问题,这里要注意的是对参数的讨论;第(２)小题涉及到函数零点求参数范围,也是浙江高考连续两年都涉及到的问题;第(３)小题属于双变量含参不等式的问题,这也是近几年高考的热点问题的．解题思路如图１:图１４㊀解法探析４．１㊀第(１)小题解法探究(直接求导,正负定界)由于f (x )＝a x －b x ＋e ２(x ɪR ),所以f ᶄ(x )＝a x l n a －b ．①若b ɤ０,则f ᶄ(x )＝a xl n a －b ＞０,所以f (x )在R 上单调递增;②若b ＞０,令f ᶄ(x )＞０,得x ＞l o g abl n a,所以f (x )在(－¥,l o g a b l n a )单调递减,(l o g abl n a,＋¥)单调递增．这种利用导函数来判断函数单调性是比较常规的题目,本小题要注意的是对参数b 的讨论,这里的难点是对指数函数的求导以及极值点的表示．４．２第(２)小题解法探究回归到原点,本小题主要涉及到知识点为函数零点．对于函数零点的问题,可以从函数零点自身性质㊁对应方程的根以及函数图象的交点这三个方面去切入,找到解题突破口．４．２．１极限叙述㊁进阶放缩图２从题目原点出发,明确已知条件,再由第(１)问可得函数f (x )在(－¥,x ０)单调递减,在(x ０,＋¥)上单调递增,另外l i m x ң－¥f (x )＞０,l i m x ң＋¥f (x )＞０(如图２),所以根据函数零点存在性及单调性可知:函数f (x )恒有两个零点等价于f (x ０)＜０恒成立．即∀b ＞２e ２,f (l o g ab l n a )＝b l n a －b l o g abl n a＋e ２＜０恒成立．使用换底公式再去分母化简为:f (x ０)＝b l n a －b l n b －l n (l n a )l n a＋e ２＜０⇔[１＋l n (l n a )]b －b l n b ＋e ２l n a ＜０．图３记上述不等式左侧为g (b ),则其导函数为g ᶄ(b )＝l n (l n a )－l n b ,b ＞２e ２．易知g (b )在(０,l n a )单调递增,在(l n a ,＋¥)单调递减．又因为g m a x (b )＝g (l n a )＝l n a ＋e ２l n a ＞０,所以结合函数图象(如图３)可知:∀b ＞２e ２,g (b )＜０恒成立⇔l n a ɤ２e ２,g (２e ２)ɤ０．{由g (２e ２)＝e ２[２l n (l n a )＋l n a －２l n ２－２]ɤ０,可得２l n (l n a )＋l n a －２l n ２－２ɤ０,即２l n (l n a )＋l n a ɤ２l n ２＋２．又因为函数y ＝２l n x ＋x 在x ɪ(０,＋¥)上单调递增,结合l n a ɤ２e ２,０＜l n a ɤ２,所以１＜a ɤe ２．这种方法是从零点自身性质出发,结合函数单调性,把 函数有两个零点 转化为 恒成立问题 ,进而求参数的取值范围．过程中涉及到构造函数,并把b 看作变量,体现了双参主元的思想[３]．上述方法运算量比较大,我们还可以对其进一步改进与优化．f (x ０)＝b l n a －b l n b －l n (l n a )l n a＋e ２＝b l n a [１－l n (bl n a)]＋e ２＜０．令x ＝bl n a ɪ(０,＋¥),设函数g (x )＝x (１－l n x )＋e ２,则g ᶄ(x )＝－l n x ．由g ᶄ(x )＝０,得x ＝１．则g (x )在x ɪ(０,１]上单调递增,在x ɪ(１,＋¥)上单调递减．又l i m x ң０g (x )＝e ２,且g (e ２)＝０,所以g (x )＜０当且仅当x ＞e ２．由f (x ０)＝g (b l n a )＜０,得∀b ＞２e ２,bl n a＞e ２恒成立．所以(bl n a)m i n ＞e ２,即２e ２l n aȡe ２,从而１＜a ɤe ２．