线性回归方程分析
环球雅思学科教师辅导讲义
讲义编号： 组长签字： 签字日期：
学员编号： 年 级： 高二 课时数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：闫建斌 课 题 线性回归方程
授课日期及时段 2014-2-11 18:00-20:00 教学目标 线性回归方程基础 重点、难点
教 学 内 容
1、本周错题讲解
2、知识点梳理
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系 ②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：a bx y +=∧
（最小二乘法）
最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法
1
221
n
i i i n
i i x y nx y b x nx a y bx
==⎧
-⎪
⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=
n
i n
i i i
n
i i i
y y x x
y y x x
r 1
1
2
21
)()()
)((
注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；
⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 3．线形回归模型：
⑴随机误差e ：我们把线性回归模型e a bx y ++=，其中b a ,为模型的未知参数，e 称为随机误差。 随机误差a bx y e i i i --=
⑵残差e
ˆ：我们用回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的y ˆ估计a bx +，随机误差)(a bx y e +-=，所以y y e ˆˆ-=是e 的估计量，故a x b y y y e i
i i i i ˆˆˆˆ--=-=，e ˆ称为相应于点),(i i y x 的残差。 ⑶回归效果判定-----相关指数(解释变量对于预报变量的贡献率) 2
2
1
2
1
ˆ()1()
n
i
i
i n
i
i
i y y
R y y ==-=-
-∑∑
(2
R 的表达式中2
1
)(∑=-n
i i y y 确定)
注：①2
R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
②2
R 越接近于1，，则回归效果越好。 4．独立性检验（分类变量关系）：
(1)分类变量：这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。 (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表。
(3)对于22⨯列联表：2
K 的观测值)
)()()(()(2
d b c a d c b a bc ad n k ++++-=。
(4)临界值0k 表：
)
(02k k P ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
0.455
0.708
1.323
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
如果0k k ≥，就推断“Y X ,有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，在样本数据中没有发现足够证据支持结论“Y X ,有关系”。
(5)反证法与独立性检验原理的比较：
反证法原理 在假设0H 下，如果推出矛盾，就证明了0H 不成立。
独立性检 验原理
在假设0H 下，如果出现一个与0H 相矛盾的小概率事件，就推断0H 不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率。
典型例题
1．(2011·山东)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
广告费用x /万元 4 2 3 5 销售额y /万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( )．
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元 解析 ∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋54
4＝42，
又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)，∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^
＝9.1.
∴线性回归方程为y ^
＝9.4x ＋9.1.
∴当x ＝6时，y ^
＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案 B
2．(2011·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x /cm 174 176 176 176 178 儿子身高y /cm
175
175
176
177
177
则y 对x 的线性回归方程为 ( )． A.y ^＝x －1 B.y ^
＝x ＋1 C.y ^＝88＋12x D.y ^
＝176
解析 因为x －＝174＋176＋176＋176＋178
5＝176，
y －＝175＋175＋176＋177＋1775
＝176，
又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y －
)， 所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案 C
3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个
样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )．
A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率
B ．x 和y 的相关系数在0到1之间
C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
D ．直线l 过点(x －，y －)
解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D. 答案 D
4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5 命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
解析 小李这5天的平均投篮命中率 y －＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4
5
＝0.5，
可求得小李这5天的平均打篮球时间x －＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^
＝ 0.47，故回归直线方程为y ^
＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的 投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.53
5．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^
＝0.254x ＋0.321.由回归直线方
程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 解析 由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254. 答案 0.254
6．(2011·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
年份－2006 －4 －2 0 2 4 需求量－257
－21
－11
19
29
对预处理后的数据，容易算得x －＝0，y －
＝3.2.
b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02
＝
26040
＝6.5，a ^＝y －－b x －＝3. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 006)＋a ^
＝6.5(x －2 006)＋3.2， 即y ^
＝6.5(x －2 006)＋260.2.
①
(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为 6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
课堂练习
1．实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )
A.y ^
＝x ＋1 B.y ^
＝x ＋2 C.y ^
＝2x ＋1 D.y ^
＝x －1
2．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R 2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是( )
A ．甲
B ．乙
C ．甲、乙相同
D ．不确定
3．某化工厂为预测产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取8对
观测值，计算，得∑8
i ＝1x i ＝52，∑8
i ＝1y i ＝228，∑8
i ＝1x 2
i ＝478，∑8
i ＝1x i y i ＝1849，则其线性回归方程为(
)
A.y ^
＝11.47＋2.62x B.y ^
＝－11.47＋2.62x
C.y ^
＝2.62＋11.47x D.y ^
＝11.47－2.62x
4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5
由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^
＝－0.7x ＋a ，则a 等于______．
5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (小时) 2.5 3 4 4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^
＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？
课后练习
一、选择题
1．实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( ) A.y ^
＝x ＋1 B.y ^
＝x ＋2 C.y ^
＝2x ＋1 D.y ^
＝x －1 答案 A
解析 画出散点图，四点都在直线y ^
＝x ＋1.
