高一数学不等式知识点总结

一、要点精析

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比

较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-

b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右

两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进

行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为

一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式

分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。

应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使

用差值比较法。

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，

a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是

判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、

指数式时，一般使用商值比较法。

2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从

“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1

B2B3…BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得

出结论B。

3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用

分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1B3…

BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明

A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分

析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其

它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定

命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不

可能”等词语时，可以考虑用反证法。

5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化

原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。

主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，

当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑

三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，

可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据

具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，

y=sinθ;②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1);③对

于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ;④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代

数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进

行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。

6.放缩法放缩法是要证明不等式A

二、难点突破

1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向。

3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件。如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分

析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时，一定要恰

当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。

4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。

5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是

换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用。

6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度，即要恰当、适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论。另外，是分

组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要根

据不等式的结构特点掌握清楚。

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：

(1)对称性：a>bb

(2)传递性：若a>b，b>c，则a>c;

(3)可加性：a>ba+c>b+c;

(4)可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc;当c<0时，ac

不等式运算性质：

(1)同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d;

(2)异向相减：，.

(3)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

(4)乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则;

(5)开方法则：若a>b>0，n∈N+，则;

(6)倒数法则：若ab>0，a>b，则。

2、基本不等式

定理：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号)

推论：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号)

算术平均数;几何平均数;

推广：若，则

当且仅当a=b时取“=”号;

3、绝对值不等式

|x|0)的解集为：{x|-a

|x|>a(a>0)的解集为：{x|x>a或x<-a}。

棱柱：

(1)概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两

个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平

行的面叫棱柱的底面，其余各个面都叫棱柱的侧面，两个侧棱的公

共边叫做棱柱的侧棱，棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。

(2)分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱;

②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…

棱锥：

(1)概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有

一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共

顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面，棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱，棱锥中各侧棱的

公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高，过棱

锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。

(2)分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥…

(3)正棱锥的概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。

棱台：

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。

圆柱的概念：

以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。

圆锥的概念：

以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体;

圆台的概念：

用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分;