以上过程,首先是从函数零点出发,然后使用极限叙述㊁进阶放缩的方法,最后通过恒成立问题求出参数的取值范围[４]．在此过程中,也涉及到换元㊁构造函数㊁数形结合等方法,主要考查了学生的数学运算㊁直观想象㊁逻辑推理等核心素养．４．２．２换元转化,构造函数由于f (x )有两个不同的零点,等价于方程a x －b x ＋e ２＝０(x ＞０)有两个不同的根,进而等价于e x l n a－b x ＋e ２＝０(x ＞０)有两个不同的根．令t ＝x l n a ,则e t－b t l n a ＋e ２＝０,即b l n a ＝e t ＋e ２t．设g (t )＝e t＋e ２t ,t ＞０,则问题等价于g (t )＝b l n a 有两个不同的根．g ᶄ(t )＝e tt －(e t＋e ２)t ２＝e t(t －１)－e２t２．记h (t )＝e t (t －１)－e ２,则h ᶄ(t )＝e t (t －１)＋e t １＝e tt ＞０．又h (２)＝０,所以t ɪ(０,２)时,h (t )＜０,t ɪ(２,＋¥)时,h (t )＞０．则g (t )在(０,２)上单调递减,在(２,＋¥)上单调递增．所以b l n a ＞g (２)＝e ２,即l n a ＜b e ２．又b ＞２e ２,所以b e ２＞２．因此l n a ɤ２,即１＜a ɤe ２．此方法把函数零点转化成对应方程的根,从方程根这个角度切入,然后通过换元㊁二次构造函数,利用函数单调性求参数范围．过程中涉及到等价转换㊁二次构造㊁二次求导等方法,对学生的数学运算㊁逻辑推理的核心素养有较高的要求．但考场上时间有限,我们需要一种简化运算的方法．接下来,我们尝试从函数图象入手．４．２．３分参思想,利用切点函数f (x )有两个零点,等价于函数f (x )与x 轴有两个交点,但与x 轴交点无法求得．设h (x )＝a x ,g (x )＝b x －e ２,则转化为两函数图象有两个不同的交点．设切点坐标P (x ０,y ０),画出函数图象(图４)．图４发现当b 为定值时,随着a 的变化,两函数图象交点个数是不确定;而当a 为定值时,无论b 如何变化,函数图象始终有两个零点．所以,对于∀b ＞２e ２,两函数有两个交点时,当且仅当g (x ０)＞y ０．由于两函数相切于P (x ０,y ０),且在切点处导数值相等(即切线斜率),所以a x ＝y ０,b x ０－e ２＝a x ,a x l n a ＝b ．ìîíïïïï从而a x l n a x －e ２＝a x ．令t ＝a x ,则t l n t －e ２＝t ,切点坐标为P (l o g ae ２,e ２)．由g (l o g a e ２)＝b l o g ae ２－e ２＞e ２,b ＞２e ２,得l o g ae ２ȡ１,从而１＜a ɤe ２．这种方法是从函数图象切入,把函数零点问题转化为两函数有两个交点．从两函数相切逆推到函数图象相交的情况,从而求出参数a 的取值范围．总体上看,第(２)小题主要是双参数求参数取值范围的问题,我们首先从数学原点和题目原点出发,分别利用零点存在性质得到不等关系㊁利用函数最值性质得到不等关系㊁利用切点性质得到不等关系,最后求出参数的取值范围．在此过程中主要考查学生的逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养．４．３第(３)小题解法探究第(３)小题是不等式的证明,可以从原点出发,挖掘已知条件,类比第(２)小题的做法去切入;也可以从要证明的结论切入,对其变形㊁等价㊁或简化等．４．３．１参变分离,分析求证从参数b 入手．a ＝e 时,f (x )＝e x －b x ＋e ２有２个不同零点x １,x ２(x １＜x ２)．由于e x ＋e ２＝b x ,则x ＞０．结合函数图象(图５),知f (２)＝e ２－２b ＋e ２＜０,则x １＜２＜x ２．图５因为f (x １)＝f (x ２)＝０,所以b ＝e x ＋e ２x １＝e x ＋e ２x ２,b ＝e x ＋e ２x ２＜２ex x ２．