2．下列有关样本相关系数的说法不正确的是( ) A ．相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度 B ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大 C ．|r |≤1，且|r |越接近0，相关程度越小 D ．|r |≥1，且|r |越接近1，相关程度越小 答案 D
3．由一组样本(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y ^
＝a ＋bx ，下面有四种关于
回归直线方程的论述：
(1)直线y ^
＝a ＋bx
至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；
(2)直线y ^＝a ＋bx 的斜率是
∑n
i ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n
x
2
；
(3)直线y ^＝a ＋bx 必过(x ，y )点；
(4)直线y ^
＝a ＋bx 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑n
i ＝1 (y i －a －bx i )2是该坐标平面上所有的直线与这些点的偏差中最小的直线．
其中正确的论述有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 D
解析 线性回归直线不一定过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的任何一点；b ＝
∑n
i ＝1x i y i －n x y ∑n
i ＝1x 2i －n x
2
就是线性回归直线的斜率，也就是回归系数；线性回归直线过点(x ，y )；线性回归直线是平面上所有直线中偏差∑n
i ＝1 (y i －a －bx i )2取得最小的那一条．故有三种论述是正确的，选D.
4．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有( )
A ．b 与r 的符号相同
B ．a 与r 的符号相同
C ．b 与r 的符号相反
D ．a 与r 的符号相反 答案 A
5．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R 2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是( )
A ．甲
B ．乙
C ．甲、乙相同
D ．不确定 答案 A
6．某化工厂为预测产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取8
对观测值，计算，得∑8
i ＝1x i ＝52，∑8
i ＝1y i ＝228，∑8
i ＝1x 2
i ＝478，∑8
i ＝1x i y i ＝1849，则其线性回归方程
为( )
A.y ^
＝11.47＋2.62x B.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^
＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62x 答案 A
解析 利用回归系数公式计算可得a ＝11.47，b ＝2.62，故y ^
＝11.47＋2.62x . 二、填空题
7．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5
由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^
＝－0.7x
＋a ，则a 等于______．
解析
x ＝2.5，y ＝3.5，∵回归直线方程过定点(x ，y )，∴3.5＝－0.7×2.5＋a .
∴a ＝5.25.
8．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x (℃) 17 13 8 2 月销售量y (件) 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程y ^
＝bx ＋a 中的b ≈－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，
据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．
(参考公式：b ＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x 2
，a ＝y －b x )
答案 46
解析 由所提供数据可计算得出x ＝10，y ＝38，又b ≈－2代入公式a ＝y －b x 可得a ＝58，即线性回归方程y ^
＝－2x ＋58，将x ＝6代入可得．
9．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过 心脏病 未发作过
心脏病
合计
心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术 29 167 196
合计
68 324 392 试根据上述数据计算K 2＝________.
比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别．________.
答案 392×(39×167－29×157)2
68×324×196×196
≈1.78
不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论
解析 提出假设H 0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别． 根据列联表中的数据，可以求得K 2＝392×(39×167－29×157)2
68×324×196×196
≈1.78.
当H 0成立时K 2≈1.78，而K 2＜2.072的概率为0.85.所以，不能否定假设H 0.也就是不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．
三、解答题
10．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2010年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下表：
日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 温差x (℃) 10 11 13 12 8
发芽数y (颗)
23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^
＝bx ＋a ；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得到的线性回归方程是否可靠？
解析 (1)设抽到不相邻的两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)其中数据为12月份的日期数．
每种情况都是可能出现的，事件A 包括的基本事件有6种：
所以P (A )＝610＝35.所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是3
5.
(2)由数据，求得x ＝12，y ＝27.
由公式，求得b ＝5
2，a ＝y －b x ＝－3.
所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝5
2x －3.
(3)当x ＝10，y ^＝5
2×10－3＝22，|22－23|＜2；
同样，当x ＝8时，y ^＝5
2×8－3＝17，|17－16|＜2； 所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．
11．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (小时) 2.5 3 4 4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^
＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？
(注：b ＝
∑n
i ＝1x i y i －n x y ∑n
i ＝1x 2i －n
x
2
，a ＝y －b x )
解析 (1)散点图如图．
(2)由表中数据得：∑4
i ＝1x i y i ＝52.5， x ＝3.5，y ＝3.5，∑4
i ＝1x 2i ＝54， ∴b ＝0.7， ∴a ＝1.05，
∴y ^
＝0.7x ＋1.05.
回归直线如图所示．
(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ^
＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时 )． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．
12．(2010·辽宁卷)为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .
