第四章 故障树的定量分析.
故障树分析法--,最全
概念什么是故障树分析法故障树分析(FTA)技术是美国贝尔电报公司的电话实验室于1962年开发的，它采用逻辑的方法，形象地进行危险的分析工作，特点是直观、明了，思路清晰，逻辑性强，可以做定性分析，也可以做定量分析。
体现了以系统工程方法研究安全问题的系统性、准确性和预测性，它是安全系统工程的主要分析方法之一。
一般来讲，安全系统工程的发展也是以故障树分析为主要标志的。
1974年美国原子能委员会发表了关于核电站危险性评价报告，即“拉姆森报告”，大量、有效地应用了FTA，从而迅速推动了它的发展。
目前，故障树分析法虽还处在不断完善的发展阶段，但其应用范围正在不断扩大，是一种很有前途的故障分析法。
故障树分析(Fault Tree Analysis)是以故障树作为模型对系统进行可靠性分析的一种方法，是系统安全分析方法中应用最广泛的一种自上而下逐层展开的图形演绎的分析方法。
在系统设计过程中通过对可能造成系统失效的各种因素（包括硬件、软件、环境、人为因素）进行分析，画出逻辑框图（失效树），从而确定系统失效原因的各种可能组合方式或其发生概率，以计算的系统失效概率，采取相应的纠正措施，以提高系统可靠性的一种设计分析方法。
故障树分析方法在系统可靠性分析、安全性分析和风险评价中具有重要作用和地位。
是系统可靠性研究中常用的一种重要方法。
它是在弄清基本失效模式的基础上，通过建立故障树的方法，找出故障原因，分析系统薄弱环节，以改进原有设备，指导运行和维修，防止事故的产生。
故障树分析法是对复杂动态系统失效形式进行可靠性分析的有效工具。
近年来，随着计算机辅助故障树分析的出现，故障树分析法在航天、核能、电力、电子、化工等领域得到了广泛的应用。
既可用于定性分析又可定量分析。
故障树分析（Fault Tree Analysis）是一种适用于复杂系统可靠性和安全性分析的有效工具，是一种在提高系统可靠性的同时又最有效的提高系统安全性的方法。
当前，超大型工程的建设，对可靠性，安全性提出了更高的要求，因此，故障树分析法已经广泛的应用到宇航，核能，化工，电子，机械和采矿等各个领域。
故障树定性分析
故障树定性分析故障树分析，包括定性分析和定量分析两种方法。
在定性分析中，主要包括最小割集、最小径集和重要度分析。
限于篇幅，以下仅介绍定性分析中的最小割集和最小径集。
1最小割集及其求法割集：它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。
最小割集就是引起顶上事件发生必须的最低限度的割集。
最小割集的求取方法有行列式法、布尔代数法等。
现在，已有计算机软件求取最小割集和最小径集。
以下简要介绍布尔代数化简法。
以下是用布尔代数化简的过程。
T=A1+A2= X1 X2A3+X4A4= X1X2(X1+X3)+X4(X5+X6)= X1 X2A1+Xl X2A3+ X4X5+X4X6= X1 X2+ X4X5+X4X6所以最小割集为{X1，X2}，{X4，X5}，{X4，X6}。
结果得到三个交集的并集，这三个交集就是三个最小割集El={Xl，X2}，E2={X4，X5}，E 3：{X4，X6}。
用最小割集表示故障树的等效图。
2最小径集及其求法径集：如果故障树中某些基本事件不发生，则顶上事件就不发生，这些基本事件的集合称为径集。
最小径集：就是顶上事件不发生所需的最低限度的径集。
最小径集的求法是利用它与最小割集的对偶性。
首先作出与故障树对偶的成功树，即把原来故障树的与门换成或门，而或门换成与门，各类事件发生换成不发生，利用上述方法求出成功树的最小割集，再转化为故障树的最小径集。
例：将上例中故障树变为成功树用T’、A’l、A’2、A’3、A’4、X’l、X’2、X’3、X’4、X’5、X’6表示事件T、Al、A2 A3、A4、Xl、X2、X3X，、X 、X 的补事件，即成功事件;逻辑门作相应转换。
用布尔代数化简法求成功树的最小割集：T’= A’l ·A’2= (X’l+A’3+X’2)·(X’4+A’4)= (X’l+X’2+X’l X’3)·(X’4+X’5 X’6)= (X’l+X’2)·(X’4+X’5X’6)=X’lX’4+ X’lX’5X’6+X’2X’4+ X’2X’5X’6成功树的最小割集：{X’。
