数学(理)知识清单-专题21 不等式选讲(考点解读)(原卷+解析版)

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定理 2：设 a，b，c 为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立。
推论 1：||a|－|b||≤|a＋b|.
推论 2：||a|－|b||≤|a－b|. (2)三个正数的算术—几何平均不等式：如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时 等号成立。
(2)综合法
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因
导果”的方法。
(3)分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转
化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等
1.【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 f x x 1 2x 3 .
（I）在答题卡第（24）题图中画出 y f x 的图像；
（II）求不等式 f x 1 的解集．
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2.【2016
高考新课标
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理数】已知函数
f
(x)
|
x
1 2
||
x
1 2
|，M
为不等式
f
(x)
2 的解集．
（Ⅰ）求 M ；
式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法。
(4)反证法和放缩法
①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行
正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正
确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法。
②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，
【变式探究】设 a、b、c、d 均为正数，且 a＋b＝c＋d，证明： (1)若 ab＞cd，则 a＋ b＞ c＋ d； (2) a＋ b＞ c＋ d是|a－b|＜|c－d|的充要条件． 【变式探究】已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数．设集合 M＝{0，1，2，…，q－1}，集合 A＝{x|x ＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}． (1)当 q＝2，n＝3 时，用列举法表示集合 A； (2)设 s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中 ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证 明：若 an<bn，则 s<t.
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专题 21 不等式选讲
预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解 答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查。
知识点一、含有绝对值不等式的解法 1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)若 c>0，则|ax＋b|≤c 等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c 等价于 ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c，然后根据 a，b 的 值解出即可. (2)若 c<0，则|ax＋b|≤c 的解集为∅，|ax＋b|≥c 的解集为 R. 2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解. (1)零点分区间法的一般步骤 ①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集. (2)利用绝对值的几何意义 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与 x 对应的点到 a，b 对应的点的距离之和与距离之差， 因此对形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观. 3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法 (1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或 f(x)<－g(x). (2)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x). 知识点二、不等式的证明 1.证明不等式的常用结论 (1)绝对值的三角不等式 定理 1：若 a，b 为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0，等号成立。
【变式探究】已知函数 f x x 1 2x 3 .
（I）在答题卡第（24）题图中画出 y f x 的图像；
（II）求不等式 f x 1 的解集．
【变式探究】不等式|x－1|＋|x＋2|≥5 的解集为________．
高频考点二 不等式的证明
例 2．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明：
（1） 1 1 1 a2 b2 c2 ； abc
（2） (a b)3 (b c)3 (c a)3 24 ．
【变式探究】已知函数
f
(x)
|
x
1 2
|
|
x
1 2
|，M
为不等式
f
(x) 2 的解集．
（Ⅰ）求 M ；
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（Ⅱ）证明：当 a,b M 时， | a b ||1 ab | ．
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定理 2：设 a，b，c 为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立。
推论 1：||a|－|b||≤|a＋b|.
推论 2：||a|－|b||≤|a－b|. (2)三个正数的算术—几何平均不等式：如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时 等号成立。
（Ⅱ）证明：当 a,b M 时， | a b ||1 ab | ．

3. 【2016 高考新课标 3 理数】已知函数 f (x) | 2x a | a ．
（I）当 a 2 时，求不等式 f (x) 6 的解集；
（II）设函数 g(x) | 2x 1| ．当 x R 时， f (x) g(x) 3 ，求 a 的取值范围．
的最小值．
1.【2017 课标 II，理 23】已知 a 0,b 0, a3 b3 2 。证明：
（1） (a b)(a5 b5 ) 4 ； （2） a b 2 。
2.【2017 课标 1，理】已知函数 f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围.
＋…＋anbn)2，并且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立。
2.证明不等式的常用方法
(1)比较法
一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者
变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负。
这种方法叫作放缩法。
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高频考点一 解绝对值不等式
例 1．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 f (x) | x a | x | x 2 | (x a). （1）当 a 1时，求不等式 f (x) 0 的解集； （2）若 x (,1) 时， f (x) 0 ，求 a 的取值范围．
【变式探究】已知函数 f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围.
1．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明：
（1） 1 1 1 a2 b2 c2 ； abc
（2） (a b)3 (b c)3 (c a)3 24 ．
2．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 f (x) | x a | x | x 2 | (x a). （1）当 a 1时，求不等式 f (x) 0 的解集； （2）若 x (,1) 时， f (x) 0 ，求 a 的取值范围． 3．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】设 x, y, z R ，且 x y z 1 ．
（1）求 (x 1)2 ( y 1)2 (z 1)2 的最小值；
（2）若
(x
2)2
(y
1) 2
(z
a)2
1 3
成立，证明：
a
3 或
a
1 ．
4．【2019年高考江苏卷数学】设 x R ，解不等式 |x|+|2 x 1|>2 ．
1. （2018 年全国 I 卷理数）已知
.
（1）当 时，求不等式
的解集；
(3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几
何平均值，即a1＋a2＋…＋an≥n n
a1·a2·…·an，并且仅当
a1＝a2＝…＝an
时等号成立。
(4)一般形式的柯西不等式
设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2
（2）若
时不等式
成立，求 的取值范围.
2. （2018 年全国Ⅱ卷理数）设函数
．
（1）当 时，求不等式
的解集；
（2）若
，求 的取值范围．
4
3. （2018 年全国Ⅲ卷理数）设函数
（1）画出
的图像；
（2）当
，
，求
． 的最小值．
4. （2018 年江苏卷）[选修 4—5：不等式选讲]