下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm 2) 表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 频数 30 40 20 10
表2：注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 频数 10 25 20 30 15
(ⅰ)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
(ⅱ)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9% 的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．
表3：
疱疹面积小 于70 mm 2 疱疹面积不小 于70 mm 2 合计 注射药物A a ＝ b ＝ 注射药物B c ＝ d ＝
精品文档 合计n ＝
附：K 2＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
解析 (ⅰ)
可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中
位数在70至75之间，，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数．
(ⅱ)表3：
疱疹面积小
于70 mm 2 疱疹面积不小
于70 mm 2 合计
注射药物A a ＝70 b ＝30
100 注射药物B c ＝35 d ＝65
100 合计 105 95
n ＝200
K 2＝200×(70×65－35×30)2
100×100×105×95
≈24.56. 由于K 2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．
总结：线性回归分析的基本步骤
总结：线性回归分析的基本 步骤 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
线性回归分析的基本步骤 步骤一、建立模型 知识点： 1、总体回归模型、总体回归方程、样本回归模型、样本回归方程 ①总体回归模型：研究总体之中自变量和因变量之间某种非确定依赖关系的计量模型。Y X U β=+ 特点：由于随机误差项U 的存在，使得Y 和X 不在一条直线/平面上。 例1：某镇共有60个家庭，经普查，60个家庭的每周收入（X ）与每周消费（Y ）数据如下： 作出其散点图如下：
②总体回归方程（线）：由于假定0EU =，因此因变量的均值与自变量总处于一条直线上，这条直线()|E Y X X β=就称为总体回归线（方程）。 总体回归方程的求法：以例1的数据为例 由于01|i i i E Y X X ββ=+，因此任意带入两个X i 和其对应的E (Y |X i )值，即可求出01ββ和，并进而得到总体回归方程。
如将()()222777100,|77200,|137X E Y X X E Y X ====和代入 ()01|i i i E Y X X ββ=+可得：0100117710017 1372000.6ββββββ=+=?????=+=?? 以上求出01ββ和反映了E (Y |X i )和X i 之间的真实关系，即所求的总体回归方程为：()|170.6i i i E Y X X =+，其图形为： ③样本回归模型：总体通常难以得到，因此只能通过抽样得到样本数据。如在例1中，通过抽样考察，我们得到了20个家庭的样本数据： 那么描述样本数据中因变量Y 和自变量X 之间非确定依赖关系的模型 ?Y X e β =+就称为样本回归模型。
线性回归分析
线性回归分析 线性回归分析是一种常见的统计分析方法，主要用于探索两个或多个变量之间的线性关系，并预测因变量的值。在现代运营和管理中，线性回归分析被广泛应用于市场营销、财务分析、生产预测、风险评估等领域。本文将介绍线性回归分析的基本原理、应用场景、建模流程及常见误区。 一、基本原理 线性回归分析基于自变量和因变量之间存在一定的线性关系，即当自变量发生变化时，因变量也会随之发生变化。例如，销售额与广告投入之间存在一定的线性关系，当广告投入增加时，销售额也会随之增加。线性回归分析的目标是找到这种线性关系的最佳拟合线，并利用该线性方程来预测因变量的值。 二、应用场景 线性回归分析可以应用于许多不同的领域，例如：
1.市场营销。通过分析销售额和广告投入之间的关系，企业可以确定最佳的广告投入量，从而提高销售额。 2.财务分析。线性回归分析可以用于预测公司的收入、费用和利润等财务指标，并帮助企业制定有效的财务战略。 3.生产预测。通过分析生产量和生产成本之间的关系，企业可以确定最佳的生产计划，从而提高生产效率。 4.风险评估。通过分析不同变量之间的关系，企业可以评估各种风险并采取相应的措施，从而减少损失。 三、建模流程 线性回归分析的建模流程包括以下步骤： 1.确定自变量和因变量。自变量是用来预测因变量的变量，而因变量是需要预测的变量。