则由b ＝e x ＋e ２x １＜２e２x １,得x １＜２e ２b．所以要证x ２＞b l n b ２e２x １＋e ２b ,只需证x ２＞l n b ＋e２b ．由f (x )单调性及f (x ２)＝０,则只需证f (l n b ＋e２b)＜f (x ２)＝０．只需证e l n b ＋e－b (l n b ＋e ２b)＋e ２＜０．只需证el n b ＋e＜b l n b (两边同时取对数)．只需证l n b ＋e ２b＜l n b ＋l n (l n b )⇔e ２＜b l n (l n b )．又因为b ＞e ４,所以b l n (l n b )＞e ４l n ４＞e ２显然成立．证毕．首先把函数零点转化为对应方程的根,分离参数b ,利用数形结合求出x １的取值范围,进而使用放缩法和分析法证明了结论．这里的f (２)＜０是很难想得到的,我们采用数形结合的方法去处理,主要考查学生直观想象能力．上述方法是从参数考虑,对不等式x ２＞b l n b ２e２x １＋e２b 的证明,也可以尝试从x １,x ２上考虑．４．３．２变量分离,分析求证结合第(２)问可知,当a ＝e 且b ＞e ４时,f (x )恒有两个不同的零点．由于f (２)＝２(e ２－b )＜０,可得x １＜２;由于f (x １)＝a x －b x １＋e ２＝０,得b x １＝a x ＋e ２,所以,对待证不等式右侧替换和放大:b l n b ２e ２x １＋e ２b ＝l n b ２e２ (e x ＋e ２)＋e ２b ＜l n b ＋e ２b ．所以,只需证明x ２＞l n b ＋e２b,接下来方法同解法１．此方法把函数零点转化成对应方程的根,和解法１不同的是此方法分离的是b x １,进而对要证的不等式放大,最后用分析法求得结果．主要考查学生的逻辑推理㊁数学运算等核心素养,同时也要求学生对放缩法和分析法掌握得比较熟练．以上两种方法分别是从参数b 和变量x １,x ２考虑,方法很巧妙,但运算量非常大．类比第(２)小题,我们用数形结合来简化运算,此题也可以尝试去从函数图象这个角度切入．４．３．３数形结合,分析求证图６由a ＝e ,f (x )＝e x－b x ＋e ２,∀b ＞e ４知x ０＝l n b ,故f (x )恒有两个零点x １,x ２(x １＜x ２),且x ２＞l n b ＞４,结合函数图象(见图６):f (０)＝１＋e ２＞０,f (１)＝e ＋e ２－b ＜e ＋e ２－e ４＜０,知０＜x １＜１．由０＝f (x １)＝e x －b x １＋e ２,得b x １＝e x ＋e ２＜e ２＋e ．故要证x ２＞b l n b ２e２x １＋e２b ,只需证b l n b ２e ２x １＋e ２b ＜l n b ２e ２(e ２＋e )＋e２e４＜l n b ．只需证(e ２－e )l n b ＞２．而b ＞e ４,知(e ２－e )l n b ＞４(e ２－e )＞２成立．因此x ２＞b l n b ２e２x １＋e２b 得证．从函数图象切入,利用函数图象估计x １的范围,再用代数的方法去验证,然后用放缩㊁分析法求证．体现了数形结合的思想,这个过程中主要考查了学生直观想象的核心素养．纵观第(３)小题,主要是考查双变量含参不等式化为含参数的零点问题,这里的变量又是函数零点,所以将函数零点与对应方程的根互相转化,进而用分析法求证．５反思总结本题是函数与导数的压轴题,对于此类题目,我们需要 回归原点 ．这里的 原点 ,一方面是指试题涉及的 数学的原点 ,即概念㊁定义㊁公式㊁定理㊁基本知识和思想;另一方面是指给出的 试题的原点 ,包括涉及的题型㊁结构,数据㊁条件,变形㊁推论等．以后遇到此类问题时,我们可以从方程㊁不等式㊁切线㊁最值㊁极值等等切入,最后落脚点都是函数[５]．坚定函数思想㊁明确函数意识是求解这类问题的基本．解题过程有如下感悟:导数大题运算繁,双参函数定主元;复杂算式需变换,先猜后证变简单．