故障树
印度博帕尔灾难
印度博帕尔灾难是历史上最严重的工业化学意外， 影响巨大。1984年12月3日凌晨，印度中央邦的 博帕尔市的美国联合碳化物属下的联合碳化物 （印度）有限公司设于贫民区附近一所农药厂发 生氰化物泄漏，引发了严重的后果。大灾难造成 了2.5万人直接致死，55万人间接致死，另外有 20多万人永久残废的人间惨剧。现在当地居民的 患癌率及儿童夭折率，仍然因这一灾难远比其他 印度城市为高。由于这次事件，世界各国化学集 团改变了拒绝与社区通报的态度，亦加强了安全 措施。这次事件也导致了许多环保人士以及民众， 都强烈反对将化工厂设于邻近民居的地区
定量分析：根据底事件发生的概率定量的回答顶 事件或任一中间事件发生的概率及其它定量指标。 在系统设计阶段，故障树分析可帮助判明潜在故 障以便改进设计。
FTA的特点：
是一种图形演绎法，是故障事件在一定条件下的逻辑推理 方法，可针对某一故障事件，作层层追踪分析 ( 自上而下 ) ； 这种图形化的方法清楚易懂，使人们对所描述的事件之间 的逻辑关系一目了然，而且便于对各种事件之间复杂的逻 辑关系进行深入的定性和定量分析； 由于故障树将系统故障的各种可能因素联系起来，可有效 找出系统薄弱环节和系统的故障谱，在系统设计阶段有助 于判明系统的隐患和潜在故障，以便提高系统的可靠性； 故障树可作为管理和维修人员的一个形象的管理、维修指 南，可用于培训使用、维修和管理人员，可用来制订维修 计划和检修排故方案
c、分析每一个与顶事件直接相联系的
输入事件。如果该事件还能进一步分 解，则将其作为下一级的输出事件， 如同b中对顶事件那样进行处理。 d、 重复上述步骤，逐级向下分解， 直到所有的输入事件不能再分解或不 必要再分解为止，即建成了一棵倒置 的故障树。
(完整版)故障树分析法
什么是故障树分析法故障树分析(FTA)技术是美国贝尔电报公司的电话实验室于1962年开发的，它采用逻辑的方法，形象地进行危险的分析工作，特点是直观、明了，思路清晰，逻辑性强，可以做定性分析，也可以做定量分析。
体现了以系统工程方法研究安全问题的系统性、准确性和预测性，它是安全系统工程的主要分析方法之一。
一般来讲，安全系统工程的发展也是以故障树分析为主要标志的。
1974年美国原子能委员会发表了关于核电站危险性评价报告，即“拉姆森报告”，大量、有效地应用了FTA，从而迅速推动了它的发展。
什么是故障树图(FTD)故障树图 ( 或者负分析树)是一种逻辑因果关系图，它根据元部件状态(基本事件)来显示系统的状态(顶事件)。
就像可靠性框图(RBDs)，故障树图也是一种图形化设计方法，并且作为可靠性框图的一种可替代的方法。
一个故障树图是从上到下逐级建树并且根据事件而联系，它用图形化"模型"路径的方法，使一个系统能导致一个可预知的，不可预知的故障事件（失效），路径的交叉处的事件和状态，用标准的逻辑符号(与，或等等)表示。
在故障树图中最基础的构造单元为门和事件，这些事件与在可靠性框图中有相同的意义并且门是条件。
故障树和可靠性框图(RBD)FTD和RBD最基本的区别在于RBD工作在"成功的空间"，从而系统看上去是成功的集合，然而，故障树图工作在"故障空间"并且系统看起来是故障的集合。
传统上，故障树已经习惯使用固定概率(也就是，组成树的每一个事件都有一个发生的固定概率)然而可靠性框图对于成功(可靠度公式)来说可以包括以时间而变化的分布，并且其他特点。
故障树分析中常用符号故障树分析中常用符号见下表:故障树分析法的数学基础1.数学基础(1)基本概念集:从最普遍的意义上说，集就是具有某种共同可识别特点的项(事件)的集合。
这些共同特点使之能够区别于他类事物。
并集:把集合A的元素和集合B的元素合并在一起，这些元素的全体构成的集合叫做A与B的并集，记为A∪B或A+B。
实用故障树定量分析原理与应用实例
产生 “ 组合爆 炸 ” 问题 ，即便 大 型计 算机 也难 以胜 任 。但 在许 多实 际工 程 问题 中 ，这种 精确 的计 算 是