2.收集数据。收集与自变量和因变量相关的数据，并进行初步的数据处理和清理工作。 3.拟合最佳拟合线。利用最小二乘法拟合最佳拟合线，并计算相关的统计指标（如拟合优度、标准误等）。 4.判断线性关系的签ificance。利用t检验或F检验来判断线性关系的签ificance，并进行推断分析。 5.进行预测。利用已知的自变量的值，通过线性方程来预测因变量的值。 四、常见误区 在进行线性回归分析时，有一些常见的误区需要注意： 1.线性假设误区。线性回归分析建立在自变量和因变量之间存在线性关系的基础之上，如果这种关系不是线性的，则建立的回归模型将失效。
线性回归分析
线性回归分析 线性回归分析是一种统计学方法，用于建立一个自变量和一个或 多个因变量之间的线性关系模型。它是一种常用的预测和解释性方法，在实际问题的应用广泛。 首先，线性回归分析的基本原理是通过找到最佳拟合直线来描述 自变量和因变量之间的关系。这条直线可以用一元线性回归方程 y = β0 + β1*x 表示，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归 系数。通过确定最佳拟合直线，我们可以预测因变量的值，并了解自 变量对因变量的影响程度。 其次，线性回归分析需要满足一些假设前提。首先，自变量和因 变量之间呈线性关系。其次，误差项满足正态分布。最后，自变量之 间不具有多重共线性。如果这些假设得到满足，线性回归模型的结果 将更加可靠和准确。 线性回归分析的步骤通常包括数据收集、模型设定、模型估计和 模型检验。在数据收集阶段，我们要搜集并整理相关的自变量和因变 量数据。在模型设定阶段，我们根据问题的需求选择适当的自变量， 并建立线性回归模型。在模型估计阶段，我们使用最小二乘法来估计 回归系数，并得到最佳拟合直线。在模型检验阶段，我们通过检验回 归方程的显著性和模型的拟合程度来评估模型的质量。 通过线性回归分析，我们可以进行预测和解释。在预测方面，我 们可以利用回归模型对新的自变量数据进行预测，从而得到相应的因 变量值。这对于市场预测、销售预测等具有重要意义。在解释方面， 线性回归分析可以帮助我们了解自变量对因变量的影响程度。通过回 归系数的大小和正负，我们可以判断自变量对因变量的正向或负向影响，并量化这种影响的大小。 线性回归分析在许多领域都有广泛的应用。在经济学中，线性回 归模型被用于解释经济变量之间的关系，如GDP与失业率的关系。在 医学领域，线性回归模型可以用于预测患者的疾病风险，如心脏病与
线性回归方程
一、线性回归方程 1、线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。线性回归也是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。按自变量个数可分为一元线性回归分析方程和多元线性回归分析方程。在统计学中，线性回归方程是利用最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况称为简单回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归。 2、在线性回归中，数据使用线性预测函数来建模，并且未知的模型参数也是通过数据来估计。这些模型被叫做线性模型。最常用的线性回归建模是给定X值的y的条件均值是X的仿射函数。不太一般的情况，线性回归模型可以是一个中位数或一些其他的给定X的条件下y的条件分布的分位数作为X的线性函数表示。像所有形式的回归分析一样，线性回归也把焦点放在给定X值的y的条件概率分布，而不是X和y的联合概率分布（多元分析领域）。 3、理论模型 给一个随机样本（Y i ,X i1 ,…，X ip ），i=1,…,n,，一个线性回归模型假设回 归子Y i 和回归量X i1 ,…,X ip 之间的关系是除了X的影响以外，还有其他的变数存 在。我们加入一个误差项（也是一个随机变量）来捕获除了X i1,…,X ip 之外任 何对Y i 的影响。所以一个多变量线性回归模型表示为以下的形式： ，i=1,…,n,其他的模型可能被认定成非线性模型。 一个线性回归模型不需要是自变量的线性函数。线性在这里表示Y i 的条件均值在参数里是线性的。例如：模型在和里是线性的，但在里是非线性的，它是的非线性函数。 4、数据和估计 区分随机变量和这些变量的观测值是很重要的。通常来说，观测值或数据（以小写字母表记）包括了n个值（y i,x i1,…,x ip）,i=1,…,n。我们有p+1个参数，，需要决定，为了估计这些参数，使用矩阵表记是很有用的。。其中Y是一个包括了观测值Y 1,…,Y n的列向量，包括了未观测的随机成分以及回归量的观测值矩阵X: X通常包括一个常数项。如果X列之间存在线性相关，那么参数向量就不能以最小二乘法估计除非被限制，比如要求它的一些元素之和为0。 5、古典假设 1)样本是在母体之中随机抽取出来的。 2)因变量Y在实直线上是连续的，
线性回归分析
线性回归分析 线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习的分析方法，用于建立 和预测两个变量之间的线性关系。它可以帮助我们理解变量之间的相互作 用和影响，并进行未来的预测。本文将介绍线性回归的基本原理、模型建 立过程和一些应用实例。 一、线性回归的基本原理 线性回归的目标是通过一条直线（或超平面）来拟合数据点，使得预 测值和实际观测值之间的误差最小。这条直线的方程可以表示为： y=β0+β1*x+ε，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。 线性回归的核心假设是，自变量x和因变量y之间存在线性关系，并 且误差项ε服从正态分布。在此基础上，线性回归通过最小二乘法来估 计回归系数β0和β1的值，使得预测值和实际值的误差平方和最小。 二、线性回归的模型建立过程 1.数据准备：收集包含自变量和因变量的样本数据，确保数据的质量 和准确性。 2.模型选择：根据自变量和因变量之间的性质和关系，选择合适的线 性回归模型。 3.模型拟合：使用最小二乘法来估计回归系数β0和β1的值，计算 出拟合直线的方程。 4.模型评估：通过误差分析、残差分析等方法来评估模型的拟合效果 和预测能力。