这也充分考查了学生逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养,同时对学生的创新能力的要求也越来越高[６]．参考文献:[１]洪昌强．立足能力考查彰显函数思想蕴含特色文化 北京㊁浙江近３年高考压轴题(理)比较分析[J ]．中学教研(数学),２０１８(６):４４Ｇ４７．[２]曹凤山,朱伟义．核心素养下求解函数与导数压轴题的几个关键词[J ]．数学通讯．２０２１(５)．[３]鲁如明．浙江省２０１２㊁２０１３理科数学高考压轴题看主元思想[J ]．数学教学与研究,２０１４(９):１０６Ｇ１０７．[４]林国夫．对２０１５年浙江省高考数列压轴题放缩策略的思维探析[J ]．中学数学教学,２０１５(４):１９Ｇ２０．[５]曹凤山．曹凤山讲怎样解题[M ]．杭州:浙江大学出版社,２０２０．[６]文卫星．构建生态课堂落实核心素养[J ]．中学数学教学参考,２０２０(１３):５５Ｇ５６．Z。
怎样做好高考数学压轴题
【数学备考】怎样做好高考数学压轴题冷雪飞上海市澄衷高级中学很多高三同学认为，数学高考试卷的最后一题压轴题很难拿分，往往在答题前，就已经先入为主地认为做不出是意料之内的事情，以至于很多考生在压轴题上得分都很低，这是非常可惜的。
首先同学们要正确认识压轴题。
压轴题主要出在函数，解几，数列三部分内容，一般有三小题。
记住：第一小题是容易题！争取做对！第二小题是中难题，争取拿分！第三小题是整张试卷中最难的题目！也争取拿分！其实对于所有认真复习迎考的同学来说，都有能力与实力在压轴题上拿到一半左右的分数，要获取这一半左右的分数，不需要大量针对性训练，也不需要复杂艰深的思考，只需要你有正确的心态！信心很重要，勇气不可少。
同学们记住：心理素质高者胜！以20XX年的上海高考数学卷的压轴题为例，分析其中一半左右分值的易得分部分，谈一谈解题心态。
同学可以再做一下2021年的高考卷最后一题，或者今年二模卷的最后一题，能否拿到比以往更多的分数。
20XX年高考数学上海卷23题：第二重要心态：千万不要分心。
其实高考的时候怎么可能分心呢？这里的分心，不是指你做题目的时候想着考好去哪里玩。
高考时，你是不可能这么想的。
你可以回顾高三以往考试，问一下自己：在做最后一道题目的时候，你有没有想最后一道题目难不难？不知道能不能做出来我要不要赶快看看最后一题，做不出就去检查前面题目前面不知道做的怎样，会不会粗心错这就是影响你解题的分心，这些就使你不专心。
专心于现在做的题目，现在做的步骤。
现在做哪道题目，脑子里就只有做好这道题目。
现在做哪个步骤，脑子里就只有做好这个步骤，不去想这步之前对不对，这步之后怎么做，做好当下！第三重要心态：重视审题。
你的心态就是珍惜题目中给你的条件。
数学题目中的条件都是不多也不少的，一道给出的题目，不会有用不到的条件，而另一方面，你要相信给出的条件一定是可以做到正确答案的。
所以，解题时，一切都必须从题目条件出发，只有这样，一切才都有可能。
一题多解，突破高考导数压轴题
所以采取了“消元”的思想．类似地，也可以消去ｅ狓 ，留
下ｌｎ狓．
思考三：注意到ｌｎ狓 与ｅ狓 也可以同时消去，故有
下面的方法．
因为ｅ狓 ≥狓 ＋１，所以 －ｅ狓 ≤－狓 －１， 又ｌｎ狓 ≤ 狓 －１，所 以 有ｌｎ狓 －ｅ狓 ≤ （狓 －１） ＋ （－狓 －１）＝－２，经检验等号取不到． 故 犿 ≥－２，即 犿 的最小整数值为 －２． 有了上面的铺垫以后，我们再来看题目２．
（２）若犳（狓）≥１，求犪 的取值范围．
分析：（１）略．
（２）本题仍是一 道 恒 成 立 的 问 题，最 直 接 的 想 法
就是：若犳（狓）≥１恒成立，只需要找到犳（狓）ｍｉｎ，则其
必满足犳（狓）ｍｉｎ ≥１．为寻找犳（狓）ｍｉｎ，做如下求解．
思考一：直 接 找 导 函 数 犳′（狓）的 零 点，然 后 通 过
题 目１：已知函数犳（狓）＝犿ｅ狓 －狓ｅ狓 （狓 ＞０），其中 犿 ∈ 犚，ｅ为自然对数的底数．