不 必要 的 ，这是 因为 ：
输入正态分布参数和系统工作时间
Ｊ ，
由予 序ＮＱ 出的失效概率 ＦＵ） 求
１ ）统 汁 得 到 的 基 本 数 据 往 往 是 不 很 准 确 的 ．
本 文用实 例分析 了实 用 故障树定 量 分析原 理 和关键 环 节 ，并 开 创 性 地 利 用 Ｆ ｒ ａ ｏ ｅＳａｉ ４０ ｏｔ ｎ Ｐ ｗ ｒｔｔ ｎ Ｖ ． ｒ ｏ 加 以开发 和利用 ，从 而有 效地解 决 了大 型系统 的可
况 下 ．故 障树 的各 底事 件 可在 几个 最小 割集 中重 复 ｝现 ．也 就是 说最 小割 集 问是相 交 的 ．要 这样 精确 ｆ Ｊ 计算 顶事 件发 生 的概率 就必 须Ｈ 相 容事件 的概 率公 ｊ
＋… ＋（ １ 一） ～Ｐ Ｋｌ … ＫⅣ ） （ Ｋ２
（） １
式 （ ） 中 ：Ｋ ， ， —— 第 ｉ ，ｋ个 最 小 割 １ ，Ｊ
２ 实用 故 障树 定量 分 析 原 理
在 故 障树 中 ，底 事件 、结果 事 件 、顶 事件 等都
04故障树分析法
确定最小割集的方法——下行法
•从顶事件开始，一个门就代表一个结果事件。顺次将门用 其输入事件置换。
•若是“或”门，则增加割集的个数，输入事件纵向列 出 •遇到“与”门，则增加割集的大小，则输入事件横向 列出。
•利用布尔代数的一些法则就可求得故障树的全部最小割集
下行法示例：
T
G1
G2
G3
G4
G5
n (1i , X ) (0i , X )] i [
n 1
则结构重要度为：
I
st i
1 2
n n 1 i
结构重要度的计算方法： 当所有部件的失效概率和正常概率均为1/2时，部 件的概率重要度等于其结构重要度。
3、关键重要度
Iicr (t )
部件i的关键重要度就是部件i的失效概率的变化率所 引起的系统失效概率的变化率。
T
G1
G2
G3
G4
G5
G6 x4 x5
x1
x2
x1
x3
x2
x3
顶事件发生概率计算——不交最小割集算法 若故障树有k个最小割集：M1(X)，M2(X)，···，Mk(X)， 则其结构函数的不交最小割集表达式为：
( X ) M1 M1M 2 ( M i)M k
i 1
k 1
st 2、结构重要度 I i
对于单调关联系统，当部件i的状态由0变到1时，系统的 状态有下列三种方式： （1）ψ (0i,X)=0，ψ (1i,X)=1 ψ (1i,X)-ψ (0i,X) = 1 （2）ψ (0i,X)=0，ψ (1i,X)=0 ψ (1i,X)-ψ (0i,X) = 0 （3）ψ (0i,X)=1，ψ (1i,X)=1 ψ (1i,X)-ψ (0i,X) = 0 对于部件i的某一给定状态，其余n-1个部件的状态可有 2n-1种组合。作和
故障树分析
利用最小割集：
对降低复杂系统潜在事故的风险具有重大意义 可找出并消除单点故障 指导系统的故障诊断和维修
6. 故障树定量分析
定量分析的主要任务之一是计算或估计顶事件发生的 概率
定量分析时的假设
底事件之间相互独立 底事件和顶事件都只考虑二种状态—— 发生或不发生， 也就是说元部件和系统都是只有二种状态 —— 正常或 故障 一般情况下，故障分布都假定为指数分布 单调关联系统
液压系 统故障
电磁控 制系统 故障
收放机构本身发生故障
上位锁 故障
收 放 作 动 筒 故 障
连杆机 构故障
2. 建树注意事项
1) 明确建树边界条件 建树前应对分析作出合理的假设。如导线不会故障、暂不 考虑人为故障、软件故障等的一些假设 应在FHA或FMEA的基础上，将那些不重要的因素舍去， 从而减少树的规模及突出重点 2) 故障事件要严格定义 否则将难以得到正确的故障树。复杂系统的FTA工作往往 由许多人共同完成，如定义不统一，将会建出不一致的故 障树 3) 应从上向下逐级建树 这样可防止建树时发生事件的遗漏
5. 故障树定性分析
再往上一级为：
M1 M 2 M 3 X 4 X 6 X 4 X 7 +X 5 X 6 X 5 X 7 X 3 X 6 X 8
最上一级为：
T X 1 X 2 M1 X1 X 2 X 4 X 7 X 5 X 7 X 3 X 6 X 8
1. 故障树的建造