5.模型应用：利用已建立的模型进行预测和推断，帮助决策和预测未来的结果。 三、线性回归的应用实例 线性回归可以应用于各个领域和实际问题中，下面以几个典型的实例来说明其应用： 1.经济学：通过分析自变量（如GDP、通货膨胀率）对因变量（如消费水平、投资额）的影响，可以建立GDP与消费的线性回归模型，预测未来消费水平。 2.市场营销：通过分析广告投入与销售额之间的关系，可以建立销售额与广告投入的线性回归模型，帮助制定广告投放策略。 3.医学研究：通过收集患者的生理指标（如血压、血糖水平）和疾病状况，可以建立生理指标与疾病发展程度的线性回归模型，帮助疾病诊断和治疗。 4.金融风险管理：通过分析利率、汇率等宏观经济变量与企业盈利、股价波动之间的关系，可以建立风险预警模型，帮助企业进行风险控制和决策。 总结： 线性回归是一种简单而强大的分析方法，通过建立自变量和因变量之间的线性关系来进行预测和推断。它有着广泛的应用领域，并且可以通过误差分析和模型评估来提高模型的准确性和可靠性。线性回归的分析过程相对简单，但也需要注意数据的选择和模型的合理性，以及对结果的解释和验证。相信通过对线性回归的学习和应用，可以更好地理解和解决实际问题。
线性回归分析(Linear Regression)
线性回归分析（Linear Regression ） 是描述一个因变量（Dependent variable ）Y 与一个或多个自变量（Independent variable ）X 间的线性依存关系。可以根据一批样本值来估计这种线性关系，建立回归方程。用回归方程可以进行预测、控制以及由易测变量X 求得难测变量Y 等等。多元线性回归还可起到对影响因素的识别作用。 回归分析要求应变量Y 服从正态分布，X 可以是随机变动的，也可以是人为取值的变量。 Linear 过程用于建立回归方程；回归方程的配合适度检验包括回归方程和回归系数（或偏回归系数）的假设检验、残差分析；直线回归的区间估计和直线相关及偏相关分析。 直线回归方程：y = a + b x 步骤 1描述 2散点图 3回归方程 b=sum((X-Xmean)(Y-Ymean))/sum(X-Xmean) 2 a=Ymean-bXmean 4检验方程是否成立：方差分析 数据准备及过程 结果：Regression Descriptive Statistics 2.9025.41441249.3333 5.2800 12 肺活量升体重公斤 Mean Std. Deviation N 统计表 Correlations 1.000.749.749 1.000..003 .003.121212 12 肺活量升 体重公斤 肺活量升 体重公斤 肺活量升 体重公斤 Pearson Correlation Sig. (1-tailed)N 肺活量升 体重公斤 PEARSON 相关系数r=0.749, 体重公斤 2.50 3.003.50 肺活量升 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
线性回归分析的基本步骤要点
步骤一、建立模型 知识点： 1、总体回归模型、总体回归方程、样本回归模型、样本回归方程 ①总体回归模型：研究总体之中自变量和因变量之间某种非确定依赖关系的计量模型。Y X U β=+ 特点：由于随机误差项U 的存在，使得Y 和X 不在一条直线/平面上。 例1：某镇共有60个家庭，经普查，60个家庭的每周收入（X ）与每周消费（Y ）数据如下： 作出其散点图如下： ②总体回归方程（线）：由于假定0EU =，因此因变量的均值与自变量
总处于一条直线上，这条直线()|E Y X X β=就称为总体回归线（方程）。 总体回归方程的求法：以例1的数据为例 ，求出E (Y |X 由于01|i i i E Y X X ββ=+，因此任意带入两个X i 和其对应的E (Y |X i )值，即可求出01ββ和，并进而得到总体回归方程。 如将()()2227 77100,|77200,|137X E Y X X E Y X ====和代入 ()01|i i i E Y X X ββ=+可得：0100117710017 1372000.6ββββββ=+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩ 以上求出01ββ和反映了E (Y |X i )和X i 之间的真实关系，即所求的总体回归方程为：()|170.6i i i E Y X X =+，其图形为： ③样本回归模型：总体通常难以得到，因此只能通过抽样得到样本数据。