（１）讨论犳（狓）的单调性，并求极值； （２）当狓 ＞０时，犳（狓）＋狓ｅ狓 ≥ｅ狓ｌｎ狓－ｅ２狓 ，求犿 的最小整数值． 分析：（１）略． （２）本题实质上 是 一 种 恒 成 立 的 问 题，属 于 常 规 问题，但 恰 恰 是 在 这 种 常 见 问 题 上，却 体 现 了 方 法 的
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教学
２０２１年３月 解法探究
参谋
题目２：已知函数犳（狓）＝犪ｅ狓－１ －ｌｎ狓 ＋ｌｎ犪． （１）当犪＝ｅ时，求曲线狔＝犳（狓）在点（１，犳（１））处 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
灵活性． 多数学生会考虑到首先将犳（狓）代入，得到 犿ｅ狓
导数压轴题解题技巧
导数压轴题解题技巧
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊导数压轴题解题技巧，这可真是个让人又爱又恨的家伙啊！
你看哈，导数压轴题就像是一场刺激的游戏！比如说，给你个函数，哎呀，那弯弯曲曲的图象就像是复杂的迷宫，你得找到出路！就像你在森林里迷路了，得想办法走出来呀！
先来谈谈怎么求导吧！这可是基础。
像有个函数f(x)=x²+3x，那求导可得 f'(x)=2x+3 呀！就好比你走路，求导就是弄清楚往哪个方向走得快，能不走错路嘛！
再说说构造新函数吧！有时候题目里的条件乱七八糟，咋办呢？那就巧妙地构造个新函数呗！比如说，给你两个函数 f(x)和 g(x)，它们之间有某种关系，那咱就把它们组合起来弄个新函数 H(x) 呀！这就好像把不同的积木拼在一起搭出个新造型。
还有分类讨论哦！遇到各种情况都要考虑到。
比如一个函数在不同区间上的单调性不一样，那咱就得仔细分析呀！“嘿，这可不能马虎！”不认真分析怎么能得高分呢？
哎呀，导数压轴题真不是盖的，有时候确实难倒一大片人呢！但咱别怕呀，只要掌握了这些技巧，多练多总结，还怕它不成？记住，每一道导数压轴题都是一个挑战，但也是一个让我们进步的机会呀！
咱就是说，导数压轴题解题技巧真的能让我们在数学的海洋里畅游得更畅快！大家可得好好学起来，攻克这道难关，走向数学的辉煌呀！。
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2020高考冲刺公益讲座
【导数压轴题备考策略】
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要点
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（2018 年浙江高考）已知函数 f (x) = x − ln x ．
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a = x − ln x − kx = t − 2ln t − kt2 = h(t)
h '(t) = 1− 2 − 2kt = −2kt2 + t − 2
t
t
（1）若 = 1−16k 0 ，即 k 1 ，则 h '(t) 0 ，从而任 16
意 a R ，方程 a = h(t) 最多 解；
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h(x) = 2 + sin x − (1+ x) cos x ln(1+ x)
对于 h(x) = 2 + sin x − (1 + x)ln(1 + x)cos x
当1 x 时， ln(1 + x) x ， x cos x sin x
2
h(x) = 2 + sin x − (1+ x)ln(1+ x)cos x 2 + sin x − (1+ x)x cos x 2 + sin x − (1+ x)sin x = 2 − xsin x 0
（2）若存在 x 1,2，使得 f (x) 2a ，求实数 a 的取值范围.