常用的建树方法为演绎法，从顶事件开始，由上而 下，逐级进行分析，即
1）分析顶事件发生的直接原因，将顶事件作为逻 辑门的输出事件，将所有引起顶事件发生的直接原 因作为输入事件，根据它们之间的逻辑关系用适当 的逻辑门连接起来
故障树
定功能的故障。这类故障往往是由于个别 零件损坏造成的，如内燃机不能发动，油 泵不能供油。
参数故障是指设备的工作参数不能保持 在允许范围内的故障。这类故障属渐发性 的，一般不妨碍设备的运转，但影响产品 的加工质量，如机床加工精度达不到规定 标准，动力设备出力达不到规定值的故障。
船体断裂
船上的救生设备不足， 使大多数落水者被冻
死
4
与
门
2
1
3
观察员、驾驶员失误， 造成船体与冰山相撞
底事件
-
画出“电动机过热”的故障树。
-
-
▪ 故障树分析（ FTA ）
通过对可能造成产品故障的硬件、软件、 环境、人为因素进行分析，画出故障树， 从而确定产品故障原因的各种可能组合 方式和(或)其发生概率。
部件的故障和小故障事件，这是两个不同的概 念。挑战者号航天飞机的爆炸就是一个密封圈 失效的“小故障”；
(2)有的故障发生概率虽小，可是一旦发 生则后果严重，为了安全以备万一，这种 事件就不能忽略；
(3)故障定义必须明确，避免多义性，否 则会使故障树逻辑混乱出现错误；
-
(4)先抓主要矛盾，开始建树应先考虑主要的、 可能性很大的以及关键性（以致命度、重 要度衡量)的故障事件，然后在逐步细化分 解过程中再考虑次要的、不常发生的以及 后果不严重的次要故障事件；
➢定性分析 ➢定量分析
-
▪ 故障树分析包括定性分析和定量分析。
▪ 定性分析的主要目的是：寻找导致与系统有关的 不希望事件发生的原因和原因的组合，即寻找导 致顶事件发生的所有故障模式。
▪ 定量分析：根据底事件发生的概率定量的回答顶 事件或任一中间事件发生的概率及其它定量指标。 在系统设计阶段，故障树分析可帮助判明潜在故 障以便改进设计。
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对故障树简化 或模块化
•逻辑简化和模块 分解
定性分析
•计算顶事件发生的概率，并 进行重要度和灵敏度的分析。
定量分析
2
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4.1
4.2
4.3 4.4 4.5
顶事件概率表达式 顶事件发生概率的定量计算公式 结构函数的不交合 故障分析中的误差传播 底事件的重要度计算
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故障树分析中的事件发生概率一般就是失效概率 。 若单元或系统是可修的，它就是无效度。 它们的概率分布律为：
qi和Q分别为底事件和顶事件的发生概率。
底事件发生概率：底事件Xi的数学期望E[Xi]：
E[ X i ]＝ 1 p( X i 1) 0 p( X i 0) p( X i 1) qi
i 1 i i 1 i i j 2 i
n
n
n
j
i j k 3
n
M i M j M k (1)
n
M
i 1
n
i
Qs P ( M 1 M 2 M n ) P(M i )
i 1 n i j 2
P(M M
i i J K 2
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4.2 故障树顶事件发生概率的定量 计算公式
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4.2.1精确计算
1．无重复底事件时顶事件概率的计算
– 当故障树中无重复底事件时，这就意味着诸最小割集相互之 间不含有相同的底事件，所以诸最小割集是独立的，但是还 可以是相交的。 – 精确计算故障树顶事件的发生概率时，要按布尔代数中逻辑 并的概率公式（即容斥定理）展开。 – 设有个n独立的最小割集 M1 , M 2 M n ，用独立事件的概率 公式计算，求得顶事件的发生概率为:
n n Q并＝E[并 （x） ]＝E[ xi ] qi i 1 i 1
2．n个单元组成的串联系统