如在例1中，通过抽样考察，我们得到了20个家庭的样本数据： 那么描述样本数据中因变量Y 和自变量X 之间非确定依赖关系的模型 ˆY X e β =+就称为样本回归模型。 ④样本回归方程（线）：通过样本数据估计出ˆβ ，得到样本观测值的拟合值与解释变量之间的关系方程ˆˆY X β=称为样本回归方程。如下图所示： ⑤四者之间的关系： ⅰ：总体回归模型建立在总体数据之上，它描述的是因变量Y 和自变量X 之间的真实的非确定型依赖关系；样本回归模型建立在抽样数据基础之上，它描述的是因变量Y 和自变量X 之间的近似于真实的非确定型依赖
线性回归分析法
一元线性回归分析和多元线性回归分析 一元线性回归分析 1.简单介绍 当只有一个自变量时，称为一元回归分析（研究因变量y 和自变量x 之间的相关关系）；当自变量有两个或多个时，则称为多元回归分析（研究因变量y 和自变量1x ，2x ，…，n x 之间的相关关系）。如果回归分析所得到的回归方程关于未知参数是线性的，则称为线性回归分析；否则，称为非线性回归分析。在实际预测中，某些非线性关系也可以通过一定形式的变换转化为线性关系，所以，线性回归分析法成为最基本的、应用最广的方法。这里讨论线性回归分析法。 2.回归分析法的基本步骤 回归分析法的基本步骤如下： （1） 搜集数据。 根据研究课题的要求，系统搜集研究对象有关特征量的大量历史数据。由于回归分析是建立在大量的数据基础之上的定量分析方法，历史数据的数量及其准确性都直接影响到回归分析的结果。 （2） 设定回归方程。 以大量的历史数据为基础，分析其间的关系，根据自变量与因变量之间所表现出来的规律，选择适当的数学模型，设定回归方程。设定回归方程是回归分析法的关键，选择最优模型进行回归方程的设定是运用回归分析法进行预测的基础。 （3） 确定回归系数。 将已知数据代入设定的回归方程，并用最小二乘法原则计算出回归系数，确
定回归方程。这一步的工作量较大。 （4） 进行相关性检验。 相关性检验是指对已确定的回归方程能够代表自变量与因变量之间相关关系的可靠性进行检验。一般有R 检验、t 检验和F 检验三种方法。 （5） 进行预测，并确定置信区间。 通过相关性检验后，我们就可以利用已确定的回归方程进行预测。因为回归方程本质上是对实际数据的一种近似描述，所以在进行单点预测的同时，我们也需要给出该单点预测值的置信区间，使预测结果更加完善。 3. 一元线性回归分析的数学模型 用一元线性回归方程来描述i x 和i y 之间的关系，即 i i i x a a y ∆++=10 （i =1，2，…，n ）（2-1） 式中，i x 和i y 分别是自变量x 和因变量y 的第i 观测值，0a 和1a 是回归系数，n 是观测点的个数，i ∆为对应于y 的第i 观测值i y 的随机误差。假设随机误差i ∆满足如下条件：①服从正态分布；②i ∆的均值为零，即()0=∆i E ；③i ∆的方差等于2σ；④各个i ∆间相互独立，即对于任何两个随机误差i ∆和j ∆，其协方差等于零，即， ()()j i j i ≠=∆∆0,cov 。 基于上述假定，随机变量的数学期望和方差分别是 ()()i i x E a a y E 10+= （2-2） ()I 2 σ =∆∑ 如果不考虑式中的误差项，我们就得到简化的式子
线性回归方程分析
线性回归方程分析 线性回归是一种常见的统计分析方法，用于分析自变量与因变量之间 的线性关系。线性回归方程是根据样本数据拟合出来的直线方程，可以预 测因变量的值。在本文中，我们将详细介绍线性回归方程的分析方法。 首先，线性回归方程的一般形式为：y = ax + b，在这个方程中，x 是自变量，y是因变量，a和b是回归系数。线性回归试图找到最佳的a 和b，使得通过这个方程预测出来的y值与实际观测值之间的差距最小。 1.收集数据：首先，需要收集一组自变量和因变量的观测数据。 2.描述数据：对于自变量和因变量的观测数据，可以用散点图来描述 它们之间的关系。散点图可以帮助我们观察到数据的分布和趋势。 3.拟合直线：根据收集的数据，我们可以使用最小二乘法来拟合一条 直线。最小二乘法的目标是最小化观测值与拟合值之间的差距的平方和。 通过最小二乘法，可以计算出最佳的回归系数a和b。 4.解读回归系数：得到最佳的回归系数后，我们需要解读它们的意义。回归系数a表示因变量y随着自变量x的增加而增加或减少的程度。回归 系数b表示当自变量x为0时，因变量y的预测值。 5.评估模型：评估模型的好坏可以使用多个指标，如R方值、均方根 误差等。R方值是用来评估回归方程的解释力度，取值范围从0到1，越 接近1表示模型拟合得越好。均方根误差是用来评估预测值与观测值的偏 差程度，值越小表示模型拟合得越好。
6.预测新值：拟合好的线性回归方程可以用于预测新的自变量对应的 因变量的值。通过将新的自变量代入回归方程中，可以计算出预测的因变 量值。 线性回归方程的分析方法既适用于简单线性回归，也适用于多元线性 回归。在多元线性回归中，自变量可以有多个，并且回归方程的形式变为：y = a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b。多元线性回归的分析过程与简单线 性回归类似，只是需要考虑多个自变量的影响。 线性回归方程的分析方法在实际应用中得到了广泛的应用，特别是在 经济学、金融学、社会科学等领域。通过线性回归方程，我们可以了解自 变量和因变量之间的关系，并且可以对未来的变化进行预测。然而，线性 回归方程假设自变量和因变量之间的关系是线性的，当存在非线性关系时，可能需要使用其他的回归分析方法。 总结来说，线性回归方程是一种常用的统计分析方法，通过拟合直线 方程来描述自变量和因变量之间的线性关系。通过线性回归方程，可以解 读回归系数、评估模型的好坏，并且可以对新的自变量进行预测。线性回 归方程的分析方法在实际应用中非常有用，但需要注意线性回归方程对自 变量和因变量之间关系的线性假设。