解法一：分离系数法 解法二：直接讨论最值的方法 解法三：特殊分析法
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a ln(1+ x)
2 + sin x
g(x) = ln(1+ x)
2 + sin x
g'(x)
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（4）通法：虚实并进，完成表达套路
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（5）图形直观
• 作图 • 高观点的理解
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当 x 0 时， x = ax + b ，即 x = b ，最多一个零点（取决于 x = b 与 0 的大小）
（Ⅰ）若 在
，
处导数相等，证明：
；
（Ⅱ）若 a 3 − 4ln 2，证明：对于任意 k 0 ，直线 y = kx + a 与
y = f (x) 有唯一公共点。
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（Ⅰ）函数 f（x）的导函数 f (x) = 1 − 1 ， 2x x
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11 1 1
=
2
+
sin x − (1 +
(1+ x) cos x)(2 + sin
x ln(1+ x)2
x)
h(x) = 2 + sin x − (1+ x) cos x ln(1+ x)
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h(x) = 2 + sin x − (1+ x) cos x ln(1+ x)
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法
一
：
−k = g(x
g
'(x)
=
(2x
− 1)e2 x
+ (1− x2
x)ex
+
m
g1(x) = (2x −1)e2x + (1 − x)ex + m
=
e2x − )
ex
−
m
−
，
x
g1 '(x) = xex (4ex −1)
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1
当 x −ln 4 时， g1(x) 在 (−，− ln 4）上递增，在 (−ln 4，0）上 递减，在 (0, +) 上递增；
当 0 t 1 时， h '(t) 0 ， h(t) 递减； 4
当 1 t 1 时， h '(t) 0 ， h(t) 递增 42
所以 g(x1) = g(ln t1) = h(t1) 0 且当 t1 → 0 时， h(t1) → 0
11
3
g ( x2
)
=
g (ln
t2
)
=
h(t2
)
h(
g '(x) = 2e2x − ex + k −1
(1) = 9 − 8k 0
(2) 0,1 k 9 8
g(xi ) = g(ln ti ) = ti2 − ti + (k −1) ln ti , 2ti2 − ti + k −1 = 0
1
1
0 t1 4 t2 2
g(xi ) = g(ln ti ) = ti2 − ti − (2ti2 − ti ) ln ti
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(g(ln t1), +)
(−, g(ln t2 ))
即 1k 9 8
或 1k 9 8
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h(t) = t2 − t − (2t2 − t) ln t
h '(t) = 2t −1− (4t −1)ln t − (2t −1) = (1 − 4t)ln t
) 4
=
−
8
ln
4
−
16
综上， m − 1 ln 4 − 3 或 m 0 。 8 16
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【题 2】已知函数 f (x) = ln(1+ x)− a sin x, a R （1）若 y = f (x) 在 (0,0)处的切线为 x − 3y = 0 ，求 a 的值；
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【类题】已知函数 f (x) = e2x − ex − x ，对任意 k 1 ，直线 y = −kx + m 与曲线 y = f (x) 有唯一公共点，求实数 m 的取值范围。
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当m0时
g1(x) = (2x −1)e2x + (1 − x)ex + m
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g1 '(x) = xex (4ex −1)
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当 m 0 时 g1(x) = (2x −1)e2x + (1 − x)ex + m
(2)列出条件对应的关系式
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(3）变形转化：写出必要条件；对条件的等价变形
• ①求导变形：通分、因式分解、根式有理化；
• ②代数结构：合并同类项、整体代换、齐次化、代数结构的组织 与转换（如基本不等式等）；
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则
g(m) | a | +k − k − a 0
，
g(n) n( 1 − a − k) n(| a | +1 − k) 0
nn
n
所以 g(m) g(n) 0 ，从而存在 x0 (m, n) ，使得 g(x0 ) = 0 ，
即 f (x0 ) = kx0 + a
“浙大数学优辅”高中数学名师大讲堂
消去
k
得，
h(t1)
=
t1
−
2 ln
t1
−
kt12
=
t1 2
−
2 ln
t1
+1
又由
0
k
1 16
得，
2
t1
4
令 m(x) = x − 2 ln x +1 2
则 m '(x) = x − 4 ，从而 m(x) 在[2, 4] 上为减函数 2x
所以 m(t1) m(4) = 3 − 4ln 2
从而 a 3 − 4 ln 2 时，方程 a = h(t) 最多 解。
处理一： h '(x) = ln(1+ x)[(1+ x)sin x − cos x] = ln(1+ x)sin x[(1 + x) − cot x]
由 (1+ x) − cot x 0 ，可得结论
或 t(x) = (1+ x)sin x − cos x ，则 t '(x) = 2sin x + (1+ x)cos x 0
2020高考冲刺公益讲座
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常见考查问题
• 一、切线 • 求某点处切线方程 • 过点的切线方程； • 已知切线方程求参数 • 二、单调区间 • 求单调区间 • 已知单调性求参数范围 • 三、零点问题 • 零点个数，交点问题 • 零点范围 • 方程有解问题