n 串 （x） xi i 1
则顶事件发生概率Q串为：
n Q串＝E[串 （x） ] E[ xi ] i 1
[1 (1 xi )] 1 (1 qi )
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定量分析的目的和基本内容
定量分析的目的：根据最小割集计算故障树顶事件的发 生概率及其不确定性和底事件或割集的重要度。 故障树定量分析的基本内容归结为以下几方面：
– 底事件概率的定量分析，一般由收集到的部件失效数据，经过 统计分析，求出单元的可靠性参数，如失效概率或无效度，可 以是某种形式的分布。 – 顶事件概率的定量分析,一般根据故障树结构函数，由底事件 概率计算出顶事件概率。定量计算中的关键问题是最小割集的 “不交化”。 – 为了确定顶事件概率的变化范围、误差限或分布，则须进行误 差传播计算(不确定性)。 – 底事件的结构重要度和概率重要度的计算。这部分内容对于系 统可靠性设计、诊断和优化等方面是不可缺少的。
Qs P( M 1 M 2 M n ) P[1 (1 M 1 )(1 M 2 ) (1 M n )] P[1 (1 M i )],
i 1 n
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(1 M ) 1 M M M
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第四章
故障树的定量分析
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故障树分析步骤
定义顶事件和 边界条件
故障树不能过大，
舍去不重要部件， 形成等效的简化系 统图，从简化系统 图出发建树
建立故障树 •找出系统可能的故障模式。 •是故障树分析最为关键的一 步，是定量分析的基础。
i 1 i 1
n
n
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3.由n个单元组成的串并联混合系统
对于任意结构的一棵故障树，一般可先找出它的全部最小割集
Ki ( j 1, Nk )
结构函数：
k ( x ) xi
N
j 1 i Ki
Nk Nk 用最小割集计算顶事 Q E[T ] E[ X j ] qi 件概率，则： j 1 ikj j 1 ikj
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顶事件发生概率是诸底事件发生概率的函数：
由于假设诸底事件相互独立，所以有：
E[ X i ], E[ X i X j ] 0 E[ X ] E[ X ], i j
j i
j i j i
E[ X i ]， j i E[ X i X j ] 1 j i E[ X ] E[ X ] E[ X ] E[ X ]， j i i j i j
由此可证，顶事件发生概率是 诸底事件发生概率的函数，即
Q E[T ] E[ ( X )] h(q1 , q 2 ,......q n )
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相干故障数
1．n个单元组成的并联系统
n 并 （x） xi i 1
则顶事件发生概率Q并为：
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4.1 顶事件概率表达式
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假设:
诸底事件之间相互独立； 所有事件仅考虑正常和失效两种状态； 不考虑随时间的变化而近似作为稳态处理； 在某一很短的时间间隔内不考虑同时发生两 个以上的单元失效,并且事件发生概率与时间 增量成正比,忽略 t 2以上的高阶小量等等。
n
j
)
n
n
P ( M i M j M k ) (1) n P ( M i )
i 1
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表达式
Q (1) r 1 S r