简单线性回归的分析步骤
简单线性回归的分析步骤 简单线性回归是一种统计分析技术，通常用于确定两个变量之间的相关性和影响，以及预测一个变量响应另一个变量的变化。这种分析技术可以帮助组织分析影响某个变量的原因，以更好地开发这些变量之间的关系。简单线性回归分析可以帮助组织采取有效的管理和决策措施。本文将介绍简单线性回归分析的六个步骤： 第一步：定义回归模型 简单线性回归中有两个变量：自变量（X）和因变量（Y），并假 设存在线性关系。变量之间的关系可以表示为方程： Y = +X+ε α要求估计的参数，ε模型中的噪声。 第二步：收集数据 简单线性回归的第二步是收集数据。数据收集是回归分析的核心，是建立回归模型的基础，决定了估计参数的准确性。因此，在收集数据的时候需要注意数据的准确性，也要注意数据量。数据量越大，分析结果越准确。 第三步：检查数据 在收集数据之后，需要检查数据，检查数据中是否存在缺失值，异常值等情况。缺失值可能影响数据分析的准确性，而异常值可能会降低模型的准确性和复杂度。此外，还需要检查自变量和因变量之间是否存在多重共线性。 第四步：拟合模型
简单线性回归的第四步是拟合模型。在拟合模型的时候，可以使用最小二乘法或最小平方根法来拟合模型。最小二乘法可以获得最佳拟合参数，而最小平方根法可以获得更准确的拟合参数。 第五步：诊断模型 简单线性回归的第五步是诊断模型。诊断模型旨在检测模型的正确性。此时，可以检查不变的残差、残差的自相关性、残差的正态性、残差的均值和方差，以及多元共线性、自变量的偏性和因变量的偏性等。这些检查有助于验证模型的准确性和可靠性。 第六步：模型检验 最后一步是模型检验。模型检验旨在测试模型的可靠性。模型检验可以使用拟合优度检验、显著性检验或者F-检验来完成。拟合优度检验用于测量模型中变量的可预测性，而显著性检验用于检验参数的显著性，而F-检验用于检验拟合的精确度。 综上所述，简单线性回归分析有六个步骤：定义回归模型，收集数据，检查数据，拟合模型，诊断模型，以及模型检验。这些步骤非常重要，可以帮助组织更准确地分析影响因变量的原因，以便采取有效的管理和决策措施。
数学建模中的线性回归分析
数学建模中的线性回归分析数学建模是一门综合性学科，融合了数学、统计学、物理学、工程学等多个学科的知识，旨在解决实际问题。在数学建模中，线性回归分析是一种常见的方法，用于对数据进行建模和预测。在本文中，我们将探讨线性回归分析在数学建模中的应用。 一、线性回归分析的基本原理 线性回归分析是一种统计学方法，用于确定两个或多个变量之间的关系，并对未知变量进行预测。在线性回归中，我们通常将一个变量称为因变量，而将另一个或多个变量称为自变量。当只有一个自变量时，我们称之为简单线性回归；而当有多个自变量时，我们称之为多元线性回归。 简单线性回归模型可以表示为： Y = a + bX + e
其中，Y表示因变量，X表示自变量，a表示截距，b表示斜率，e表示误差项。我们的目标是通过最小化误差项的平方和来确定a 和b的值，从而建立最优的线性回归方程。 在多元线性回归中，我们可以使用矩阵来表示线性回归方程：Y = Xb + e 其中，Y, X, b, e的意义与简单线性回归的相同。我们的目标是 通过最小化误差项的平方和来确定b的值，从而建立多元线性回 归方程。 二、线性回归分析在数学建模中的应用 线性回归分析在数学建模中有着广泛的应用，以下是几个常见 的例子： 1. 市场营销
在市场营销中，我们可以使用线性回归来预测销售额。例如， 我们可以收集销售额和广告费用的数据，通过建立线性回归模型 来预测在不同的广告投入下，对销售额的影响。 2. 资源规划 在资源规划中，我们可以使用线性回归来预测未来的能源需求。例如，我们可以收集近年来的用电量和气温数据，通过建立线性 回归模型来预测未来的用电量，并据此制定相应的能源供应计划。 3. 生态环境管理 在生态环境管理中，我们可以使用线性回归来分析环境污染的 来源。例如，我们可以收集空气、水、土壤等指标的数据，通过 建立线性回归模型来分析不同污染物的来源，以便制定相应的减 排政策。 以上仅是线性回归分析在数学建模中的几个典型应用，实际上 线性回归在其他领域中也有着广泛的应用，如金融、医学、物流等。
线性回归方程分析
环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：
3．<2011·##>设
线性回归分析法讲解
元线性回归分析和多元线性回归分析 一元线性回归分析 1 •简单介绍 当只有一个自变量时，称为一元回归分析(研究因变量y和自变量x之间的相关关系)；当自变量有两个或多个时，则称为多元回归分析(研究因变量y和自变量呂，％,…，£之间的相关关系)。如果回归分析所得到的回归方程关于未知参数是线性的，则称为线性回归分析；否则，称为非线性回归分析。在实际预测中，某些非线性关系也可以通过一定形式的变换转化为线性关系，所以，线性回归分析法成为最基本的、应用最广的方法。这里讨论线性回归分析法。 2 •回归分析法的基本步骤 回归分析法的基本步骤如下： (1) 搜集数据。 根据研究课题的要求，系统搜集研究对象有关特征量的大量历史数据。由于回归分析是建立在大量的数据基础之上的定量分析方法，历史数据的数量及其准确性都直接影响到回归分析的结果。 (2) 设定回归方程。 以大量的历史数据为基础，分析其间的关系，根据自变量与因变量之间所表现出来的规律，选择适当的数学模型，设定回归方程。设定回归方程是回归分析法的关键，选择最优模型 进行回归方程的设定是运用回归分析法进行预测的基础。 (3) 确定回归系数。 将己知数据代入设定的回归方程，并用最小二乘法原则计算出回归系数，确定回归方程。这一步的工作量较大。 (4) 进行相关性检验。 相关性检验是指对己确定的回归方程能够代表自变量与因变量之间相关关系的可靠性进行检验。一般有R检验、r检验和F检验三种方法。 (5) 进行预测，并确定置信区间。 通过相关性检验后，我们就可以利用己确定的回归方程进行预测。因为回归方程本质上是对实际数据的一种近似描述，所以在进行单点预测的同时，我们也需要给出该单点预测值的置信区间，使预测结果更加完善。 3. 一元线性回归分析的数学模型 用一元线性回归方程來描述禺和)：之间的关系，即 y. = a0 + a k x. + A. (i=l,2,…，n ) (2-1) 式中，兀和开分别是自变量x和因变量y的第i观测值，兔和①是回归系数，"是
总结：线性回归分析的基本步骤
线性回归分析的基本步骤 步骤一、建立模型 知识点： 1、总体回归模型、总体回归方程、样本回归模型、样本回归方程 ①总体回归模型：研究总体之中自变量和因变量之间某种非确定依赖关系的计量模型。Y X U β=+ 特点：由于随机误差项U 的存在，使得Y 和X 不在一条直线/平面上。 例1：某镇共有60个家庭，经普查，60个家庭的每周收入（X ）与每周消费（Y ）数据如下： 作出其散点图如下：
②总体回归方程（线）：由于假定0EU =，因此因变量的均值与自变量总处于一条直线上，这条直线()|E Y X X β=就称为总体回归线（方程）。 总体回归方程的求法：以例1的数据为例 ，求出E (Y |X 由于01|i i i E Y X X ββ=+，因此任意带入两个X i 和其对应的E (Y |X i )值，即可求出01ββ和，并进而得到总体回归方程。 如将()()22277 7100,|77200,|137X E Y X X E Y X ====和代入 ()01|i i i E Y X X ββ=+可得：0100117710017 1372000.6ββββββ=+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩ 以上求出01ββ和反映了E (Y |X i )和X i 之间的真实关系，即所求的总体回归方程为：()|170.6i i i E Y X X =+，其图形为：
③样本回归模型：总体通常难以得到，因此只能通过抽样得到样本数据。如在例1中，通过抽样考察，我们得到了20个家庭的样本数据： 那么描述样本数据中因变量Y 和自变量X 之间非确定依赖关系的模型 ˆY X e β =+就称为样本回归模型。 ④样本回归方程（线）：通过样本数据估计出ˆβ ，得到样本观测值的拟合值与解释变量之间的关系方程ˆˆY X β=称为样本回归方程。如下图所示： ⑤四者之间的关系： ⅰ：总体回归模型建立在总体数据之上，它描述的是因变量Y 和自变量X 之间的真实的非确定型依赖关系；样本回归模型建立在抽样数据基础之
线性回归方程分析报告
环球雅思学科教师辅导讲义 讲义编号：____________ 组长签字： ____________________ 签字日期: ____________________
n X i y nx y i 1 b ~n 2 X i i 1 2 nx 注意：线性回归直线经过定点（x, y） 2 •相关系数注：⑴r >0 bx （判定两个变量线性相关性） n (X i x)(y, y) i 1 n n _ 2 _ 2 (X i x) (Y i y) i 1 i 1 时，变量x, y正相关；r <0时，变量x, y负相关; ⑵①|r |越接近于1，两个变量的线性相关性越强; ②| r |接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 3 •线形回归模型: ⑴随机误差e :我们把线性回归模型y bx a e,其中a,b为模型的未知参数，e称为随机误: 随机误差e i y i bX i a ⑵残差?:我们用回归方程y bx a?中的？估计bx a，随机误差e y (bx a)，所以e y ?是e的估计量, 故& y i ?i y i ibx i a, e?称为相应于点（X i,yj的残差。 ⑶回归效果判定相关指数（解释变量对于预报变量的贡献率）R2 * 4 n (% yj2 1 i n1— (y i y i)2 i 1
⑶对于2 2列联表： K 2 的观测值 k (a b)(n (a d)(a C ) c)(b d)。 ⑷临界值ko 表: 如果 o 持结论“ X,Y 有关系”。 典型例题 1. (2011 •山东某产品的广告费用 x 与销售额y 的统计数据如下表: 根据上表可得回归方程y = bx + a 中的b 为9.4 ,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( ). A . 63.6 力兀 B . 65.5万元 C . 67.7 力兀 D . 72.0力兀 4 + 2 + 3 + 5 7 49 + 26 + 39 + 54 解析•• X = y = = 42 , 4 2， y 4